电力电子变换器的传统控制方法如PI、棒棒控制等都属于非精确控制器，会带来控制性能上难以调和的矛盾：PI控制器存在超调量和动态响应之间的矛盾；棒棒控制器会存在控制精度和开关损耗之间的矛盾。这些矛盾会阻碍电力电子变换器控制性能的进一步提升。此外，针对电力电子变换器的传统控制方法只能控制一个控制对象，一般为电容电压或者电感电流，当需要控制多个控制对象时，传统控制方法难以协调统一。

能量平衡控制是从能量角度出发而提出的一种控制策略，将电感电流归结为电感中的能量，电容电压归结为电容中的能量，电压和电流可以通过储能元件中的能量而达到协调统一，从而控制多个控制目标。此外，从形式上，能量平衡是一种带有负载信息前馈的比例控制，根据系统数学模型由能量或功率控制目标精确计算控制信号脉冲，可以达到控制性能的协调提升^[1-2]。

能量平衡控制实现的主要步骤为：1)首先根据能量或功率平衡建立基于几个开关周期或者工频周期的能量或功率模型；2)然后以几个开关周期或者工频周期之后的某个状态量为目标，计算控制量或者某个状态量指令值应该是多少；3)最后可能结合某种响应速度较快的内环，实现该状态量的指令值。

目前能量平衡算法^[3-12]大致分为4类：1)考虑小时间尺度亚开关周期的能量平衡，以轨迹控制为主^[3-6]；2)考虑大时间尺度的能量平衡^[7-9]；3)考虑多时间尺度的能量平衡^[10-11]；4)根据能量平衡间接得到负载电流，转化为一个电流前馈控制器^[12]。其中第4种算法只是将普通的PI电流前馈中的负载电流探头用能量的方式计算出来。因此本文只考虑按照考虑能量平衡的时间尺度区分的第1—3种算法。

但目前针对的能量平衡控制策略的研究仍有一些不足：

1) 模型参数不准确、损耗被忽略或者内环静差3种原因容易造成稳态误差^[13-14]，既没有稳态误差分析也没有减小稳态误差的方法。

2) 本质是一种非线性控制，目前稳定性理论分析仍属于经典控制理论的范畴，只考虑了运行点附近的局部稳定性。为了全面考查稳定性，应采用现代控制理论的全局稳定性分析。

本文主要完善能量平衡控制的理论性，对3种能量平衡控制策略进行研究，提出了针对能量平衡控制的稳态误差和全局稳定性分析。具体来说，本文首先将3种能量平衡控制等价为1种通用形式：外环为相平面上的滑模面与内环为某种响应较快的控制策略的组合。在此基础上，探讨稳态误差产生的原因，并定量分析稳态误差；建立能量平衡模型，进行全局稳定性分析，并提供选择能量平衡控制参数的方法。

1 考虑小时间尺度亚开关周期的能量平衡控制

在图 1的电能路由器中，电网故障使得电能路由器的高压交流端口处于离网状态时，整流器和双有源桥停止工作，需要直流端口的DC/DC变换器控制低压母线电压和提供负载能量。一方面，能量传输的变换器级数减少，系统的惯性变小，对母线电压的变化也要快速响应；另一方面，直流侧并网变换器在即插即用、并离网切换、直流负载投切等过程中，为避免直流母线上的电压波动对母线上其余并网装置和负载的影响，希望母线电压的波动尽可能小。

综合上述两方面要求，提出了Boost变换器的基于能量平衡的轨迹控制^[4]和能量优化的轨迹控制^[6]，考虑小于开关周期的能量平衡。根据能量平衡设计电压-电流相平面上的轨迹滑模面，然后通过滑模面计算电感电流指令值，内环控制器件的开通、关断，使变换器运行在这条滑模面上，可以减小母线电压波动并缩短过渡时间。这种能量平衡控制与考虑大时间尺度以及考虑多时间尺度的能量平衡控制不太相同，其算法本身就是“外环滑模面+内环”的通用形式。

本节介绍文[4]的基于能量平衡的轨迹控制，然后定量分析其稳态误差，最后分析其全局稳定性。

1.1 能量平衡控制策略简介

以图 2的Boost变换器的基于能量平衡的轨迹控制^[4]为例，其控制框架如图 3所示，由外环滑模面和内环电流环组成。首先对Boost变换器建立功率平衡模型：

$ {U_{{\rm{in}}}}{i_L} - {P_{{\rm{Load}}}} = C{u_{\rm{o}}}\frac{{{\rm{d}}{u_{\rm{o}}}}}{{{\rm{d}}t}} + L{i_L}\frac{{{\rm{d}}{i_L}}}{{{\rm{d}}t}}. $

(1)

其中: C和L分别为Boost变换器的电容和电感；u_o和i_L分别为输出电压和电感电流；U_in为输入电压，P_Load为负载功率，以消耗功率为正。i_{L_r}为由负载和电源之间的功率平衡计算出来的电感电流指令值(见式(2))，如(u_o, i_L)相平面图(见图 4)中的绿色图线i_L=g(u_o)所示，本文称之为负载线。

$ {i_{L{\rm{\_r}}}} = \frac{{{P_{{\rm{Load}}}}}}{{{U_{{\rm{in}}}}}} = \frac{{u_{\rm{o}}^2}}{{R{U_{{\rm{in}}}}}}. $

