日常生活中，人力运输仍有一席之地^[1-5]。在东亚与东南亚地区，扁担挑运是常见的人力运输方式^{[1, 6]}。在双足水平行走时，肌肉和关节需要主动作用以保持上身平衡与直立。若在行走时负担重物，一般情况下，由于附加重物质心与人体质心不重合，从而增大了转动惯量，因此保持躯干直立所需要的主动作用(腰部力矩)与其产生的能量消耗会增加。同时，维持躯干竖直的腰部力矩的反力矩通过髋关节作用到腿上，影响腿部运动，改变了负重步态。澳大利亚士兵负重训练中，腰部受伤占总伤病例比例超过25% ^[7]。邱信明^[8]根据刚体静力学对扁担进行受力分析表明，扁担改变了负重的传递路径，减少了承载时人体受力的肌肉和骨骼，且降低了腰部所受力矩。

扁担被视为悬挂负重的代表，不少学者已对其进行建模研究^{[1, 6, 9-11]}。张义同等^[6]、潘晓慧等^[9]认为扁担运动是简单的受迫振动，其原理类似减震器减少系统动载荷，可以采用质量-弹簧-阻尼模型进行近似，他们假设激励为正弦运动；Castillo等^[10]将质量-弹簧-阻尼模型的激励以符合人体质心运动规律的驱动器近似；Potwar等^[1]将弹簧-阻尼腿行走模型与竖直方向的质量-弹簧-阻尼模型结合起来进行仿真研究；Ackerman等^[11]引入肌肉正负功效率区别，进一步修正了质量-弹簧-阻尼模型；尤明庆^[12]将扁担负重行走分解为相互独立的两个运动，竖直方向运动以质量-弹簧-阻尼模型近似，水平方向运动以单摆近似，但他在研究中忽略了两方向运动间存在的耦合；吴远皓等^[13]扩展了最简行走模型^[14-15]，将扁担负重简化为悬挂于人体质心上的弹簧摆，分析不同参数对模型能耗的影响。以上研究分析了扁担负重行走对人体质心的影响，但忽略了行走过程中腰部力矩的作用。

通过对熟练的扁担挑运者走访得知：当要求他们负重超过他们能力时，他们大都以腰部肌肉无法支撑为由拒绝；在他们进行扁担选择时，尽可能挑选臂展范围内长度大的扁担；在重物不触地的前提下，尽可能延长悬挂重物的绳子；同时，行走过程中，挑担者会用手抓住扁担的悬绳来限制重物前后方向的自由摆动。他们认为这一系列措施有利于提高负重效率、节省体力。腰部肌肉能力是他们在负重选择时考虑的重要因素。

本文通过建立简化模型进行仿真，研究扁担参数在不同负重模式下对腰部力矩的影响，并通过腰部力矩及其做功曲线解释熟练的挑担者的行为和选择。

1 扁担负重行走模型

在扁担负重行走中，躯干需要尽可能保持竖直，使重物对身体的压力沿脊柱生理结构的承压方向传递。在姿势正确的扁担负重行走中，脊柱可视为一个具有少量弹性的整体，颈椎、胸椎、腰椎间侧向受力极小，否则很可能引起急性脊柱扭伤(主要发生在腰部)。故简化模型时，可将躯干视为刚体。

传统的负重行走模型^[13-15]由于负重直接与骨盆相连，并不适合讨论腰部力矩的作用。为了探究不同负重形式对腰部力矩的影响，本文将最简行走模型中假设位于髋部的人体质心用具有质量M与转动惯量J的刚性躯干替代，忽略四肢与头部的质量。设定的腰部力矩τ综合体现了腰部肌肉群维持躯干竖直的作用。将躯干视为刚体，忽略了力在脊柱内部的传递。为方便计算，将躯干的质量M与转动惯量J简化为固定在躯干两端的两个质点M_Hip、M_Shoulder。为研究不同参数、不同模型对腰部力矩τ的影响，本文设定了两种负重形式分别在矢状面建立模型：重物自由摆动模型(图 1)、重物垂直振动模型(图 2)。

