随着精密/超精密设备对水平振动环境的要求日益严苛，滚动隔振机构由于造价低廉和结构紧凑等原因，在微幅振动隔离应用中引起了国内外学者的广泛关注，各种不同形式的滚动隔振机构被相继提出。Lin等^[1]于1993年提出自由滚动机构，即将球体放置于2个平面之间，该机构能依靠滚动摩擦消耗地面传递的能量，但其无法自主恢复至初始位置，且不能限制水平位移。为解决上述问题，Zhou等^[2]在1998年提出把滚球放置于2个弧面之间。另一位学者Jangid^[3]也对Lin所提机构进行了改进，他提出把球体换成椭圆体，该机构同样具有自主恢复初始位置的能力。2000年Jangid^[4]又提出用弹簧或悬臂梁提供恢复力，克服自由滚动机构不能恢复到原始位置的问题。Yasuda^[5]也对Lin所提机构进行了改进，其把球体本身换成上下部半径不同的摆球，该机构也能依靠重力恢复至初始位置。2003年Kemeny^[6]提出一种机构，该机构水平方向依靠钢球在2个圆环钢槽之间滚动，依靠重力产生恢复力，达到水平方向隔振的目的。Butterworth^[7]于2006年提出一种可变刚度的机构，即将上下半径不等的偏心球放置于2个平面之间。Chung等^[8]于2009年提出一种偏心滚球机构，其可以依靠重力恢复至初始位置。Gang等^[9]也在2015年对一种将球放置于2个上下半径不等的球窝中的机构进行了建模分析和实验研究。

Harvey等^[10]于2016年对近些年的研究进行了综述，从建模方式来看，前述文献中对于不同结构形式的滚动隔振机构的研究均是基于刚性接触和纯滚动的假设，然后通过Newton第二定律或Lagrarge方程得到系统运动微分方程，进而得到固有频率表达式。在上述假设下进行建模，模型仅仅牵涉到机构的结构参数。从实验或仿真结果来看，固有频率指标是上述研究中关注的焦点，但是在地面微幅振动隔离实验中，该指标普遍存在较大偏差。文[5]中，理论固有频率0.46 Hz，实测固有频率1 Hz，偏差大于100%。文[9]中，理论固有频率0.62 Hz，实测固有频率约为1.25 Hz，偏差大于100%。文[6]所提机构理论固有频率1 Hz，实测固有频率约为3.5 Hz，偏差约为250%。

针对固有频率偏差较大的问题，部分学者在文献中给出了一些可能的偏差源，主要归结为加工制造偏差以及实际使用条件的不理想。本文作者通过前期研究中的计算和分析，发现这些可能的偏差源并非是主要原因，说明以往模型基于刚性接触和纯滚动的基本假设可能存在问题。根据固体接触力学^[11]，2个物体之间实际上为弹性接触，仅在满足某些条件下为了简化分析，假设为刚性接触。本文在完全弹性接触前提下，首先求解球与球接触时的弹性蠕滑率，然后考虑接触面弹性变形和滑动对势能的影响，根据Lagrarge方程建立新的包含负载质量和材料参数的运动微分方程，进而得到固有频率表达式，最后通过实验验证了本文所提理论结果比以往理论结果更加准确。

1 基于刚性接触的滚动隔振机构模型

通过文献调研发现，各种不同形式的滚动隔振机构存在着共性问题，同时也具有外形相似的特点，因此可以通过对其中一种具有代表性的典型机构进行分析，以解决其他机构存在的类似问题。本文以Zhou等^[2]所提出的机构为例进行研究，如图 1所示，该机构由具有球窝的上下板和球3部分组成，其中：上下板的球窝半径均为r₂，球的半径为r₁，上板(包括负载)质量为M。

现有研究^[2]在基于刚性接触和纯滚动的假设下，得到保守系统动力学方程如下：

$ 2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\ddot \alpha + g\alpha = 0. $

(1)

其中：$\ddot \alpha $和α分别表示球相对于球窝的偏转角加速度和角度，g为重力加速度。系统的固有频率为

$ f = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{g}{{2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)}}} . $

(2)

从式(2)可以看出，其固有频率仅由机构的结构参数决定。

2 基于弹性接触的滚动隔振机构建模 2.1 球与球接触时的弹性蠕滑率

刚性接触和纯滚动是一种理想情况，即假设球与球窝为刚体，接触形式为点接触，球心的位移等于球的周向位移。而根据轮轨蠕滑理论和齿轮传动等方面的研究成果，球与球窝实际上为弹性接触，通常滚动运动中会伴随着接触面之间的弹性变形和微观滑动，该运动状态又叫做滚滑。因此滚动中球心与周向位移会存在一个差值，该差值是由于接触面弹性变形和微观滑动引起的。如图 2所示，球心位移为L，球周向位移为L+δ，两者位移差值为δ^[12-13]。

