基于微机电系统(micro-electro-mechanical-systems，MEMS)技术的微惯性测量单元(micro inertial measurement unit，MIMU)具有体积小、功耗低、成本低、抗冲击等优势，随着MEMS工艺的快速发展，MEMS陀螺的性能逐渐提高，因此其应用领域的不断拓展，比如MIMU在汽车防滑检测、航空航天和消费电子产品等商业领域有广泛应用^[1]。不过由于其较大的惯性器件偏差对系统精度有明显的影响，限制了其在高精度领域特别是军事领域的应用。

一般MIMU的对准需要卫星接收机或者数字磁罗盘(digital magnetic compass，DMC)提供初始航向，但是卫星接收机无法在任何空间都能适用，比如无法在室内或卫星信号干扰的环境中提供航向；而DMC容易受到电磁设备的干扰，精度无法保证。即使卫星或DMC提供航向，但是由于MIMU精度低，可观测性差，一般需要结合卫星信号，通过转弯加速等载体机动方式提高MIMU的可观测度，利用Kalman滤波提高航向精度并估计出陀螺漂移、加速度计零偏等误差。然而，载体机动需要较大的运动场地空间，而且也增加了时间成本，这对于军事领域要求的隐蔽性和快速反应提出了挑战。

因此基于旋转调制的MIMU寻北被深入研究，使得MIMU在不依靠卫星接收机和DMC的情况下，依靠旋转调制技术实现自对准^[2-4]。不过本文认为仅仅停留于此是不够的，除了希望能够得到高精度的航向，也希望能够估计出惯性传感器的偏差，这在初始对准之后的导航解算中是有益的。MIMU可以在寻北的基础上采用Kalman滤波精对准，将寻北的值作为粗对准的值，Kalman滤波在粗对准的基础上进一步提高寻北性能。不管使用哪种技术来解决对准问题，可观测性分析都是必要的，因为它揭示了系统固有的可估计性^[5]。可观测性反应了系统在有限时间内的观测量确定状态量的能力，很大程度上决定了状态量能否被有效估计^[6]。

MIMU精度较低，可观测性差，而Kalman滤波很大程度上依赖于系统状态的可观测性，在相同的噪声条件下，系统的可观测性越好，越容易通过Kalman滤波估计出状态量^[7]。因此，需要改善MIMU的可观测性，尽可能增加量测信息，从而提高估计精度。载体机动是一种方式，但其缺点前文已经叙述。而通过旋转调制技术，可以改变误差模型中的系统矩阵，从而改善MIMU可观测性。不过，目前缺少对这方面的文献分析，虽然文[8-10]对高精度的捷联惯性导航系统(strapdown inertial navigation system，SINS)多位置对准进行理论推导并仿真研究，但是缺乏实测数据分析。通过旋转调制技术可以改善SINS可观测性，但是公开的文献结论中依然有一些令人困惑的地方，例如文[9-10]认为改变方位角就可以使SINS初始对准模型完全可观测。文[5]认为绕方位轴旋转可以提高可观测性，但是依然有不可观测状态。文[11]分析在多种旋转方案下的MIMU的可观测性，认为方位角误差是不可观测状态。

综上所述，MIMU是否能在不转弯机动的方式下，仅仅依靠旋转，实现姿态角、陀螺常值漂移、加速度计零偏的准确估计还有待进一步分析。另外，MEMS陀螺寻北仪多采用连续旋转方案，因为它比两位置法、三位置法、多位置法在减弱时间相关随机漂移变化的影响方面具有优势，对偏置、比例因子误差更具有鲁棒性^[12]，那么在连续旋转模式下，MIMU可观测性究竟如何，也有待进一步考证。

本文对MIMU分别在静止基座、多位置、连续旋转的情况下的误差状态量的可观测性开展研究，以便提高MIMU的可观测性及增强对准的自主性和隐蔽性，并扩大其应用范围。

1 捷联惯导的误差模型

采用东北天坐标系，捷联惯导的线性误差模型的状态方程为

$ \dot{\boldsymbol{X}}=\boldsymbol{F} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{W}. $

(1)

选取的误差状态变量为

$ \begin{array}{c} X=\\ \left[\begin{array}{lllllllllllll} {\phi_{E}} & {\phi_{N}} & {\phi_{U}} & {\delta v_{E}} & {\delta v_{N}} & {\delta v_{U}} & {\delta_{x}} & {\varepsilon_{y}} & {\varepsilon_{z}} & {\nabla^{x}} & {\nabla^{y}} & {\nabla^{z}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. \end{array} $

其中：ϕ_i(i=E, N, U)为失准角分量，δV_i(i=E, N, U)为速度误差，ε_i(i=x, y, z)和∇_i(i=x, y, z)分别为陀螺随机常值漂移和加速度计随机常值零偏。

