体视粒子图像测速(stereoscopic particle image velocimetry, SPIV)是20世纪90年代初发展起来的一种非接触测量平面三维瞬态流场的技术^[1]。它采用2台相机从不同视角同步拍摄激光片光照亮的公共平面内的示踪粒子，利用PIV算法分别计算各相机所拍粒子图像对应的二维流场，再根据2台相机同时刻测得的二维流场间的差异和成像系统标定关系，重构出平面三维流场^[2]。SPIV测量精度主要取决于二维流场测量精度和三维流场重构精度。

三维流场重构过程的误差源主要包括体视成像构造、标定方法及重构算法。与PIV技术相比，SPIV克服了透视误差的影响，其面内(in-plane)速度分量的测量精度通常优于相同条件下的PIV测量结果，因此，对SPIV测量误差的研究主要集中于面外(out-of-plane)速度分量。关于体视成像构造对SPIV测量结果的影响，理论推导和实验结果表明，面外误差与面内误差及相机视角之间满足如下关系^[3-4]：

$ \frac{{{\sigma _{\Delta z}}}}{{{\sigma _{\Delta x}}}} = \frac{1}{{\tan \theta }}. $

(1)

其中：σ_Δz为面外分量误差，σ_Δx为面内分量误差，θ为2台相机对称安装时相机的成像视角。式(1)表明，面外分量的精度随成像视角增大而提高，当视角等于45°时，面内、外分量的精度保持一致。关于标定方法及重构算法对SPIV测量精度的影响，国际PIV挑战赛结果表明，在理想构造条件下，立体重构不会引起额外误差，SPIV测量精度主要取决于二维流场测量精度；面外分量受重构算法和标定方法的影响甚微^[5-6]。由此可见，在保证SPIV系统构造尽量优化的前提下，其测量误差主要取决于二维流场。相应地，粒子图像时间间隔对SPIV测量结果的影响，也主要取决于其对二维流场(即PIV)测量结果的影响。

Keane等^[7-9]曾就粒子图像时间间隔对PIV测量结果的影响开展过系统研究。他们基于对粒子图像相关函数影响因素的理论分析，提出粒子图像时间间隔不能过长，以确保粒子图像在时间间隔内的面内和面外位移以及判读窗口内粒子位移之差小于一定限制。其中，对粒子图像面内位移的限制即为著名的1/4准则，它要求粒子图像在时间间隔内的位移小于判读窗口尺寸的1/4。该准则在实际应用中被广泛遵循。

然而，即使在满足1/4准则的条件下，时间间隔对二维流场测量结果仍产生影响。已有研究表明，当粒子图像直径d_τ不小于2像素(pixel)时，PIV计算的粒子位移误差为σ_Δx=c_τd_τ，其中，c_τ为表征PIV算法确定粒子位移性能的无量纲常数，典型的取值范围为0.05~0.2^[10]。根据PIV基本原理，若忽略时间间隔计量误差，则流速矢量的测量误差为

$ {\sigma _{\rm{u}}} = \frac{{{\sigma _{\Delta x}}}}{{\Delta t}} = \frac{{{c_\tau }{d_\tau }}}{{\Delta t}}. $

(2)

式(2)表明，在其他设置相同的条件下，流速测量误差随时间间隔的增加而减小。Poelma等^[11]在格栅紊流中的实验结果表明，在满足1/4准则的条件下PIV测量精度确实随着时间间隔的增大而提高。

然而，已有研究在考虑时间间隔对PIV测量精度的影响时往往忽略了流速梯度的影响；同时，随着SPIV系统在国内外的广泛使用，目前还未有专门分析时间间隔对SPIV测量精度影响的相关文献。因此，本研究基于典型的实验数据，研究粒子图像时间间隔对SPIV测量精度的影响，以期为SPIV系统的合理应用提供有益指导。

