建设项目中，为了提升施工效率、减少损耗、增加利润，项目管理人员会对进度计划与资源配置进行优化以保证项目成功进行^[1]。资源受限项目调度问题(resource-constrained project scheduling problem, RCPSP)是实现建设项目进度与资源优化的关键数学模型^[2]，但RCPSP模型的基本假设中，各工序的时长与资源配置固定，与实际建设项目存在较大差异。因此有研究提出了多模式资源受限项目调度问题(multimode resource-constrained project scheduling problem, MRCPSP)，其中的模式指各工序拥有的不同资源需求、成本与工序时长的组合^[3]。但是如工序成本与资源需求的关系、工序时长与劳动力资源需求的关系等实际上并不能很好地在MRCPSP中进行描述。

RCPSP属于多项式复杂程度的非确定性(mon-deterministic polynomial，NP)问题^[4]，也是制约这类问题复杂程度的关键原因。约束规划(constraint programming, CP)是建设项目RCPSP或MRCPSP的有效求解方法，且求解速度与准确度不亚于一般启发式算法^[5]，因此有研究者在CP的基础上建立新的问题模型并实现求解。Liu等^[6]提出了考虑现金流约束并以最大净现金流为目标的MRCPSP，并使用CP完成了求解。Menesi等^[5]利用CP实现了考虑总工期与资源均衡的多目标MRCPSP求解。Liu等^[7]提出了考虑材料供给约束、成本约束与多种劳动力模式因素的MRCPSP并实现了CP求解。可见，有关研究并未深入分析生产效率、工艺变化及其相互关系对问题求解的影响，而是简单地将其抽象为一系列的组合模式。

针对该问题，本文提出同时考虑生产效率、工艺选择等因素的MRCPSP模型及其基于CP的问题求解方法，并通过算例验证证明所提出模型的可行性与正确性。

1 数学模型定义

考虑需利用CP求解，因此在定义MRCPSP模型时需要明确变量、表达式、约束与目标函数以符合CP的要求^[8]。其中，变量指的是在指定有限值域中可任意取值的量。在一个问题中，所有变量的值域组合构成了解空间。表达式可由变量或其他表达式通过运算组合而成。而变量属于一类特殊的表达式。约束指的是对某一表达式的限制，如最大值与最小值约束。而目标函数指的是作为优化目标的表达式。优化目标也包括最小、最大等。

1.1 基本定义与约束

基本定义主要明确资源约束项目调度此类问题的基本解空间(变量定义)以及变量之间的基本关系。这类问题中包括2个关键元素：工序与资源。其中工序有3个关键量：开始时间、结束时间和时长。这3个量之间存在一个方程，因此包含2个变量。一般而言，可以将开始时间和时长作为变量，而在CP中，有专门适合于工序时长的变量，即区间变量(interval variable)。1个区间变量的作用与2个数值变量对等，包括起始点、终止点以及长度，可分别代表一个工序i的开始时间S_i、结束时间F_i以及时长D_i。2个工序之间存在顺序关系，一般包括4种^[9]：结束—开始(FS)、结束—结束(FF)、开始—结束(SF)以及开始—开始(SS)，同时设置时间间隔的最大值与最小值，即

$ {\rm{LL}} \le {P_j} - {P_i} \le {\rm{UL}}{\rm{.}} $

其中：P_i代表S_i或F_i，LL代表最小时间间隔，UL代表最长时间间隔。在建设项目中，最常用的是FS关系，并且设置LL。

资源有1个关键量，即各工序对该资源的需求。在RCPSP中，工序对资源的需求在工序进行期间一般不会发生变化，各工序对资源需求的累加所得到的总需求会受到资源供应的限制，这也是这类问题中“资源受限”的由来。根据资源是否可以再生，总需求的计算方式有所不同。对于可再生资源k如劳动力、机械设备等，某一时刻t的总需求R_kt为t之前所有时刻资源需求的最大值，即

$ {R_{kt}} = \max \left( {\sum\limits_{i \in {\rm{D}}{{\rm{A}}_u}} {{\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}} } \right), \quad u = 0, 1, \cdots , t. $

其中：DA_u={i|S_i≤u≤F_i}，表示在时刻u正在进行的所有工序的集合；dr_ik表示单位时间内工序i对资源k的需求量。而对于不可再生资源如材料、一次性用品，总需求则计算如下：

