量子通信技术是一种利用量子力学原理，通过量子信道进行秘密信息传输和处理的通信技术。量子通信具有原理上可证的安全性，是传统密码安全体制的重要补充。近年来，量子通信技术发展及应用呈现加速趋势。

量子安全直接通信(quantum secure direct communication，QSDC)是一类重要的量子通信模式，借助量子信道安全无泄漏地直接传输秘密信息，于2000年被首次提出^[1]。由于开创了一种直接在量子信道上传输秘密信息、保证信息安全的新思路，QSDC一经提出便引起广泛研究。QSDC协议根据信息载体不同可以分为两大类：纠缠类和单光子类。其中，单光子类QSDC基于单光量子不可分割原理、测量坍缩原理、未知量子态不可完全克隆原理等量子力学原理，目前研究更为广泛。近年来，随着QSDC理论研究的不断成熟完善，国内外相继开展了演示系统设计^[2-4]。2019年，基于单光子的QSDC原型机演示系统搭建完成，在1.5 km范围内实现了50 b/s的安全、稳定数据传输^[5]。

在实际QSDC系统中，受单光子态的制备及探测技术限制，通信符号在传输过程中大量丢失。在1.5 km QSDC演示系统中，通信信道的接收概率仅在0.3%左右^[5]。传统对抗信道噪声的信道编码码率大多在1/6以上，不足以应对QSDC信道上的大量删除错误。QSDC系统需要极低码率的信道编码，以从少量接收信号中恢复秘密信息。

LDPC-BCH(low-density parity-check Bose-Chaudhuri-Hocquenghem)码将LDPC码的单奇偶校验码约束节点替换为BCH码约束节点，具有易于构造低码率码字的优点^[6]。然而LDPC-BCH码的实用性受限，具体表现为：规则LDPC-BCH码的译码门限值距离Shannon限较远，瀑布区性能差；基于密度进化、外信息转移(extrinsic information transfer, EXIT)函数等优化方法构造的非规则LDPC-BCH码度分布复杂，编译码复杂度高。

空间耦合LDPC码通过将多个相同的LDPC码耦合成链构造得到^[7]。空间耦合LDPC码兼具规则码和非规则码的优势，在瀑布区性能好且误码平层低。空间耦合LDPC码在光波系统中的仿真表明，在误码率为10^-15时仍未出现误码平层^[8]。目前，空间耦合的概念被推广到更普遍的分组码，例如空间耦合累积重复码、空间耦合Turbo码等^[9-10]。

针对QSDC信道接收概率极低的特点，本文构造了一种极低码率的空间耦合LDPC-BCH码。空间耦合LDPC-BCH码将多个相同的分组规则LDPC-BCH码通过边连接的方式耦合起来。一方面，空间耦合LDPC-BCH码保留了分组LDPC-BCH码低码率的特点；另一方面空间耦合LDPC-BCH码具有准循环结构，采用窗函数译码，实用性增强。仿真结果表明，传输效率为0.001的基于空间耦合LDPC-BCH码信道补偿方案，在信道接收概率为0.4%时，误比特率低于10^-6。

1 QSDC信息传输模型

在秘密信息加载于量子态之前，QSDC系统的合法通信双方(通常称为Alice和Bob)首先判断信道是否安全。在确定信道安全后，通信双方开始传递秘密信息。QSDC系统信息传输模型如图 1所示。发端Alice将秘密信息加载到量子比特序列上，量子比特序列经过信道编码、调制和扩频后进入量子通信信道，收端Bob收到信号后，经过解扩、解调和译码来恢复秘密信息。

QSDC通信信道是一种离散无记忆信道。由于光源不稳定、光纤损耗以及单光子探测效率低，大部分光子在传输过程中丢失，接收概率极低。因此，QSDC通信信道可以建模为删除概率较大的二进制删除信道(binary erasure channel, BEC)。本文旨在删除概率为0.4%的情况下设计高性能的空间耦合LDPC-BCH码。