1.1 重物自由摆动模型

设悬挂在扁担上的重物能自由摆动，将扁担的竖直振动与悬绳的摆动近似为刚性杆与固定在刚性杆两端劲度系数为k、原长为l₀的弹簧摆，建立重物自由摆动模型，如图 1所示。模型中扁担杆、躯干与腿均设为轻质刚性杆，其中躯干与腿在髋部铰接，扁担杆与躯干在肩部固联且保持相互垂直。忽略其他部分质量与转动惯量，人体质量分别集中在躯干两端设定的人体髋部与肩部的位置。模型的自由度如图 1所示，包括：腿与竖直平面的夹角q₁为半步角(以竖直方向为零)，腿与躯干的夹角q₂(以髋指向肩的方向为零)，两弹簧与扁担杆的夹角q₃、q₄(以扁担杆两端指向肩为零)，两弹簧的长度l₁、l₂。以上角度变量均以顺时针方向为正。

模型的一个行走周期包括一个单腿支撑期(图 1a)和一个双腿支撑期(图 1b)。在单腿支撑期，支撑腿保持直线(实线)，摆动腿(虚线)与支撑腿竖直对称，位于髋部的人体质量M_Hip像倒立摆一样移动。躯干在腰部力矩τ的作用下尽可能保持竖直，此外模型还受到重力与地面反力。腰部力矩τ大小由设定的比例-微分(proportional-derivative, PD)控制器决定。半步角q₁随时间变化，当q₁达到设定最大半步角α时，摆动腿落地，支撑腿抬起，完成换腿过程，进入下一个单腿支撑期。这个换腿过程就是双腿支撑期。假设：1)原摆动腿的末端与地面接触而不滑动，此时两腿间夹角为2α；2)地面的碰撞是瞬时的、完全没有弹性的。因此, 在双腿支撑期，模型只受沿着后腿方向冲量push-off与沿着前腿方向冲量collision，其他外力的冲量和为0^[13]。由于单腿支撑期位于髋部的人体质量像倒立摆一样移动，因此进入与离开双腿支撑期时髋部的速度方向均与当前支撑腿垂直。由于弹簧隔离冲击，冲量push-off和collision只作用在人体肩膀与髋部的质点M_Hip、M_Shoulder上，引起其速度变化。

1.2 重物垂直振动模型

实际扁担挑运中，由于挑担者手的控制，扁担上的重物不能自由摆动。假设一种简化情况——悬绳被控制导致重物只能在相对于扁担杆的垂直方向上下振动，建立重物垂直振动模型，如图 2所示。重物垂直振动模型中负重(扁担及其悬挂重物)近似为轻质刚性杆与固定在刚性杆两端与刚性杆垂直的劲度系数为k、原长为l₀的弹簧及挂在弹簧另一端的重物。重物垂直振动模型中的其他假设与重物自由摆动模型一致。其自由度如图 2所示，包括：腿与竖直平面的夹角q₁为半步角(以竖直方向为零)，腿与躯干的夹角q₂(以髋指向肩的方向为零)，两弹簧的长度l₁、l₂。以上角度变量均以顺时针方向为正。由于弹簧只隔离垂直于扁担杆方向的冲击，push-off和collision两冲量分别作用在M₁、M₂、M_Hip、M_Shoulder4个质点上。

1.3 模型参数设定

在以上两个负重模型中，基本参数及其设定值见表 1。

假设挑担者身高为1.70 m，体重60 kg，按人体比例划分^[16-17]：腿长约0.9 m，躯干长约0.46 m。忽略四肢与头部的质量与转动惯量，将躯干近似等效为髋部与肩部的两质点M_Hip、M_Shoulder，两质点质量分别为M_Hip=55 kg、M_Shoulder=5 kg^[18]。设负重的质量为人体质量的100%，因此总负重为60 kg，平均分配在扁担杆两端的弹簧上。由于竹扁担的劲度系数为367.5 ~3 075 N/m^{[1, 19]}，取k=1 500 N/m(由于两端弹簧近似并联，等效扁担劲度系数为3 000 N/m)；仿真中取扁担长度为l_pole=1.3 m，悬挂重物的绳子长度(弹簧原长)为l₀=0.3 m，扁担杆的中点与躯干在肩部质点处垂直固联。单腿支撑期，支撑腿半步角q₁不断增大，达到最大半步角α时，模型进入双腿支撑期，完成换腿。根据人体行走参数，设最大半步角为|α|=0.35 rad^[13]。维持躯干竖直所需力矩无法预知，而且反馈有延迟，因此假设挑担者以PD控制的方式决定力矩τ的大小，以维持躯干竖直，