$ {R_{kt}} = \sum\limits_{i \in {\rm{A}}{{\rm{A}}_t}} {{r_{ik}}} . $

其中：AA_t={i|t≥S_i}，表示在时刻t前已经开始的所有工序的集合；而r_ik表示工序i对资源k的需求总量，在工序i开始时便累加至总需求。

资源约束可以统一表达为总需求R_kt与总供给S_kt之间的关系，即对于任意时刻t，有

$ {R_{kt}} \le {S_{kt}}. $

不同类型的RCPSP对S_kt、dr_ik以及r_ik的考虑存在差异，甚至有的仅考虑dr_ik或r_ik，但上述关系基本不变。

1.2 生产力约束

生产力约束主要用于确定dr_ik。在大多数MRCPSP中，dr_ik和r_ik是伴随D_i直接给出的，并且可再生资源给出dr_ik，而不可再生资源给出r_ik。但实际上，D_i与劳动力资源的dr_ik和r_ik之间的关系可使用函数关系表达。例如安装某一层的给水管道，对安装工的需求为20人天，即r_ik=20。假设工人的生产力不随同时施工的人数发生变化，则D_i与dr_ik的组合可能为(5，4)、(10，2)等。本文提出相对生产力p_ik的概念，可计算如下：

$ {p_{ik}} = \frac{{{r_{ik}}}}{{{D_i}{\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}}}. $

p_ik代表当前生产力与标准生产力之间比值。当p_ik=1时，工序i中资源k的生产力是标准的；当p_ik>1时，生产力更高；当p_ik < 1时，生产力更低。标准生产力一般是一个统计结果，代表最有可能的生产力。表现形式可以是一项工序单位工程量对某资源的需求，例如工程量定额。

实际生产力会受多因素影响偏离标准值^[10]，甚至可能受dr_ik的影响。当dr_ik过高时，可能受作业空间的影响导致生产力降低，而dr_ik过低时可能由于并行程度差使生产力降低。考虑这些情况，可以采用通用的方式表达dr_ik、D_i与r_ik之间的关系：

$ P\left( {{\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}, {D_i}, {r_{ik}}} \right) = 0. $

其中P是本文中定义的生产力函数，可以表征工序i中资源k的实际生产力，甚至可以体现以D_i或dr_ik为原因的生产力变化。而通过该方程，即使对于可再生资源，也可以通过定义r_ik计算得到dr_ik，从而求得R_kt，进而形成资源约束方程。

1.3 工艺选择约束

一个工序可能可以使用多种工艺方法完成。例如一面混凝土墙的模板施工，可以使用木模板也可以使用铝模板，二者由于材料不同，因而材料处理方式也不同。不同的工艺主要在流程与材料方面存在区别。一般而言，可以将一个工序进一步分解为若干子工序以代表工艺步骤的概念^[11]。但当各子工序与其他工序无关时，子工序的选择对整个项目的进度并无影响。会对项目进度造成影响的是不同工艺对资源选择的差异。

本文认为一个工序i可以在若干资源组合中选择一种。每个资源组合j中，定义了该工序对其中任意资源k的总需求r_ikj。通过定义二值变量实现选择：

$ \begin{array}{l} {r_{ik}} = \sum\limits_j {{X_{ij}}} {r_{ikj}}, \\ \sum\limits_j {{X_{ij}}} = 1. \end{array} $

其中X_ij为0或1，表示资源组合j是否被选择。此种定义方式与传统的MRCPSP之区别主要在于：1)组合中不包括工序时长；2)对于可再生资源不定义每日需求量。如此更符合工程逻辑。

1.4 目标函数

MRCPSP的目标函数包括总工期、总成本、资源均衡指数以及一些其他的指标。本文并没有增加新的目标函数，选取了3个典型的目标函数用于提高算例的真实性：

1) 总工期。总工期TD为最大的F_i，即

$ {\rm{TD}} = \max \left( {{F_i}} \right). $

2) 总成本。总成本TC一般可表示为直接成本与间接成本之和^[12]。其中直接成本主要指资源成本，即各工序对各资源的需求与单价的乘积之和；间接成本主要指管理成本，一般可以认为与总工期成正比。因此总成本可计算如下：

$ {\rm{TC}} = \sum\limits_i {\sum\limits_k {{r_{ik}}} } \cdot {\rm{p}}{{\rm{c}}_k} + {\rm{TD}} \cdot {\rm{dc}}. $

其中：pc_k是资源k的单价，dc为单位时间的管理成本。

3) 资源均衡指数。资源均衡指数RLI一般只针对可再生资源，可计算如下：

$ {\rm{RLI}} = \frac{{\sum\limits_i {\left| {\sum\limits_{i \in {\rm{D}}{{\rm{A}}_t}} {{\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}} - \frac{{\sum\limits_i {{r_{ik}}} }}{{{\rm{TD}}}}} \right|} }}{{{\rm{TD}}}}. $

该指数越小，资源需求曲线越接近平均值。

2 约束规划求解的实现

与利用CP求解建设工程RCPSP的大部分研究相同，本文使用IBM ILOG CPLEX Optimization Studio求解新问题模型，基于该应用程序提供的.NET接口开发了求解程序。具体来说，使用ILOG. Concert命名空间中的类定义变量、表达式与目标函数，而使用ILOG. CP命名空间中的类定义约束、变量或表达式之间的运算，最后使用ILOG. CP. CP作为求解器。

