随着航空航天、轨道交通和精密仪器等领域对零件的加工精度要求越来越高，人们对数控机床的精度提出了更高的要求。通常采用消除机床误差的方法来提升机床的加工精度，机床误差一般包括几何误差、热误差、力误差和运动控制误差。已有研究^[1-2]发现，随着运动学标定技术和高精度伺服控制系统的发展，机床温度变化产生的热误差成为机床精度的重要影响因素，极端情况下，热误差在总误差中所占的比例甚至高达75%。文[3]指出，热效应是机床最难处理的误差源之一。因此，研究数控机床的热误差对进一步提高数控机床的精度具有重要的工程价值。

减小机床热误差可以采用误差隔离和误差补偿两种方法。误差隔离是从源头上消除各种误差源，包括控制温升和机构优化、改善热环境、减少不均匀热变形等方法，但是由于机床结构复杂，存在机电液耦合，误差隔离在实际应用中难以全面实施，仅能用于局部的温度控制。误差补偿是在加工过程中，确定原始误差规律，人为地构造数学误差模型去抵消原始误差，从硬件和软件上对误差进行补偿，以达到降低误差、提高加工精度的目的，其关键是建立准确有效的误差模型。误差补偿方法成本相对较低，可行性高。

目前，很多学者在误差建模方法和误差补偿技术方面开展了研究。在早期热误差建模方面，Li等^[4]和朱珍等^[5]利用分析方法把机床主轴简化成一维杆和二维圆柱进行分析，通过将温度与膨胀系数的乘积在整个温度场进行积分得到主轴的热变形误差。直到20世纪七八十年代，有限元研究方法^[6-7]逐步进入研究人员的视野，该方法通过离线计算得出机床热变形的估计值，进一步调整机床结构，避免热误差的产生。Liu等^[8]采用有限元法对机床的大型电主轴热误差进行了仿真计算，并在有限元模型中考虑了主轴冷却水的影响。

随着计算技术的发展，通过数学模型计算并进行实时补偿的方法逐渐得到应用，具体包括静态模型和动态模型2种方式。静态模型包括回归分析模型、人工神经网络模型、支持向量机等，动态模型包括递归神经网络模型、输入-输出反馈Elman(output-input feedback Elman，OIF-Elman)神经网络模型、灰色系统模型和输出误差(output error，OE)模型等。Lo等^[9]采用多元线性回归分析方法建立了立式加工中心的热误差模型；Li等^[10]通过径向基神经网络建立了立式车床热误差模型；Ramesh等^[11]采用支持向量机模型对一台3轴立式加工中心的热误差进行了建模；Li等^[12]通过将过去一段时间的温度值数据合成新的温度数据并经过回归分析得到预测热误差，对一台立式加工中心的热误差进行了建模；Yang等^[13]将OE模型应用于一台立式车床的热误差预测中；李永祥等^[14]综合考虑时序模型以及灰色系统模型的优缺点，提出了一种混合建模方法，并验证其在车削中心热误差补偿过程中的有效性；Zhang等^[15]等将神经网络智能算法与传统理论相结合，实现了热误差建模的智能化，提高了模型的有效性。

在热误差补偿方面，崔岗卫^[16]采用了将因瓦合金测量杆安装在机床滑枕内部的测量方法，根据因瓦合金热膨胀系数极小的原理，实时测量得到了滑枕的热误差值，并将其输入到数控系统中进行补偿；Li等^[17]将热误差模型集成在一块安装LabVIEW软件的控制板卡上，通过以太网与FANUC数控系统完成通信，将热误差值输入到数控系统进行热误差补偿。

以上建模方法中，回归分析模型是热误差拟合模型中相对简单、应用范围最广的一类模型。回归方法的关键在于找到直线的最佳参数，最小二乘法是寻找参数最常用的方法。自变量数量≥2时，这种回归方法被称为多元线性回归。数控车床切深方向(X方向)的热误差与温度近似为线性关系，因此本文采用多元线性回归方法对车床X轴进行热误差建模，并基于该模型进行热误差补偿。

