住房市场搜寻匹配模型的基本假设如下:

1) 住房市场由2个地点构成,家庭分布于2个地点,并具有自住家庭和租住家庭2种类型。市场中的所有家庭和住房均同质,且交易过程存在摩擦,而租赁过程不存在摩擦,即住房租赁过程即时匹配,满足市场出清条件。

2) 家庭按照一定概率在2个地点之间迁移。在住房限购政策约束下,家庭只能拥有至多一套住房,未拥有住房的家庭将会选择租房,即迁移家庭需要先出售原住房,并作为租住家庭迁入另一地点。

1.2.1 租住家庭的价值方程

定义VR _{i, t}为租住家庭在第 t期地点 i( i=1, 2)处获得的价值。租住家庭得到工资收入 α_i,从租房中获得效用UR _i,并支付租金 r_i。在 t+1期,家庭迁移至另一地点 j的概率为 m_R,并在地点 j处作为租住家庭得到价值VR _{j, t+1},而未迁移的租住家庭将会在 i处搜寻空置住房。在一定的匹配概率 φ_{i, t+1}下,租住家庭以价格 p_{i, t+1}购买住房并成为自住家庭,并在第 t+1期 i处作为自住家庭获得价值VH _{i, t+1}。若未能匹配成功(对应概率为1 -φ_{i, t+1}),租住家庭将会在 i处继续租房。根据动态规划方法,租住家庭的价值将服从Bellman方程,如式(1)所示。

VR _{i, t}=α_{i, t}+UR _{i, t}-r_{i, t}+βE_t{ m_RVR _{j, t+1} +(1 -m_R)[ φ_{i, t+1}(VH _{i, t+1} -p_{i, t+1}) +(1 -φ_{i, t+1})VR _{i, t+1}]} . (1)

其中 β为折现率。

1 .2 .2 自住家庭的价值方程

从自住家庭角度,在第 t期 i处的自住家庭获得相同的收入 α_i,但获得的住房效用为UH _i(UH _i>UR _i)。第 t+1期,自住家庭可能选择迁移,也可能继续在 i处居住。令迁移概率为 m_H,迁移家庭将 i处的住房出售后迁移至 j处。由于限购政策的约束,原自住家庭将在 j处首先成为租住家庭。为简化起见,模型设定了家庭迁出后的空置住房由房产中介购买,并设定第 t+1期地点 i处的空置房价值表示为VW _{i, t+1}。根据动态规划法,自住家庭在第 t期 i处的价值为VH _{i, t},其Bellman方程如式(2)所示。

VH _{i, t}=α_{i, t}+UH _{i, t}+βE_t[ m_H(VR _{j, t+1} +VW _{i, t+1}) +(1 -m_H)VH _{i, t+1}} . (2)

1 .2 .3 房产中介的价值方程

二手房交易主要通过房产中介完成匹配,房产中介参与北京二手房交易的比例超过90%,因此,模型设定房产中介持有市场中的空置住房,并面临2种选择:1) 出租并获得租金收入 r_{i, t};2) 出售但受到摩擦的影响,按照一定的匹配概率 θ_{i, t}以价格 p_{i, t}出售。令房产中介出租住房产生的价值为V Wi,tR,出售住房产生的价值表示为 VWi,tS,两者满足动态规划的Bellman方程,如式(3)和式(4)所示。

VWi,tR =r_{i, t}+βE_t[max{ VWi,t+1R, VWi,t+1S}], (3)

VWi,tS =θ_{i, t} p_{i, t}+(1 -θ_{i, t}) βE_t[max{ VWi,t+1R,VWi,t+1S}] .(4)

房产中介在当期收获出租或出售的收益,在下期重新面临这2种选择,并从中选择最大价值。在跨期均衡条件下,出租和出售的这种选择产生相同的价值,即 VWi,tS=VWi,tR =VW _{i, t}。相应地,房产中介的价值方程可改写为式(5)和式(6)。

VW _{i, t}=r_{i, t}+βE_t[VW _{i, t+1}], (5)

VW _{i, t}=θ_{i, t}p_{i, t}+(1 -θ_{i, t}) βE_t[VW _{i, t+1}] . (6)

在价格形成机制上,租住家庭和房产中介的成交价由Nash议价过程决定,成交价 p_{i, t}满足Nash乘积最大化,即Max[(VH _{i, t}-VR _{i, t}-p_{i, t}) ^λ( p_{i, t}-VW _{i, t})^{1 -λ}]。其中,租住家庭的交易剩余是改变租买选择成为自住家庭所带来的期望住房效用提升,房产中介的交易剩余是成交价 p_{i, t}与空置房现值VW _{i, t}之差,议价能力由 λ决定。对应的Nash均衡解,如式(7)所示。

