目前，航天飞行器中采用了大量复合材料承力构件，如平台承力筒、卫星整流罩和支撑舱等。在这些承力构件表面，人们需要加工安装孔，用于安装各类仪器或连接其他结构件。复合材料承力构件力学性能呈各向异性，层间强度低，在加工过程中容易产生分层、毛刺和碳纤维撕裂等缺陷^[1]。采用机器人进行加工是一种有效的方法。由于传统的串联机器人存在刚度低的问题、并联机器人存在工作空间不足的问题，因此综合串联机器人和并联机器人特点的混联机器人在复合材料加工领域具有较大的优势，其中具有代表性的有由3自由度并联机构和2自由度串联机构组成的Tricept、Exechon、TriVariant混联机器人。Tricept、Exechon混联机器人分别是在3自由度3UPS/UP、2UPR/SPR并联机构上构建的(R、P、U、S分别代表旋转、移动、Hooke铰、球铰关节)。与Tricept相比，Exechon的关节数更少，整机的刚度、精度都有所提高^[2-3]。黄田等^[4]在Tricept基础上，通过将并联机构中一个主动支链整合到被动支链中，对Tricept进行简化，提出了包含2UPS/UP并联机构的TriVariant混联机器人，该机器人与Tricept机器人相比，减少了一个被动支链，使得运动构件数量和关节数量减少，降低了产生构件干涉的可能性，增大了工作空间。

动力学性能是并联机构的一项重要性能，特别是当并联机构应用于复合材料加工时，对其动力学性能要求更高^[5-6]。为了评价并联机构的动力学性能，需要适当的评价方法和指标。由于常用的3自由度并联机构既有转动自由度，又有移动自由度，量纲不统一，导致传统的加速度椭球评价方法没有明确的物理意义^[7]。

本文以一种5自由度用于航天复合材料加工的混联机器人中的3自由度并联机构为研究对象，建立其动力学模型，并给出具有明确物理意义的动力学性能评价指标，对其线加速度和角加速度分别进行评价，并与一种传统的2UPS/UP并联机构进行比较。

1 运动学分析 1.1 机构描述

图 1为一种5自由度混联机器人的三维模型，该混联机器人主要用来加工航天复合材料，由3自由度并联机构和2自由度铣头组成。如图 2所示，3自由度并联机构由一个用于固定2自由度铣头的动平台和3个运动学支链组成，其中一条SP支链与动平台固接，另一端通过球铰(S)与定平台连接，另外两条支链为相同的UPU支链，两端分别与动平台和定平台通过Hooke铰(U)连接。各支链通过伺服电机驱动滚珠丝杠实现沿自身轴线的运动，通过3个支链的运动可以实现动平台的二维转动和一维移动。

2UPU/SP并联机构的运动学模型如图 3所示。图 3中B_i (i=1, 2)表示支链连架Hooke铰的中心，B₃表示球铰的中心，A_i(i=1, 2)表示UPU支链与动平台相连Hooke铰的中心，A₃表示BP支链的轴线与过点A_i(i=1, 2)并和该轴线垂直平面的交点。点B₁、B₂、B₃和点A₁、A₂、A₃分别组成以B₃、A₃为顶点的等腰三角形。在由点B_i(i=1, 2, 3)张成的平面B内，以点B₃为原点建立固定参考坐标系B₃-XYZ，其中Y轴指向B₁和B₂的中点，Z轴与面B垂直，X轴由右手定则确定。为了描述各支链的姿态，分别建立连体坐标系B_i-x_iy_iz_i(i=1, 2)和A₃-x₃y₃z₃：对于B_i-x_iy_iz_i(i=1, 2)，z_i轴线与支链轴线重合并由B_i指向A_i，y_i轴线与Hooke铰的远架轴线重合，x_i轴方向满足右手定则；对于A₃-x₃y₃z₃，z₃轴线与支链轴线重合并由B₃指向A₃，y₃轴指向A₁和A₂的中点，x₃轴方向满足右手定则。