(2)

为了兼顾输出电压的动态响应和电压波动，基于能量平衡在输出电压-电感电流(u_o, i_L)相平面上设计了滑模面见式(3)，其中u_{o_r}为电容电压指令值，控制参数k决定滑模面的形状。将式(3)改写成式(4)，外环滑模面采用式(4)计算出电感电流指令值i_Lr，内环采用无差拍电流控制调节电感电流i_L。若不考虑内环执行时间且忽略内环静差，则有i_L=i_Lr，因此该基于能量平衡的轨迹控制可以使得系统运行在如式(3)所示设计的滑模面上，本文称该滑模面为运行线i_L=f(u_o)，如图 4中红色曲线所示。

$ {\frac{1}{2}kCu_{\rm{o}}^2 + \frac{1}{2}Li_L^2 = \frac{1}{2}kCu_{{\rm{o\_r}}}^2 + \frac{1}{2}Li_{L{\rm{\_r}}}^2,} $

(3)

$ {{i_{L{\rm{r}}}} = \sqrt {\frac{{kC}}{L}(u_{{\rm{o\_r}}}^2 - u_{\rm{o}}^2) + i_{L{\rm{\_r}}}^2} .} $

(4)

内环采用无差拍控制，如图 3所示。

1.2 定量分析稳态误差

能量平衡控制中的稳态误差可能会由3个因素导致：1)能量平衡控制中包含众多电路参数，控制算法中的参数和实际电路参数存在偏差；2)损耗被忽略或未准确估计；3)内环的执行存在静差。在不考虑这3个因素的情况下，图 4中绿色负载线和红色运行滑模面的交点即为稳态点，交点恰为(u_{o_r}, i_{L_r})，因此实际不存在稳态误差。

下面考虑参数、损耗的不准确和内环的执行静差。设真实的电容和电感值分别为C₀和L₀，考虑到损耗P_Loss，负载线由式(2)变为式(5), 如图 4中蓝线所示。

$ {i_L} = \frac{{u_{\rm{o}}^2}}{{R{U_{{\rm{in}}}}}} + \frac{{{P_{{\rm{Loss}}}}}}{{{U_{{\rm{in}}}}}}. $

(5)

内环的无差拍电流控制器没有考虑一差拍延迟，相当于比例控制器，且对电路参数准确性敏感^[13]，因而易存在静差，运行线由式(3)变为式(6)，如图 4中紫色曲线所示。

$ \frac{1}{2}kCu_{\rm{o}}^2 + \frac{1}{2}L{({i_L} - \Delta {i_L})^2} = \frac{1}{2}kCu_{{\rm{o\_r}}}^2 + \frac{1}{2}Li_{L{\rm{\_r}}}^2. $

(6)

运行线和负载线的交点$\left({{{\bar{u}}}_{\text{o}}}, {{{\bar{i}}}_{L}} \right)$即为稳态工作点，${{{\bar{u}}}_{\text{o}}}$和u_{o_r}存在偏差从而导致了稳态误差。稳态误差表达式为

$ \begin{array}{l} \Delta {u_{\rm{o}}} \approx \left. {\frac{{\partial {g^{ - 1}}({i_L})}}{{\partial {i_L}}}} \right|{\kern 1pt} {{\kern 1pt} _{\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{\rm{o}}} = {u_{{\rm{o\_r}}}}}\\ {{i_L} = {i_{L{\rm{\_r}}}}} \end{array}}}\Delta {i_L} + {\left. {\frac{{\partial {f^{ - 1}}({i_L})}}{{\partial {i_L}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} } \right|_{\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{\rm{o}}} = {u_{{\rm{o\_r}}}}}\\ {{i_L} = {i_{L{\rm{\_r}}}}} \end{array}}}\frac{{{P_{{\rm{Loss}}}}}}{{{U_{{\rm{in}}}}}} = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{R{U_{{\rm{ in }}}}}}{{2{u_{{\rm{o\_r}}}}}}\Delta {i_L} - \frac{{L{i_{L{\rm{\_r}}}}}}{{kC{u_{{\rm{o\_r}}}}}}\frac{{{P_{{\rm{ Loss }}}}}}{{{U_{{\rm{ in }}}}}}. \end{array} $

(7)

由式(7)可以看出，对于Boost变换器基于能量平衡的轨迹控制^[4]，稳态误差产生的原因是：1) P_Loss的存在，即对损耗的忽略；2) Δi_L的存在，即内环的执行有静差。当P_Loss很小时，一般稳态误差随着k的增大而减小，随着内环静差的增大而增大。

1.3 Lyapunov全局稳定性分析

对于Boost变换器的能量平衡控制^[4]，对其进行全局稳定性分析。为简化分析，暂不考虑内环电流环的静差问题和损耗问题，则有i_Lr=i_{L_r}，${{{\bar{u}}}_{\text{o}}}$=u_{o_r}。设$W=\frac{1}{2}Li_{L}^{2}+\frac{1}{2}Cu_{\text{o}}^{2}-\frac{1}{2}Li_{L\_\text{r}}^{2}-\frac{1}{2}Cu_{\text{o}\_\text{r}}^{2}$，W=0在相平面上的曲线如图 5的黑色能量环所示，绿色负载线、黑色能量环、红色运行线都经过点(u_{o_r}, i_{L_r})。