λ/(VH _{i, t}-VR _{i, t}-p_{i, t}) =(1 -λ) /( p_{i, t}-VW _{i, t}) . (7)

令家庭数量为 N,住房数量为 H, η_{R i, t}、 η_{H i, t}和 η_{V i, t}分别表示在第 t期 i处的租住家庭、自住家庭和空置住房的数量。由于限购政策的数量约束作用,家庭只能拥有或租住一套住房。家庭数量 N和住房数量 H,分别如式(8)和式(9)所示。

N=∑i=12( η_{R i, t}+η_{H i, t}), (8)

H=∑i=12( η_{R i, t}+η_{H i, t}+η_{V i, t}) .(9)

考虑住房交易市场摩擦,家庭与住房的匹配结果由匹配函数所决定。参考标准的搜寻匹配模型设定,匹配函数服从不变规模效应的Cobb-Douglas方程。令房产中介的待售住房数量为 η_{FS i, t},已知租住家庭迁移概率为 m_R,则留在该地的租住家庭数量为(1 -m_R) η_{R i, t}。令 M_{i, t}表示第 t期地点 i住房交易市场的匹配数量,如式(10)所示。

M_{i, t}=ρ[(1 -m_R) η_{R i, t}] ^μ( η_{FS i, t})^{1 -μ}.(10)

其中: ρ为匹配函数的常数项, μ为匹配函数中买方数量对应的弹性系数。相应地,第 t期 i处家庭成功购入住房的概率 φ_{i, t} 以及待售住房的匹配概率 θ_{i, t},分别如式(11)和式(12)所示。

φ_{i, t}=M_{i, t}/[(1 -m_R) η_{R i, t}], (11)

θ_{i, t}=M_{i, t}/η_{FS i, t}. (12)

根据家庭迁移的特点,地点 i处的房产中介掌握的空置住房数量为 η_{R i, t}+η_{V i, t}+m_H η_{H i, t},分别为 t期初的出租房、空置房和外迁家庭留下的新增空置房。房产中介将这些住房用于出租或出售。令待租住房数量为 η_{FR i, t},则房产中介所拥有的空置住房数量,如式(13)所示。

η_{FS i, t}+η_{FR i, t}=η_{R i, t}+η_{V i, t}+m_H η_{H i, t}.(13)

考虑到住房租赁市场无交易摩擦,为满足市场出清条件,房产中介在 t期提供的待租住房数量将等于 t+1期租住家庭的数量,如式(14)所示。

η_{R i, t+1} =η_{FR i, t}. (14)

关于租住家庭的数量变化,当地的一部分租住家庭( m_R η_{R i, t})迁移到了另一地点,部分购买住房( M_{i, t})成为自住家庭;另一方面,从另一地点迁入了新的租住家庭,其中包括在 j处的原租住家庭( m_R η_{R j, t})和出售住房的原自住家庭( m_H η_{H j, t})。因此,租住家庭的数量变化,如式(15)所示。

η_{R i, t+1} -η_{R i, t}=-m_R η_{R i, t}-M_{i, t}+m_R η_{R j, t}+m_H η_{H j, t}.(15)

同样地,推导出自住家庭的数量变化,如式(16)所示。

η_{H i, t+1} -η_{H i, t}=M_{i, t}-m_H η_{H i, t}. (16)

空置房的数量变化,如式(17)所示。

η_{V i, t+1} -η_{V i, t}=-m_R η_{R j, t}-m_H η_{H j, t}+m_R η_{R i, t}+m_H η_{H i, t}. (17)

基于住房市场搜寻匹配模型,本节结合统计数据校准模型参数,并采用Dynare 4.3.3软件包仿真限购政策环境下家庭租买选择与房价波动之间的动态关系。

鉴于家庭迁居频率较低,时间周期采用季度为单位。考虑对称均衡条件, 2个地点取相同参数值。标准化起见,令任一地点的家庭数量0 .85,则家庭总量 N为1 .7。根据空置率的历史数据,住房总量 H为2,空置房总量为0 .3,对应空置率为15%。结合《中国住宅金融报告》及2010年链家地产的相关调研数据,租住家庭更换租住地点的概率设定为25%,自住家庭转变为租住家庭概率设定为4%,即 m_R =0 .25, m_H =0 .04。购房人的议价能力 λ设定为0 .5,匹配函数的弹性系数 μ设定为0 .5,贴现率 β设定为0 .945 3。其余参数值通过模型调试校准得到,使得市场租金收益率水平维持在5%。模型参数值的设定,如表1所示。