本文针对NL201HA型数控卧式车床，提出了一种基于多元线性回归模型的热误差建模方法。首先，对车床热误差产生原因进行分析，基于实验和红外热成像仪拍摄的车床表面温度图像，确定热源敏感位置，进而通过相关性分析对温度测点布局进行优选，确定敏感热源最佳测点组合。随后，采用多元线性回归方法对机床开展热误差建模研究。最后，基于该车床的数控系统，搭建了实际的热误差补偿系统，实现了车床的热误差补偿。

1 数控卧式车床热误差 1.1 热误差的产生

数控车床的高速旋转主运动靠主轴实现，进给运动主要靠进给轴实现，因此主轴和进给轴是保证车床性能和精度的关键部件。由于数控车床转速高、载荷大，其主轴和进给轴系统在工作过程中会产生大量的热，使车床的机械部件发生热变形，在终端表现出热误差。热误差产生的原因主要有以下3点：

1) 车床存在多个热源，且各热源在发热量、散热条件等特性上有明显差异，并在车床上形成一个复杂的温度场。车床上的热源主要包括外部热源和内部热源：外部热源主要指机床外部环境，内部热源包括主轴的电机与轴承、进给轴的电机与丝杠螺母等。不同工况下，各热源的发热情况不尽相同，车床上温度场的分布也会呈现出不同的特点。

2) 车床各部分的材料不同，导热系数也有差异，导致热量在车床内的传导不均匀；此外，车床各部分的热膨胀系数也不尽相同，会产生不同程度的热变形。

3) 车床结构的不对称导致各部分的热变形无法相互抵消，进而导致数控机床终端的热误差。

1.2 热误差补偿

热误差补偿是一种低成本、高效的减少机床热误差的手段。热误差补偿通常包括2个步骤：

1) 建立热误差模型。热误差建模实质上是一种“拟合”方法，通过在车床上布置位移和温度传感器，获得车床在各种工况下的热误差以及车床关键点的温度数据，然后利用数学拟合的方法建立热误差与关键点温度之间的映射关系。

2) 基于模型的误差补偿。利用热误差模型，根据实时测得的车床关键点温度预测热误差的大小，通过在数控系统改变相应运动量，对热误差进行补偿。

2 温度测点位置优选 2.1 关键温度测点

在最早的研究中, 温度测点的位置一般根据工程经验^[18]进行选取，即根据主要热源的数量确定关键温度测点的数目，并将温度传感器布置的位置靠近热源。这种方法虽然可以满足大多数热误差模型建模的要求，但缺乏科学理论指导，容易出现测点冗余而造成模型不稳定的现象。在本文中，温度测点由相关性分析确定，通过确定机床上与热误差相关程度较高的关键测点，用关键测点的温度表征机床温度。

本文研究对象为纽威公司的NL201HA型数控卧式车床，如图 1所示。该机床具有高动态X进给轴，能够实现高速切削。但在应用中发现，该车床加工工件的径向尺寸偏差(直径误差)较大，达到10 μm，致使工件报废率偏高。进一步研究发现，该误差是由车床X轴热误差引起的，同时车床X方向是车床精度的敏感方向。因此，本文围绕该车床X轴的热误差，展开热误差建模和补偿研究。本研究所用的数据采集装置主要有PT100铂电阻温度传感器、电涡流位移传感器和红外热成像仪等。数据采集过程为：首先将温度传感器布置在机床各关键测温点，测量建模所需的关键温度以及环境温度；红外热成像仪用于温度场分布的辅助测量；电涡流位移传感器则布置在刀塔上，用于测量刀塔与安装在主轴3爪卡盘上的工件之间的距离，从而得到车床X轴方向的误差值。

数控车床工作过程中，X轴方向热误差的热源主要有3个：主轴、X进给轴和环境。在不同工况条件下，3个热源的特性也不相同。主轴、X进给轴的发热主要取决于其自身的转速、载荷等，而环境的热特性则与车床所在车间条件有关。