坐标系B_i-x_iy_iz_i(i=1, 2)相对参考系B₃-XYZ的姿态可通过两次旋转实现：首先绕x轴旋转角ψ_i，然后绕新生成的y轴旋转角θ_i，由此构造的姿态矩阵可以表示为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_i} = {\bf{Rot}}\left( {x,{\psi _i}} \right){\bf{Rot}}\left( {y,{\theta _i}} \right) = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}{\theta _i}}&0&{{\rm{s}}{\theta _i}}\\ {{\rm{s}}{\psi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{\rm{c}}{\psi _i}}&{ - {\rm{s}}{\psi _i}{\rm{c}}{\theta _i}}\\ { - {\rm{c}}{\psi _i}{\rm{s}}{\theta _i}}&{{\rm{s}}{\psi _i}}&{{\rm{c}}{\psi _i}{\rm{c}}{\theta _i}} \end{array}} \right] = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{u}}_i}}&{{\mathit{\boldsymbol{v}}_i}}&{{\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \end{array}} \right],i = 1,2.} \end{array} $

(1)

其中：Rot(x, ψ_i)是一个旋转算子，它表示绕x轴旋转ψ_i角度；sθ_i表示sinθ_i，cθ_i表示cosθ_i，下同；u_i、v_i和w_i分别表示x_i轴、y_i轴和z_i轴的单位方向矢量。

根据式(1)，两支链的姿态角可以分别表示为：

$ {\theta _i} = \arcsin \left( {{w_{ix}}} \right),{\psi _i} = \arctan \left( {\frac{{ - {w_{iy}}}}{{{w_{iz}}}}} \right). $

(2)

此外，考虑到SP支链与动平台固接，取点A₃为动平台参考点。

1.2 运动学分析

当点A₃的位置确定时，由于A₁A₂B₂B₁的平面限制，动平台的位姿也随之确定^[8]。由于B₃处是一个球铰，坐标系A₃-x₃y₃z₃相对于B₃-XYZ的旋转矩阵R₃可以用XYZ转角表示，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{R}}_3} = {\bf{Rot}}\left( {X,{\theta _x}} \right){\bf{Rot}}\left( {Y,{\theta _y}} \right){\bf{Rot}}\left( {Z,{\theta _z}} \right) = }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}{\theta _y}{\rm{c}}{\theta _z}}&{ - {\rm{c}}{\theta _y}{\rm{s}}{\theta _z}}&{{\rm{s}}{\theta _y}}\\ {{\rm{c}}{\theta _x}{\rm{s}}{\theta _z} + {\rm{s}}{\theta _x}{\rm{s}}{\theta _y}{\rm{c}}{\theta _z}}&{{\rm{c}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _z} - {\rm{s}}{\theta _x}{\rm{s}}{\theta _y}{\rm{s}}{\theta _z}}&{ - {\rm{s}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _y}}\\ {{\rm{s}}{\theta _x}{\rm{s}}{\theta _z} - {\rm{c}}{\theta _x}{\rm{s}}{\theta _y}{\rm{c}}{\theta _z}}&{{\rm{s}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _z} + {\rm{c}}{\theta _x}{\rm{s}}{\theta _y}{\rm{s}}{\theta _z}}&{{\rm{c}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _y}} \end{array}} \right].} \end{array} $

(3)

支链3的单位方向矢量可以表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{R}}_3}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0\\ 0\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{s}}{\theta _y}}\\ { - {\rm{s}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _y}}\\ {{\rm{c}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _y}} \end{array}} \right]. $

(4)

支链3的单位方向矢量还可以表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{w}}_3} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{r}}_3}}}{{{q_3}}} = \frac{1}{{{q_3}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} x\\ y\\ x \end{array}} \right]. $

(5)

其中：r₃=[x y z]^T表示点A₃在参考系B₃-XYZ中的位置矢量，q₃=x²+y²+z²。由式(4)和(5)可以求得动平台的旋转角度，

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _x} = \arctan \left( { - \frac{y}{z}} \right).}\\ {{\theta _y} = \arcsin \left( {\frac{x}{{{q_3}}}} \right).} \end{array}} \right. $

