电机-变速器直连的电驱动系统既能够拓宽电机转矩的输出范围，又能够通过换挡将驱动电机的工作点调节至高效区，因此是一种提升纯电动汽车动力性与经济性的低成本解决方案^[1-4]。与传统的动力系统相比，电机-变速器直连系统取消了离合器，在换挡过程中变速器输入端的转动惯量更大，若直接使用同步环进行转速同步，会使转速同步时间大大增加，且同步环在换挡的接合过程中的磨损更加严重。若取消同步器，则接合套与接合齿圈容易出现打齿现象，产生较大的换挡冲击。因此，无同步器的电机-变速器直连系统对换挡过程的精确控制提出了很高的要求。由于电机具有较高的转矩转速动态调节性能，因此电机主动同步技术被广泛应用于电机-变速器直连系统的换挡控制中^[4-9]。本文研究并建立了无同步器的电机-变速器直连系统换挡过程的动力学模型，并基于该动力学模型设计了换挡控制策略，以实现动力系统的快速、无冲击换挡。

已有的研究主要基于动力学分析电机、齿轮、同步环、接合套以及接合齿圈等部件之间的耦合关系来进行换挡过程的建模。Socin等^[10]以及Hoshino^[11]将接合套从空挡到完全接合的运动过程划分为6个阶段，并对每一个阶段的动力学模型进行了分析。Chris^[12]通过台架实验对电动汽车两挡变速器的换挡过程进行了分析，发现当接合套与接合齿圈的转速不同步时，会造成较大的换挡冲击。Marco等^[13]分别对换挡过程中的空挡、同步、啮合3个阶段建立了动力学模型，并将换挡力冲量作为换挡品质的评价指标。Liu等^[14]将换挡过程中结合套与接合齿圈的相对位置关系归纳为4种情况，并通过多体动力学建模与仿真对各种情况进行了分析。Kim等^[15]对换挡中的碰撞过程建立了近似的线性弹簧模型，并通过有限元法得到了弹性刚度。Bóka等^[16]建立了无同步器系统接合过程的动力学模型，分析发现，接合套与接合齿圈的相对转速与相对转角是影响换挡成功率与换挡冲击的主要因素。Chen等^[17-18]建立了接合套、同步环与接合齿圈的混杂自动机模型，分析了换挡力、接合套与接合齿圈的相对转速与相对转角对换挡时间和换挡冲击的影响。现有研究对有同步器系统在接合过程中接合套与接合齿圈的相互作用关系进行了重点研究与分析，取得了一定的研究成果，能够对无同步器系统换挡全过程的建模与分析，以及对其主动同步控制算法的设计奠定了良好的理论基础。

通过分析已有的研究成果可以看出，在换挡过程中变速器各组成部件之间的耦合关系存在阶段性的变化，各个阶段的状态具有不同的动力学约束，且各个阶段的状态会相互影响和相互转化。本文以两挡机械式变速器为研究对象，基于多体动力学和混杂系统理论，建立无同步器的电机-变速器直连系统的换挡过程混杂自动机模型；通过对换挡过程的数值仿真分析，设计了转速转角主动同步的换挡控制策略，并通过仿真与实验验证了换挡控制策略的换挡品质。

1 换挡过程建模

无同步器的电机-变速器直连系统结构如图 1和图 2所示。其中驱动电机为永磁同步电机；变速器为无同步器的两挡机械式变速器，其接合套与各挡位接合齿圈的结构如图 3所示；换挡执行机构由有刷直流电机、减速机构、换挡拨指构成，与变速器的拨叉连接以实现换挡。

1.1 系统受力及自由度分析

如图 2所示，在输入端，由于取消了离合器，驱动电机轴与变速器的输入轴直连，即驱动电机与一挡齿轮和二挡齿轮通过中间轴直接耦合，因此，输入端的转动惯量应包含驱动电机(J_m)、输入轴(J_ish)、中间轴(J_csh)、一挡齿轮(J_gr1)和二挡齿轮(J_gr2)，则输入端的等效转动惯量为

$ {J_{{\rm{in}}}} = {J_{\rm{m}}} + {J_{{\rm{ish}}}} + \frac{{{J_{{\rm{csh}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2}} + \frac{{{J_{{\rm{g}}{{\rm{r}}_{\rm{1}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2}} + \frac{{{J_{{\rm{g}}{{\rm{r}}_{\rm{2}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2}}. $

(1)

