数控机床的结构极其复杂，技术高度集成，加之工况多变性，导致其故障发生的风险概率大幅度增加，因此数控机床产品在交付前必须开展大量可靠性试验研究。

常规的数控机床可靠性试验一般为全寿命试验、统计试验、试件切削试验和连续空运转试验。但是这些可靠性试验存在着周期较长、见效慢、所需样本量大等缺陷，从而使企业和产品不能适应市场的快速发展，满足用户需要。因此需要开展数控机床可靠性快速试验，模拟机床加工状态，通过对机床施加超过实际工况的载荷，来快速测试数控机床的可靠性。目前的可靠性快速试验主要进行单轴加载，尚未实现多轴加载，由于机床在切削时承受多维力，单轴加载无法复现机床的实际工况，使得可靠性效果大打折扣。

在数控机床可靠性快速试验过程中，需要设计三维力加载机构，准确模拟数控机床的切削加工过程，对机床施加三维切削力。由于并联机构结构紧凑、刚度大、负载能力强等优点^[1]，基于并联机构设计适用于数控机床快速试验的多维力加载装置^[2-3]，具有切削力模拟准确、连续快速加载、加载力变化范围大等诸多优点^[4-5]。

本文提出一种模拟数控机床三维切削力的加载机构，该机构具有结构紧凑、易于制造等特点，可通过调节杆件长短，安装至不同规格的数控机床上^[6]，操作简便。在机构运动学分析的基础上，基于虚功原理建立了机构的动力学模型，给出了加速性能评价指标，并进行了相应的仿真研究^[7-9]。

1 三轴加载机构概念设计 1.1 加载装置描述

图 1所示为一种数控机床可靠性快速加载试验原理图，三轴切削力加载装置安装在数控机床的工作台上。切削力加载装置主要由加载棒、加载盘和三平动加载机构3个部分构成。加载棒安装在数控机床主轴前端，加载盘安装在三平动加载机构上。数控机床运动过程中，加载机构跟踪数控机床运动，从而保证加载棒始终处于加载盘中心。通过对加载盘通以不同频率的电流，实现对加载棒施加不同频率的力，进而模拟三轴数控机床的加工过程，实现对数控机床的加载。该装置结构简单对称，刚度高，加载能力强，容易实现模块化，制造成本低。

图 2为三轴加载机构的三维模型，该加载机构由动平台、静平台(与机床工作台相连)、3条相同的运动学支链组成，3条支链在空间中呈120°均匀分布。每条运动学支链包括一级支链与二级支链，在第一级支链中，2个转动副连接横杆分别连接2个连杆的中端与下端构成平行四边形，下端转动副与支链底座连接，两连杆上端分别连接2个套筒。第二级支链上2个球铰分别连接动平台和2条伸出杆，伸出杆分别与第一级支链中相应套筒连接形成移动副。

1.2 坐标系的建立

加载机构的原理图如图 3所示，由于每条支链中两杆长度相等，且构成平行四边形，故动平台没有转动只有平动，3根杆就可以确定动平台位姿。每根支链均多出一根杆为“虚约束”，以提高机构刚度，故建立力学模型时将两根杆简化为中心线上的一条支链A_iB_i，质量为两根支链与横杆的支链之和。

首先建立静平台坐标系O-XYZ。以静平台中心点O为坐标原点，从O点指向第一条支链中心线与静平台连接点A₁的方向向量为X轴，竖直向上方向向量为Z轴，利用右手法则确定Y轴。

然后建立动平台坐标系o-xyz。以动平台中心点o为坐标原点，从o点指向第一条支链中心线与动平台连接点B₁的方向向量为x轴，竖直向上的向量为z轴，利用右手法则确定y轴。

最后在B_i点建立支链坐标系B_i-x_iy_iz_i，以支链A_iB_i的长度方向单位矢量n_i为z_i轴，y_i轴垂直于平面A_iB_i o，x_i轴由右手法则确定。支链坐标系相对于静平台坐标系的旋转变换矩阵为

$ \begin{array}{*{20}{l}} {_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}} = [({\mathit{\boldsymbol{n}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}) \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}\quad {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}\quad {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}]} \end{array}. $

(1)

式中，n_i为支链A_i B_i的长度方向的单位向量，u_i=(cosθ_i, sinθ_i, 0)^T为OA_i方向上的单位向量，其中θ_i为OA_i与X轴正方向的夹角，i=1, 2, 3。

2 运动学分析 2.1 运动学建模

基于图 3的运动学模型，可以建立三轴加载机构运动学方程:

$ \mathit{\boldsymbol{p}} + r{\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = R{\mathit{\boldsymbol{u}}_i} + {l_i}{\mathit{\boldsymbol{n}}_i}. $

(2)

式中，R为静平台半径，r为动平台半径，l_i为支链A_i B_i的长度，p为动平台中心在静平台坐标系O-XYZ中的位置矢量，$\mathit{\boldsymbol{p}} = \left[\begin{array}{l} {x_0}\\ {y_0}\\ {z_0} \end{array} \right]$, x₀、y₀和z₀是动平台中心的XYZ坐标。

基于图 3的运动学模型，每个支链由两根杆组成，根据结构设计，将与静平台相连接的杆称为主动杆，与动平台相连接的杆称为从动杆。设静平台坐标系下，主动杆和从动杆质心的位置矢量分别为r_Ei、r_Fi，记l_a为主动杆质心E_i到铰链点A_i的距离，l_b为主动杆质心F_i到铰链点B_i的距离，则

$ {{\mathit{\boldsymbol{r}}_{{E_i}}} = R \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} + {l_a} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i},} $

(3)

$ {{\mathit{\boldsymbol{r}}_{{F_i}}} = \mathit{\boldsymbol{p}} + r \cdot {\mathit{\boldsymbol{u}}_i} - {l_b} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}.} $

(4)

通过方程(2)，可以得到

$ {l_i}{\mathit{\boldsymbol{n}}_i} = \mathit{\boldsymbol{p}} - (R - r){\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = \mathit{\boldsymbol{p}} - c{\mathit{\boldsymbol{u}}_i}. $

(5)

式中c=R-r。

对式(5)两边取模的平方，得到加载机构的运动学逆解为

$ {l_i} = \sqrt {{{({x_0} - c{\rm{cos}}{\theta _i})}^2} + {{({y_0} - c{\rm{sin}}{\theta _i})}^2} + z_0^2} . $

(6)

2.2 速度与加速度分析

为了方便后续动力学求解，这里的所有速度、加速度均是在静平台坐标系O-XYZ下进行描述的。

首先求解支链伸缩的速度与加速度。对式(6)两端同时平方后，关于时间t求导可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{l_i}{{\dot l}_i} = ({x_0} - c{\rm{cos}}{\theta _i}){{\dot x}_0} + }\\ {({y_0} - c{\rm{sin}}{\theta _i}){{\dot y}_0} + {z_0}{{\dot z}_0}.} \end{array} $

(7)

基于式(7)，可以得到支链伸缩速度$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$与动平台平动速度v_p之间的映射关系：

$ \mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \mathit{\boldsymbol{J}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_p}. $

(8)

其中，J为Jacobian矩阵。

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{\dot q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot l}_1}}\\ {{{\dot l}_2}}\\ {{{\dot l}_3}} \end{array}} \right],\mathit{\boldsymbol{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{x_0} - c}}{{{l_1}}}}&{\frac{{{y_0}}}{{{l_1}}}}&{\frac{{{z_0}}}{{{l_1}}}}\\ {{x_0} + \frac{c}{2}}&{\frac{{{y_0} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}c}}{{{l_2}}}}&{\frac{{{z_0}}}{{{l_2}}}}\\ {\frac{{{x_0} + \frac{c}{2}}}{{{l_3}}}}&{\frac{{{y_0} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}c}}{{{l_3}}}}&{\frac{{{z_0}}}{{{l_3}}}} \end{array}} \right],\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{v}}_p} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_0}}\\ {{{\dot y}_0}}\\ {{{\dot z}_0}} \end{array}} \right]. \end{array} $

对式(7)两端关于时间t求导可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {i_i^2 + {l_i}{{\ddot l}_i} = \dot x_0^2 + ({x_0} - c{\rm{cos}}{\theta _i}){{\ddot x}_0} + \dot y_0^2 + }\\ {({y_0} - c{\rm{sin}}{\theta _i}){{\ddot y}_0} + \dot z_0^2 + {z_0}{{\ddot z}_0}.} \end{array} $

(9)

整理可以得到支链伸缩加速度，

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{{\ddot l}_i} = \frac{1}{{{l_i}}}(\dot x_0^2 + \dot y_0^2 + \dot z_0^2 - i_i^2 + ({x_0} - c{\rm{cos}}{\theta _i}){{\ddot x}_0} + }\\ {({y_0} - c{\rm{sin}}{\theta _i}){{\ddot y}_0} + {z_0}{{\ddot z}_0}).} \end{array} $