(6)

由此得到

$ {\bf{Rot}}\left( {X,{\theta _x}} \right){\bf{Rot}}\left( {Y,{\theta _y}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{l_{yz}}}}{{{q_3}}}}&0&{\frac{x}{{{q_3}}}}\\ {\frac{{ - xy}}{{{l_{yz}}{q_3}}}}&{\frac{z}{{{l_{yz}}}}}&{\frac{y}{{{q_3}}}}\\ {\frac{{ - xz}}{{{l_{yz}}{q_3}}}}&{\frac{{ - y}}{{{l_{yz}}}}}&{\frac{z}{{{q_3}}}} \end{array}} \right]. $

(7)

其中l_yz=y²+z²。

Rot(Z, θ_z)需要满足A₁A₂B₂B₁的平面约束，4点共面的充要条件可以表示为

$ \left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}} \right) \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_2} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}} \right) \cdot \left( {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1} - {\mathit{\boldsymbol{A}}_2}} \right) = 0. $

(8)

其中：A_i和B_i分别表示参考系B₃-XYZ中A_i和B_i点的位置向量。此处可以表示为：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{N_1}}&{{N_2}}&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}, $

(9)

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {N_1}}&{{N_2}}&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}, $

(10)

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{r}}_3} + {\mathit{\boldsymbol{R}}_3}{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{n_1}}&{{n_2}}&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}, $

(11)

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{r}}_3} + {\mathit{\boldsymbol{R}}_3}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {n_1}}&{{n_2}}&0 \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $

(12)

其中：N₁和n₁分别表示定平台和动平台等腰三角形底边边长的1/2，N₂和n₂分别表示定平台和动平台等腰三角形底边上的高。将式(9)—(12)代入式(8)可以得到

$ {q_3}\left( {l_{yz}^2 - {N_2}y} \right)\sin {\theta _z} - {N_2}xz\cos {\theta _z} = - {n_2}x{l_{yz}}. $

(13)

式(13)可以化简为

$ \sqrt {{h^2} + {k^2}} \sin \left( {{\theta _z} + \varphi } \right) = - {n_2}x{l_{yz}}. $

(14)

其中：h=q₃(l_yz²－N₂y)，k=－N₂xz，$\varphi = \arctan \left( {\frac{k}{h}} \right)$。

根据装配条件分析，可以得到θ_z的表达式，

$ {\theta _z} = \arcsin \left( {\frac{{ - {n_2}x{l_{yz}}}}{{\sqrt {{h^2} + {k^2}} }}} \right) - \varphi . $

(15)

在参考系B₃-XYZ中，构造位置闭环约束方程：

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_3} = {q_3}{\mathit{\boldsymbol{w}}_3}; $

(16)

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} + {q_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i},\;\;\;\;\;i = 1,2. $

(17)

其中：q_i和w_i(i=1, 2, 3)分别表示支链i的杆长和单位方向矢量，b_i表示参考系B₃-XYZ中原点到定平台铰链中心点B_i的矢量，a_i=R₃a_0i表示参考系B₃-XYZ中动平台参考点A₃到动平台铰链中心A_i点的矢量，a_0i为点A_i在坐标系A₃-x₃y₃z₃中的位置矢量。

由式(16)和(17)可以得到：

$ {q_3} = \left| {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3}} \right|,\;\;\;\;{w_3} = \frac{1}{{{q_3}}}{\mathit{\boldsymbol{r}}_3}. $

(18)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{q_i} = \left| {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3} - {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}} \right|,}\\ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} = \frac{1}{{{q_i}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3} - {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}} \right),\quad i = 1,2.} \end{array} $

(19)

1.3 速度与加速度分析

对于支链3，对式(16)两边关于时间求导得到

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3} = {{\dot q}_3}{\mathit{\boldsymbol{w}}_3} + {q_3}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_3}. $

(20)

在式(20)两边同时点乘w₃并整理可以得到

$ {{\dot q}_3} = \mathit{\boldsymbol{w}}_3^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(21)