其中：i_g0为输入轴与中间轴之间的速比，i_g1为中间轴与一挡齿轮之间的速比，i_g2为中间轴与一挡齿轮之间的速比。通过受力分析可知，空挡状态下，输入端将受到一个由驱动电机产生的驱动转矩(T_M)和一个由于摩擦和搅油等因素造成的等效阻力矩(T_fg)。

在输出端，接合套通过花键毂与变速器的输出轴直连，即接合套与负载直接耦合，因此输出端的转动惯量应包含接合套(J_slv)、输出轴(J_osh)和车辆的等效负载(J_v)，则输出端的等效转动惯量为

$ {J_{{\rm{ out }}}} = {J_{{\rm{ slv }}}} + {J_{{\rm{ osh }}}} + {J_{\rm{v}}}. $

(2)

通过受力分析可知，空挡状态下，作用在输出端的力为一个等效至输出轴的阻力矩(T_fv)。对接合套而言，除受到绕输出轴转动方向的转矩作用外，还受到沿轴向的换挡力(F_S)的作用。

由受力分析可知，系统包含3个运动自由度，即输入端的旋转自由度、输出端的旋转自由度和接合套的轴向移动自由度。因此，系统的运动状态可以通过6个状态变量进行表示，即驱动电机的转速(ω_m)和转角(α_m)、接合套的转速(ω_slv)和转角(α_slv)、接合套的轴向速度(v_slv)和轴向位置(p_slv)。

1.2 换挡过程的混杂自动机模型

讨论系统由一挡升至二挡的换挡过程。首先，接合套与一挡齿轮的接合齿圈接合，输入端与输出端耦合；在换挡力F_S的作用下，接合套沿轴向向二挡齿轮移动，当接合套移动至空挡时，输入端与输出端脱离；接合套进一步沿轴向移动，与二挡齿轮的接合齿圈发生接触，经过若干次碰撞后完成接合，输入端与输出端再次耦合，完成换挡。因此，换挡过程可以总结为5个阶段：一挡接合、摘挡、自由运动、进挡、二挡接合。各个阶段中，系统各组成部件的耦合关系及运动约束不同，因此，电机-变速器直连系统是一个典型的变结构时变系统。为分析与研究系统的换挡过程机理，可根据混杂系统理论，建立系统换挡过程的混杂自动机模型。

无同步器换挡过程的混杂自动机模型如图 4所示。模型由5个离散变量构成，分别表示换挡过程中的5种运动状态。若将系统状态变量定义为x=[x₁, x₂]^T，其中x₁=[ω_m, ω_slv, v_slv]表示速度状态变量，表示x₂=[α_m, α_slv, p_slv]位置状态变量，则每个离散变量中的系统状态方程均可使用如下形式的微分方程组表示：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_i} \cdot \mathit{\boldsymbol{u}} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_i} \cdot {f_1} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_i} \cdot {f_2},}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}.} \end{array}} \right. $

(3)

其中：B_i为3×2系数矩阵；C_i与D_i为3×1系数矩阵；u=[F_S, T_M]^T表示系统输入；f₁与f₂分别表示输入端与输出端的系统扰动，即f₁=T_fg，f₂=T_fv。混杂自动机的状态迁移是通过对定义的边界条件g_k(k=1, 2, …, 6)进行判断实现的。

分析换挡过程中各阶段的动力学机理，分别定义各离散变量中的系数矩阵、约束条件及边界条件，即可建立无同步器换挡过程的混杂自动机模型。

1.2.1 一挡接合

一挡接合状态下，驱动电机转矩经变速器输入轴、中间轴、一挡齿轮和接合套传递至输出轴，此时约束条件为{(ω_m/(i_g0·i_g1)=ω_slv)&(v_slv=0)}，即系统只存在一个自由度，动力学微分方程为

$ {\dot \omega _{\rm{m}}} = \frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot ({T_{\rm{M}}} - {T_{{\rm{fg}}}}) - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot {T_{{\rm{fv}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}. $

(4)

由此可以得到状态方程各系数矩阵如下：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ 0&{\frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ 0&0 \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ 0 \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - 1}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ 0 \end{array}} \right]. $

在换挡力作用下，若能够克服接合套与一挡接合齿圈之间的静摩擦力，则接合套将产生轴向移动而使系统进入摘挡状态，因此当前状态的边界条件为

$ \begin{array}{l} {g_1} = \left\{ {{F_{\rm{S}}} \ge \frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot \mu _{{\rm{slvgr}}}^* \cdot {J_{{\rm{out}}}} \cdot ({T_{\rm{M}}} - {T_{{\rm{fg}}}})}}{{{r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}})}} + } \right.\\ \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot \mu _{{\rm{slvgr}}}^* \cdot {J_{{\rm{in}}}} \cdot {T_{{\rm{fv}}}}}}{{{r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}})}}} \right\}, \end{array} $