因此，若采用线性模型进行热误差建模，为了能完备表述热误差，热误差模型中至少应当有3个可调参数，即至少应当在车床上布置3个测温点。但是，测温点的数量过多也会造成冗余、浪费，并且相似度很高的测温点同时参与建模，可能导致模型的鲁棒性降低，因此参与建模的测温点应当在4个左右。

2.2 测点布置分析

数控车床温升较快的位置主要有主轴电机和轴承、X轴伺服电机及丝杠螺母。在各敏感点放置温度传感器，连接红外热成像仪，从而利用温度传感器观察各敏感点的红外热成像，利用位移传感器进行热误差测量。由于纽威公司前期已进行了一系列实验，其测点方案如表 1所示，本文在此基础上结合红外热成像图像和已获得的数据，选择合适的建模测温点。机床在不同工况下运行一段时间后，X轴的红外热图像如图 2所示，可见X轴电机的温度较高，对X轴丝杠可能有比较大的影响，因此需要在X轴电机处增加温度传感器。主轴的红外热图像如图 3所示，可见主轴箱前端温度较高，因此将温度传感器布置在主轴箱前端能够保证准确地观察主轴的温度分布变化。综上，在表 1基础上增加ch5，测量X轴电机座温度，将传感器的位置重新进行布置，最终测点布置如表 2所示。

布置好传感器之后，在该车床上进行5组模拟切削实验，每组时间为1 d，上午和下午各3 h。各组具体实验工况如表 3所示。

2.3 测点优选

在数控车床的热误差建模中，测温点的布置与选择对于模型的准确性和鲁棒性来说至关重要。在2.2节初步实验的基础上，对已获得数据进行相关性分析，选择合适的建模测温点。

2.3.1 测温点的相关性分析

为了得到候选测点彼此之间的相关程度，剔除可能引起“共线性”问题的测点，下面进行测点之间的相关性分析。这里采用Pearson相关分析，

$ {r_{1, 2}} = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{x_{1i}} - {{\overline x }_1}} \right)\left( {{x_{2i}} - {{\overline x }_2}} \right)} }}{{\sqrt {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_{1i}} - {{\overline x }_1}} \right)}^2}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_{2i}} - {{\overline x }_2}} \right)}^2}} } } }}. $

(1)

其中：x₁={x₁₁, x₁₂, …, x_1n}和x₂={x₂₁, x₂₂, …, x_2n}代表待分析的两列数据，r_1，2是二者之间的相关系数。

为了去除各温度本身变化幅度不同对相关系数的影响，在计算相关系数之前, 各列温度数据需要经过归一化处理，

$ {x'_{i, j}} = \frac{{{x_{i, j}} - {x_{i, \min }}}}{{{x_{i, \max }} - {x_{i, \min }}}}. $

(2)

其中x_i={x_{i, 1}, x_{i, 2}, …，x_{i, n}}。Pearson相关分析结果如表 4所示，表中第1行的数字为该列参与计算的2个测温点的数据通道序号(测点序号)，下同。结合表 3的具体实验工况分析表 4可知：X轴螺母座温度(测点4)与X轴电机座温度(测点5)之间的相关性较高，并且两测点位置很近，因此在测点4和5中任取其一即可。

2.3.2 测点组合与热误差之间的相关性

为了用比较少的测温点来得到高效的温度误差计算模型，下面通过测温点组合与热误差建立线性回归模型的判定系数R²来选择最佳测温点组合。R²表示回归拟合曲线的拟合优度，越接近于1时，模型的拟合优度越高。如前所述，测温点数量在4左右为宜，这里将所有的3测点、4测点组合都列举出来，计算对应的判定系数R²，结果分别如表 5和6所示。

由表 5可见，3-5-6测点组合的R²都在0.9以上，在取3个测温点的组合里效果最好；由表 6可见，大部分取4个测温点的组合R²都在0.9以上，其中3-4-5-6测点组合、3-5-6-7测点组合的效果最好。