因为θ_x、θ_y和θ_z都是x、y、z的函数，所以θ_x、θ_y和θ_z的变化速率可以由r₃的变化速率表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_\theta }{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(22)

其中：

$ \mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot \theta }_x}}\\ {{{\dot \theta }_y}}\\ {{{\dot \theta }_z}} \end{array}} \right],{\mathit{\boldsymbol{J}}_\theta } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{\partial {\theta _x}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {\theta _x}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {\theta _x}}}{{\partial z}}}\\ {\frac{{\partial {\theta _y}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {\theta _y}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {\theta _y}}}{{\partial z}}}\\ {\frac{{\partial {\theta _z}}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial {\theta _z}}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial {\theta _z}}}{{\partial z}}} \end{array}} \right],{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dot x}\\ {\dot y}\\ {\dot z} \end{array}} \right]. $

动平台姿态的角速度矩阵为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot R}}}_3}\mathit{\boldsymbol{R}}_3^{ - 1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {\omega _{3z}}}&{{\omega _{3y}}}\\ {{\omega _{3z}}}&0&{ - {\omega _{3x}}}\\ { - {\omega _{3y}}}&{{\omega _{3x}}}&0 \end{array}} \right]. $

(23)

其中：${\omega _{3x}} = {{\dot \theta }_x} + {{\dot \theta }_z}s{\theta _y},{\omega _{3y}} = {{\dot \theta }_y}c{\theta _x} - {{\dot \theta }_z}s{\theta _x}c{\theta _y},{\omega _{3z}} = {{\dot \theta }_{ys}}{\theta _x} + {{\dot \theta }_\varepsilon }c{\theta _x}c{\theta _y}$。动平台的角速度可以表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm{m}}}\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}. $

(24)

其中：${\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _{3x}}}\\ {{\omega _{3y}}}\\ {{\omega _{3z}}} \end{array}} \right], {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm{m}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{{\rm{s}}{\theta _y}}\\ 0&{{\rm{c}}{\theta _x}}&{ - {\rm{s}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _y}}\\ 0&{{\rm{s}}{\theta _x}}&{{\rm{c}}{\theta _x}{\rm{c}}{\theta _y}} \end{array}} \right]$。

将$\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_\theta }{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}$代入式(24)可以得到

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\rm{m}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_\theta }{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\omega _3}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(25)

对于支链1、2，对式(17)两边关于时间求导可以得到：

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3} = {{\dot q}_i}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} + {q_i}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{a}}_i},\;\;\;\;i = 1,2. $

(26)

在式(26)两边同时点乘w_i并整理可以得到：

$ {q_i} = \mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{r}}_3} + {\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right)^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3},\;\;\;\;i = 1,2. $

(27)

将式(21)和(27)写成矩阵形式，即可得到机构关节速度与参考点速度的映射关系，

$ \mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(28)

其中：$\mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot q}_1}}\\ {{{\dot q}_2}}\\ {{{\dot q}_3}} \end{array}} \right], \mathit{\boldsymbol{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{w}}_1^{\rm{T}} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_1} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{w}}_2^{\rm{T}} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_2} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_2}} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}}\\ {\mathit{\boldsymbol{w}}_3^{\rm{T}}} \end{array}} \right]$。

因为支链1和2不能绕着其轴线转动，所以ω^T_iw_i=0(i=1, 2)。在式(26)两边同时叉乘w_i并整理可以得到

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = \frac{1}{{{q_i}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3} + \left( {\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{E}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}} \right){\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}} \right) = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\omega _i}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(29)

其中：E是3×3的单位矩阵，

$ {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} = \frac{1}{{{q_i}}}\left( {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right] + \left( {\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{E}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}} \right){\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}} \right). $

此处$\left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {w_{iz}}}&{{w_{iy}}}\\ {{w_{iz}}}&0&{ - {w_{ix}}}\\ { - {w_{iy}}}&{{w_{ix}}}&0 \end{array}} \right]$表示w_i的反对称矩阵，下同。