下面分析在能量平衡控制下，运行点在运行线上滑动时，最终稳定在稳态点(u_{o_r}, i_{L_r})的条件。设Lyapunov函数为

$ {W^2} = {\left( {\frac{1}{2}Li_L^2 + \frac{1}{2}Cu_{\rm{o}}^2 - \frac{1}{2}Li_{L{\rm{\_r}}}^2 - \frac{1}{2}Cu_{{\rm{o\_r}}}^2} \right)^2}. $

(8)

而

$ \frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} = C{u_{\rm{o}}}\frac{{{\rm{d}}{u_{\rm{o}}}}}{{{\rm{d}}t}} + L{i_L}\frac{{{\rm{d}}{i_L}}}{{{\rm{d}}t}}. $

(9)

结合功率平衡模型式(1)和(9)可知，运行点在绿色负载线之上和之下有着不同的$\frac{\text{d}W}{\text{d}t}$符号，如式(10)所示。

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} > 0,}&{{i_L} = f({u_{\rm{o}}}) > {i_{L{\rm{\_r}}}};}\\ {\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} = 0,}&{{i_L} = f({u_{\rm{o}}}) = {i_{L{\rm{\_r}}}};}\\ {\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} < 0,}&{{i_L} = f({u_{\rm{o}}}) < {i_{L{\rm{\_r}}}}.} \end{array}} \right. $

(10)

根据Lyapunov稳定性判据，运行线上的运行点满足式(11)时，可保证最终稳定于稳态点(u_{o_r}, i_{L_r})。

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {W < 0,}&{{i_L} = f({u_{\rm{o}}}) > {i_{L{\rm{\_r}}}};}\\ {W > 0,}&{{i_L} = f({u_{\rm{o}}}) < {i_{L{\rm{\_r}}}}.} \end{array}} \right. $

(11)

考虑黑色能量环和红色运行线之间的相对位置关系，关键在于在相交点(u_{o_r}, i_{L_r})处两者的斜率$\frac{\partial {{i}_{L}}}{\partial {{u}_{\text{o}}}}$之比。

当0 < k < 1时，能量环的斜率绝对值大于运行线，其相对位置关系如图 5a所示，由式(11)可得，运行点需要在斜线部分滑动，Lyapunov稳定性才能够满足，因此当运行点在红色运行线上任意位置滑动时，都可以保证最终稳定在(u_{o_r}, i_{L_r})；

当k≥1时，能量环的斜率绝对值小于运行线，其相对位置关系如图 5b所示，由式(11)可得，运行点需要在斜线部分滑动，Lyapunov稳定性才能够满足，因此不可能稳定在(u_{o_r}, i_{L_r})。

2 考虑大时间尺度的能量平衡

大时间尺度的能量平衡控制如电能路由器中双直流母线的能量平衡控制^[7]、三相整流桥的能量平衡控制^[8]，考虑在开关周期或者工频周期时间尺度下的能量平衡。

本节以电能路由器中级联直流母线的能量平衡控制为例，首先解析文[7]中级联直流母线的能量平衡控制，将其更改为“外环滑模+内环”的通用形式，然后定量分析其稳态误差，最后基于能量平衡模型分析其Lyapunov全局稳定性。

2.1 能量平衡控制策略简介

在图 1的电能路由器中，双直流母线(包括级联直流母线和低压直流母线)电压的控制性能非常关键，这里以级联直流母线的能量平衡控制为例进行解析。

为了协调改善级联直流母线的动态性能，级联H桥采用了基于工频周期的能量平衡控制^[7]，网侧电源的能量E_S等于流向电感的能量ΔE_Ls、级联母线电容的能量ΔE_CH、低压直流母线电容的能量ΔE_CL、负载的能量E_Load和损耗E_Loss之和。根据能量平衡关系建立能量模型：

$ {E_{\rm{S}}} = 4\Delta {E_{{\rm{Ls}}}} + 4\Delta {E_{{\rm{CH}}}} + \Delta {E_{{\rm{CL}}}} + {E_{{\rm{Load}}}} + {E_{{\rm{Loss}}}}. $

(12)

根据半个工频周期T_g前后电感的能量变化ΔE_Ls=0，则实际半个工频周期的能量平衡模型由式(12)变为

$ {U_{\rm{S}}}{I_{\rm{S}}}\frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2} = 4\Delta {E_{{\rm{CH}}}} + \Delta {E_{{\rm{CL}}}} + \frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Load}}}} + \frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Loss}}}}. $

(13)

其中: I_S和U_S分别为网侧电流和电压有效值，P_Load和P_Loss分别为负载和其余损耗元件的消耗功率。

设状态量U_H和U_L在半个工频周期后分别达到目标值U_H^*和U_L^*，由式(13)可以得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{U_{\rm{S}}}I_{\rm{S}}^*\frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 4{C_{\rm{H}}}(U{{_{\rm{H}}^ * }^2} - U_{\rm{H}}^2) + }\\ {\frac{1}{2}{C_{\rm{L}}}(U{{_{\rm{L}}^ * }^2} - U_{\rm{L}}^2) + \frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Load}}}} + \frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Loss}}}}.} \end{array} $

(14)