从理论上来说，所布置的测点应当至少能反映主轴、X轴和环境这3大热源的影响。从2.2节所布置的测点来看，床身温度和室温可以反映环境的影响；主轴箱前端温度可以反映主轴的影响；X轴螺母座与X轴电机座温度则可以反映电机的影响。因此，只要从上述3对测点中各取出一个，构成一个3测温点的组合，便可比较完备地描述线性模型。因此，最终测温点选择组合效果最好的3、5、6这3个测点。

3 机床热误差建模

由第2节可知，数控车床X轴方向是车床精度的敏感方向，因此本节以X方向的热变形误差为研究对象，利用线性回归模型对其进行热误差建模。同时，将2.3.2节所选的床身温度、主轴箱前端温度、X轴电机座温度这3个测温点组合数据用于热误差建模。另外，由于第3组、第4组和第5组实验工况比较复杂多变，因此选择这3组工况数据进行回归建模，把剩余的2组数据作为验证数据。

3.1 数据预处理

由于车床上温度场的建立是个动态过程，尤其是车床刚启动时，因此热误差在时域上存在2个主要问题：1)各测温点温度与热误差之间可能存在延时；2)在升温与降温过程中，热源性质不同，导致所测得的温度与热误差之间有不同的映射关系。为了解决室温、初始温度等因素的影响，根据线性模型的特性，这里只考虑各变量的增量。因此，对原始数据作以下预处理：

1) 剔除无用数据与粗大误差值；

2) 过程中每段数值都减去其初值，即位移值都减去该过程第1个时刻的位移值，温度值都减去该过程第1个时刻的温度值以保证每列数据的首值都为0，主要分析增量；

3) 分离数据中的升温段和降温段；

4) 将所有的升温段、降温段数据分别拼接在一起，得到分离的升温、降温段数据。

3.2 线性回归建模

分别对升温、降温段数据进行线性回归建模，

$ \Delta y = \\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{10}^{ - 3}} \times \left( { - 0.650\;{\rm{mm + 2}}{\rm{.989}}\;{\rm{mm}} \cdot {℃^{ - 1}} \cdot \Delta {t_3} - 1.577\;{\rm{mm}} \cdot {{\rm{℃}}^{ - 1}} \cdot \Delta {t_5} - 0.575\;{\rm{mm}} \cdot {{\rm{℃}}^{ - 1}} \cdot \Delta {t_6}} \right), 升温段;}\\ {{{10}^{ - 3}} \times \left( { - 0.361\;{\rm{mm + 6}}{\rm{.563}}\;{\rm{mm}} \cdot {℃^{ - 1}} \cdot \Delta {t_3} - 2.187\;{\rm{mm}} \cdot {{\rm{℃}}^{ - 1}} \cdot \Delta {t_5} - 0.895\;{\rm{mm}} \cdot {{\rm{℃}}^{ - 1}} \cdot \Delta {t_6}} \right), 降温段.} \end{array}} \right. $

(3)

其中：Δy表示热误差的增量，mm；Δt₃、Δt₅、Δt₆分别表示床身温度增量、X轴电机座温度增量、主轴箱前端温度增量，单位均为℃。利用第3、4和5组工况的数据进行建模，得到升温段和降温段的建模结果分别如图 4a和4b所示。升温段模型误差预测值与实际值的最大拟合残差为4.8 μm，降温段模型的最大拟合残差为2.6 μm。

3.3 模型评价

利用前2组工况的数据验证模型，得到升温段和降温段的建模结果分别如图 5a和5b所示。其中，预测值与实际值的最大残差在升温段为4.0 μm，降温段为4.0 μm。

由图 5可知，建模组和验证组采用模型补偿后，热误差均由原来的10 μm减少到5 μm以内，表明线性回归模型精确度和鲁棒性均较高。

4 热误差补偿

热误差补偿实质是通过实时测量机床部件上的温度值，将其输入已得到的热误差模型中计算热误差预测值，进而依据测量值的大小控制机床各驱动轴向朝着热误差产生方向的反向运动，实现热误差减小或消除的过程。