对式(25)两边关于时间求导可以得到

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(30)

其中${\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}$_ω3=${\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}$_mJ_θ+J_m${\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}$_θ。

J_m和J_θ中的各项都是关于x、y、z的函数，x、y、z又是关于时间的函数，即:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{i,j}} = {a_{i,j}}(x(t),y(t),z(t)),}\\ {i,j = 1,2,3.} \end{array} $

(31)

因此${\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}$_m和${\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}$_θ中的各项可以表示为：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{i,j}} = \frac{{\partial {a_{i,j}}}}{{\partial x}}\dot x + \frac{{\partial {a_{i,j}}}}{{\partial y}}\dot y + \frac{{\partial {a_{i,j}}}}{{\partial z}}\dot z,}\\ {i,j = 1,2,3} \end{array} $

(32)

对式(28)两边关于时间求导可以得到

$ \mathit{\boldsymbol{\ddot q}} = \mathit{\boldsymbol{J}}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3} + \mathit{\boldsymbol{\dot J}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(33)

其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\dot J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_1} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}}\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_2} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_2}} \right)}^{\rm{T}}}}\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_3}} \right)}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{a}}_1}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}}\\ {{{\left( {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{a}}_2}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_2}} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}}\\ {\bf{0}} \end{array}} \right] + }\\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_1} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_1} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_1} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_1}} \right)}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}}\\ {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_2} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_2} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_2}} \right)} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}} + {{\left( {{\mathit{\boldsymbol{a}}_2} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_2}} \right)}^{\rm{T}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}}\\ {\bf{0}} \end{array}} \right].} \end{array} $

对式(29)两边关于时间求导可以得到：

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3},\;\;\;\;i = 1,2. $

(34)

其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} = - \frac{{{{\dot q}_i}}}{{q_i^2}}\left( {\left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right] + \left( {\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{E}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}} \right){\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}} \right) + }\\ {\frac{1}{{{q_i}}}\left( {\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right) \times } \right] + \left( {{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right)}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{E}} + } \right.} \right.}\\ {\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{E}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}} - }\\ {\left. {\left. {{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right)}^{\rm{T}}}} \right){\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}} + \left( {\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{E}} - {\mathit{\boldsymbol{a}}_i}\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}}} \right).} \end{array} $

1.4 部件质心的位置、速度和加速度分析

如图 4所示，2UPU/SP机构的支链i(i=1, 2, 3)可以被分解为做一般刚体运动的部件S_i1和S_i2：部件S_i1包括伺服电机、支链主体、直线导轨，对于支链3还包括动平台；部件S_i2包括伺服电机转子、联轴器和滚珠丝杠。部件S_i1的运动可视为沿支链轴线方向移动和绕B_i点转动的组合，部件S_i2除随S_i1运动外，还相对S_i1绕支链轴线方向转动，由于S_i2和S_i1之间无相对移动，故将两者作为一个部件S_i考虑时，其质心不变。

在参考系B₃-XYZ中，部件S_i质心C_i的位置矢量r_Ci(i=1, 2, 3)可以表示为：

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{C_3}}} = \left( {{q_3} - {e_3}} \right){\mathit{\boldsymbol{w}}_3}; $

(35)

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{C_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} + \left( {{q_i} - {e_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{w}}_i},\;\;\;\;i = 1,2. $

(36)

其中e_i(i=1, 2, 3)是点A_i和S_i的质心C_i之间的距离。

对式(35)和(36)两边关于时间求导，可以得到部件S_i质心的速度：

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{_{{C_i}}}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3},\;\;\;\;i = 1,2,3. $

(37)

其中：${{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}{c_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}{\mathit{\boldsymbol{J}}_i} - \left( {{q_i} - {e_i}} \right)\left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}}$，J_i是J矩阵的第i行。

对式(37)两边关于时间求导，可以得到部件S_i质心的加速度为：

$ {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_{{C_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{_{{C_i}}}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{_{{C_i}}}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3},\;\;\;\;i = 1,2,3. $

(38)