其中: C_H为级联直流母线电容，C_L为低压直流母线电容。进而计算出电网电流的指令值为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {I_{\rm{S}}^* = ({P_{{\rm{Load}}}} + {P_{{\rm{Loss}}}} + 4{C_{\rm{H}}}{f_{\rm{g}}}(U{{_{\rm{H}}^ * }^2} - U_{\rm{H}}^2) + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {C_{\rm{L}}}{f_{\rm{g}}}(U{{_{\rm{L}}^ * }^2} - U_{\rm{L}}^2))/{U_{\rm{S}}}.} \end{array} $

(15)

其中f_g=1/T_g。最后结合内环的PR控制器调节电网电流有效值I_S=I_S^*。整个控制框图如图 6所示。

2.2 更改为“外环滑模+内环”形式

在级联H桥的能量平衡控制^[7]中，由于级联H桥能够直接影响的量为U_H和I_S，而U_L是由后一级控制的，假设后一级控制使得在半个工频周期后有U_L=U_L^*。若忽略内环电流环的执行时间和静差，有I_S=I_S^*，则式(15)可以看作式(16)在U_H-I_S相平面上的抛物线滑模面，原级联H桥能量平衡控制的控制效果即使得运行点(U_H, I_S)在式(16)所示的滑模面上运行。

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{I_{\rm{S}}} = h({U_{\rm{H}}}) = - \frac{{4{C_{\rm{H}}}{f_{\rm{g}}}U_{\rm{H}}^2}}{{{U_{\rm{S}}}}} + \frac{{4{C_{\rm{H}}}{f_{\rm{g}}}U{{_{\rm{H}}^*}^2}}}{{{U_{\rm{S}}}}} + }\\ {\frac{{{P_{{\rm{Load}}}} + {P_{{\rm{Loss}}}} + {C_{\rm{L}}}{f_{\rm{g}}}(U{{_{\rm{L}}^*}^2} - U_{\rm{L}}^2)}}{{{U_{\rm{S}}}}}.} \end{array} $

(16)

若在U_H-I_S^*相平面设计一个如式(15)所示的滑模面，用以输出电流指令I_S^*，内环电流环执行这一电流指令使得I_S=I_S^*，则运行点(U_H, I_S)同样在式(16)所示的滑模面上运行。综上所述，原级联H桥的能量平衡控制等效成为了“外环滑模面输出电流指令且内环电流环执行指令”这一通用形式。

2.3 定量分析稳态误差

由节1.2可知能量平衡控制会因为3个因素导致级联H桥的能量平衡控制得到的U_H和U_H^*之间存在稳态误差。

在级联H桥的能量平衡控制^[7]中，由于其内环采用PR控制器因而内环没有静差，只需定量分析电路参数误差和损耗不准确导致的能量平衡中的稳态误差。首先在相平面图上画出滑模面I_S=h(U_H)，如图 7中红色曲线所示，本文将其称作能量平衡控制的运行线，在能量平衡控制下，运行点(U_H, I_S)在该运行线上滑动。

系统稳定时，考虑到所控制的量U_H稳定，电容C_H前后达到功率平衡状态，令能量平衡模型式(13)中的ΔE_CH=0，得到式(17)，本文称之为负载线。

$ {I_{\rm{S}}} = \frac{{{P_{{\rm{Load}}}} + {P_{{\rm{Loss}}}} + {C_{\rm{L}}}{f_{\rm{g}}}(U{{_{\rm{L}}^*}^2} - U_{\rm{L}}^2)}}{{{U_{\rm{S}}}}}. $

(17)

负载线和运行线相交的点，即为最终稳态点。将式(17)代入到运行线式(16)后可以得到U_H=U_H^*，因而稳态点为$\left(U_{\mathrm{H}}^{*}, \frac{P_{\mathrm{Load}}+P_{\mathrm{Loss}}+C_{\mathrm{L}} f_{\mathrm{g}}\left(U_{\mathrm{L}}^{* 2}-U_{\mathrm{L}}^{2}\right)}{U_{\mathrm{S}}}\right)$。但考虑到P_Loss的误差和电容C_L、C_H参数误差，稳态点会发生偏差。设真实的损耗功率为P_Loss0，真实的电容参数为C_L0、C_H0，则半个工频周期的能量平衡模型(13)可更改为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{U_{\rm{S}}}{I_{\rm{S}}}\frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2} = 4\Delta {E_{{\rm{CH}}}} + \frac{1}{2}{C_{{\rm{L0}}}}(U{{_{\rm{L}}^*}^2} - U_{\rm{L}}^2) + }\\ {\frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Load}}}} + \frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Loss0}}}}.} \end{array} $

(18)

由电容C_H前后的功率平衡以及式(18)得到真正的负载线如图 7中绿色直线所示，

$ {I_{\rm{S}}} = \frac{{{P_{{\rm{Load}}}} + {P_{{\rm{Loss0}}}} + {C_{{\rm{L0}}}}{f_{\rm{g}}}(U{{_{\rm{L}}^*}^2} - U_{\rm{L}}^2)}}{{{U_{\rm{S}}}}}. $

(19)

图 7中绿色负载线和红色运行线的交点为最终的稳态点，可以看出最终的${{\overline{U}}_{\text{H}}}$与U_H^*有了一定的偏差，即造成了稳态误差。为了求出${{\overline{U}}_{\text{H}}}$，将式(19)代入式(16)，得到真正的稳态点电压：