该位移差值与球心位移之比称为弹性蠕滑率ξ，根据文[14]可得到2个圆柱接触的弹性蠕滑率表达式：

$ \xi = \frac{\delta }{L} = \frac{{\mu T}}{{ - 2{r_1}{F_{\rm{n}}}}}. $

(3)

其中：μ为滑动摩擦因数，可以通过测量或查机械设计手册等资料得到；T为滚动阻力矩；r₁为主动轮半径；F_n为法向压力，可近似以机构重力进行计算。

因为2个球接触时接触面为圆形，2个圆柱接触时接触面为矩形，导致滚动阻力矩求解与后者有所不同。

根据文[11]，球向右滚动时，接触部位右侧材料受到压缩，左侧材料逐渐从压缩状态解除，但是在压缩时所吸收的功并未能全部卸载，这是由于材料阻尼产生的。简单来说，即压缩和解除压缩不是实时同步的，于是就产生了阻止球滚动的力矩。

如图 3所示，rdθdr为接触面右侧任一微小单元的面积，p(r)为该单元上的法向压力，rcosθ为该单元与y轴的距离，上述3个分量的乘积的积分即为滚动阻力矩，表达式如下：

$ T = \int_{ - {\rm{ \mathsf{ π} }}/2}^{{\rm{ \mathsf{ π} }}/2} {\int_{ - a}^a {{r^2}\cos \theta p\left( r \right){\rm{d}}r{\rm{d}}\theta } } = {\rm{ \mathsf{ π} }}{p_0}{a^3}/8. $

(4)

式(4)中，法向压力p(r)如下所示^[11]：

$ p\left( r \right) = \frac{{{p_0}}}{a}{\left( {{a^2} - {r^2}} \right)^{1/2}}. $

(5)

式(5)中，r表示图 3中的极半径坐标，a表示图 3中的接触面半径，p₀表示最大法向压力。a和p₀的表达式分别如下^[11]:

$ a = {\left( {\frac{{3{F_{\rm{n}}}r}}{{4E}}} \right)^{1/3}}, $

(6)

$ {p_0} = {\left( {\frac{{6{F_{\rm{n}}}{E^2}}}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^3}{r^2}}}} \right)^{1/3}}. $

(7)

式(6)和(7)中E和r分别表示等效弹性模量和等效半径，其表达式分别为^[11]：

$ E = \frac{{{E_1}{E_2}}}{{{E_1} + {E_2}}}, $

(8)

$ r = \frac{{{r_1}{r_2}}}{{{r_2} - {r_1}}}. $

(9)

式(8)和(9)中，E₁和E₂分别表示球和上下板的弹性模量(假设上下板材料相同)。

把式(4)代入式(3)即可得到2个球接触的弹性蠕滑率，即

$ \xi = \frac{\delta }{L} = \frac{\mu }{{{r_1}}} \times \frac{3}{{32}}{\left( {\frac{{6r{F_{\rm{n}}}}}{E}} \right)^{1/3}}. $

(10)

2.2 滚动隔振机构的动力学建模

根据Hertz接触理论，球与球窝的圆形接触面可以分为滑动区和黏着区，如图 4所示，黏着区与接触面之比为^[11]

$ \frac{c}{a} = {\left( {\frac{{\mu {F_{\rm{n}}} - {F_{\rm{x}}}}}{{\mu {F_{\rm{n}}}}}} \right)^{1/3}}. $

(11)

其中：c和a分别表示黏着区与接触面半径，F_x和F_n分别为切向力和法向力。

黏着区中弹性变形的累积为δ₁，滑动区中微观滑动的累积为δ₂，如图 2所示，球周向位移与球心位移差值δ可以表示为

$ \delta = {\delta _1} + {\delta _2}. $

(12)

图 1所示机构发生偏转后，其几何关系如图 5所示，图中从左到右3个小球分别表示平衡位置、弹性接触时的位置和刚性接触时的位置。其中，δ₁和δ₂为上文所定义的弹性变形位移和微观滑动位移。

图 5中，存在如下几何关系：

$ \alpha :\beta :\gamma = L:{\delta _1}:{\delta _2}. $

(13)

系统重心的水平和垂直位移分别为:

$ x = 2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\sin \alpha , $

(14)

$ y = 2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\left( {1 - \cos \alpha } \right). $

(15)

系统的动能为

$ T = \frac{1}{2}M\left( {{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2}} \right). $

(16)

由于δ₂为微观滑动位移，其不储存势能，因此系统的势能包括两部分, 即

$ \mathit{V} = {\mathit{V}_1} + {\mathit{V}_2}. $

(17)

其中，V₁和V₂分别表示重力势能和接触面弹性变形储存的弹性势能。重力势能为

$ {\mathit{V}_1} = Mgy. $

(18)