其中：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}}}} = \left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{J}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_i} - {{\dot q}_i}\left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} - }\\ {\left( {{q_i} - {e_i}} \right)\left( {\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right) \times } \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} + \left[ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times } \right]{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}}} \right),} \end{array} $

${{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_i}$是${\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}$矩阵的第i行。

此外，根据角速度叠加原理，3条支链中伺服电机转子-联轴器-滚珠丝杠组件S_i2在参考系B₃-XYZ下的绝对角速度ω_i2可以表示为：

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}} = {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} + \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{{\dot q}_i}}}{{{p_i}}}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\omega _{i2}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{\bf{3}}},{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\omega _i}}} + \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i}{\mathit{\boldsymbol{J}}_i}}}{{{p_i}}}. $

(39)

其中p_i表示支链i中丝杠的导程。对式(39)两边关于时间求导，可以得到部件S_i2的角加速度${{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{i2}}$，

$ {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{i2}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{{i_2}}}}}{{\mathit{\boldsymbol{}}}_3} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}. $

(40)

其中${{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}} = {{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} + \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{\mathit{\boldsymbol{w}}_i}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_i}}}{{{p_i}}} + \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}\left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{J}}_i}}}{{{p_i}}}$。

2 动力学分析 2.1 动力学模型

各支链中作用在部件S_i质心上的重力和惯性力可以表示为：

$ {\mathit{\boldsymbol{F}}_i} = {m_i}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_{{C_i}}},\;\;\;i = 1,2,3. $

(41)

其中：m_i表示部件S_i的质量，g表示重力加速度。

部件S_i1关于质心的惯性力矩可以表示为：

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_{i1}} = - {\mathit{\boldsymbol{I}}_{i1}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i1}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}} \right),\;\;\;\;i = 1,2,3. $

(42)

其中I_i1表示S_i1在参考系B₃-XYZ中关于其质心的惯性矩阵。I_i1=R_iI′_i1R_i^T，其中I′_i1表示S_i1在其质心惯性主轴坐标系中关于其质心的惯性矩阵。

部件S_i2关于质心的惯性力矩可以表示为:

$ {\mathit{\boldsymbol{T}}_{i2}} = - {\mathit{\boldsymbol{I}}_{i2}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{i2}} - {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i2}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}} \right),\;\;\;\;i = 1,2,3. $

(43)

其中I_i2表示S_i2在参考系B₃-XYZ中关于其质心的惯性矩阵。I_i2=R_iI′_i2R_i^T，其中I′_i2表示S_i2在其质心惯性主轴坐标系中关于其质心的惯性矩阵。

根据上述定义，支链上重力和惯性力(矩)所做的虚功可表示为：

$ {\rm{ \mathsf{ δ} }}{P_i} = {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\dot r}}_{{C_i}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{F}}_i} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_{i1}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{T}}_{i2}},\;\;\;\;i = 1,2,3. $

(44)

分别用F和T表示作用在动平台上相对于点A₃的力和力矩，f=[f₁f₂f₃]^T表示关节驱动力，根据虚功原理可以得到

$ \sum\limits_{i = 1}^3 {\rm{ \mathsf{ δ} }} {P_i} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{f}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\dot r}}_3^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{F}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{T}} = 0. $

(45)

将式(41)—(44)代入式(45)可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^3 {\left[ {{\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\dot r}}_{{C_i}}^{\rm{T}}\left( {{m_i}\mathit{g} - {m_i}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_{{C_i}}}} \right) - {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i1}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} - } \right.} \right.} }\\ {\left. {\left. {\left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i1}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}} \right) - {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i2}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}} - \left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i2}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}} \right)} \right] + }\\ {\quad {\rm{ \mathsf{ δ} }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot q}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{f}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\dot r}}_3^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{F}} + {\rm{ \mathsf{ δ} }}\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{T}} = 0.} \end{array} $

(46)

存在以下变量关系：

$ {\rm{ \mathsf{ δ} }}\dot q = \mathit{\boldsymbol{J}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3},{\rm{ \mathsf{ δ} }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{c_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3},{\rm{ \mathsf{ δ} }}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}, $