(10)

下一步求解支链的角速度与角加速度。对式(2)两端关于时间t求导可得

$ {\mathit{\boldsymbol{v}}_p} = {l_i} \cdot ({\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}) + {\dot l_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}. $

(11)

对式(11)两端同时叉乘n_i，整理后可得到第i个支链的角速度，

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{n}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{v}}_p}}}{{{l_i}}}. $

(12)

对式(2)两端关于时间t求二阶导数可得

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{a}}_p} = {{\ddot l}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} + 2{{\dot l}_i}({\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}) + {l_i}({{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}) - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \omega _i^2{l_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}. \end{array} $

(13)

对式(13)两端同时叉乘n_i，整理后可得到第i个支链的角加速度，

$ {\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}_i} = \frac{{{\mathit{\boldsymbol{n}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{a}}_p} - 2{{\dot l}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}}}{{{l_i}}}. $

(14)

然后求解支链杆件质心的速度与加速度。对式(3)和(4)分别关于时间t求导，可以得到：

$ {{v_{{E_i}}} = {l_a} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i},} $

(15)

$ {{v_{{F_i}}} = ({l_i} - {l_b}) \cdot {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} + {{\dot l}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}.} $

(16)

其中，v_Ei和v_Fi分别表示从动杆、主动杆质心E_i和F_i的速度。

对式(15)和(16)分别关于时间t求导，可以得到:

$ {\mathit{\boldsymbol{a}}_{{E_i}}} = {l_a} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} - \omega _i^2{l_a} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}, $

(17)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{a}}_{{F_i}}} = ({l_i} - {l_b}) \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} - \omega _i^2({l_i} - {l_b}) \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} + }\\ {{{\ddot l}_i} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}_i} + 2{{\dot l}_i}({\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{n}}_i}).} \end{array} $

(18)

其中，a_Ei和a_Fi分别表示从动杆、主动杆质心E_i和F_i的加速度。

2.3 奇异性分析

一般来说，机构出现奇异时存在2种情况：其一是机构的理论自由度大于实际自由度，此时机构部分自由度丧失，意味着机构失去部分能力；其二是机构的理论自由度小于实际自由度，此时即使机构的所有输入都已确定，外载作用也会使机构失控。

机构出现奇异时，其Jacobian矩阵的行列式为零，即

$ {\rm{det}} (\mathit{\boldsymbol{J}}) = 0. $

(19)

通过求解式(19)可知，当c=0或者z=0时，即静平台与动平台半径相等或者静平台与动平台共面时，三轴加载机构出现奇异。在加载机构的优化设计过程中，可以通过优化加载机构的尺寸来避免奇异构型的出现。

3 动力学建模

本文采用虚功原理建立加载机构动力学模型。假设机构在运动时，动平台所受外载荷为F，动平台受第i个支链的约束反力为F_1i。根据AD'G Alembert's原理，忽略各构件之间的摩擦力时，由动平台的力平衡条件可得

$ \mathit{\boldsymbol{F}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {{\mathit{\boldsymbol{F}}_{1i}}} + \mathit{\boldsymbol{G}} + \mathit{\boldsymbol{Q}} = 0. $

(20)

其中：G为动平台所受重力，Q=-ma_p为动平台所受的惯性力，m为动平台的质量。

主动杆、从动杆在静平台坐标系O-XYZ下所受的惯性力分别为

$ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{2i}} = - {m_2} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_{{E_i}}},} $

(21)

$ {{\mathit{\boldsymbol{Q}}_{1i}} = - {m_1} \cdot {\mathit{\boldsymbol{a}}_{{F_i}}}.} $

(22)

其中，m₂、m₁分别为主动杆、从动杆的质量。

主动杆、从动杆在静平台坐标系O-XYZ下所受的惯性力矩分别为

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{N}}_{2i}} = - _{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{2i}} \cdot {(_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}})^{\rm{T}}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} - \\ {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times (_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}} \cdot {I_{2i}} \cdot {(_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}})^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}), \end{array} $

(23)

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{N}}_{1i}} = - _{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}} \cdot {I_{1i}} \cdot {(_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}})^{\rm{T}}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} - \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times (_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_{1i}} \cdot {(_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}})^{\rm{T}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}). \end{array} $

(24)

其中，I_2i、I_1i为主动杆、从动杆参考支链坐标系B_i-x_i y_i z_i的惯性张量。

最后综合上述两部分的受力分析，忽略关节摩擦力，根据虚功原理，在静平台坐标系O-XYZ中，可得机构的动力学方程:

$ \begin{array}{*{20}{l}} {{F_1} \cdot \delta {l_1} + {F_2} \cdot \delta {l_2} + {F_3} \cdot \delta {l_3} = {\mathit{\boldsymbol{F}}^{\rm{T}}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{p}} + {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{p}} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{Q}}^{\rm{T}}} \cdot \delta \mathit{\boldsymbol{p}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {(\mathit{\boldsymbol{G}}_1^{\rm{T}} \cdot \partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{F_i}}} + \mathit{\boldsymbol{Q}}_{1i}^{\rm{T}} \cdot \partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{F_i}}} + \mathit{\boldsymbol{N}}_{1i}^{\rm{T}} \cdot \partial {\mathit{\boldsymbol{\theta }}_{1i}})} + }\\ {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^3 {(\mathit{\boldsymbol{G}}_2^{\rm{T}} \cdot \partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{E_i}}} + \mathit{\boldsymbol{Q}}_{2i}^{\rm{T}} \cdot \partial {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{E_i}}} + \mathit{\boldsymbol{N}}_{2i}^{\rm{T}} \cdot \partial {\mathit{\boldsymbol{\theta }}_{2i}})} .} \end{array} $

(25)

其中：F₁、F₂、F₃为各支链上的驱动力，F为动平台所受外载荷；δl₁、δl₂、δl₃为各支链驱动力对应下的虚位移；δp为动平台质心在静平台坐标系下的虚位移向量，δp=(δx₀  δy₀  δz₀)^T；G₁为从动杆所受重力，G₂为主动杆所受重力；δr_Ei和δr_Fi分别为从动杆和主动杆质心点在静平台坐标系中的虚位移向量；δθ_1i和δθ_2i分别为从动杆和主动杆质心点在静平台坐标系中的虚角位移向量。

式(25)两边同时除以δt，得

$ \begin{array}{l} [{F_1}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {F_2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {F_3}] \cdot \dot q = {\mathit{\boldsymbol{F}}^{\rm{T}}} \cdot {v_p} + {\mathit{\boldsymbol{G}}^{\rm{T}}} \cdot {v_p} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}^{\rm{T}}} \cdot {v_p} + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{l}} {\sum\limits_{i = 1}^3 ( \mathit{\boldsymbol{G}}_1^{\rm{T}} \cdot {v_{{F_i}}} + \mathit{\boldsymbol{Q}}_{1i}^{\rm{T}} \cdot {v_{{F_i}}} + \mathit{\boldsymbol{N}}_{1i}^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} + }\\ {\sum\limits_{i = 1}^3 {(\mathit{\boldsymbol{G}}_2^{\rm{T}} \cdot {v_{{E_i}}} + \mathit{\boldsymbol{Q}}_{2i}^{\rm{T}} \cdot {v_{{E_i}}} + \mathit{\boldsymbol{N}}_{2i}^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i})} .} \end{array} \end{array} $

(26)

根据主动杆质心点E_i、从动杆质心点F_i、动平台质心点o之间的位置关系，可给出点E_i、F_i的速度v_Ei、v_Fi与点o的速度v_p之间的映射关系：

$ {v_{{E_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{E_i}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}_p},\quad {\mathit{\boldsymbol{v}}_{{F_i}}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{F_i}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{v}}_p}. $

(27)

其中，

$ {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{E_i}}} = \frac{{\partial ({x_{{E_i}}}{y_{{E_i}}}{z_{{E_i}}})}}{{\partial ({x_0}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {y_0}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {z_0})}},\quad {\mathit{\boldsymbol{J}}_{{F_i}}} = \frac{{\partial ({x_{{F_i}}}{y_{{F_i}}}{z_{{F_i}}})}}{{\partial ({x_0}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {y_0}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {z_0})}}. $

(28)

将v_Ei=J_Ei·v_p，v_Fi=J_Fi·v_p，$\mathit{\boldsymbol{\dot q}}$=J·v_p，ω_i=J_ωi·v_p代入式(26)并整理，可以得到加载机构的动力学逆解和正解：