弹性势能为上下部2个接触面之和，可以表示为

$ {\mathit{V}_2} = 2 \times \frac{1}{2}{k_{\rm{t}}}\delta _1^2. $

(19)

其中k_t表示切向接触刚度，由文[11]给出表达式：

$ {k_{\rm{t}}} = \frac{{8Ga}}{{\left( {2 - v} \right)}}. $

(20)

其中G为等效剪切模量，可以表示为

$ G = \frac{E}{{2\left( {1 + v} \right)}}. $

(21)

根据Zhou等^[2]和Harvey等^[14]的研究结果，滚动类型隔振机构的阻尼极小，为弱阻尼系统。因此该系统可以假设为保守系统，由Lagrange方程可以得到保守系统的动力学方程：

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial \left( {T + V} \right)}}{{\partial \alpha }}} \right) - \frac{{\partial \left( {T + V} \right)}}{{\partial \alpha }} = 0. $

(22)

代入上述各式并化简后可以得到

$ M\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\ddot \alpha + \left[ {Mg + \left( {{r_2} - {r_1}} \right){k_{\rm{t}}}{{\left( {{\delta _1}/L} \right)}^2}} \right]\alpha = 0. $

(23)

系统的固有频率表达式为

$ f = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{{Mg + \left( {{r_2} - {r_1}} \right){k_1}{{\left( {{\delta _1}/L} \right)}^2}}}{{2M\left( {{r_2} - {r_1}} \right)}}} . $

(24)

2.3 微幅振动情况下滚动隔振机构的固有频率

针对微幅振动的情况，水平振动加速度a′一般小于1×10^-4 g^[15]，分析可知式(11)中的F_x的最大值为Ma′，在微幅振动情况下，设定滑动摩擦因数μ在0~1之间，黏着区与接触区半径之比如图 6所示。

从图 6可以看出，在一定的范围内，黏着区半径c与接触区半径a之比非常接近于1，也就是说，接触面中几乎不存在滑动区，可以近似认为全部为黏着区，则：

$ \delta \approx {\delta _1}. $

(25)

所以式(10)可以简化为

$ \xi \approx \frac{{{\delta _1}}}{L}. $

(26)

上述分析表明，在微幅运动下，接触面中的黏着区产生的弹性变形是导致球平动位移与周向位移不相等的主要原因，弹性蠕滑率可以近似为接触面弹性变形与球心位移之比。

根据上述分析，式(24)可以重新写为

$ f = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{g}{{2\left( {{r_2} - {r_1}} \right)}} + \frac{{27g{r_2}{\mu ^2}}}{{512{r_1}\left( {{r_2} - {r_1}} \right)\left( {2 - v} \right)\left( {1 + v} \right)}}} . $

(27)

通过对比式(27)与式(2)可以直观地看出，本文所得到的固有频率大于在刚性接触假设下得到的结果，这是因为接触面的弹性变形储存了部分弹性势能，使得机构在任意位置处的总势能更大，导致机构的固有频率增大。

3 实验验证

实验设备如图 7所示, 隔振系统由上板、底板和3个滚球型机构组成，上板和底板是2个相同的边长为0.2 m的等边三角形铝合金件。每个滚球型机构为一个类似三明治的构造，由1个球和2个球窝组成。3个滚球型机构分别放置在上板和底板之间的3个角中间。该隔振器可以衰减来自地面的微幅振动，弱化传递到上板的振动。传感器1采集来自地面的振动信号，传感器2采集经过衰减后的上板振动信号。

实验中相关参数如下：r₂为0.64 m，r₁为0.012 5 m，E₁为7.00×10¹¹ Pa，E₂为7.00×10¹¹ Pa，负载M为10 kg，滑动摩擦因数μ为0.42，Poisson比v₁和v₂均取0.28。图 8为本文基于弹性接触模型的理论结果、Zhou等^[2]基于刚性接触模型的理论结果和实测结果的比较。

从图 8可以看出，本文所提理论比以往模型更接近实测结果，Zhou等^[2]的模型所得固有频率为0.44 Hz，本文的模型所得固有频率为0.60 Hz，测量的固有频率为0.75 Hz。相较于以往模型70%的偏差，本文所提模型的偏差下降到25%。

4 结论

不同于以往基于刚性接触和纯滚动的假设，本文在弹性接触前提下，考虑了接触面弹性变形和微观滑动对势能的影响，对滚动隔振机构进行分析，建立了包含结构参数、负载质量和材料参数的模型。研究结果表明，接触面之间弹性变形储存的弹性势能是现有研究中固有频率偏差的主要来源。实验表明，本文所提模型准确度更高，可以为其他不同类型的滚动隔振机构的建模提供借鉴和指导，具有重要的理论价值和实用意义。