1 数据与方法 1.1 层流实验数据

本文选用的层流实验数据来源于第四届国际PIV挑战赛算例E。该实验数据由美国弗吉尼亚理工学院Rod La Foy课题组提供，所测流动为活塞突然启动形成的轴对称涡环流。实验时使用5台高速相机以1 000 Hz的帧频从不同视角同步拍摄激光平面的粒子图像，其中2台成像视角分别约为0°和25°的相机拍摄的粒子图像用于评估SPIV技术的测量性能。为便于分析SPIV的测量误差，所测流动对应的真实流场利用层析PIV方法近似获得，其依据是当测量区域为平面时，层析PIV的精度高于SPIV。关于该实验数据的详细介绍见文^[6]。

本文利用第四届国际PIV挑战赛组委会提供的2台相机同步拍摄的100对粒子图像作为分析对象，研究该流动条件下，粒子图像时间间隔对SPIV测量结果的影响。为了模拟不同粒子图像时间间隔条件下的SPIV测量，针对2台相机各自拍摄的100张等间隔(Δt_u=0.001 s)连续粒子图片，依次从间隔一定数量的图片中抽取2帧图像组成一对，并利用SPIV算法处理得到对应的平面三维流场。例如，若令相机拍摄第1张粒子图像的时间t=0，当抽取各相机拍摄的第n和第n+k张粒子图像组对并进行SPIV计算时，则对应的时间间隔Δt=kΔt_u，计算结果为t=(n-1+k/2)Δt_u时刻的实测流场；当n由1变化至(100-k)时，可得到(100-k)帧实测流场。图 1以Δt=2Δt_u为例，展示了改变粒子图像时间间隔的方法及对应的流场处理流程。

1.2 紊流实验数据

紊流实验数据来源于明渠恒定均匀流实验。实验在清华大学水利工程系长20 m、宽0.3 m、底坡0.002的自循环变坡玻璃水槽中测定，水流水深4.0 cm，对应的摩阻Reynolds数Re_τ为1 040。实验测量段距水槽入口12 m，可保证明渠紊流充分发展。采用自研的JFM(joy fluid measurement)系列高频SPIV系统对水槽中垂面的平面三维流场进行测量，水流示踪颗粒为粒径10 μm、密度1.06 g/cm³的空心玻璃微珠；激光器为Nd:YLF型高频脉冲激光器，波长527 nm，重复频率1 000 Hz时单脉冲能量为10 mJ，激光束经片光光路后在测量平面形成厚约1.5 mm的片光；拍摄粒子图像的2台高速相机分辨率为2 336×1 920像素，满帧频率为730 Hz，镜头规格为尼康AF 50 mm f/1.8D，镜头与相机采用Scheimpflug接头连接；2台相机采用角位移架构成像，对称安装在测量平面的上下游，相机有效成像视角约为24°；2台高速相机及激光器之间的同步由QuantumⓇ QC9520系列脉冲发生器控制，时间精度为±1 ns。

实验时，2台相机均以1 000 Hz的频率连续采集粒子图像，图像采样历时为80 s，使得相互独立的流场数满足统计收敛要求。对两台相机采集到的粒子图像按节1.1及图 1所示的方法进行处理，模拟不同粒子图像时间间隔条件下的SPIV实验。

1.3 数据处理方法

采用自主开发的JFM软件对不同时间间隔条件下的粒子图像进行判读处理。判读之前，首先采用对比度增强和Gauss滤波方法对粒子图像进行预处理，再分别采用经典双帧互相关PIV算法计算粒子图像对应的平面二维流场。对于层流实验数据，还利用多帧金字塔相关PIV算法^[12]计算对应的平面二维流场，计算各流场使用的等间隔粒子图片数为4帧。2种图像判读算法中均引入了多级网格迭代、多次判读及图像变形方法，详细介绍见文^[13]。计算层流流场时两台相机所摄粒子图像的判读窗口尺寸分别为24×24像素和28×28像素，重叠率为75%；计算明渠紊流流场时2台相机所摄粒子图像的判读窗口尺寸分别为24×24像素和20×20像素，重叠率为50%。三维流场重构采用Soloff方法^[14]完成，对应的成像系统标定函数为三阶多项式，多项式系数通过在测量平面放置标定靶的形式确定，并采用自标定方法对标定函数进行精细化处理^[15]，以消除测量平面与标定平面不重合引起的误差。重构输出的平面三维流场矢量之间的纵、横间距均为0.5 mm。