F为状态转移矩阵：

$ \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{ccc} {-\left(\boldsymbol{\omega}_{i {\rm e}}^{n} \times\right)} & {\boldsymbol{0}_{3 \times 3}} & {-\boldsymbol{C}_{b}^{n}} & {\boldsymbol{0}_{3 \times 3}} \\ {-\left(\boldsymbol{g}^{n} \times\right)} & {\boldsymbol{0}_{3 \times 3}} & {\boldsymbol{0}_{3 \times 3}} & {\boldsymbol{C}_{b}^{n}} \\ {} & {\boldsymbol{0}_{6 \times 12}} \end{array}\right]. $

(ω_ieⁿ×)和(gⁿ×)均为反对称阵，具体为：

$ \begin{array}{c} -\left(\boldsymbol{\omega}_{i \mathrm{e}}^{n} \times\right)=\left[\begin{array}{ccc} {0} & {\omega_{i \mathrm{e}} \sin L} & {-\omega_{i \mathrm{e}} \cos L} \\ {-\omega_{i \mathrm{e}} \sin L} & {0} & {0} \\ {\omega_{i \mathrm{e}} \cos L} & {0} & {0} \end{array}\right], \\ -\left(\boldsymbol{g}^{n} \times\right)=\left[\begin{array}{ccc} {0} & {-g} & {0} \\ {g} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right]. \end{array} $

其中：ω_ie为地球自转角速度，g为重力加速度。

C_bⁿ为载体系(b系)到导航系(n系)的方向余弦阵。

W=[w_gx w_gy w_gz w_ax w_ay w_az]^T为惯性器件的Gauss白噪声向量，其中w_gi (i=x, y, z)为陀螺Gauss白噪声，w_ai (i=x, y, z)为加速度计Gauss白噪声。

选取速度误差δv_E、δv_N、δv_U为观测量，则系统的量测方程为

$ \boldsymbol{Z=H X+V}. $

(2)

其中H=[0_3×3 I_3×3 0_3×6]为观测矩阵，V=[V_E V_N V_U]^T为系统观测噪声。

Kalman滤波在SINS的状态估计中具有重要作用，评价一个状态量能否可观测或者可观测程度大小，可以从估计量能否收敛以及其标准差(对应均方误差矩阵P变化)收敛快慢来评价^[5]。可观测度好的状态量的方差收敛快，估计精度高。

2 不同情况下MIMU的可观测性 2.1 静止情况

为了更好地与MIMU的特点进行对比，首先关注在静止情况下的高精度SINS的可观测性。对于静止基座上的高精度的SINS如光纤惯导(fiber optic gyroscope SINS，FOG SINS)、激光惯导(ring laser gyroscope SINS，RLG SINS)而言，文[8-10]都对其可观测状态进行了分析。一般认为，加速度计的东向零偏、北向零偏和东向陀螺漂移是不可观测的状态，北向陀螺漂移、方位陀螺漂移和航向失准角误差的可观测程度较弱，而速度误差、东向失准角误差和北向失准角误差都属于容易观测的状态^{[5, 8, 13]}。

为了验证上述说法，本文仿真分析了高精度SINS在静止情况下，Kalman滤波过程中的陀螺漂移及加速度计零偏状态量的收敛情况，如图 1所示。从图 1a可以看出东向陀螺漂移在Kalman滤波估计过程中没有收敛，属于不可观测状态，且方位陀螺漂移也未收敛，因此也很难观测；从图 1b可以看出水平方向的加速度计零偏在Kalman滤波过程中没有收敛，因此也属于不可观测状态，因此验证了上述说法。

为了对比分析，本文采集了某型号车载自主定位定向系统中使用的FOG SINS在实验室下的1 h的静态数据。作为对比，还采集了MIMU的1 h数据，实验使用的MIMU是美国Honeywell公司生产的HG4930，能够提供连续稳定的角速率及加速度输出。实验使用的FOG SINS和MIMU的性能指标如表 1所示。实验环境如图 2所示。真实航向作为Kalman滤波估计的参考值，FOG SINS真实航向是143.37°，而MIMU的真实航向是165.96°。

为了满足kalman滤波的线性误差模型，设置的粗对准值偏离真值0.5°，在此基础上检验是否能估计出航向值。

从图 3和4对比可以看出，MIMU的噪声水平远高于光纤SINS，MIMU的数据即使在滤波后依然可以看到较为明显的毛刺和噪声。在静止条件下，用Kalman滤波估计航向，FOG SINS收敛的航向角与真实值误差较小，如图 5a所示，而图 5b表明Kalman滤波估计的MIMU航向角无法收敛，主要原因在于后者随机噪声大，存在缓变漂移等误差。因此航向误差角对高精度的SINS属于可观测程度弱的状态，但是对于MIMU而言却是不可观测状态，原因在于后者随机噪声大，与FOG SINS精度相差近2个数量级。因此，高精度SINS的可观测程度弱的状态对于MIMU而言属于可观测程度极弱或是不可观测状态。因此，为了提高MIMU的对准精度，必须提高MIMU的可观测性。