2 空间耦合LDPC-BCH码的构造与性能分析 2.1 基于原模图的空间耦合LDPC-BCH码

基于原模图的LDPC-BCH码可以通过原模图表示。LDPC-BCH码的原模图通常由3类节点和2类边组成，其中3类节点分别是n_v个变量节点V={v₁, v₂, …, v_nv}、n_c个BCH校验节点C={c₁, c₂, …, c_nc}以及n_c组BCH变量节点，2类边分别是连接变量节点和BCH校验节点的边以及连接BCH校验节点和BCH变量节点的边。与Tanner图不同，LDPC-BCH码原模图通常只有少量的变量节点和BCH校验节点，且连接一个变量节点和一个BCH校验节点的边可以不止一条。在(d_v, d_c)规则LDPC-BCH码的原模图中，每个变量节点v_i代表一个(d_v, 1)重复码的约束，共有d_v条边与BCH校验节点相连；每个BCH校验节点c_i代表一个(n_BCH, k_BCH)BCH码的约束，其中有d_c条边与LDPC变量节点相连，有(m_BCH-1)条边与BCH变量节点相连，且有d_c=k_BCH+1，m_BCH=n_BCH-k_BCH。规则LDPC-BCH码的码率可以表示为

$ {R_B} = \frac{{{n_v} - {n_c}}}{{{n_v} + {n_c}\left( {{m_{{\rm{BCH}}}} - 1} \right)}}. $

(1)

基于原模图的LDPC-BCH码还可以由一个n_c×n_v维基矩阵B表示。矩阵元素B_{i, j}等于连接BCH校验节点c_i和变量节点v_j的边的条数。设提升因子为M，通过对基矩阵B进行“提升”的操作，可以构造得到Mn_c×Mn_v维LDPC-BCH码的校验矩阵H^[11]。

图 2给出了一个(3, 6)规则LDPC-BCH码集的原模图。该原模图中，每个校验节点代表一个(15, 5)BCH码约束。该码集的码率R=1/11。基矩阵可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&3 \end{array}} \right]. $

(2)

将多个相同的规则LDPC-BCH码通过边连接的方式耦合起来，本文构造得到了空间耦合LDPC-BCH码。空间耦合LDPC-BCH码的原模图可由一条空间耦合链表示。链的构造分为空间复制和耦合成链2个步骤：

1) 空间复制。将(d_v, d_c)规则LDPC-BCH码的(n_v, n_c)维原模图复制L次，每个LDPC-BCH码原模图对应空间耦合链上的一个位置，其中L称为耦合长度。

2) 耦合成链。对每个位置上的LDPC-BCH码原模图，按相同的模式进行边展开，使当前分组码的变量节点与后面ω个位置上的校验节点耦合相连，其中ω称为耦合宽度。

通过以上步骤可构造得到(d_v, d_c, L, ω)空间耦合LDPC-BCH码的原模图。需要注意的是，为保证L个分组码的边展开模式相同，需要在耦合链尾部添加ωn_c个校验节点。因此，(d_v, d_c, L, ω)空间耦合LDPC-BCH码的码率为

$ R = \frac{{\left( {{n_v} - {n_c}} \right)L - \omega {n_c}}}{{\left[ {{n_v} + {n_c}\left( {{m_{{\rm{BCH}}}} - 1} \right)} \right]L + \omega {n_c}\left( {{m_{{\rm{BCH}}}} - 1} \right)}}. $

(3)

由于在链尾新增了部分校验节点，空间耦合LDPC-BCH码的码率低于分组LDPC-BCH码，存在一定的码率损失。耦合长度L越大，码率损失越小。当L趋于无穷大时，码率与分组LDPC-BCH码相等。

若从矩阵角度描述边展开的过程，就是将基矩阵B分解成(ω+1)个子矩阵B₀, B₁, …, B_ω：

$ \mathit{\boldsymbol{B}} = \sum\limits_{i = 0}^\omega {{\mathit{\boldsymbol{B}}_i}} . $

(4)

根据分解得到的子矩阵，空间耦合LDPC-BCH码的基矩阵可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{B}}_{{\rm{SC}}}^{\left[ L \right]} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_0}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_0}}&{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ \vdots & \vdots & \ddots &{}&{}&{}&{}&{}\\ {{\mathit{\boldsymbol{B}}_\omega }}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_{\omega - 1}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{B}}_0}}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_\omega }}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_0}}&{}&{}&{}\\ {}&{}& \ddots & \vdots & \vdots & \ddots &{}&{}\\ {}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_\omega }}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_{\omega - 1}}}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{B}}_0}}&{}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \cdots &{{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_0}}\\ {}&{}&{}&{}&{}& \ddots & \vdots & \vdots \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_\omega }}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_{\omega - 1}}}\\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&{}&{{\mathit{\boldsymbol{B}}_\omega }} \end{array}} \right]. $