根据流动类型、图像判读算法和粒子图像时间间隔的不同，共设置了16组模拟测量组次，各组次对应的时间间隔见表 1。其中，首字母L和T分别表示层流和紊流，以CC命名的组次采用经典双帧互相关算法完成图像判读，以PC命名的组次采用多帧金字塔相关算法完成图像判读。为了直观判断各时间间隔条件下粒子位移是否满足1/4准则，表中还展示了各测次的示踪粒子最大相对位移R_d，其计算如下：

$ {R_{\rm{d}}} = \frac{{{U_{\max }}\Delta t{R_{\rm{s}}}}}{L}. $

(3)

其中：U_max为测量区域最大流速，R_s为成像分辨率(mm/pixel)，L为判读窗口尺寸。由于SPIV相机视场内各点成像分辨率不同，计算时取视场内成像分辨率的空间平均值；同时，各相机的成像分辨率及判读窗口尺寸不同，因此，分别按式(3)计算粒子最大相对位移，再取2台相机中的最大值作为该测次代表值。对于层流流动，取所有真实流场中的最大瞬态速度进行计算；对于明渠紊流，则取实测最大时均流速进行计算。

为了分析测量误差随粒子图像时间间隔的变化，对于层流实验数据，将每个组次的实测流场与同时刻真实流场进行比较，计算各流速矢量及其分量的误差绝对值，再以所有流场序列中各点测量误差为样本，计算误差的统计参数。对于明渠紊流实验数据，统计各组次实测流场对应的平均流速、紊动强度及Reynolds应力的垂向分布，并与摩阻Reynolds数相近的槽道流直接数值模拟(direct numerical simulation, DNS)结果进行对比分析，得到测量误差随时间间隔的变化趋势。

为便于叙述，下文中x、y、z方向的速度分量分别用U、V、W表示，其中x与y轴平面为测量平面，z轴垂直于测量平面；对于明渠紊流数据，x轴沿水流方向，y轴垂直于水槽底板并竖直向上，z轴沿水槽横向；上标“+”表示使用摩阻流速及水流运动黏度进行无量纲处理的变量。

2 结果分析 2.1 层流实验结果

图 2展示了所有实验组次中各速度分量误差绝对值的均值和标准差。结果表明，在粒子图像时间间隔满足1/4准则的前提下，无论使用何种图像判读算法，各速度分量的测量误差均随着时间间隔的增加而减小。当时间间隔增大到不满足1/4准则后，各速度分量测量误差又逐渐增大。2种粒子图像判读算法的最优结果分别出现在组次LCC6和LPC2，且精度略高于第四届国际PIV挑战赛中的最优算法^[6]；相比较而言，在相同时间间隔条件下，使用多帧金字塔相关算法的测次的精度更高。此外，在不同速度分量之间，面外分量的测量误差显著大于面内分量。

图 3进一步展示了面外分量测量误差与各面内分量测量误差的比值θ_r，其中的水平虚线表示在该成像构造条件下误差比值的理论值。图中结果表明，在满足1/4准则的条件下，误差比值随着粒子图像时间间隔的增加而缓慢减小，但实测值与理论值均较为接近。特别是组次LCC2、LCC3、LCC4、LCC5、LPC1的实测值与理论值几乎重合，这表明本文所使用的自标定算法较为理想地确定了成像系统标定函数，使三维流场重构过程引入的误差大小主要取决于成像系统的构造^[6]。上述实验结果进一步表明，时间间隔对SPIV测量精度的影响主要体现在对平面二维流场测量结果的影响。

图 4进一步统计和展示了使用经典双帧互相关算法的各实验组次的流速矢量整体误差的分布。结果表明，当粒子图像时间间隔满足1/4准则时，时间间隔越大，SPIV测量结果的误差分布越尖瘦，测量精度越高。统计误差分布的特征值发现，除LCC1测次外，各组次整体误差的众数均小于0.06像素，且95%的误差小于0.24像素，精度略高于第四届国际PIV挑战赛中的最优算法^[6]。