$ {\bar U_{\rm{H}}} = \sqrt {U{{_{\rm{H}}^*}^2} + \frac{{{P_{{\rm{Loss}}}} - {P_{{\rm{Loss0}}}} + ({C_{\rm{L}}} - {C_{{\rm{L0}}}}){f_{\rm{g}}}(U{{_{\rm{L}}^*}^2} - U_{\rm{L}}^2)}}{{4{C_{\rm{H}}}{f_{\rm{g}}}}}} . $

(20)

进而计算稳态误差为

$ e = \sqrt {U{{_{\rm{H}}^*}^2} + \frac{{{P_{{\rm{Loss}}}} - {P_{{\rm{Loss0}}}} + ({C_{\rm{L}}} - {C_{{\rm{L0}}}}){f_{\rm{g}}}(U{{_{\rm{L}}^*}^2} - U_{\rm{L}}^2)}}{{4{C_{\rm{H}}}{f_{\rm{g}}}}}} - U_{\rm{H}}^*. $

(21)

由式(21)可以看出，对于电能路由器级联H桥的能量平衡控制^[7]，稳态误差由2部分原因造成：1) C_L和C_L0的偏差，即能量平衡控制中的参数与实际电路参数之间的偏差；2) P_Loss与P_Loss0的偏差，即损耗未准确估计。

2.4 Lyapunov全局稳定性分析

采用Lyapunov稳定性来分析级联直流母线的能量平衡控制^[7]在工频周期T_g下的全局稳定性。选择Lyapunov函数为

$ {W^2} = {({C_{\rm{H}}}U_{\rm{H}}^2 - {C_{\rm{H}}}\bar U_{\rm{H}}^2)^2}, $

(22)

其中：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {W = {C_{\rm{H}}}U_{\rm{H}}^2 - {C_{\rm{H}}}\bar U_{\rm{H}}^2,}\\ {\Delta W{|_{{T_{\rm{g}}}}} = \Delta ({C_{\rm{H}}}U_{\rm{H}}^2) \propto \Delta {E_{{\rm{CH}}}}{|_{{T_{\rm{g}}}}}.} \end{array}} \right. $

(23)

由能量平衡模型式(18)可以得到式(24)，

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {E_{{\rm{CH}}}}{|_{{T_{\rm{g}}}}} = {U_{\rm{S}}}{I_{\rm{S}}}\frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2} - \frac{1}{2}{C_{{\rm{L0}}}}(U{{_{\rm{L}}^*}^2} - U_{\rm{L}}^2) - }\\ {\frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Load}}}} - \frac{{{T_{\rm{g}}}}}{2}{P_{{\rm{Loss0}}}}.} \end{array} $

(24)

对照式(24)与(19)可知，当运行点运行在图 7红色运行线上时，在绿色负载线之上有ΔW∝ΔE_CH>0，在负载线之下有ΔW∝ΔE_CH < 0。同时由图 7可以看出当运行点在绿色负载线之上，有W < 0；运行点在负载线之下，有W>0。因此该能量平衡控制满足Lyapunov稳定性判据WΔW < 0，电能路由器级联H桥的能量平衡控制^[7]在工频周期时间尺度下是全局稳定的。

3 考虑多时间尺度的能量平衡

在多时间尺度的能量平衡控制中，采用同时考虑开关周期和工频周期的分布式补偿能量平衡控制策略。首先根据开关周期和工频周期时间尺度下的能量平衡模型得到内环指令值，然后由内环控制实现该指令值。

本节首先解析双PWM变换器的能量平衡控制^[11]，将其更改为“外环滑模+内环”的通用形式，然后定量分析其稳态误差，最后基于功率平衡模型分析其Lyapunov全局稳定性。

3.1 能量平衡控制策略简介

如图 8所示的双PWM变换器^[11]，为了协调改善母线电压的动态性能，即降低电容电压波动和减小瞬态过程的恢复时间，能量平衡控制被用在前级的整流器控制器中用以控制直流母线，如图 9所示。采用一种分布补偿的能量平衡控制策略，包括大时间和小时间尺度：一部分考虑开关周期尺度下达到系统需要的能量；另一部分考虑工频周期的能量平衡过程。

对双PWM变换器在任意时间间隔内建立能量平衡模型为

$ \Delta {W_{\rm{g}}} = {W_{\rm{R}}} + \Delta {W_{{\rm{Lg}}}} + \Delta {W_{{\rm{Cdc}}}} + {W_{{\rm{inv}}}}. $

(25)

其中: W_g为电网输入的能量，W_R为线路、电感等效电阻、电容等效电阻等造成的损耗，ΔW_Lg=$\Delta\left(\frac{3}{4} L_{\mathrm{g}} i_{\mathrm{rd}}^{2}\right)$为网侧电感L_g的储能变化量，ΔW_Cdc=$\Delta\left(\frac{1}{2} C_{\mathrm{dc}} u_{\mathrm{dc}}^{2}\right)$为直流母线电容C_dc的储能变换量，W_inv为逆变器以及负载消耗的能量。i_rd和i_rd^*分别为d轴网侧电流和其指令值，u_dc和u_dc^*分别为直流母线电压和其指令值。

在该能量平衡模型的基础上，将系统需要的能量分为2部分：1)在能量消耗元件中消耗的能量，包括W_R和W_inv；2)与储能元件之间交换的能量，包括ΔW_Lg和ΔW_Cdc。对应将电网电流指令值i_rd^*分为2部分：考虑工频周期能量平衡的i_rd1^*和考虑瞬时能量平衡的i_rd2^*。