基本约束中，工序间顺序关系的定义使用区间变量之间的4类约束：EndAtStart()、EndAtEnd()、StartAtEnd()、StartAtStart()。资源约束主要是对全过程累积表达式(cumulative function expression)R_k的约束，具体分为2种情况：1)对于全过程恒定的约束，采用Le()即“小于等于”或Ge()即“大于等于”约束；2)对于过程中会发生变化的约束，采用AlwaysIn()。

本文提出的生产力约束是通过定义生产力函数实现的。根据具体的情况可以采用2种方式：1) dr_ik是D_i和r_ik的显函数时，可尝试直接用D_i和r_ik通过运算定义dr_ik的表达式；2)生产力函数为隐函数时，可定义dr_ik为变量，并根据生产力函数为dr_ik、D_i与r_ik建立约束。后者增加了解空间，因此若条件允许应尽可能采用前者。

关于工艺选择约束，r_ikj对于具体算例是常数。首先设置二值变量X_ij，利用X_ij和r_ikj建立r_ik的表达式，同时建立工序i的所有X_ij总和为1的约束以保证每个工序仅选择一组资源。

3 算例验证

算例验证主要包括3个目标：1)证明方法的可行性；2)证明并明确新MRCPSP模型中生产力函数的作用；3)证明并明确新MRCPSP模型中工艺选择的作用。其中目标1在所有算例的求解过程中实现，目标2和3需要设计针对性的算例(算例2和3)，同时需设计一个能够验证在求解过程中可以同时考虑这些关系的算例(算例4)。

为了明确求解效果，各算例选择有代表性的一系列资源而并非所有资源，并假设这些资源在施工过程中具有恒定的价格。

3.1 算例1：基本算例

1) 工序网络。

首先，本文建立了一个示例项目，其工序间顺序关系如图 1所示，形成了包含了10个工序的网络。大多数工序间是基本的FS关系，但工序6、7、8与工序10之间存在3 d的最短间隔，工序6、8和工序7之间存在间隔为0的SS关系，即这3个工序要求同时开始。

该工序网络模拟了某个施工区域装配式建筑中竖向构件的施工过程。主要包括4条路径：a)工序1→9：该区域预制混凝土墙的安装、支撑拆除；b)工序2→4→6→10：该区域现浇钢筋混凝土柱的钢筋绑扎、模板施工、混凝土浇筑与模板拆除；c)工序3→5→7→10：该区域现浇钢筋混凝土墙的模板施工、钢筋绑扎、混凝土浇筑与模板拆除；d)工序3→8→10：该区域现浇混凝土填充墙的模板施工、混凝土浇筑与模板拆除。

2) 资源。

设置了8个关键资源，如表 1所示，包括4个劳动力资源和4个材料资源。其中，木模板(N3)在本示例项目中并不存在周转的情况，因此考虑为不可再生资源。而为了使验证过程更有针对性，在实际施工过程中可能会使用的其他施工资源如在预制混凝土构件施工过程中所需要的支撑、塔吊等资源，本文中并不考虑。

3) 成本。

各个资源的单价列于表 1以计算直接成本。其中，劳动力资源(R1、R2、R3、R4)单价是每人天的成本；混凝土材料(N1、N4)单价是每m³的成本；钢筋材料(N2)单价是每t的成本；模板材料(N3)单价是每m²平均每次周转的成本。间接成本按每天1 000计。

4) 各工序对资源的总需求。

各工序对这些资源的总需求如表 2所示。对于劳动力资源(R1、R2、R3、R4)，总需求单位为人天；对于混凝土材料(N1、N4)，总需求单位为m³；对于钢筋材料(N2)，总需求单位为t；对于模板材料(N3)，总需求单位为m²。对于混凝土柱浇筑(工序6)以及混凝土墙浇筑(工序7和8)可以选择使用普工或混凝土工。其他工序的资源需求是固定的，不考虑工艺选择。

5) 生产力函数。

生产力函数采用标准函数(p_ik恒等于1，即生产力恒为标准生产力)：

$ P({\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}, {\rm{ }}{D_i}, {\rm{ }}{r_{ik}}) = {\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}{D_i} - {r_{ik}}. $

6) 优化目标。

采用多目标优化，首要目标为总工期最小，次要目标是总成本最小。此后按照资源价格由大到小将可再生资源的均衡指数添加至优化目标中。

7) 资源约束。

为劳动力资源设置基本约束，如表 3所示。

求解得总工期最短为25 d，此时的最小总成本为285 690。包括工序时间安排、资源模式选择以及资源全过程消耗的求解结果如图 2所示。其关键路径为工序3→5→7→10，是现浇钢筋混凝土墙的施工过程。考虑SS关系，工序6、8也属于关键工序。