(5)

其中：μ_slvgr^*为接合套与接合齿圈之间的静摩擦因数，r_gr为接合齿圈半径。

1.2.2 摘挡

摘挡状态中，在接合套与一挡接合齿圈仍保持接合的同时，接合套在换挡力的作用下沿轴向移动，此时约束条件为{(ω_m/(i_g0·i_g1)=ω_slv)&(v_slv>0)}，系统有2个自由度。其中，旋转自由度的动力学微分方程与式(4)相同，平移自由度的动力学微分方程为

$ \begin{array}{l} {{\dot v}_{{\rm{slv}}}} = \frac{{{F_{\rm{S}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}}}} - \frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{slvgr}}}} \cdot {J_{{\rm{out}}}} \cdot ({T_{\rm{M}}} - {T_{{\rm{fg}}}})}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}})}} - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {\mu _{{\rm{slvgr}}}} \cdot {J_{{\rm{in}}}} \cdot {T_{{\rm{fv}}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}})}}. \end{array} $

(6)

其中μ_slvgr为接合套与接合齿圈之间的动摩擦因数。由此可以得到状态方程各系数矩阵如下：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ 0&{\frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ {\frac{1}{{{m_{{\rm{slv}}}}}}}&{\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{ slvgr }}}} \cdot {J_{{\rm{ out }}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{ in }}}} + {J_{{\rm{ out }}}})}}} \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ {\frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{ slvgr }}}} \cdot {J_{{\rm{ out }}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{ in }}}} + {J_{{\rm{ out }}}})}}} \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - 1}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{ slvgr }}}} \cdot {J_{{\rm{in}}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{ in }}}} + {J_{{\rm{ out }}}})}}} \end{array}} \right]. $

当接合套与接合齿圈完全脱离时，系统进入自由运动状态，因此当前状态的边界条件为

$ {g_2} = \{ {p_{{\rm{slv}}}} \ge {p_1}\} , $

(7)

其中p₁为接合套与一挡接合齿圈脱离时，接合套的轴向位置。

1.2.3 自由运动

当系统处于自由运动状态时，变速器处于空挡，输入端与输出端解耦，此时系统具有3个运动自由度，无约束条件。忽略接合套在空挡中的阻力，则系统的动力学微分方程为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot \omega }_{\rm{m}}} = \frac{{{T_{\rm{M}}} - {T_{{\rm{fg}}}}}}{{{J_{{\rm{in}}}}}},}\\ {{{\dot \omega }_{{\rm{slv}}}} = \frac{{ - {T_{{\rm{fv}}}}}}{{{J_{{\rm{out}}}}}},}\\ {{{\dot v}_{{\rm{slv}}}} = \frac{{{F_{\rm{S}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}}}}.} \end{array}} \right. $

(8)

由此可以得到状态方程各系数矩阵如下：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{1}{{{J_{{\rm{ in }}}}}}}\\ 0&0\\ {\frac{1}{{{m_{{\rm{ slv }}}}}}}&0 \end{array}} \right],\;\:{\mathit{\boldsymbol{C}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - 1}}{{{J_{{\rm{ in }}}}}}}\\ 0\\ 0 \end{array}} \right],\;\:{\mathit{\boldsymbol{D}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ {\frac{{ - 1}}{{{J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ 0 \end{array}} \right]. $

当接合套运动至二挡接合齿圈附近时，由于转角差的存在，接合套可能与二挡接合齿圈的倒角发生接触产生碰撞，导致系统运动状态的改变。碰撞发生在上倒角的边界条件为

$ \begin{array}{l} {g_3} = \{ [\alpha _{{\rm{ tooth }}}^{\rm{r}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} + \frac{{\pi \cdot {r_{{\rm{gr}}}}}}{\mathscr{N}} \le {\rm{tan}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot ({p_{{\rm{slv}}}} - {p_2})]\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{\& }}(v_{{\rm{slvgr}}}^{{\rm{r1}}} > 0)\} , \end{array} $

(9)

其中：${\mathscr{N}}$表示接合套的花键齿数；r_gr表示接合齿圈半径；θ_gr表示接合齿圈的倒角角度；p₂表示二挡接合齿圈端面的轴向位置；α_tooth^r表示接合套与二挡接合齿圈之间的齿间相对转角。