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \begin{array}{*{20}{l}} {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{F}}_L} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{F_1}}&{{F_2}}&{{F_3}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}},}\\ {\mathit{\boldsymbol{F}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}} \cdot (\mathit{\boldsymbol{F}} + \mathit{\boldsymbol{G}} + \mathit{\boldsymbol{Q}}) + } \end{array}\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^3 {({\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}} \cdot (} \mathit{\boldsymbol{J}}_{{F_i}}^{\rm{T}} \cdot ({\mathit{\boldsymbol{G}}_1} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{1i}}) + \mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{N}}_{1i}})) + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^3 {({\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}} \cdot (} \mathit{\boldsymbol{J}}_{{E_i}}^{\rm{T}} \cdot ({\mathit{\boldsymbol{G}}_2} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{2i}}) + \mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{N}}_{2i}})).\\ \begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{F}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}} \cdot \left( {{\mathit{\boldsymbol{F}}_L} - \sum\limits_{i = 1}^3 {({\mathit{\boldsymbol{J}}^{{\rm{ - T}}}} \cdot (} \mathit{\boldsymbol{J}}_{{F_i}}^{\rm{T}} \cdot ({\mathit{\boldsymbol{G}}_1} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{1i}}) + } \right.}\\ {{\kern 1pt} \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{N}}_{1i}}))} \right) + \sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{\mathit{\boldsymbol{J}}^{ - {\rm{T}}}} \cdot (\mathit{\boldsymbol{J}}_{{E_i}}^{\rm{T}} \cdot ({\mathit{\boldsymbol{G}}_2} + {\mathit{\boldsymbol{Q}}_{2i}}) + } \right.} }\\ {{\kern 1pt} \left. {{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{\rm{T}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{N}}_{2i}})} \right) - (\mathit{\boldsymbol{G}} + \mathit{\boldsymbol{Q}}).} \end{array} \end{array} $

(29)

其中，

$ \begin{array}{l} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}} = \frac{{\partial {\omega _i}}}{{\partial p}} = \\ \frac{1}{{l_i^2}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {z_o}}&{{y_0} - c{\rm{sin}}{\theta _i}}\\ {{z_o}}&0&{c{\rm{cos}}{\theta _i} - {x_0}}\\ {c{\rm{sin}}{\theta _i} - {y_0}}&{{x_0} - c{\rm{cos}}{\theta _i}}&0 \end{array}} \right]. \end{array} $

4 动力学性能评价

动力学性能是评价加载机构高速特性和加减速特性的重要技术指标。Yoshikawa^[10-11]指出一台高速机床以激励关节力作用下任意改变末端执行器的加速度著称。动力学操作性指标是基于关节驱动力和末端执行器的加速度而定义的，因此需要求解动力学方程中的惯性矩阵。本文基于节3的动力学求解过程，先计算机构总动能，然后推导惯性矩阵。

加载机构的总动能可以表示为

$ \begin{array}{l} E = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{v}}_p^{\rm{T}}(m{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}){\mathit{\boldsymbol{v}}_p} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{1}{2}} \mathit{\boldsymbol{v}}_{{E_i}}^{\rm{T}}({m_2}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}){\mathit{\boldsymbol{v}}_{{E_i}}} + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{1}{2}} \mathit{\boldsymbol{v}}_{{F_i}}^{\rm{T}}({m_1}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}){\mathit{\boldsymbol{v}}_{{F_i}}} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{1}{2}} \mathit{\boldsymbol{\omega }}_i^{\rm{T}}{_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{I}}_{2i}} \cdot \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {(_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}})^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} + \sum\limits_{i = 1}^3 {\frac{1}{2}} \mathit{\boldsymbol{\omega }}_i^{\rm{T}}{_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}}} \cdot {\mathit{\boldsymbol{I}}_{1i}} \cdot {(_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}})^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i}. \end{array} $

(30)

将v_Ei=J_Ei·v_p，v_Fi=J_Fi·v_p，ω_i=J_ωi·v_p代入式(30)，整理得到

$ E = \frac{1}{2}\mathit{\boldsymbol{v}}_p^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{M}}{\mathit{\boldsymbol{v}}_p}. $

(31)

其中，

$ \begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{M}} = m{\mathit{\boldsymbol{I}}_3} + \sum\limits_{i = 1}^3 {(\mathit{\boldsymbol{J}}_{{E_i}}^{\rm{T}}(} {m_2}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}){\mathit{\boldsymbol{J}}_{{E_i}}} + \mathit{\boldsymbol{J}}_{{F_i}}^{\rm{T}}({m_1}{\mathit{\boldsymbol{I}}_3}){\mathit{\boldsymbol{J}}_{{F_i}}} + \\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{\rm{T}}(_{{B_i}}^O\mathit{\boldsymbol{R}}({\mathit{\boldsymbol{I}}_{1i}} + {\mathit{\boldsymbol{I}}_{2i}}) \cdot (_{{B_i}}^O{\mathit{\boldsymbol{R}}^{\rm{T}}}){\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}}), \end{array} $