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} = - P(\mathit{\boldsymbol{\pi }} + {\mathit{\boldsymbol{q}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{q}}_2}) - D\cdot{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}_2}. $

(1)

其中：q₁为模型中支撑腿与竖直平面的夹角，q₂为模型中支撑腿与躯干的夹角，仿真中取P=4 000 N·m/rad，D=300 N·m·s/rad。通过仿真发现，取以上PD参数后，躯干与竖直方向的最大夹角低于1 rad，说明所选PD参数达到维持躯干竖直的效果。

后文仿真中若某模型参数未特别说明大小，均按以上参数值进行选择。

2 模型仿真 2.1 模型仿真步骤

设q(t)为t时刻的广义坐标矢量，由对应模型对应时刻的自由度组成。在重物自由摆动模型中，q(t)=[q₁, q₂, q₃, q₄, l₁, l₂]；在重物垂直振动模型中，q(t)=[q₁, q₂, l₁, l₂]。

在仿真过程中，根据本文1.3节设定参数确定模型，并定义冲量push-off大小。然后，给定一组初始状态q(0)、$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$(0)，并用MATLAB中的ode solver函数通过时间积分求解运动方程，当q(t)满足碰撞条件时(q₁=α)，进入双腿支撑期，通过给定的push-off与双腿支撑期前后的髋部速度约束确定碰撞结束后各自由度状态q⁺ (t)、$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$⁺ (t)。通过以上计算得到了模型行走1步的仿真结果。比较初始状态与结束状态，改变初始条件循环求解以求得不动点，满足：

$ \mathit{\boldsymbol{q}}\left( 0 \right) = {\mathit{\boldsymbol{q}}^ + }\left( t \right), $

(2)

$ \mathit{\boldsymbol{\dot q}}\left( 0 \right) = {{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}^ + }\left( t \right). $

(3)

此时, 模型将能够在这组初始状态q(0)、$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$(0)下稳定行走。具体求解过程与最简模型求解过程^[13]一致。改变不同的冲量push-off能得到模型在不同速度下稳定行走的仿真结果。仿真求解过程中，通过二分法改变冲量push-off，迭代求解得到目标速度下稳定行走的仿真结果。

2.2 评价指标及其计算方法

本文采用最大腰部力矩与负重行走的能量消耗2个评价指标。

定义τ_max为仿真过程中所需的腰部力矩τ的最大值(标量)，

$ {\tau _{{\rm{max}}}} = {\rm{max}}\left( {\left| {\mathit{\boldsymbol{\tau }}\left( t \right)} \right|} \right). $

(4)

其中τ(t)为仿真过程中腰部力矩τ关于仿真时间的函数。肌肉群瞬时能提供的腰部力矩是有限的，在负重行走时，若维持躯干竖直所需的腰部力矩大于腰部肌肉群所能提供的力矩，腰部肌肉群则无法完成维持躯干竖直的任务，这意味着人不能完成负重行走且有受伤风险。显然，τ_max随着负重重量增加而增加。降低相同重量负重行走的τ_max，能有效提高人的负重能力。

在行走过程中，腰部力矩需要持续做功，连续的高强度做功会导致肌肉疲劳。除腰部力矩外，行走过程中需要腿部肌肉不断发力。本文模型中的冲量push-off对模型做功，就可能导致腿部肌肉疲劳，而这些疲劳是由于做功过多产生的，因此采用仿真过程中冲量push-off做功与腰部力矩做功效率来评价模型的能耗。仿真过程中，相同条件下冲量push-off做功与腰部力矩做功越少，行走过程中的能耗越少，肌肉受伤的概率越低。

在双腿支撑期中，冲量push-off导致质点速度改变从而引起模型能量变化，因此可以通过式(5)计算1个行走周期中冲量push-off对模型做功，

$ {E_{{\bf{push - off}}}} = {E^ + } - {E^ - }. $

(5)