首先工频周期下不考虑储能元件的能量变化，建立功率平衡模型如式(26)所示，i_rd1^*用来补偿能量消耗元件的功率。

$ \frac{3}{2}{e_{\rm{d}}}i_{{\rm{rd1}}}^* = \frac{3}{2}{R_{\rm{g}}}i_{{\rm{rd1}}}^{*2} + {P_{{\rm{inv}}}}. $

(26)

其中: e_d为d轴电网电压，R_g为网侧电感等效电阻。

然后建立n个控制周期T_s下的能量平衡模型，i_rd2^*用来补偿储能元件中的能量：

$ \frac{3}{2}{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}i_{{\rm{rd2}}}^* = \frac{3}{4}{L_g}(i_{{\rm{rd1}}}^{*2} - i_{{\rm{rd}}}^2) + \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}(u_{{\rm{dc}}}^{*2} - u_{{\rm{dc}}}^2). $

(27)

将式(26)中的i_rd1^*和式(27)中的i_rd2^*叠加，可得到有功电流指令值如式(28)所示。

结合内环无差拍控制实现电流指令值，设计内外环控制器如图 9所示。

$ i_{{\rm{rd}}}^* = \frac{{{R_{\rm{g}}}}}{{{e_{\rm{d}}}}}{\left( {\frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}} \right)^2} + \frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}} + \frac{2}{{3{e_{\rm{d}}}n{T_s}}} \times \left[ {\frac{3}{4}{L_{\rm{g}}}\left( {{{\left( {\frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}} \right)}^2} - i_{{\rm{rd}}}^2} \right) + \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}(u_{{\rm{dc}}}^{*2} - u_{{\rm{dc}}}^2)} \right]. $

(28)

3.2 “外环滑模+内环”通用形式

在双PWM变换器的能量平衡控制^[11]中，若忽略掉内环电流环的执行时间和静差，有i_rd=i_rd^*，则由式(28)可得到式(29)，为一个在u_dc-i_rd相平面上的椭圆滑模面。若在u_dc-i_rd上设计一个相同的滑模面，用以输出电流指令i_rd^*，内环电流环执行这一电流指令使得i_rd=i_rd^*，则运行点(u_dc, i_rd)运行在相同的滑模面上。因此原能量平衡控制等效成为了“外环滑模面输出电流指令且内环电流环执行指令”这一通用形式。

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {i_{{\rm{rd}}}} + \frac{{{L_{\rm{g}}}}}{{2{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}}i_{{\rm{rd}}}^2 + \frac{{{C_{{\rm{dc}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}}u_{{\rm{dc}}}^2 = \frac{{{R_{\rm{g}}}}}{{{e_{\rm{d}}}}}{\left( {\frac{{2{P_{{\rm{ inv }}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}} \right)^2} + \\ \frac{{2{P_{{\rm{ inv }}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}} + \frac{2}{{3{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}} \times \left[ {\frac{3}{4}{L_{\rm{g}}}{{\left( {\frac{{2{P_{{\rm{ inv }}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}} \right)}^2} + \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}u{{_{{\rm{dc}}}^*}^2}} \right]. \end{array} $

(29)

3.3 定量分析稳态误差

由节1.2可知能量平衡控制会因为3个因素导致双PWM变换器的能量平衡控制中得到的u_dc和指令值u_dc^*存在稳态误差。

在双PWM变换器的能量平衡控制^[11]中，由于R_g很小，因此忽略，则式(29)可以变为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {i_{{\rm{rd}}}} + \frac{{{L_{\rm{g}}}}}{{2{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}}i_{{\rm{rd}}}^2 + \frac{{{C_{{\rm{dc}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}}u_{{\rm{dc}}}^2 = }\\ {\frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}} + \frac{2}{{3{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}} \times \left[ {\frac{3}{4}{L_g}\left( {\frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}} \right) + \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}u{{_{{\rm{dc}}}^*}^2}} \right].} \end{array} $

(30)

1) 若内环电流环没有静差且不存在损耗问题。

首先在相平面图 10上画出滑模面i_rd=i_rd^*=h(u_dc), 如红色曲线所示，是一个以$\left(0, -\frac{e_{\mathrm{d}} n T_{\mathrm{s}}}{L_{\mathrm{g}}}\right)$为中心的椭圆曲线，本文称之为能量平衡控制的运行线，在能量平衡控制下，运行点(u_dc, i_rd)在该运行线上滑动。

然后在不考虑线路、电感等效电阻、电容等效电阻等造成的损耗W_R后，由能量平衡模型式(25)，建立某个时间段Δt内的能量平衡模型：

$ \frac{3}{2}{e_{\rm{d}}}{i_{{\rm{rd}}}}\Delta t = \Delta {W_{{\rm{Lg}}}} + \Delta {W_{{\rm{Cdc}}}} + {P_{{\rm{inv}}}}\Delta t. $

(31)

系统稳定时，考虑到储能元件里的能量保持稳定即ΔW_Lg=ΔW_Cdc=0时，有

$ \bar i{{\kern 1pt} _{{\rm{rd}}}} = \frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}. $

(32)