(5)

从式(5)可以看出空间耦合LDPC-BCH码的度分布具有轻微的非规则性，即变量节点的度数与分组LDPC-BCH码变量节点的度数相同，位于链中间的校验节点的度数与分组LDPC-BCH码校验节点的度数相同，而位于链两端的校验节点度数稍低。研究表明，正是由于这种轻微的非规则性，空间耦合编码译码门限值具有接近Shannon限的优异性能^[12]。

图 3给出了一个(3, 6, L, 2)空间耦合LDPC-BCH码集的原模图，该原模图由图 2中的分组LDPC-BCH码构造而来。从图 3可以看出，每个位置上的变量节点与其后面的2个位置上的校验节点相连，所以耦合宽度为2。该原模图边展开的模式可由子矩阵表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_0} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1 \end{array}} \right]. $

(6)

2.2 空间耦合LDPC-BCH码的译码门限值

空间耦合LDPC-BCH码的迭代译码通过将变量节点和BCH校验节点的译码输出相互反馈为对方的输入实现。在每次迭代译码中，度数为d_v的变量节点收到d_v个外信道信息和1个通信信道信息，并执行经典和译码；BCH校验节点收到(k_BCH+1)个外信道信息和(m_BCH-1)个信道信息，并执行最大后验概率(maximum a priori probability，MAP)译码算法。

空间耦合LDPC-BCH码迭代译码复杂度的主要影响因素是BCH校验节点的MAP译码算法。该算法是一种基于网格的软输入软输出译码算法，复杂度主要由网格的状态复杂度和分支复杂度决定，其中每个网格分段中乘法的数目是影响算法复杂度的最主要因素。为降低该算法的复杂度，可采用基于蝶形流程图的快速MAP译码算法^[13]。

LDPC-BCH码可以看作一类广义LDPC码。传统分组广义LDPC码的译码门限值求解方法有密度进化、EXIT图等方法^[14-15]。与分组码不同，空间耦合码的变量节点和校验节点输出的消息不再是标量，而是矢量。一方面，极低码率空间耦合LDPC-BCH码成分码的码长较长，用密度进化分析译码门限值导致计算量大，难以实用；另一方面，空间耦合LDPC-BCH码的译码收敛路径分为宏观收敛和微观收敛，无法直接采用传统EXIT函数分析迭代译码的门限值。

本文采用迭代EXIT函数法分析QSDC信道下空间耦合LDPC-BCH码集的迭代译码门限值，可以看作密度进化的近似求解。该方法在每次迭代译码中都分别计算所有变量节点和校验节点的EXIT函数，从而能够沿着迭代译码的宏观收敛和微观收敛路径计算译码门限值。

在第l次迭代译码中，令I_VN^(l)表示变量节点传给BCH校验节点的互信息，I_CN^(l)表示BCH校验节点传给变量节点的互信息，I_ch表示信道信息。空间耦合LDPC-BCH码第v_i个变量节点和第c_j个校验节点的EXIT函数可以分别表示为：

$ I_{{\rm{VN}}}^{\left( l \right)}\left[ {{v_i}} \right] = \mathit{\Psi }\left( {\frac{1}{{{d_{{v_i}}}}}\sum\limits_{k \in \xi \left( i \right)} {I_{{\rm{CN}}}^{\left( l \right)}\left[ {{c_k}} \right]} ,{I_{{\rm{ch}}}},{d_{{v_i}}}} \right), $

(7)

$ I_{{\rm{CN}}}^{\left( l \right)}\left[ {{c_j}} \right] = \mathit{\Omega }\left( {\frac{1}{{{d_{{c_j}}}}}\sum\limits_{k \in \phi \left( j \right)} {I_{{\rm{VN}}}^{\left( {l - 1} \right)}\left[ {{v_k}} \right]} ,{I_{{\rm{ch}}}},\tilde e} \right). $

(8)

其中：d_vi表示变量节点v_i的度数，ξ(i)表示与变量节点v_i相连的BCH校验节点的集合，d_cj表示BCH校验节点c_j的度数，ϕ(j)表示与BCH校验节点c_j相连的变量节点的集合，$\tilde e$表示BCH码的非归一化分割信息系数矩阵。