其中：E⁺为双腿支撑期后(push-off作用后)模型的动能，E^-为双腿支撑期前(push-off作用前)模型的动能。

在单腿支撑期中，腰部力矩τ做功可用功的定义计算：功等于作用力矩乘以作用力矩方向上的移动角度。由于人体肌肉无论做正功还是负功都需要消耗能量，因此可以通过式(6)估算1个行走周期中肌肉产生腰部力矩τ需要消耗的能量。

$ {E_\mathit{\boldsymbol{\tau }}} = \smallint \left| {\mathit{\boldsymbol{\tau }}{\rm{d}}{\mathit{\boldsymbol{q}}_2}} \right|. $

(6)

改变模型的基本参数可以得到不同条件下的仿真结果。为了比较不同参数下模型的能量消耗，使用量纲为1的参数——移动代价(cost of transport，COT)进行比较。COT定义式为

$ \text{COT}=\frac{{消耗能量}}{{系统重量×移动距离}}. $

(7)

在本文的两个模型中，冲量push-off产生的能耗与腰部力矩τ产生的能耗可分别用式(8)和(9)计算：

$ {\rm{CO}}{{\rm{T}}_{{\mathbf{push - off}}}} = \frac{{{E_{{\mathbf{push - off}}}}}}{{2g{l_{{\rm{leg}}}}{\rm{sin}}\left| \mathit{\boldsymbol{\alpha }} \right|({M_{{\rm{Hip}}}} + {M_{{\rm{Shoulder}}}} + {M_1} + {M_2})}}, $

(8)

$ {\rm{CO}}{{\rm{T}}_\mathit{\boldsymbol{\tau }}} = \frac{{{E_\mathit{\boldsymbol{\tau }}}}}{{2g{l_{{\rm{leg}}}}{\rm{sin}}\left| \mathit{\boldsymbol{\alpha }} \right|\left( {{M_{{\rm{Hip}}}} + {M_{{\rm{Shoulder}}}} + {M_1} + {M_2}} \right)}}. $

(9)

从COT的计算公式可以看出，COT评价能耗与时间无关，然而实际上，在不同速度下，将相同负重用相同方法移动相同距离需要消耗的能量是不同的。因此，不同模型的COT必须在相同的负重行走速度下进行比较才有意义。

3 仿真实验与结果 3.1 腰部力矩做功占总功的比例

以1.4 m/s(5.04 km/h)为负重行走的默认速度，根据1.3节设定的基本参数可仿真得到两模型在1.3节所述条件下行走的COT，如表 2所示。重物自由摆动模型中，腰部力矩做功占总功的12%，因此腰部力矩对行走的影响不可忽略，有必要进一步研究负重对腰部力矩的影响。

从表 2中可以看出，相同的行走参数下重物自由摆动模型的COT(COT_τ、COT_push-off、COT_tot)均大于重物振动模型，这说明以相同的速度用扁担挑运相同重物，减小重物的自由摆动能有效降低能量消耗。特别是重物振动模型的COT_τ只有摆动模型的约40%，这样能有效降低腰部肌肉群的疲劳。因此，在实际的扁担挑运过程中，有经验的挑担者将用手控制扁担绳，减少重物的摆动。

3.2 扁担长度变化对模型的影响

扁担长度越长意味着重物距离身体越远，行走过程中重物与双腿发生干涉的概率越低，从避免影响双足行走步态的角度来说，扁担长度越长对行走越有利。同时，增加扁担长度意味着增大扁担负重部分相对于肩部的转动惯量，一方面有利于吸收行走过程中速度变化对躯干转动的影响，由于腰部力矩由PD控制，降低躯干转动的幅度能减小腰部力矩需求；另一方面增加了腰部力矩维持躯干平衡的难度，同样的腰部力矩需要作用更长时间才能让躯干回归竖直位置。这是一个复杂的变化过程，为此本文在扁担杆长度从0 m到3 m范围内对两个模型进行仿真。根据正常人行走速度，设定5组求解目标速度，分别为1.2、1.4、1.6、1.8、2.0 m/s。仿真求解得到的评价指标τ_max、COT_τ随扁担长度的变化如图 3和4所示。