$ {\rm{ \mathsf{ δ} }}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}}{\rm{ \mathsf{ δ} }}{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3},\;\;\;i = 1,2,3. $

将${{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_{{c_i}}}, {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i}、{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}、{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{i2}}、{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}$用以${{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}$和${\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}$构成的表达式代入式(46)，得到机构的逆动力学公式，

$ \mathit{\boldsymbol{f}} = \mathit{\boldsymbol{D}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3} + \mathit{\boldsymbol{H}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3},{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_3} + \mathit{\boldsymbol{G}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3}} \right). $

(47)

其中：

$ \mathit{\boldsymbol{D}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}}\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{m_i}\mathit{\boldsymbol{J}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}}}^{\rm{T}},{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}}}} + \mathit{\boldsymbol{J}}_{{\omega _i}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i1}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} + \mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i2}}{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}}} \right)} . $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{H}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}}\sum\limits_{i = 1}^3 {\left\{ {{m_i}\mathit{\boldsymbol{J}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}}}^{\rm{T}},{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}}}} + \mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i1}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} - \mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}^{\rm{T}}\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i1}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}} \right) \times } \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}} + } \right.} }\\ {\left. {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i2}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot J}}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}} - \mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}}^{\rm{T}}\left[ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{I}}_{i2}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_{i2}}} \right) \times } \right]{\mathit{\boldsymbol{J}}_{{\omega _{{\rm{i2}}}}}}} \right\},} \end{array} $

$ \mathit{\boldsymbol{G}} = - {\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^3 {{m_i}\mathit{\boldsymbol{J}}_{{{\mathit{\boldsymbol{\dot r}}}_{{C_i}}}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{g}}} + \mathit{\boldsymbol{F}} + \mathit{\boldsymbol{J}}_{{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_3}}^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{T}}} \right). $

驱动力矩τ=[τ₁ τ₂ τ₃]^T可以表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} = \frac{\mathit{\boldsymbol{p}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\mathit{\boldsymbol{f}}. $

(48)

其中$\mathit{\boldsymbol{p}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}}&0&0\\ 0&{{p_2}}&0\\ 0&0&{{p_3}} \end{array}} \right]$。

2.2 驱动力仿真

2UPU/SP机构逆动力学计算和仿真所需的必要参数如表 1所示。令参考点A₃在z=660 mm的平面内进行一个半径为100 mm的匀速圆周运动，图 5为利用上述运动学和动力学模型、通过MATLAB计算得到的驱动力变化曲线，图 6为通过ADAMS仿真得到的驱动力变化曲线。通过观察和对比图 5和6中的曲线可以发现，两种软件得到的结果几乎相同，这验证了本文运动学和动力学模型的正确性。

3 动力学性能评价

对于高速并联机构，其加速性能对其动力学特性影响最大^[9]。动态可操作性椭球是评价机器人在给定单位驱动力矩下动平台加速能力的一种常用评价指标。驱动力矩是一个单位量，可以用二维空间中的圆或三维空间中的球表示，输出加速度可以用一个椭圆或椭球表示。然而，在实际应用中，驱动力矩矢量的每个元素都可以是单位量，因此驱动力矩矢量的图形转变为二维空间中的正方形或三维空间中的立方体^[10]，动平台的输出加速度集就应该是平行四边形或多面体。正方形或立方体上的每个点表示一种驱动力矩矢量，平行四边形或多面体上的每个点表示动平台的加速度。

为了便于实际评价工作，本文作者认为，当一个驱动器的驱动力矩为单位量且其他驱动器的驱动力矩小于或等于单位量时，可以将动平台的最大加速度作为其加速性能指标。

由于角加速度和线加速度具有不同的量纲，因此它们的最大值可以分别求出。忽略速度项、重力和外力，重写式(48)可以得到

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} \approx \frac{\mathit{\boldsymbol{p}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\mathit{\boldsymbol{D}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3}} \right){{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3}. $

(49)