Ψ(·)函数表示BEC信道上重复码约束下变量节点的EXIT函数，即

$ \mathit{\Psi }\left( {{I_1},{I_2},{d_v}} \right) = 1 - \left( {1 - {I_2}} \right){\left( {1 - {I_1}} \right)^{{d_v} - 1}}. $

(9)

Ω(·)函数表示BEC信道上BCH码约束下校验节点的EXIT函数。根据文[16]的译码模型，在通信信道传输码长为n、外信道传输码长为m的线性分组码，其EXIT函数可以通过(m+1)×(n+1)维非归一化分割信息系数矩阵$\tilde e$计算得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\Omega }\left( {{I_1},{I_2},\tilde e,n,m} \right) = }\\ {1 - \frac{1}{m}\sum\limits_{h = 0}^n {{I_2} \cdot {{\left( {1 - {I_1}} \right)}^{n - h}}} \cdot \sum\limits_{g = 1}^m {I_1^{g - 1} \cdot {{\left( {1 - {I_2}} \right)}^{m - g}}} \cdot }\\ {\left[ {g \cdot {{\tilde e}_{g,h}} - \left( {n - g + 1} \right) \cdot {{\tilde e}_{g - 1,h}}} \right].} \end{array} $

(10)

与大多数线性分组码一样，BCH码非归一化分裂信息系数的具体数值目前未知。下面以信息位长为奇数的BCH码为例计算$\tilde e$。在空间耦合LDPC-BCH码中，一个BCH码校验节点约束有(m_BCH-1)比特在通信信道传输、(k_BCH+1)比特在外信道传输。设BCH码的生成矩阵为G_BCH=[P   I_kBCH]，其中第T列为全1列。那么，通信信道的生成矩阵G₁=P_(~T)，其中P_(~T)表示从P中去除了第T列得到的k_BCH×(m_BCH-1)维矩阵，外信道的生成矩阵G₂=[I_kBCH   1_kBCH×1]，其中I_kBCH表示k_BCH维单位矩阵，1_kBCH×1表示k_BCH维全1列矢量。设S_{g, h}表示分别从G₂和G₁中选取g列和h列组成的子矩阵，这样的矩阵共有$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{{\rm{BCH}}}} + 1}\\ g \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{{\rm{BCH}}}} - 1}\\ h \end{array}} \right]$个。${\tilde e}_{g, h}$等于所有子矩阵S_{g, h}的秩之和。

当码长较短时，$\tilde e_{g, h}$可以通过直接对矩阵求秩进而求和计算得到。当码长较长时，矩阵求秩的计算量非常大，下面通过改进文[15]中的方法求解$\tilde e_{g, h}$的均值。根据文[15]，$\tilde e_{g, h}$的均值E($\tilde e_{g, h}$)可以表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( {{{\tilde e}_{g,h}}} \right) = E\left( {\sum {\gamma \left( {{\mathit{\boldsymbol{S}}_{g,h}}} \right)} } \right) = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{{\rm{BCH}}}} + 1}\\ g \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{{\rm{BCH}}}} - 1}\\ h \end{array}} \right]E\left( {\gamma \left( {{\mathit{\boldsymbol{S}}_{g,h}}} \right)} \right).} \end{array} $

(11)

其中γ(S_{g, h})表示子矩阵S_{g, h}的秩。

图 4给出了子矩阵S_{g, h}的示意图，其中g=0, 1, …, k_BCH, h=0, 1, …, m_BCH-1。按照前g列是否包含全1列分为S_{g, h}^[1]和S_{g, h}^[1]两种情况，因此式(11)进一步表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {E\left( {{{\tilde e}_{g,h}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{{\rm{BCH}}}}}\\ g \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{{\rm{BCH}}}} - 1}\\ h \end{array}} \right]E\left( {\gamma \left( {\mathit{\boldsymbol{S}}_{g,h}^{\left[ 1 \right]}} \right)} \right) + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{{\rm{BCH}}}}}\\ {g - 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_{{\rm{BCH}}}} - 1}\\ h \end{array}} \right]E\left( {\gamma \left( {\mathit{\boldsymbol{S}}_{g,h}^{\left[ 2 \right]}} \right)} \right).} \end{array} $

(12)