$ \alpha _{{\rm{tooth}}}^{\rm{r}} = \alpha _{{\rm{slvgr}}}^{\rm{r}} - {\rm{floor}} \left( {\frac{{\alpha _{{\rm{slvgr}}}^{\rm{r}} + \pi /{\mathscr{N}}}}{{2\pi /{\mathscr{N}}}}} \right) \cdot \frac{{2\pi }}{\mathscr{N}}. $

(10)

其中α_tooth^r为接合套与二挡接合齿圈的相对转角。

$ \alpha _{{\rm{ slvgr }}}^{\rm{r}} = {\alpha _{{\rm{slv}}}} - \frac{{{\alpha _{\rm{m}}}}}{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}. $

(11)

floor(·)为取整函数，用于将接合套与二挡接合齿圈的相对转角折算为相邻花键齿之间的转角差。式(9)中的v_slvgr^r1表示在上倒角法线方向上，接合套与二挡接合齿圈的相对速度，表示如下：

$ v_{{\rm{slvgr}}}^{{\rm{r1}}} = {v_{{\rm{slv}}}} \cdot {\rm{sin}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) - \omega _{{\rm{tooth}}}^{\rm{r}} \cdot {\rm{cos}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {r_{{\rm{gr}}}}. $

(12)

其中ω_tooth^r表示接合套与二挡接合齿圈的相对转速。

$ \omega _{{\rm{tooth}}}^{\rm{r}} = {\omega _{{\rm{slv}}}} - \frac{{{\omega _{\rm{m}}}}}{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}. $

(13)

当g₃被触发，即接合套与二挡接合齿圈发生碰撞时，接合套与接合齿圈的速度会发生突变，设状态转移方程为

$ \mathit{\boldsymbol{x}}_1^\prime = {\mathit{\boldsymbol{A}}_1} \cdot {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}. $

(14)

其中A₁为上倒角碰撞时的3×3状态转移矩阵。

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{r_{11}}}&{{r_{12}}}&{{r_{13}}}\\ {{r_{21}}}&{{r_{22}}}&{{r_{23}}}\\ {{r_{31}}}&{{r_{32}}}&{{r_{33}}} \end{array}} \right]. $

(15)

为计算A₁各元素，引入Poisson恢复系数法^[19-20]，设Poisson恢复系数为ζ_slvgr，可以得到

$ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{r_{11}} = 1 - \frac{{({\zeta _{{\rm{ slvgr }}}} + 1) \cdot {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot r_{{\rm{gr}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{ in }}}} \cdot {K_1}}},}\\ {{r_{12}} = \frac{{({\zeta _{{\rm{ slvgr }}}} + 1) \cdot {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot r_{{\rm{gr}}}^2}}{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {J_{{\rm{ in }}}} \cdot {K_1}}},} \end{array}\\ {r_{13}} = \frac{{ - ({\zeta _{{\rm{ slvgr }}}} + 1) \cdot {\rm{sin}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {\rm{cos}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {r_{{\rm{gr}}}}}}{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {J_{{\rm{ in }}}} \cdot {K_1}}},\\ {r_{21}} = \frac{{({\zeta _{{\rm{slvgr}}}} + 1) \cdot {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot r_{{\rm{gr}}}^2}}{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {J_{{\rm{out}}}} \cdot {K_1}}},\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{r_{22}} = 1 - \frac{{({\zeta _{{\rm{ slvgr }}}} + 1) \cdot {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot r_{{\rm{gr}}}^2}}{{{J_{{\rm{ out }}}} \cdot {K_1}}},}\\ {{r_{23}} = \frac{{({\zeta _{{\rm{ slvgr }}}} + 1) \cdot {\rm{sin}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {\rm{cos}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {r_{{\rm{gr}}}}}}{{{J_{{\rm{ out }}}} \cdot {K_1}}},} \end{array}\\ {r_{31}} = \frac{{ - ({\zeta _{{\rm{slvgr}}}} + 1) \cdot {\rm{sin}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {\rm{cos}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {r_{{\rm{gr}}}}}}{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {m_{{\rm{slv}}}} \cdot {K_1}}},\\ \begin{array}{*{20}{l}} {{r_{32}} = \frac{{({\zeta _{{\rm{slvgr}}}} + 1) \cdot {\rm{sin}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {\rm{cos}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {r_{{\rm{gr}}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {K_1}}},}\\ {{r_{33}} = 1 - \frac{{({\zeta _{{\rm{slvgr}}}} + 1) \cdot {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}})}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {K_1}}}.} \end{array} \end{array} \right. $

(16)

其中：

$ \begin{array}{l} {K_1} = \frac{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}})}}{{{m_{{\rm{slv}}}}}} + \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot r_{{\rm{gr}}}^2}}{{{J_{{\rm{out}}}}}} + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot r_{{\rm{gr}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}}}}. \end{array} $

