中国正在进行月球、火星和小行星等登陆探测任务，为了保证探测器登陆前的安全，需借助防热大底和背罩进行防护。由于着陆过程的复杂性和不可预见性，有必要在地面开展模拟试验。其中防热大底和背罩的抛离是整个登陆探测任务的关键环节，核心是模拟防热大底及背罩与登陆舱短期分离过程中的受力状态。

国内外有关航天探测器分离的研究方法主要有高空抛伞试验、风洞试验和吊挂配平分离。美国海盗号(Viking)降落伞研制期间，开展了数次高空抛大底试验^[1]，但是其成本高昂、周期长、风险大，适用于全过程验证试验。海盗号(Viking)还开展了风洞试验验证^[2]，针对背罩抛离过程中受空气动力学影响的回吸力进行测试，欧洲航天局对ExoMar在抛大底过程中的风洞试验进行了验证^[3]。风洞模拟分离试验的周期短，但由于背罩分离装置很难按照真实技术状态进行缩比，会对试验结果产生误差。吊挂配平分离方案^[4]采用配重的方式，稳定可靠、可操作性强、周期短。但其最大分离加速度为9.8 m/s²，不满足背罩分离时14 m/s²的最大加速度要求。为了尽可能准确地模拟背罩短期分离时的受力状态，拟采用主动式的吊挂分离方案，即伺服电机牵拉绳索实现背罩的加速分离。

电机牵拉绳索系统一般应用于矿井、电梯、起重机等，其共同特点为以绳索为牵拉的媒介，绳索末端附有集中质量，属于典型的非线性振动系统。该系统的模型最早由Schaffers提出^[5]，他推导出了一维波动支配方程，在矿井正常作业过程中紧急制动时对绳索纵向振动进行了研究。Chen^[6]建立了绳索横向和纵向耦合振动模型，提出了振动过程中的拍现象，研究了不同边界条件下的频率特性。Chen^[7]采用Newton定律和Hamilton原理推导出了电梯绳索系统的纵向振动的支配方程，采用假设模态法和空间离散的方法对其运动过程中的能量变化率进行了分析。Diao等^[8]从固有频率和模态动能2个方面研究了绳索横向振动对末端执行器振动的影响。文[9-10]建立滚筒-绳索-电梯的振动模型，仿真了电梯轿厢上升和下降过程中钢丝绳的张力及系统能量的变化情况。Zhu等^[11]提出了一种空间离散子结构法，用于精确计算一维变长结构系统的动力学相应分布参数。研究人员也对索并联机构中绳索的振动进行了研究，Bamdad^[12]研究表明，采用刚度系数和密度更大钢丝绳时，绳索的最大张力变化更小。Wang等^[13]采用局部建模，建立了多约束微分方程和常微分方程，通过Lyapunov直接法证明了系统的稳定性。Wang等^[14]建立了矿井中钢丝绳牵引系统的动力学响应数学模型。Zhang等^[15]研究表明，在电梯向上运动时产生的振动比向下时大，电梯轿厢的质量越低，会产生越强的纵向振动，钢丝绳的线密度对电梯的纵向振动有较小的影响。但是在建模过程中忽略了轿厢和轿厢架子之间的橡胶隔板，使得模型不太准确。

上述研究的主要背景为电梯或矿井，尚未有关于航天器主动式分离的相关研究，并且研究内容主要集中于绳索的动力学建模和绳索运动过程中振动的影响因素，很少有学者对绳索索力传递及其相关影响因素进行研究。本文主要针对绳索提升系统短期高速运动时绳索索力传递规律及其影响因素进行研究。采用Newton运动定律建立绳索高速提升系统的动力学模型，该模型是一个关于时间和长度的二阶偏微分方程，用空间离散的方法将其转化为一个一阶常微分方程组，得到绳索索力传递的关系式，分析绳索刚度、线密度、索长等对索力传递的影响规律。对航天器主动式高速分离试验具有指导意义。