由图 3可以看出，在相同的行走速度下，随着扁担长度增加，两模型的COT_τ迅速下降，扁担长从0 m变化到3 m，重物自由摆动模型COT_τ下降了约48%(1.2 m/s)~25%(1.8 m/s)，重物垂直振动模型COT_τ下降了约30%(1.2 m/s)~15%(2.0 m/s)。这表明扁担长度的增加能有效降低负重时的腰部力矩能耗；在相同的扁担长度下，当速度低于1.6 m/s时，随行走速度增加，腰部力矩能耗显著下降，当速度超过1.6 m/s时，速度对腰部力矩的影响相对较小，当速度达到1.8 m/s时，所需腰部力矩能耗最低。可以发现，同等条件下，重物自由摆动模型的COT_τ约为重物垂直振动模型的2~3倍，前者远大于后者。因此，选择较长的扁担，且控制重物的摆动，并以超过1.6 m/s的速度进行负重行走，能有效提高效率。

由图 4可以看出，随着扁担长度变化，两模型在不同行走速度下τ_max均有明显起伏。随着行走速度增加，τ_max明显降低。在大多数速度下，在扁担长为1~2 m的范围内，τ_max有极小值。可以发现，同等条件下，重物自由摆动模型的τ_max远大于重物垂直振动模型的τ_max。限制重物的自由摆动能有效降低负重行走对挑担者腰部肌肉群的能耗需求，提高挑担者的负重能力上限。

3.3 悬绳长度变化对模型的影响

对扁担来说，悬挂重物的绳子长度将影响重物与人体髋部的距离，影响重物对髋部产生的转矩，从而影响腰部力矩。在本文模型中，悬挂重物的绳子长度被等效为扁担杆两端弹簧的原长，为此本文在弹簧原长0.2~1 m范围内对两个模型进行仿真。设定3组求解目标行走速度，分别为1.4、1.6、1.8 m/s。仿真求解得到的评价指标τ_max、COT_τ随扁担悬绳长度的变化如图 5和6所示。从仿真结果可以看出，随着悬绳长度的变化，本文两个模型的表现完全不同，应该分别讨论。

对于重物自由摆动模型，随着悬绳长度的增加，COT_τ与τ_max先下降后缓慢提升。COT_τ与τ_max最小值随速度上升左移，也就是说，增加行走速度，自由摆动模型的最优扁担绳长将缩减，但绳长并非越短越好。

对于重物垂直振动模型，随着悬绳长度的增加，COT_τ与τ_max先急速下降后急速上升，在悬绳长度0.3 m附近取得极小值。这是由于模型限制了重物的摆动，使躯干与重物的等效转动惯量增加。当重物离旋转中心远时，等效转动惯量增加，使得维持运动所需的能量与最大力矩也显著增加。

两模型的COT_τ与τ_max均在悬绳长度0.3 m附近取得较小值。在本文模型中，当l₀=0.3 m时，由k=1 500 N/m和单边重物质量30 kg可知，当重物处于平衡位置时，弹簧的长度l=l₀+M₁g/k=0.49 m，接近躯干长度l_torso=0.46 m，此时重物与髋部质点接近同一水平面。因此，从腰部能耗的角度可以得出结论，扁担负重过程中悬绳长度并非越长越好，而是应该使重物的合质心与挑担者质心重合，各重物的平衡位置与挑担者髋部处于同一水平面。

当l₀=0.3 m时，无论COT_τ还是τ_max，重物自由摆动模型的对应值均大于重物垂直振动模型。因此，限制重物摆动有助于节省能耗，提升负重上限。

3.4 讨论

当腰部肌肉群能提供的最大力矩小于负重行走所需的τ_max时，相应的负重量超过挑担者的负重能力。在挑担者挑选扁担的过程中，实际已默认所需要负重的质量在挑担者的负重范围内，因此τ_max变化对扁担选择的影响可忽略不计，在扁担选择过程中，主要关注能耗指标COT_τ。