(17)

计算出A₁后，即可根据式(14)更新碰撞后各速度状态变量的值。由于碰撞的瞬间各位置状态变量不发生变化，因此在碰撞发生后系统仍处于自由运动状态。

同理，当接合套与二挡接合齿圈下倒角接触时，也会发生碰撞。碰撞发生在下倒角的边界条件为

$ \begin{array}{l} {g_4} = \{ [\alpha _{{\rm{ tooth }}}^{\rm{r}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} - \frac{{\pi \cdot {r_{{\rm{gr}}}}}}{\mathscr{N}} \ge {\rm{tan}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot ({p_2} - {p_{{\rm{slv}}}})]\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{\& }}(v_{{\rm{ slvgr }}}^{{\rm{r2}}} > 0)\} , \end{array} $

(18)

其中：v_slvgr^r2表示在下倒角法线方向上，接合套与二挡接合齿圈的相对速度,

$ v_{{\rm{slvgr}}}^{{\rm{r2}}} = {v_{{\rm{slv}}}} \cdot {\rm{sin}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) + \omega _{{\rm{tooth}}}^{\rm{r}} \cdot {\rm{cos}}({\theta _{{\rm{gr}}}}) \cdot {r_{{\rm{gr}}}}. $

(19)

设g₄触发时的状态转移方程为

$ \mathit{\boldsymbol{x}}_1^\prime = {\mathit{\boldsymbol{A}}_2} \cdot {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}, $

(20)

其中A₂为下倒角碰撞时的3×3状态转移矩阵。

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{11}}}&{{r_{12}}}&{ - {r_{13}}}\\ {{r_{21}}}&{{r_{22}}}&{ - {r_{23}}}\\ { - {r_{31}}}&{ - {r_{32}}}&{{r_{33}}} \end{array}} \right], $

(21)

其中各元素可根据式(16)进行计算。

在经过若干次碰撞之后，接合套将与二挡接合齿圈实现接合，此时的边界条件为

$ {g_5} = \{ {p_{{\rm{slv}}}} \ge {p_3}\} , $

(22)

其中：p₃为接合套与二挡接合齿圈接合时，接合套的轴向位置。当g₅被触发时，变速器输入端与输出端再次耦合，系统进入进挡状态。

1.2.4 进挡

在进挡状态下，驱动电机转矩经变速器输入轴、中间轴、二挡齿轮和接合套传递至输出轴，同时接合套在换挡力的作用下继续沿轴向运动，因此约束条件为{(ω_m/(i_g0·i_g2)=ω_slv)&(v_slv>0)}，此时系统存在2个自由度，运动学微分方程为

$ \left\{ \begin{array}{l} {{\dot \omega }_{\rm{m}}} = \frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot ({T_{\rm{M}}} - {T_{{\rm{fg}}}}) - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {T_{{\rm{fv}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}},\\ {{\dot v}_{{\rm{slv}}}} = \frac{{{F_{\rm{S}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}}}} - \frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{slvgr}}}} \cdot {J_{{\rm{out}}}} \cdot ({T_{\rm{M}}} - {T_{{\rm{fg}}}})}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}})}} - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {\mu _{{\rm{slvgr}}}} \cdot {J_{{\rm{in}}}} \cdot {T_{{\rm{fv}}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}})}}. \end{array} \right. $

(23)

由此可以得到状态方程各系数矩阵如下：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ 0&{\frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ {\frac{1}{{{m_{{\rm{slv}}}}}}}&{\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{ slvgr }}}} \cdot {J_{{\rm{ out }}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{ in }}}} + {J_{{\rm{ out }}}})}}} \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ {\frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{ slvgr }}}} \cdot {J_{{\rm{ out }}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{ in }}}} + {J_{{\rm{ out }}}})}}} \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - 1}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {\mu _{{\rm{ slvgr }}}} \cdot {J_{{\rm{ out }}}}}}{{{m_{{\rm{slv}}}} \cdot {r_{{\rm{gr}}}} \cdot (i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{ in }}}} + {J_{{\rm{ out }}}})}}} \end{array}} \right]. $

当接合套到达二挡机械限位时，接合套与二挡接合齿圈实现完全接合，系统将进入二挡接合状态，此时的边界条件为

$ {g_6} = \{ {p_{{\rm{slv}}}} \ge {p_4}\} , $

(24)