3.2 算例2：生产力函数变化分析

为了展现生产力函数对求解结果的影响，本算例采用了下列生产力函数：

$ P({\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}, {D_i}, {r_{ik}}) = {D_i}\sqrt {{\rm{d}}{{\rm{r}}_{ik}}} - {r_{ik}}. $

该函数的特征在于：当dr_ik等于1时，生产力等于标准生产力；当dr_ik大于1时，生产力小于标准生产力，以模拟工作面拥挤导致生产力下降的情况。

除生产力函数之外，其他所有条件相比算例1均不发生变化。求解得总工期最短54 d、此时的最小总成本为365 650，具体如图 3所示。

相比算例1的结果，各工序由于生产力的下降，总工期增加了，并且除了由此带来间接成本增加(增加了29 000)，还因单位时间劳动力资源消耗增加使直接成本也有增加(增加了50 960)。同时，各工序的时长也均增加了，但关键路径并没有改变。非关键路径中，工序1→工序9的时间跨度增加了，工序2→工序4→工序6→工序10的调整空间由4 d增加为5 d，工序6不再为关键工序。而工序8仍属于关键工序，其由于2个SS关系被延后。

3.3 算例3：多工艺选择分析

为了体现多工艺选择分析的作用，在基本配置的基础上，本算例增加了铝模板施工所需的2个资源，如表 4所示。其中，铝模板工(R5)每人天的成本为220，与木模板工(R3)相当，但由于铝模板的重复使用次数极高，因此考虑铝模板的单价小于木模板，每m²每次周转的成本为4。与R3相同，R5设置了5人上限。同时，为模板施工的工序3和4增加了铝模板工艺资源组合的选择，如表 5所示。相比木模板，铝模板由于施工效率更高^[13]，因此劳动力资源总需求更低。

相比算例1，最短总工期缩短为22 d，此时的最小总成本为276 640，结果具体如图 4所示。总工期缩短的原因是关键路径中的工序3选择了新增的铝模板工艺。由于对R5的总需求比R3少，因此在资源上限相同的情况下，工序3的时长缩短了3 d。而由于N5的单价也相对更低，因此总成本降低的9 050中，除了间接成本降低的3 000，还有直接成本降低的6 050。

3.4 算例4：资源约束变更分析

为了体现资源约束下工艺选择以及生产力函数的作用，本算例在算例3的基础上变更了部分资源约束：

1) 铝模板(N5)供应限制为1 500，可以满足工序3，但不能继续满足工序4的需求；

2) 普工(R1)的人数限制由10人增加至20人。混凝土工(R4)的人数限制由5人增加至20人。

求解结果为总工期19 d，此时的最小总成本为274 030，具体如图 5所示。相比算例3，主要有5个工序发生了变化：工序4、6、7、8和10。其中由于N5的限制，工序4由算例3中的铝模板工艺改为了木模板，因此工序时长、工序位置、需要的资源类型、资源总需求量和直接成本均发生了变更。虽然因此使直接成本增加了390，但并未对总工期造成影响。总工期相比算例3缩短3 d主要包括2个原因：1)放宽了R1和R4的限制，通过调整工序6的资源选择，并调整工序6、7和8的劳动力资源的日需求量，这3个工序的时长总计被压缩至1 d；2)放宽了R1的限制，工序10的时长由2 d缩短为1 d。因此总工期共缩短3 d。虽然该结果并未考虑工作面的影响，但表明了投入大量生产力资源有机会同时降低总工期和总成本。

3.5 结果分析

通过对4类算例的求解与结果对比，本文提出的模型的可行性得到了验证，同时也证明了该模型具有如下特征：

1) 通过定义各工序的时长与劳动力资源需求的关系，可影响求解结果中的工序时长，进而影响直接成本并可能影响工序排布；

2) 可实现对工序工艺的选择，体现为工序对各资源的总需求，从而影响工序时长、工序排布、资源配置，进而影响总工期和直接成本；

3) 在有限的资源条件下，可在生产力函数的基础上，通过综合调整工序时长以及对不同类型劳动力和不同工艺所需材料组合的选择，使资源配置合理并得到总工期和总成本的最优解。

4 结论

本文提出的MRCPSP模型比传统的MRCPSP模型增加了生产力函数并明确了对工艺选择的表达方式。经验证，该模型通过引入生产力函数，不仅可以在求解过程中考虑工序时长与劳动力资源需求的协调变化，还可考虑生产力可变的情况以尽可能模拟实际施工过程中的情况。同时，通过为各工序的不同工艺定义对应的资源组合，可在求解过程中考虑各工序的工艺选择对各总体优化目标的影响，具有实际意义。在资源限制变更时，该模型求解后可在综合考虑工序生产力函数和工艺选择的同时对求解结果进行合理调整，在实际工程中具有应用价值。