为了分析SPIV测量误差空间分布及其随时间间隔的变化趋势。图 5a展示了一张根据真实流场数据绘制的瞬态流场，其中箭头表示面内速度场，彩色云图表示面外速度分量。该瞬态流场表明所测流动三维特征明显，由2个轴线与测量平面近乎垂直的反向旋涡组成，且涡对两侧垂直于测量平面方向的流动显著。图 5b为该流场各点处面内速度梯度矩阵Əu/Əx绝对值最大的分量的分布，可见在2个涡核(C₁及C₂)及图中A、B两点附近均存在速度梯度较大的区域。图 6绘制了图 5a中的瞬态流场在3种不同时间间隔条件下的SPIV测量误差的空间分布。图中结果表明，对于时间间隔较小的LCC1组次，测量误差几乎均匀地分布在整个测量区域；随着粒子图像时间间隔的增大，LCC3及LCC5组次中速度梯度较小区域的测量误差显著减小，流场整体测量精度得以提高；但与图 5b对照可知，流场中速度梯度较大区域的测量误差依然显著，特别是流场中速度梯度最大的C₁点，测量误差有随着时间间隔的增加而增大的趋势。上述误差空间分布规律与第四届国际PIV挑战赛公布的其他参赛结果一致^[6]，表明对于速度梯度较小的区域，延长时间间隔有助于提高SPIV的整体测量精度；但对于速度梯度较大的局部区域，增加时间间隔并不一定能减小SPIV测量误差。

文^{[8, 16]}曾对速度梯度对PIV计算结果的影响进行过系统分析，结果表明，速度梯度对测量误差的影响表现为扩大位移相关峰的宽度、降低峰高、导致峰值偏移，并由判读窗口内示踪粒子间的位移差α=R_s|Δu|Δt表征，其中，Δu为判读窗口内粒子速度变化量，与当地速度梯度及判读窗口尺寸L的关系为Δu≈|Əu/Əx|·L。理论推导和实验结果表明，当判读窗口内粒子间位移差与粒子图像直径d_τ满足α/d_τ < 2/3(2/3准则)时，速度梯度的影响可忽略；反之，则测量误差随粒子间位移差的增大而增加。显然，对于给定速度梯度的流动区域，判读窗口内粒子间位移差与时间间隔Δt成正比。根据图 5b中的速度梯度绝对值，分别计算了2台相机所摄图像中判读窗口内的粒子间位移差，结果表明，在时间间隔为0.001 s时(LCC1)，图 5b中C₁点处判读窗口内粒子间位移差与粒子图像直径之比在2台相机中分别为0.53和0.37。由此可知，在其他时间间隔更大的测次中，C₁点均已不满足2/3准则，导致该点附近的测量误差随时间间隔的增加而不减反增。

2.2 明渠紊流实验结果

本文分析根据不同时间间隔条件下测得的瞬态流场序列统计得到的平均流速、紊动强度、Reynolds应力各分量的垂向分布。为便于分析，各分布图中还以曲线绘制了摩阻Reynolds数(Re_τ)为950的槽道流DNS结果^[17]。在进行对比时，需注意由于槽道流与明渠紊流外部边界不同，因此，同一紊动参数在这2种流动的外区可能具有不同的分布规律^[18]；此外，由于紊动强度受Reynolds数及流动外部边界条件影响^[19]，因此，这2种流动近壁区的紊动强度分布也存在一定差异。

图 7展示了不同测次的平均流速各分量的垂线分布。图 7a中，不同测次的纵向平均流速分布剖面与DNS结果在y⁺>100的区域内完全重合，这表明SPIV在该区域的测量结果较为可靠，且平均流速测量结果受粒子图像时间间隔的影响不明显。在速度梯度较大的近壁区，SPIV实测的纵向平均流速剖面与DNS结果出现了偏离，且偏离程度随时间间隔的增大而增加，表明SPIV在近壁区的测量精度相对较低，且随时间间隔的增加而进一步变差。图 7b中，垂向平均速度在整个水深范围内均接近理论值0，几乎未受时间间隔影响。图 7c中，不同测次的横向平均速度在y⁺>100的区域均接近理论值0，但在近壁区出现了较大测量误差，且误差随时间间隔增加而变大。