其中：p₄为到达机械限位时，接合套的轴向位置。

1.2.5 二挡接合

在二挡接合状态，接合套的轴向位置保持不变，此时约束条件为{(ω_m/(i_g0·i_g2)=ω_slv)&(v_slv=0)}，因此系统只有一个自由度，动力学微分方程为

$ {\dot \omega _{\rm{m}}} = \frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot ({T_{\rm{M}}} - {T_{{\rm{fg}}}}) - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {T_{{\rm{fv}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}. $

(25)

由此可以得到状态方程各系数矩阵如下：

$ {\mathit{\boldsymbol{B}}_5} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{\frac{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ 0&{\frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ 0&0 \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{C}}_5} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ 0 \end{array}} \right], $

$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_5} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{ - {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}}}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{out}}}}}}}\\ {\frac{{ - 1}}{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}^2 \cdot i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}^2 \cdot {J_{{\rm{in}}}} + {J_{{\rm{ out }}}}}}}\\ 0 \end{array}} \right]. $

综上，无同步器换挡过程混杂自动机模型中各离散变量中的系统状态方程、约束条件及边界条件均已确定，换挡过程建模完成。

2 换挡控制策略

为了实现快速且平顺的换挡，需要设计合适的换挡控制策略，使得换挡时间短，换挡过程中的碰撞冲击较小。基于无同步器换挡过程混杂自动机模型，分析电机-变速器直连系统由一挡升入二挡的换挡过程可以得知，换挡冲击主要发生在自由运动阶段。在接合套与二挡接合齿圈之间存在较大的转速差与齿间转角差的情况下进行挂挡接合，接合套与二挡接合齿圈之间会产生较明显的碰撞，导致换挡冲击增大、换挡时间增长。进一步分析可知，即使接合套与二挡接合齿圈的转速差为0，在齿间转角差较大的情况下，仍然会发生明显的打齿碰撞与换挡冲击。因此，对于无同步器的电机-变速器直连系统，换挡控制策略的设计目标就是要在尽量短的时间内，实现接合套与目标挡位接合齿圈实现转速同步与转角同步。

从无同步器换挡过程的混杂自动机模型中可以看出，系统的输入包括驱动电机提供的输入转矩T_M和换挡执行机构提供的换挡力F_S，因此可以将换挡控制器划分为2个部分，即驱动电机控制器及换挡执行机构控制器，2个控制器协同工作以实现平顺换挡。当换挡过程进入不同的阶段，2个控制器的工作模式也随之切换。

2.1 卸载及摘挡控制

在一挡接合状态下，当有换挡指令被触发时，需要先完成摘挡控制。由于换挡机构所能够提供的换挡力有限，为保证摘挡时能够产生足够大的轴向加速度，还需要在摘挡之前卸载驱动电机的输入转矩。

设驱动电机转矩的取值范围为$\left[ {T_{\rm{M}}^ - , T_{\rm{M}}^ + } \right]$，换挡力的取值范围为$\left[ {F_{\rm{S}}^ - , F_{\rm{S}}^ + } \right]$，若以让接合套获得最大轴向加速度为控制目标，则最优的控制输入$\left[ {F_{\rm{S}}^*, F_{\rm{M}}^*} \right]$可以由下式进行计算：

$ \begin{array}{l} [F_{\text{S}}^{*},T_{\text{M}}^{*}]= \underset{\begin{smallmatrix} {{F}_{\text{S}}}\in [F_{\text{S}}^{-},F_{\text{S}}^{+}] \\ {{T}_{\text{M}}}\in [T_{\text{M}}^{-},T_{\text{M}}^{+}] \end{smallmatrix}}{\mathop{\text{argmax}}}\, {{{\dot{v}}}_{\text{slv}}}, \\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_2} \cdot \mathit{\boldsymbol{u}} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_2} \cdot {\mathit{\boldsymbol{T}}_{{\rm{fg}}}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_2} \cdot {T_{{\rm{fv}}}},}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_1}.} \end{array}} \right. \end{array} $

(26)

根据摘挡过程的动力学模型，对式(26)进行求解，得到

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {F_{\rm{S}}^* = F_{\rm{S}}^ + ,}\\ {T_{\rm{M}}^* = {T_{{\rm{fg}}}} - \frac{{{i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{1}}}}} \cdot {J_{{\rm{in}}}} \cdot {T_{{\rm{fv}}}}}}{{{J_{{\rm{ out }}}}}}.} \end{array}} \right. $

(27)