1 动力学建模 1.1 机构描述

图 1为航天探测着陆器背罩模拟件分离试验装置，包含电机、滚筒、绳索、力传感器、吊具、背罩模拟件、架车以及一些辅助装置，其中绳索包括轴向提升系统的绳索、施加法向力的绳索以及施加转矩的绳索。电机驱动滚筒，通过轴向绳索依次与力传感器、吊具、背罩模拟件连接，如图 2所示。

本文主要研究索力的高速传递特性问题，可以忽略无关的一些因素，说明如下：

1) 忽略法向力和转矩力，只考虑轴向方向提升绳索的索力；

2) 弹性模量E、绳索的密度ρ和横截面积A均为常数，且绳索在变形过程中横截面为平面；

3) 只考虑纵向振动，即除了沿x方向的轴向应力外，其他方向的应力分量均为零，且绳索纵向振动的振幅远小于绳索索长；

4) 忽略绳索的弯矩、阻尼、摩擦和空气阻力；

5) 吊具与背罩模拟件看作一个整体。

1.2 动力学建模

绳索提升系统的模型如图 3所示，其中图 3a为绳索没有产生形变时的状态，将其作为参考状态；图 3b为物体实际状态，即绳索产生了形变时的状态。

变量定义：u(x, t)为在t时刻，绳索上的微元在位置x处相对于参考坐标系的纵向偏移；ρ为绳索单位长度的质量，即线密度；F(x, t)为位置x处的绳索索力；E为绳索轴向方向的弹性模量；A为绳索的横截面积；m为负载质量；L为绳索的初始长度；l(t)为绳索长度，随时间变化；v(t)为负载运动速度；a(t)为负载运动加速度；dx为绳索微元。

将出索点作为参考坐标系的原点，竖直向下的方向为x轴正方向，负载m固定在绳索末端。绳索的弹性模量为E，横截面积为A，单位长度的密度为ρ，坐标原点位于绳索顶部的出索端，绳索的长度l(t)随时间变化，相应地，绳索的速度为v(t)=$ \dot l$(t), 加速度为a(t)=$\dot v $(t)，符号上一点代表对时间求一阶导数。在任意时刻t，绳索在空间位置x(t)处的纵向偏移为u(x(t), t)，即相对于参考状态的位置偏移量，此处有0≤x(t)≤l(t)。dx为位置x处的无限小段绳索，当绳索有变形时，空间位置x(t)处的位置向量为

$ r = x(t) + u(x(t),t). $

(1)

根据多元复合函数求导法则，相应的速度为

$ V = \frac{{{\rm{d}}r}}{{{\rm{d}}t}} = v + \frac{{\partial u}}{{\partial t}} + v\frac{{\partial u}}{{\partial x}}. $

(2)

则相应的加速度为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\dot V = \frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}t}} = }\\ {\dot v + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}} + 2v\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial t}} + \dot v\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + {v^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}}.} \end{array} $

(3)

由材料力学可知，应力与应变之间的关系为

$ \sigma = E\varepsilon . $

(4)

其中

$ {\sigma = \frac{{F(x,t)}}{A}.} $

(5)

$ {\varepsilon = \frac{{u(x + {\rm{d}}x,t) - u(x,t)}}{{{\rm{d}}x}}.} $

(6)

将式(5)和(6)代入式(4)可得

$ \begin{array}{c} F(x,t) = EA\frac{{u(x + {\rm{d}}x,t) - u(x,t)}}{{{\rm{d}}x}} = \\ EA{u_x}(x,t). \end{array} $

(7)

对于绳索上的微元dx，由Newton运动定律得

$ \rho \dot V{\rm{d}}x = F(x + {\rm{d}}x,t) - F(x,t) + \rho g\;{\rm{d}}x. $

(8)

其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{F_x}(x,t) = \frac{{F(x + {\rm{d}}x,t) - F(x,t)}}{{{\rm{d}}x}} = }\\ {EA{u_{xx}}(x,t).} \end{array} $

(9)