其中，子矩阵秩γ(S_{g, h}^[i]), i=1, 2的均值表示为

$ E\left( {\gamma \left( {\mathit{\boldsymbol{S}}_{g,h}^{\left[ i \right]}} \right)} \right) = \sum\limits_u {u\Pr \left\{ {\gamma \left( {\mathit{\boldsymbol{S}}_{g,h}^{\left[ i \right]}} \right) = u} \right\}} ,\;\;\;\;\;i = 1,2. $

(13)

式(13)中，子矩阵的秩为u的概率表示为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\Pr \left\{ {\gamma \left( {\mathit{\boldsymbol{S}}_{g,h}^{\left[ i \right]}} \right) = u} \right\} = }\\ {\frac{{K\left( {{k_{{\rm{BCH}}}},{m_{{\rm{BCH}}}} - 1} ,h,{k_{{\rm{BCH}}}} - g,u - g,{k_{{\rm{BCH}}}}\right)}}{{J\left( {{k_{{\rm{BCH}}}},{m_{{\rm{BCH}}}} - 1,{k_{{\rm{BCH}}}}} \right)}}.} \end{array} $

(14)

其中，K(·)函数和J(·)函数具体表达式见文[15]。

子矩阵S_{g, h}^[1]前g列组成的子矩阵不含全1列，是线性无关的，秩为g，若要满足S_{g, h}^[1]的秩为u，(k_BCH-g)×h维子矩阵Γ的秩需为(u-g)。子矩阵S_{g, h}^[2]前g列组成的子矩阵包含一列全1列，秩为(g-1)，若要满足S_{g, h}^[2]的秩为u，(k_BCH-g)×h维子矩阵Γ的秩需为(u-g-1)。

根据$\tilde e$确定Ω(·)函数的解析式后，以信道信息为初始信息，并根据式(7)和(8)进行迭代即可求得空间耦合LDPC-BCH码的译码门限值。

3 仿真结果

图 5给出了空间耦合LDPC-BCH码集在QSDC信道上的迭代译码门限值，并与分组LDPC-BCH码进行了比较。图 5中，空间耦合码集1是图 3的(3, 6, L, 2)空间耦合LDPC-BCH码集，成分码是(15, 5)系统BCH码，码集的码率为R=(L-2)/(11L+18)；空间耦合码集2是(3, 7, L, 2)空间耦合LDPC-BCH码集，成分码是(31, 6)非系统BCH码，码集的码率为R=(4L-6)/(79L+144)。可以看出，空间耦合LDPC-BCH码集的迭代译码门限值均优于其相应分组LDPC-BCH码集的迭代译码门限值。随着耦合长度增大，空间耦合LDPC-BCH码集的译码门限值逐渐逼近Shannon限。

图 6给出了基于空间耦合LDPC-BCH码的信道补偿方案在QSDC信道上的Monte Carlo仿真结果，并与基于分组LDPC-BCH码的方案进行了对比。空间耦合LDPC-BCH码由规则(4，8)LDPC-BCH码耦合而成，耦合长度L=50，耦合宽度ω=4，成分码为(63, 7)BCH码。提升因子M=128，采用准循环方式进行提升，构造得到的空间耦合LDPC-BCH码码率为0.015。滑窗译码^[17]的窗口大小W=16，最大迭代译码次数设为100，成分码译码采用快速MAP译码算法。分组LDPC-BCH码信息位长为2 048 b、码率为0.017 5。空间耦合LDPC-BCH码进行15倍扩频，LDPC-BCH码进行17倍扩频，两种方案的通信效率均为0.001。可以看出，在相同传输效率下，基于空间耦合LDPC-BCH码方案的译码性能优于基于分组LDPC-BCH码的方案。本文设计的基于空间耦合LDPC-BCH码的信道补偿方案在删除概率为0.996时，误比特率低于10^-6。

4 结论

本文提出了一种适用于QSDC信道的极低码率空间耦合LDPC-BCH码。空间耦合LDPC-BCH码具有纠错性能好、实用性强等优点。通过EXIT函数分析表明空间耦合LDPC-BCH码的译码门限值逼近Shannon限。在QSDC信道接收概率仅为0.4%的恶劣条件下，本文设计的传输效率为0.001的空间耦合LDPC-BCH码信道补偿方案误比特率低于10^-6，译码性能优于分组LDPC-BCH码。