由3.2、3.3节分析可知，随扁担长度增加，腰部力矩能耗(COT_τ)下降；当重物的平衡位置处于挑担者髋部同一水平面附近时，COT_τ较低。而且，当重物的平衡位置处于挑担者髋部同一水平面附近时，重物垂直振动模型的能耗COT_τ比重物自由摆动模型低，即从能耗角度来说，应选择较长的扁担，且选择合适的悬绳长度使重物的平衡位置与挑担者髋部处于同一水平面，并在行走过程中限制重物摆动。

在实际扁担负重行走过程中，完全限制重物摆动是很难实现的，而且完全限制重物摆动后，腰部力矩对于扁担绳长极其敏感，需要尽可能使负载重物质心靠近髋关节所在水平面，这难以实现。因此，实际行走过程中挑担者通过双手抓住悬绳的方式部分限制重物摆动，此时扁担模型应介于本文的两个模型之间，在挑担者控制扁担绳的双手上方运动模式接近重物垂直振动模型，在挑担者双手下方运动模式接近重物自由摆动模型。为了让挑担者双手能抓住悬绳，扁担杆就不能无限伸长，实际上挑担者会在自身双手能控制范围内选择较长的扁担，在人体臂展长度约1.5~2 m这个范围内τ_max处于相对较小的范围(见图 4)。同时，为方便负重过程中随时停下来休息与启动，重物的平衡位置一般低于髋部所在水平面。由于挑担者双手下部的扁担模型接近扁担自由摆动模型，由图 5a可知，重物自由摆动模型中，悬绳长度超过平衡位置后腰部能耗的损失并不严重。以1.6 m/s的行走速度为例，1 m的绳长比0.3 m时COT_τ上升约18%，与方便负重过程中随时停下来休息与启动相比，这些能耗损失完全可以接受。

随着行走速度的增加，腰部力矩能耗(COT_τ)与所需的最大腰部力矩(τ_max)下降，这不仅表示较高的行走速度有较高的效率，还意味着挑担者有更强的负重能力。这一结论与常识中扁担负重行走的诀窍“小步快走”相吻合。

扁担负重行走是一个技术性很强的行为。有经验的挑担者会选择合适长度的扁担，并根据扁担负重的情况确定双手抓取扁担绳的位置，控制重物摆动；同时，需要挑选合适的行走频率与行走速度，根据个人身体素质在减小腰部力矩峰值、减小腰部力矩做功与减小总能耗间寻求平衡。这很可能是现有扁担实验^{[2, 3, 10]}找不出扁担负重方式节省能耗的原因：这些实验选取的测试者均非专业的挑担者。

本文相关仿真参数按照一般人体尺寸参数进行选择，等比例改变仿真参数对仿真结果影响不大。由于人体部分其他肌肉可以代偿性自发运动进行补偿与调整，水平路面行走时小幅度路面崎岖并不影响仿真结果趋势，因此进行模型简化过程中，忽略了路面起伏变化。

4 总结与展望

由于力臂较短，腰部肌肉群能产生的总力矩有限，因此腰部力矩成为制约人负重行走能力的一个重要因素。针对相同重物，不同的负重模式需要的腰部力矩有很大的差别，其中扁担就是一种高效利用腰部力矩的方式。本文通过建立具有躯干的扁担负重简化模型，研究了不同的扁担长度、不同的悬绳长度、不同行走速度对扁担负重行走过程中腰部力矩与能耗的影响。研究发现：若任由重物自由摆动，延长扁担杆长度、提高行走速度、延长悬绳长度均能有效降低负重过程中对腰部力矩做功的需求，降低腰部肌肉群的疲劳风险；当悬绳长度在一定范围内时，控制重物摆动比重物自由摆动更节省能耗。本文从腰部力矩做功的角度解释了有经验的挑担者在挑担过程中选择较长扁担、较长悬绳、用手控制重物摆动的原因。

扁担负重行走中，除了本文讨论的扁担长度与悬绳长度对腰部力矩的影响外，扁担劲度系数k也会影响腰部力矩。实际上，劲度系数与扁担长度是一对相关变量，因此实际扁担长度变化对腰部力矩的影响是更加复杂的过程。此外，本文是在矢状面研究腰部力矩的变化，然而扁担是挂在挑运者一侧肩膀上的，造成两边肩膀受力不平衡，因而在冠状面同样不可忽略腰部力矩的作用。这些本文未涉及的部分将在未来进行讨论。