2.2 多位置情况

文[14]对高精度的SINS的可观测性进行了理论分析，系统可观测性最好的方案是绕航向轴旋转180°静止一段时间，然后再绕俯仰轴或者横滚轴旋转90°静止，通过这样的方式改变系统的姿态矩阵，提高系统的可观测性，可以估计出所有的状态误差量。由于水平陀螺仪的常值漂移误差得到抵消，提高了方位失准角的估计精度，然后再绕俯仰轴旋转，可以提高航向陀螺的常值漂移的可观测程度。目前没有文献对低精度的惯导系统进行仿真或实测数据分析，本文用MIMU的实测数据分析多位置方案对其可观测性提高的影响。旋转方案是先静止一段时间后，绕航向轴旋转180°，然后绕俯仰角旋转90°静止，之后旋转回到原点静止，每个位置静止5 min。结果如图 6所示。

从图 6a可以看出，航向失准角误差在MIMU的姿态位置发生变化的时候进一步收敛；图 6b表明最终的航向角可以收敛到真实航向角附近；可见，多位置方案使得用Kalman滤波提高MIMU对准精度成为可能。从图 6c~6f可以看出，MIMU位置的变化，使得在静止情况下不可观测的陀螺漂移和水平加速度计零偏也能够收敛，估计值的标准差发生了2次明显的转折降低，转折点的发生是因为MIMU位置的改变使得量测信息发生改变。因此多位置对准提高了MIMU的可观测性，使得MIMU的误差状态能全部观测，从而使得MIMU的自对准及估计惯性器件误差成为可能。

2.3 连续旋转情况

由于连续旋转能更好地抑制缓变漂移的影响，在MIMU的寻北研究中，多采用连续旋转的方案。目前针对连续旋转很少有文献对其可观测性进行研究，即使是高精度的SINS，大多数也是对多位置的转停方案进行分析^{[5, 8, 10]}。由于连续旋转相比静态多位置具有不一样的特性，因此有必要对此进行探讨。本文首先采集了MIMU以20°/s旋转的数据，旋转一段时间后回到原点，时间约5 min，用于分析航向角在短时间内的估计情况。结果如图 7所示。

在更长的时间维度上，采集了MIMU以20°/s旋转约1 h的数据，主要是分析Kalman滤波估计陀螺漂移及加速度计零偏的情况。结果如图 8所示。

从图 7可以看出，连续旋转可以使得航向角收敛到真值附近，而且相比多位置方案能够大幅度减少对准时间，这在寻北应用中是非常有优势的。因此，连续旋转明显提高了姿态误差角的可观测性。

从图 8可以看出，在连续旋转过程中，Kalman滤波对水平方向的惯性器件的陀螺漂移、水平加速度计零偏无法准确估计。图 8a中出现的转折点是因为MIMU停止转动导致的，并不属于连续旋转的过程。这似乎令人困惑，毕竟理论上连续旋转比转停方案更具有鲁棒性，但这与无法估计惯性器件误差并不矛盾。连续旋转抑制掉了垂直于旋转轴方向的惯性器件的常值偏差，导航解算的结果已经是误差抑制后的结果，因此无法准确估计出水平方向的惯性器件误差。图 8b表明Kalman滤波可以很快估计出天向加速度计零偏，这是因为其导致的天向速度误差很容易被观测。而方位陀螺漂移在较长一段时间后可以收敛，这是因为水平方向的惯性器件误差被抑制，因此误差量可以认为主要由方位陀螺漂移引起，从而能够在一段时间后估计出来。

尽管Kalman滤波无法准确估计水平方向的惯性器件误差，但是基于最小二乘算法的寻北算法可以估计出水平方向的惯性器件误差，具体方法可以参考文[4]。原因在于Kalman滤波是基于速度误差量去估计其他误差状态，而速度误差是一个积分过程，从而使得连续旋转过程中的水平方向的惯性器件误差的影响在积分过程中被抑制，而寻北算法并没有积分环节，可以通过最小二乘算法计算出水平方向的常值误差。

3 结论

本文对MIMU在静止、多位置、连续旋转3种情况下的可观测性进行了较为全面系统的研究。在静止情况下，由于MIMU精度较差，高精度的SINS可观测程度弱的状态量对MIMU而言可观测程度更弱，无法准确估计航向角，因此无法实现精对准，而且陀螺漂移、水平加速度计零偏也无法准确估计。在多位置方案下，通过分别绕航向轴和俯仰轴旋转，可以大幅度提高MIMU的可观测性，能够估计出所有误差状态量，这种方案仅仅通过改变MIMU的姿态，就能使得姿态角误差、陀螺常值漂移及加速度计零偏成为可观测状态，比载体转弯机动的方式更加隐蔽高效，这在需要估计惯性器件误差以及场地空间、时间限制的场合是非常有益的。在连续旋转的情况下，Kalman滤波能够得到较为准确的航向角及天向加速度计零偏，并在一段时间后估计出方位陀螺漂移，但是无法准确估计出水平方向的惯性器件误差，这是因为这些误差量被调制，不过可以用寻北算法求解水平方向的常值误差。由于连续旋转可以较为快速地求解航向，这在需要快速寻北的场合是有益的；若需要进一步得到惯性器件的误差，可以在此基础上通过多位置方案或结合其他算法估计得到。本文的研究结果为提高低精度的MIMU的可观测性提供了途径和理论基础，具有一定的工程应用价值。