NL201HA车床搭载了Siemens828D型数控系统，系统中带有温度补偿功能。本节将搭建基于Siemens828D型数控系统的热误差补偿系统，其流程如图 6所示。在3.2节的线性模型基础上，通过编写PLC程序对该车床进行热误差补偿。温度信号输入通过Siemens SM331模拟量输入模块中的电桥模块(型号6ES7331-7KF02-OABO)完成。该模块包括内置电桥，将PT100铂电阻温度传感器连接在其一条桥臂上，电桥将由于温度变化引起的电阻变化量转化成电压变化量，并进一步通过内置A/D转换为数字量输入S7-300PLC(可编程逻辑控制器)中。然后，将补偿模型编写成可编程逻辑控制器(programmable logic controller, PLC)程序，在PLC中计算出X轴方向的热误差预测值，将其取反写入轴参数SD43900中，最后通过PLC修改数控参数的方式实现热误差补偿。

4.1 模型简化

由于3.2节所建立的双线性模型(升温段、降温段2个模型)对于PLC来说比较复杂，因此在这部分实验中作了简化处理，采取直接线性回归模型。考虑到PLC程序编写的便捷性，直接基于温度值进行线性回归。考虑到室温、车床起始温度等因素引起的“零点漂移”现象，在原有的建模测温点方案(3-5-6)的基础上，增加了室温(测温点7)。本节用5组工况实验数据和采用3-5-6-7测温点组合进行直接线性回归建模，此模型的表达式为

$ \Delta y = \\{10^{ - 3}} \times \left( { 5.848\;{\rm{mm}} \cdot {℃^{ - 1}} \cdot {t_3} - 1.564\;{\rm{mm}} \cdot {{\rm{℃}}^{ - 1}} \cdot {t_5} - 0.727\;{\rm{mm}} \cdot {{\rm{℃}}^{ - 1}} \cdot {t_6} - 2.808\;{\rm{mm}} \cdot {{\rm{℃}}^{ - 1}} \cdot {t_7} - 24.139\;{\rm{mm}}} \right). $

(4)

其中：t₃为床身温度，t₅为X轴电机座温度，t₆为主轴箱前端温度，t₇为室温，温度单位均为℃。

根据到车床本身的温度和热误差变化速度，这里采取的补偿策略是每5 min采集一次数据，以主要特征温度(X轴螺母座温度)为依据，如果该温度比上一次的记录值变化了0.2 ℃以上，则根据模型计算一个新的热误差预测值，并通过数控指令将其补偿到X轴上；否则，不补偿也不记录此次采集的温度数据。

4.2 补偿结果

根据4.1节的补偿策略，在该车床上进行了2 d的热误差补偿实验：第1天的测试工况为主轴4 000 r/min、X轴20 m/min快移；而第2天的工况则比较复杂，在测试过程中多次改变工况参数，包括调整主轴转速和X轴移动速度等。通过该补偿系统得到第1天和第2天的实验补偿结果分别如图 7a和7b所示。

由图 7a和7b可知，在工况比较简单的情况下，其热误差基本能控制在3 μm以内，而当工况比较复杂时，补偿系统也能将热误差控制在5 μm以内。

5 总结

本文对NL201HA车床的关键温度测点位置、热误差建模方法、热误差补偿进行了研究，基于关键温度测点优选和多元线性回归热误差模型，建立了一套实用的热误差补偿系统，并已在机床企业获得成功应用。本文首先根据红外热像仪拍摄的车床温度图像以及相关性分析方法，对测温点的位置进行了优化选择。然后，建立了热误差线性回归模型，并通过实验发现线性回归模型在精确性和鲁棒性两方面都有较好的性能。基于线性回归模型，设计了一套基于Siemens828D型数控系统及S7-300PLC的热误差补偿系统，该补偿系统在PLC中完成热误差模型计算，并通过PLC修改数控参数的方式实现热误差补偿。实验结果表明，热误差由原来的10 μm减少到5 μm以内。本文的热误差补偿方法可供其他型号数控车床的热误差补偿借鉴参考。