忽略速度项、重力和外力，并将${{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3} = \mathit{\boldsymbol{J}}_\theta ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }} + \mathit{\boldsymbol{j}}_\theta ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}$代入并重写式(48)可以得到

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} \approx \frac{\mathit{\boldsymbol{p}}}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\mathit{\boldsymbol{D}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{r}}_3}} \right)\mathit{\boldsymbol{J}}_\theta ^{ - 1}\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }}. $

(50)

式(49)和(50)可以分别改写为：

$ {{\mathit{\boldsymbol{\ddot r}}}_3} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{Line}}}}\mathit{\boldsymbol{\tau }}, $

(51)

$ \mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{Ang}}}}\mathit{\boldsymbol{\tau }}. $

(52)

其中：${\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{line}}}} = {\left( {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\mathit{\boldsymbol{pD}}} \right)^{ - 1}},{\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{Ang}}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_\theta }{\left( {\frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\mathit{\boldsymbol{pD}}} \right)^{ - 1}}$。

为求最大值，采用二次规划方法，二次规划问题可表示为：

$ {a_{{\rm{maxLine}}}} = \max \sqrt {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{Line}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{Line}}}}\mathit{\boldsymbol{\tau }}} , $

(53)

$ {a_{{\rm{maxAng}}}} = \max \sqrt {{\mathit{\boldsymbol{\tau }}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{Ang}}}^{\rm{T}}{\mathit{\boldsymbol{M}}_{{\rm{Ang}}}}\mathit{\boldsymbol{\tau }}} . $

(54)

τ的限制范围为：

$ {\tau _i} \in [ - 1,1],\;\;\;\;i = 1,2,3. $

(55)

其中：a_maxLine表示最大线加速度，a_maxAng表示最大角加速度。

4 2UPU/ SP和2UPS/ UP机构动力学性能比较

利用第3节提出的动力学性能评价指标，对本研究的3自由度并联机构的动力学性能进行评价，并比较本文2UPU/SP并联机构和文[11-12]提出的2UPS/UP并联机构的动力学性能。2UPS/UP并联机构构型如图 7所示。为了比较的公平性，两种并联机构各支链的结构和对应的几何及惯性参数相同。

由于角加速度和线加速度的量纲不同，角加速度和线加速度将被分别研究。图 8和9给出了2UPU/SP和2UPS/UP机构的最大线加速度。从图 8可以看出，两个机构的最大线加速度在工作空间中的分布情况相似。从图 9可以看出，本文机构最大线加速度的最大和最小值分别为1.72 m/s²和1.55 m/s²，传统的2UPS/UP机构的最大线加速度的最大和最小值分别为1.72 m/s²和1.54 m/s²。

图 10和11给出了两种机构的最大角加速度。从图 10可以看出，在获得相同角加速度的情况下，本文机构的工作空间更大。从图 11可以看出，本文机构最大角加速度的最大和最小值分别为109 (°)/s²和68 (°)/s²，传统的2UPS/UP机构的最大角加速度的最大和最小值分别为98 (°)/s²和64 (°)/s²，本文机构具有更大的角加速度。这是因为S副相对于U副多一个转动自由度，与2UPS/UP机构中的动平台相比，2UPU/SP机构中的动平台能够额外产生一个沿自身轴线的旋转运动，从而使动平台具有更大的角加速度。

5 结论

本文对一种用于航天复合材料加工的混联机器人中的3自由度并联机构进行了动力学性能评价，在运动学分析的基础上研究了其动力学建模方法，并提出了一种动力学性能评价指标，该指标以一个驱动力为单位量且其他驱动力小于或等于单位量时的动平台最大加速度来评价并联机构的加速性能。该评价指标不仅具有明确的物理意义，而且可以分别评价机构的线加速度和角加速度。利用该评价指标比较本文的2UPU/SP并联机构和传统的2UPS/UP并联机构，结果表明：1)两种机构的最大线加速度的数值和分布情况相似；2)本文机构角加速度更大，并且在相同角加速度时的工作空间更大。