本文称式(32)为负载线，由负载线和运行线相交的点，即为最终稳态点。

将式(32)代入到式(30)，可求得负载线和运行线的交点为(u_dc^*, i_rd)，由此可以看出，u_dc和指令值u_dc^*不存在静差。

2) 若考虑损耗问题和内环电流环静差。

由于在文[11]中，内环采用无差拍控制，极易因为参数不匹配原因造成内环电流环的静差^[13-14]，设内环电流环误差为Δi_rd=i_rd－i_rd^*，则真正的运行线为i_rd=h₁(u_dc)，如图 10中紫色椭圆所示，该滑膜面的表达式如式(33)所示。

$ \begin{array}{l} {i_{{\rm{rd}}}} - \Delta {i_{{\rm{rd}}}} + \frac{{{L_{\rm{g}}}}}{{2{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}}{({i_{{\rm{rd}}}} - \Delta {i_{{\rm{rd}}}})^2} + \frac{{{C_{{\rm{dc}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}}u_{{\rm{dc}}}^2 = \\ \frac{{2{P_{{\rm{ inv }}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}} + \frac{2}{{3{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}} \times \left[ {\frac{3}{4}{L_{\rm{g}}}{{\left( {\frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}} \right)}^2} + \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}u{{_{{\rm{dc}}}^*}^2}} \right]. \end{array} $

(33)

此外，由于损耗问题，能量平衡模型式(31)需要加入损耗功率P_Loss一项，则负载线应从式(32)改为式(34)，如图 10中的蓝色直线所示。

$ {i_{{\rm{rd}}}} = \bar i{\kern 1pt} _{{\rm{rd}}}^\prime = \frac{{2({P_{{\rm{inv}}}} + {P_{{\rm{Loss}}}})}}{{3{e_{\rm{d}}}}}. $

(34)

此时负载线与运行线的交点(u_dc, i′_rd)为真正的稳态点，明显与之前不存在静差的交点(u_dc^*, i_rd)产生了偏差。偏差表达式为

$ \begin{array}{l} \Delta {u_{{\rm{dc}}}} = {\left. { - \frac{{\partial {u_{{\rm{dc}}}}}}{{\partial {i_{{\rm{rd}}}}}}} \right|_{\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{\rm{d}}}{\rm{c}} = u_{{\rm{dc}}}^*}\\ {{i_{{\rm{rd}}}} = \bar i{{\kern 1pt} _{{\rm{rd}}}}} \end{array}}}\Delta {i_{{\rm{rd}}}} + {\left. {\frac{{\partial {u_{{\rm{dc}}}}}}{{\partial {i_{{\rm{rd}}}}}}} \right|_{\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{\rm{d}}}{\rm{c}} = u_{{\rm{dc}}}^*}\\ {{i_{{\rm{rd}}}} = \bar i{{\kern 1pt} _{{\rm{rd}}}}} \end{array}}}\frac{{2{P_{{\rm{Loss}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}} = \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{{P_{{\rm{ inv }}}}{L_{\rm{g}}}}}{{{C_{{\rm{dc}}}}{e_{\rm{d}}}u_{{\rm{dc}}}^*}}\left( {\Delta {i_{{\rm{rd}}}} - \frac{{2{P_{{\rm{Loss}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}} \right). \end{array} $

(35)

由上式可以看出，对于双PWM变换器能量平衡控制^[11]，稳态误差由2部分原因造成：1) P_Loss的存在，即损耗被忽略；2) Δi_rd的存在，即内环的执行有静差。

3.4 Lyapunov全局稳定性分析

同样以双PWM变换器的能量平衡控制^[11]为例分析全局稳定性。为简化分析，暂不考虑内环电流环的静差问题和损耗问题。由式(31)的能量平衡模型改为功率平衡模型如下:

$ \frac{3}{2}{e_{\rm{d}}}{i_{{\rm{rd}}}} - {P_{{\rm{inv}}}} = \frac{{\Delta \left( {\frac{3}{4}{L_{\rm{g}}}i_{{\rm{rd}}}^2 + \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}u_{{\rm{dc}}}^2} \right)}}{{\Delta t}}. $

(36)

设$W=\frac{3}{4} L_{\mathrm{g}} i_{\mathrm{rd}}^{2}+\frac{1}{2} C_{\mathrm{dc}} u_{\mathrm{dc}}^{2}-\frac{3}{4} L_{\mathrm{g}} \bar{i}_{\mathrm{rd}}^{2}-\frac{1}{2} C_{\mathrm{dc}}$·u_dc²，W=0在相平面上的曲线如图 11中黑色曲线所示，绿色负载线、黑色能量环、紫色运行线都经过点(u_dc, i_rd)，而且W=0黑色曲线在(u_dc, i_rd)处的斜率小于运行线紫色曲线的斜率(该结论由式(37)可知成立)。

$ - \frac{{2{C_{{\rm{dc}}}}{{\bar u}_{{\rm{dc}}}}}}{{3{L_{\rm{g}}}\bar i{{\kern 1pt} _{{\rm{rd}}}}}} < - \frac{{2{C_{{\rm{dc}}}}{{\bar u}_{{\rm{dc}}}}}}{{3{L_{\rm{g}}}\left( {\bar i{{\kern 1pt} _{{\rm{rd}}}} + \frac{{{e_{\rm{d}}}n{T_{\rm{s}}}}}{{{L_{\rm{g}}}}}} \right)}}. $