图 8展示了不同测次的紊动强度各分量的垂向分布，u_rms⁺、v_rms⁺、w_rms⁺分别表示x、y、z方向脉动流速u、v、w的均方根的无量纲值，图中各符号代表的测次与图 7一致。在y⁺>100的区域，各紊动强度分布剖面在不同测量条件下均保持相互重合，且各分量变化趋势及相对大小关系均与DNS结果吻合良好。在近壁区，不同测次得到的垂向紊动强度分布基本一致，但纵向和横向紊动强度分布出现了分化，与DNS结果对比表明，两者测量误差均随时间间隔增加而变大。

图 9展示了不同测次的Reynolds应力分量的垂向分布。图 9a中，不同测次的-uv分量在y/h>0.15区域的分布与DNS结果吻合较好；但在近壁区，由于SPIV不能完全解析小尺度紊动结构，使得Reynolds应力实测值小于DNS结果；同时，随着粒子图像时间间隔的增加，测量值与DNS结果的偏离程度逐步增大。图 9b及9c中，当粒子图像时间间隔满足1/4准则时，Reynolds应力的2个分量-uw和-vw与DNS计算结果在y/h>0.1范围内吻合良好；但是，当时间间隔过大以至于不满足1/4准则时(测次TCC4)，两Reynolds应力分量均在纵向流速最大的自由水面附近出现了较大测量误差；在近壁区，实测-uw和-vw分布与DNS计算结果之间出现明显偏离，且时间间隔越大，误差越显著。

以上对明渠紊流统计参数实测结果的分析表明，对于y⁺>100或y/h>0.1的区域而言，SPIV可以测得可靠的平面三维瞬态流场，当粒子图像时间间隔满足1/4准则时，未发现测量精度随时间间隔的变化而改变。对于近壁区，SPIV测量结果的整体精度相对较差，且误差随时间间隔的增加而变大；在3个速度分量之间，垂向速度分量对时间间隔的变化不敏感，而纵向和横向速度分量测量精度随时间间隔增加而显著降低。结合层流实验数据和明渠紊流流动特征可推测，SPIV在近壁区测量误差较大的主要原因在于速度梯度分量Ə U/Ə y过大，使判读窗口内粒子纵向位移的变化量对互相关函数产生了明显的劣化影响^[20]，降低了纵向速度的测量精度；随着时间间隔的增加，判读窗口内粒子间位移差线性增大，纵向速度测量精度进一步降低，并通过三维流场重构影响横向速度分量的测量精度。

在本文实验条件下，若只考虑纵向平均流速的垂向梯度，y/h < 0.1区域内判断窗口内粒子间位移差与粒子图像直径之比的平均值在TCC1、TCC2、TCC3、TCC4测次分别为0.39、0.78、1.17、1.56。可见除TCC1测次外，其他组次均不满足2/3准则，因此，增加时间间隔意味着增大判读窗口内粒子位移变化量，使得SPIV测量精度受速度梯度的影响而降低。

3 结论

利用层流及明渠紊流实验数据研究了粒子图像之间的时间间隔对SPIV测量精度的影响，得到如下主要结论：当粒子面内位移不满足1/4准则时，增大时间间隔导致SPIV在不同流动中的测量精度均降低；而在满足1/4准则的条件下，虽然增大时间间隔可以提高层流的综合测量精度，但在速度梯度较大的层流区域以及明渠紊流近壁区，若时间间隔过大以致判读窗口内粒子间位移差不满足2/3准则时，SPIV测量精度随时间间隔增加而变差。

基于上述结果可知：对于使用判读窗口互相关算法的SPIV技术，粒子图像时间间隔应首先满足1/4准则，在此基础上，增加时间间隔有助于提高SPIV在速度较均匀的流动中的测量精度；而在测量速度梯度较大的流动时，粒子图像时间间隔宜取为满足2/3准则条件的最大值。