因此，在卸载摘挡控制阶段，换挡执行机构控制器处于换挡力控制模式，驱动电机控制器处于转矩控制模式，控制框图如图 5所示。

2.2 转速主动同步控制

完成卸载及摘挡后，系统进入自由运动状态。此时接合套与二挡接合齿圈之间存在较大的转速差，因此可通过驱动电机对输入端进行主动调速，以实现接合套与二挡接合齿圈的转速同步。

在转速主动同步控制过程中，接合套应保持在空挡位置；同时，二挡接合齿圈在驱动电机转矩的控制下进行调速，目标转速为接合套的实时转速，且要求转速同步过程的时间尽量短。设转速主动同步所需时间为t_s，则最优控制输入[F_S^*, T_M^*]可以由下式进行计算：

$\begin{array}{l} [F_{\text{S}}^{*},T_{\text{M}}^{*}]= \underset{\begin{smallmatrix} {{F}_{\text{S}}}\in [F_{\text{S}}^{-},F_{\text{S}}^{+}] \\ {{T}_{\text{M}}}\in [T_{\text{M}}^{-},T_{\text{M}}^{+}] \end{smallmatrix}}{\mathop{\text{argmin}}}\, {{t}_{\text{s}}},\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_3} \cdot u + {\mathit{\boldsymbol{C}}_3} \cdot {T_{{\rm{fg}}}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_3} \cdot {T_{{\rm{fv}}}},}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_1},}\\ {{p_{{\rm{slv}}}} = {p_{\rm{N}}},}\\ {{v_{{\rm{slv}}}} = 0,}\\ {{\omega _{\rm{m}}}({t_{\rm{s}}}) = {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {\omega _{{\rm{slv}}}},}\\ {{{\dot \omega }_{\rm{m}}}({t_{\rm{s}}}) = {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {{\dot \omega }_{{\rm{slv}}}}.} \end{array}} \right. \end{array} $

(28)

其中p_N表示空挡在轴向上的位置。因此，在转速主动同步控制过程中，换挡执行机构控制器处于位置闭环控制模式，驱动电机控制器处于转速闭环控制模式，控制框图如图 6所示。

2.3 转角主动同步控制

当接合套与二挡接合齿圈完成转速同步后，可能存在齿间转角差，此时挂挡会引起打齿碰撞，产生较大的换挡冲击。为防止这种现象，可通过控制驱动电机转矩进行主动转角同步，使得接合套齿对准二挡接合齿圈的齿槽，以实现平顺换挡。

为缩短挂挡所需时间，在转角主动同步控制的同时，可提前控制接合套靠近接合齿圈。因此，换挡执行机构控制器的控制目标为二挡接合齿圈端面位置；驱动电机控制器的控制目标为使二挡接合齿圈的转速与齿间转角在最短的时间内与接合套达到同步。设转角主动同步所需时间为t_a，则最优控制输入[F_S^*, T_M^*]可以由下式进行计算：

$\begin{array}{l} [F_{\text{S}}^{*},T_{\text{M}}^{*}]= \underset{\begin{smallmatrix} {{F}_{\text{S}}}\in [F_{\text{S}}^{-},F_{\text{S}}^{+}] \\ {{T}_{\text{M}}}\in [T_{\text{M}}^{-},T_{\text{M}}^{+}] \end{smallmatrix}}{\mathop{\text{argmin}}}\, {{t}_{\text{a}}}, \\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_3} \cdot u + {\mathit{\boldsymbol{C}}_3} \cdot {T_{{\rm{fg}}}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_3} \cdot {T_{{\rm{fv}}}},}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_1},}\\ {{p_{{\rm{slv}}}}\left( {{t_{\rm{a}}}} \right) = {p_{\rm{2}}},}\\ {{v_{{\rm{slv}}}} = 0,}\\ {{\omega _{\rm{m}}}\left( {{t_{\rm{a}}}} \right) = {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {\omega _{{\rm{slv}}}},}\\ {{{\dot \omega }_{\rm{m}}}\left( {{t_{\rm{a}}}} \right) = {i_{{{\rm{g}}_{\rm{0}}}}} \cdot {i_{{{\rm{g}}_{\rm{2}}}}} \cdot {{\dot \omega }_{{\rm{slv}}}}.} \end{array}} \right. \end{array} $

(29)

因此，在转角主动同步控制过程中，换挡执行机构控制器处于位置闭环控制模式，驱动电机控制器处于转角闭环控制模式，控制框图如图 7所示。

2.4 进挡及转矩恢复控制

当接合套与二挡接合齿圈实现转速和转角同步后，即可进行进挡控制。为减少进挡时间，应保证接合套能够获得足够大的轴向加速度。在接合套到达二挡接合位置后，应将驱动电机的输入转矩恢复。设换挡前电机转矩为T_M1，进挡及转矩恢复所需时间为t_l，则最优控制输入[F_S^*, T_M^*]可以由下式进行计算：