(37)

设定Lyapunov函数为

$ {W^2} = {\left( {\frac{3}{4}{L_{\rm{g}}}i_{{\rm{rd}}}^2 + \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}u_{{\rm{dc}}}^2 - \frac{3}{4}{L_{\rm{g}}}\bar i{\kern 1pt} _{{\rm{rd}}}^2 - \frac{1}{2}{C_{{\rm{dc}}}}\bar u_{{\rm{dc}}}^2} \right)^2}. $

(38)

由式(36)可知，运行点在绿色负载线之上和之下有着不同的$\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}}$符号如式(39)所示。

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} > 0,}&{{i_{{\rm{rd}}}} > \frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}};}\\ {\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} = 0,}&{{i_{{\rm{rd}}}} = \frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}};}\\ {\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} < 0,}&{{i_{{\rm{rd}}}} < \frac{{2{P_{{\rm{inv}}}}}}{{3{e_{\rm{d}}}}}.} \end{array}} \right. $

(39)

为了满足Lyapunov稳定性也即$W\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} < 0$，需要保证在绿色负载线之上有W < 0，在负载线之下有W>0，则系统能够稳定在$\left(\bar{u}_{\mathrm{dc}}, \bar{i}_{\mathrm{rd}}=\frac{2 P_{\mathrm{inv}}}{3 e_{\mathrm{d}}}\right)$。

若P_inv≥0，运行线上的运行点必须在如图 11斜线标注的部分之内运动，因此只需保证初始点电流不会小于i_min即可。

若P_inv < 0, 则有：

1) n比较小，导致负载线与运行线的交点在运行线的下半圆周上，即$-\frac{e_{\mathrm{d}} n T_{\mathrm{s}}}{L_{\mathrm{g}}}>\frac{2 P_{\mathrm{inv}}}{3 e_{\mathrm{d}}}$，如图 12a所示。运行线上的运行点必须在图 12a的斜线标注的部分之内运动，系统才能够向(u_dc, i_rd)收敛。而在(u_dc, i_rd)附近的部分都不处于斜线标注范围之内，因此无论初始点在哪里，都不可能稳定在(u_dc, i_rd)。

2) n比较大，负载线与运行线交点在运行线的上半圆周上，即$-\frac{e_{\mathrm{d}} n T_{\mathrm{s}}}{L_{\mathrm{g}}} < \frac{2 P_{\mathrm{inv}}}{3 e_{\mathrm{d}}}$，如图 12b和12c所示。此时，运行线上的运行点必须在图 12b和12c斜线标注的部分之内运动，系统就能够向(u_dc, i_rd)收敛。因此只要保证初始点电流不会小于i_min，最终系统便能够稳定在(u_dc, i_rd)。

综上所述，为了保证P_inv在任何情况下都能有Lyapunov稳定于(u_dc, i_rd)，设P_{inv_min}为最小的负载消耗功率(即最大的发出功率)，需要能量平衡控制中的平衡时间t_c满足

$ {t_{\rm{c}}} = n{T_{\rm{s}}} > - \frac{{2{P_{{\rm{inv\_min}}}}{L_{\rm{g}}}}}{{3e_{\rm{d}}^2}}, $

(40)

且初始点电流大于i_min的最大值i_{min_max}即可。当P_inv=P_{inv_min}时，i_min最大，此时可以通过求解图 11、图 12b和图 12c中黑色能量环和紫色运行线的交点求得i_{min_max}。

4 仿真验证

为了证明稳态误差分析的正确性，以第1种能量平衡控制算法为例，对Boost变换器基于能量平衡的控制^[4]进行仿真，其内环采用无差拍控制。仿真参数如表 1所示。在节1对稳态误差分析的结论是，当忽略损耗时，电压静差随着能量平衡控制参数k的增大而减小，随着内环电流静差的增大而增大。因此需要仿真电压静差与k、内环电流静差的关系。

由文[14]可知，无差拍控制的静差来源于电感等效电阻R_L的误差。仿真结果图 13中，在t=0.2 s之前，内环无差拍控制策略忽略电感等效电阻，即R_L为默认值0 Ω，内环存在静差；在t=0.2 s之后，控制策略中的R_L恢复为真实值1.0 Ω，内环静差消除。在内环静差消除之后，u_o的稳态误差大大减小，几乎被消除。这就证明了能量平衡策略^[4]的静差很依赖于电流内环的静差。

本文还分别仿真了k=0.1、k=0.2和k=0.3的电压静差结果，如图 13所示。仿真结果表明，电压静差随着能量平衡控制参数k的增大而减小。

5 结论

能量平衡控制是一种能量角度出发的控制策略，可以实现多控制目标的统一和控制性能的协调提升。本文针对能量平衡控制，研究提出了稳态误差和全局稳定性分析，完善了能量平衡控制的理论性。

本文首先将已有的3种能量平衡控制统一为“外环滑模+内环”的形式。在此基础上，针对稳态误差，本文分析指出了稳态误差产生的三大可能原因，并与每种能量平衡控制的示例一一对应。仿真验证了稳态误差分析的正确性。

针对稳定性分析，本文基于能量平衡模型，分别证明了3种能量平衡控制策略的Lyapunov全局稳定性，并给出了控制参数的设置方法。