表1

表1

表1 模型参数值设定 参数 定义 取值 H 住房数量 2 N 家庭数量 1.7 UH 自住家庭的住房效用 0.0864 UR 租住家庭的住房效用 0 α 工资收入 1 β 贴现率 0.9453 λ 购房人的议价能力 0.5 ρ 匹配函数的常数项 0.1649 μ 购房人的弹性系数 0.5 m H 自住家庭的迁移概率 0.04 m R 租住家庭的迁移概率 0.25

表1 模型参数值设定

住房市场搜寻匹配模型由13个内生变量构成,包括租住家庭、自住家庭和空置房的数量{ η_{R i, t}, η_{H i, t}, η_{V i, t}}、待租房与待售房的数量{ η_{FR i, t}, η_{FS i, t}}、租住家庭和自住家庭的价值{VR _{i, t}, VH _{i, t}}、房价与房租{ p_{i, t}, r_{i, t}}、空置房的价值{VW _{i, t}}、匹配数量及其相应概率{ M_{i, t}, φ_{i, t}, θ_{i, t}}。这些变量的稳态均衡解需分别满足Bellman价值方程,如式(1)、式(2)、式(5)和式(6)所示;Nash议价条件如式(7)所示;匹配函数如式(10)—式(12)所示;住房数量约束如式(13)所示;租赁市场出清条件如式(14)所示;跨期数量变化如式(15)—式(17)所示。这13个方程根据设定的参数值求出各内生变量的稳态均衡解,如表2所示。

表2

表2

表2 变量的稳态均衡解 变量 定义 均衡解 η R 租住家庭数量 0.350 η H 自住家庭数量 0.500 η V 空置房数量 0.150 η FR 待出租房屋数量 0.350 η FS 待出售房屋数量 0.056 M 匹配数量 0.020 φ 买方的匹配概率 0.076 θ 卖方的匹配概率 0.357 p 房价 4.040 r 房租 0.201 VR 租住家庭价值 14.960 VH 自住家庭价值 19.361 VW 空置房价值 3.678

表2 变量的稳态均衡解

由表2可知,各变量在稳态均衡状态下取值较为合理。其中,房价为4.040,房租为0.201,租金收益率为5.0%,与校准目标接近。

设定一个需求冲击,使得地点1的家庭数量增加2%。由于采用了标准化处理,地点1的家庭数量为0.85,需求冲击后的家庭数量增至0.867。

2.3.1 家庭租买选择对需求冲击的响应

为反映家庭租买选择的变化,图1和图2分别描述了需求冲击下住房市场中租住家庭和自住家庭的数量变化。

图1

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	图1 租住家庭数量对需求冲击的响应

图2

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	图2 自住家庭数量对需求冲击的响应

如图1和图2所示,随着人口总量的增加,租住家庭数量在当期大幅提高,而自住家庭数量略有下降。随着时间推移,租住家庭数量逐步减少,而自住家庭数量持续上升,并最终形成新的市场均衡。正是由于住房限购政策的约束,家庭首先将选择租房,并至少开展一个季度的搜寻过程,才有可能在下一季度成为自住家庭。因此,租住家庭的增多会产生负外部效应,降低交易匹配概率,加大家庭购房难度。同时,自住家庭以一定的概率向外部迁移,而迁居概率高于匹配概率,从而导致了住房市场中自住家庭数量的下降。

2.3.2 房价与房租对需求冲击的响应

为解析住房市场价格的变化特征,图3刻画了房租与房价变化率对需求冲击的响应过程。

图3

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	图3 房租变化率对需求冲击的响应

由图3和图4可知,在需求冲击下,当期房租变动率达到60%,当期房价变动率仅为3%。可见,在限购政策约束下,房价对需求冲击的当期响应强度远低于房租,需求冲击对房租的当期影响是其对房价影响的20倍。同时,由于住房交易摩擦,房价与房租随后出现短暂下降,这表明住房价格的响应过程可能存在着过度调整现象。但从长期来看,房租会逐渐回归到原均衡水平,而房价将升高。这表明需求冲击最终引起房价上涨,而房租保持不变。

图4

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	图4 房价变化率对需求冲击的响应

租金收益率作为反映住房资产收益能力的重要指标,对于住房资产价格的形成具有显著作用。进一步观察租金收益率对需求冲击的响应过程,如图5所示。

图5

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	图5 租金收益率对需求冲击的响应

图5表明,在需求冲击下,租金收益率从原先均衡水平5%升至约8%,并快速回落至4.7%。

由此推断,在住房限购政策背景下,需求冲击首先作用于住房租赁市场,推动房租的大幅上涨,而房价对需求冲击的响应强度很低,其调整过程也较为缓慢。因此,限购政策使得家庭租买选择更倾向于住房租赁市场,并通过租金收益率的传导作用,逐步从房租波动过渡到房价波动,并最终推动房价上涨。