$\begin{array}{l} [F_{\text{S}}^{*},T_{\text{M}}^{*}]= \underset{\begin{smallmatrix} {{F}_{\text{S}}}\in [F_{\text{S}}^{-},F_{\text{S}}^{+}] \\ {{T}_{\text{M}}}\in [T_{\text{M}}^{-},T_{\text{M}}^{+}] \end{smallmatrix}}{\mathop{\text{argmax}}}\, {{{\dot{v}}}_{\text{slv}}},\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_1} = {\mathit{\boldsymbol{B}}_4} \cdot u + {\mathit{\boldsymbol{C}}_4} \cdot {T_{{\rm{fg}}}} + {\mathit{\boldsymbol{D}}_4} \cdot {T_{{\rm{fv}}}},}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_2} = {\mathit{\boldsymbol{x}}_1},}\\ {{T_{\rm{M}}}({t_l}) = {T_{{{\rm{M}}_{\rm{1}}}}}.} \end{array}} \right. \end{array} $

(30)

因此，在进挡及转矩恢复控制过程中，换挡执行机构控制器处于换挡力控制模式，驱动电机控制器处于转矩控制模式，控制框图如图 8所示。

综上，通过换挡执行机构控制器与驱动电机控制器的协同工作，在换挡过程的不同阶段切换工作模式，即可实现快速且平顺的换挡。

3 仿真分析

在数值仿真软件中建立无同步器换挡过程混杂自动机模型，并引入上文所设计的换挡控制策略，即可在仿真环境下对电机-变速器直连系统由一挡升至二挡的换挡过程模型与换挡控制策略进行验证。

仿真验证所使用的参数如表 1所示。设换挡指令触发时，驱动电机转速为2 000 r·min^－1；起始转角差α_slvgr^r为0.2 rad；换挡力的取值范围为[-120, 120] N；驱动电机转矩的取值范围为[-80, 80] N·m；设换挡前驱动转矩为10 N·m，输入端与输出端转矩平衡，且输出端阻力矩在换挡过程中保持不变。

首先考察只进行转速主动同步控制，但不进行转角同步控制的情况，其仿真结果如图 9所示。从该仿真结果中可以看出，当转速实现同步后，若接合套与二挡接合齿圈之间存在较大的齿间转角差，直接进挡将出现打齿现象，如图 9黑色虚线框中所示，接合套在进挡过程中与二挡接合齿圈发生三次碰撞(速度突变)之后才完成挂挡，因此将造成较大的换挡冲击。从开始卸载摘挡到转矩恢复完成，总的换挡时间为278 ms。

考察转速主动同步控制与转角主动同步控制协同下的换挡过程，仿真结果如图 10所示。从仿真结果中可以看出，当转速达到同步后，转角主动同步控制策略使得驱动电机主动输出转矩调节转角以消除接合套与二挡接合齿圈之间的齿间转角差；同时在换挡力控制器的控制下使接合套避开了进挡路线中的可能打齿的位置；最终使得接合套的速度没有发生突变，说明避免了碰撞，消除了换挡冲击。从开始卸载摘挡到转矩恢复完成，总的换挡时间为250 ms，由此可以看出，使用转速主动同步与转角主动同步协同控制，既能够减少换挡冲击，也能够缩短换挡时间。

4 实验验证

应用本文所提出的换挡控制策略，在如图 1所示的测试台架上进行电机-变速器直连系统的换挡控制实验验证，由一挡升至二挡的实验结果如图 11所示。由于换挡执行机构的实际换挡力较难测量，因此实验验证中可以用换挡执行机构中换挡电机的母线电流表示实际换挡力。通过实验结果可以看出，除去系统实际参数与仿真参数不一致造成的偏差外，系统从一挡升至二挡的过程与仿真计算基本吻合；在转角主动同步阶段，驱动电机与换挡执行机构协同实现了转角调节与接合套位置的控制，避免了换挡冲击；总的换挡时间为339 ms。实验验证的结果验证了本文所建立的电机-变速器直连系统换挡过程混杂自动机模型和换挡控制策略的技术可行性，实现了良好的换挡品质。

5 结论

本文面向无同步器的电机-变速器直连系统，建立了其换挡过程的混杂自动机模型，并基于该模型的分析，设计了换挡控制策略，实现了快速、无冲击的换挡控制，并通过仿真与实验进行了验证。该技术将能够应用于纯电动汽车的动力总成，以提高整车动力性与经济性。