(32)

为整个机构的惯性矩阵。

基于广义惯性椭球理论，可以推断动平台在椭球的长轴方向容易加速，而在椭球的短轴方向很难加速。如果惯性椭球的主轴长度是一样的，则惯性椭球就是一个纯粹的球体，加载机构的合成惯性是各向同性的。长轴和短轴之间的偏差表示合成惯性的各向异性。惯性矩阵的最大和最小奇异值反映了惯性椭球的主轴长度。如果考虑工作空间中的一点或者整个工作空间中沿任意方向的加速性能均为各向同性的，则加载机构动力学方程中惯性矩阵的条件数κ_D可以用来定量地评价这一性能。κ_D可以表示为

$ 1 \le {\kappa _D} = \frac{{{\eta _2}}}{{{\eta _1}}} \le \infty . $

(33)

其中，η₁和η₂分别表示动力学方程中的惯性矩阵在一个给定位置处的最小和最大奇异值。

5 数字仿真 5.1 驱动力仿真

三轴加载机构的几何和惯性参数如表 1所示。机构的灵活度指标是评价加载机构速度传递特性的重要指标。灵活度反映的是机构末端各个方向速度传递的均匀性，各方向速度传递均匀性越高，机构末端执行构件的灵活度越高。这里首先利用Jacobian矩阵的条件数评价加载机构的灵活度，如图 4所示。灵活度评价中指定动平台高度为475 mm，偏离中心距离分别为0、30、60 mm。由图 4可以看出，在同一高度位置上，加载机构的Jacobian矩阵条件数在中心点处取最小值，说明在中心处加载机构的灵活性最好；而到中心点距离相同的各点上，与X轴夹角为0°、120°和240°的方向，即$\overrightarrow{o B}_{i}$方向上的点处，Jacobian矩阵条件数取最小值，说明动平台在$\overrightarrow{o B}_{i}$方向上，灵活度更高。

在驱动力仿真过程中，假设动平台沿特定空间曲线运动，并且分别空载运动和加上负载F=[50  150  300]^T(单位N)的条件下求解支链驱动力。加载机构沿空间曲线的运动轨迹表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 50{\rm{sin}}t,}\\ {y = 50{\rm{sin}}\left( {t + \frac{\pi }{2}} \right),}\\ {z = 310 + 10t.} \end{array}} \right. $

运动轨迹如图 5所示，各支链的驱动力仿真结果如图 6和7所示。空载情况下，各支链的驱动力较小，并且驱动力变换平滑。在负载作用下，第1个支链驱动力较小，第3个支链的驱动力较大，是因为负载力在第1个支链方向上的分量较小，在第3个支链方向上的分量较大。

5.2 动力学操作性指标

在加载机构的工作空间内，给定一系列的姿态，利用式(32)计算机构的惯性矩阵，进而得到其对应的惯性椭球。图 8是动平台高度为475 mm，偏离中心距离分别为0、30、60 mm的一系列位置上，对应的惯性椭球在XY平面上的投影，图 9是惯性椭球在XZ平面上的投影，图 10是动力学评价指标在空间中的分布情况。

从图 8可以看出，惯性椭球在XY平面投影得到的椭圆比较接近圆，说明加载机构在XY平面内加速能力的各向同性性能较好。从图 9可以看出，惯性椭球在XZ平面投影得到椭圆的长短轴的长度相差较大，说明加载机构在XZ平面内加速能力的各向同性性能相差较大。从图 10可以看出，加载机构在XY方向的加速能力相似，Z方向具有最大的加速能力。由于本文设计的加载机构应用中需要在Z方向快速运动，并不要求X、Y、Z 3个方向都具有一样的加速能力，因此本文加载机构具有较好的加速性能。

6 结论

本文提出了一种具有高刚度、高加载能力的新型数控机床可靠性快速试验三轴加载机构，并研究了其动力学评价方法。利用运动学模型中的Jacobian矩阵，给出了评价速度传递各向同性的评价指标；利用动力学模型中的惯性矩阵，给出了评价加速能力的各向同性评价指标；对加载机构的速度传递特性及加速能力进行了仿真研究。本文提出的三轴加载机构在XY平面内的加速能力相似，具有较好的各向同性，加载机构在Z向具有较强的加速能力，与加载机构在Z向需要快速运动需求一致，可以提高数控机床可靠性快速试验的效率。