将式(3)和(9)代入式(8)可得

$ \rho \left( {{u_{tt}} + 2v{u_{xt}} + \dot v{u_x} + {v^2}{u_{xx}} + \dot v} \right) - EA{u_{xx}} - \rho g = 0. $

(10)

式(10)为绳索提升系统的动力学模型，该支配方程是一个关于时间t和空间x的二阶偏微分方程，无法直接求得解析解，一般地，采用假设模态法对其空间和时间进行离散，进而求得数值解。

$ u(x,t) = X(x)T(t). $

(11)

其中：X(x)代表了空间振动的模态，T(t)表示振动模态随时间的变化。

对于一端固定，一端自由的边界条件，空间振动的模态函数为

$ \varphi (x) = \frac{{\sin \left( {n - \frac{1}{2}} \right){\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{l(t)}}x(t),n = 1,2,3, \cdots . $

(12)

由于x的取值范围[0, l(t)]是一个随时间变化的量，为了方便后续计算，引入一个新的独立变量ξ=x(t)/l(t), 相应地，ξ的取值范围将变为[0, 1], 式(12)将变为

$ \varphi (\xi ) = \sin \left( {n - \frac{1}{2}} \right){\rm{ \mathsf{ π} }}\xi ,n = 1,2,3, \cdots . $

(13)

这里的试验函数满足振型正交性，即

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_0^1 {{\varphi _i}} (\xi ){\varphi _j}(\xi ){\rm{d}}\xi = \frac{{{\delta _{ij}}}}{2};}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\delta _{ij}} = 1,\quad i = j;}\\ {{\delta _{ij}} = 0,\quad i \ne j.} \end{array}} \right.} \end{array} $

(14)

波的振动是由无穷多个简谐波线型迭加得到的，

$ u(x,t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varphi _i}} (\xi ){q_i}(t). $

(15)

其中：q_i(t)是相对于u(x, t)的广义坐标，n表示绳索振动的n阶模态。

将式(15)代入绳索提升系统的动力学模型中，并利用阵型正交性，在支配方程的两端同时乘以φ_j(ξ)(j=1, 2, …，n), 并将x从0到l(t)进行积分可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\int_0^{l(t)} {{\varphi _j}} (\xi )\left[ {\rho \left( {{u_{tt}} + 2v{u_{xt}} + \dot v{u_x} + } \right.} \right.}\\ {\left. {\left. {{v^2}{u_{xx}} + \dot v} \right) - EA{u_{xx}} - \rho g} \right]{\rm{d}}x = 0.} \end{array} $

(16)

由式(15)可得

$ {{u_x} = \frac{1}{{l(t)}}\varphi _i^\prime {q_i},} $

(17)

$ {{u_{xx}} = \frac{1}{{{l^2}(t)}}\varphi _i^{\prime \prime }{q_i},} $

(18)

$ {{u_{xt}} = - \frac{v}{{{l^2}(t)}}\varphi _i^\prime {q_i} - \frac{{v\xi }}{{{l^2}(t)}}\varphi _i^{\prime \prime } + {q_i}\frac{1}{{l(t)}}\varphi _i^\prime {{\dot q}_i},} $

(19)

$ {{u_t} = {\varphi _i}{{\dot q}_i} - \frac{{xv}}{{l(t)}}\varphi _i^\prime {q_i},} $

(20)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{u_{tt}} = {\varphi _i}{{\ddot q}_i} - \frac{{2xv}}{{{l^2}(t)}}\varphi _i^\prime {{\dot q}_i} - }\\ {\frac{{x\dot v{l^2}(t) - 2l(t)x{v^2}}}{{{l^4}(t)}}\varphi _i^\prime {q_i} + \frac{{{x^2}{v^2}}}{{{l^4}(t)}}\varphi _i^{\prime \prime }{q_i}.} \end{array} $

(21)

将式(17)—(21)代入式(16)并整理可得关于q_i(t)的二阶常微分方程

$ M(t)\ddot q(t) + C(t)\dot q(t) + K(t)q(t) = F(t). $

(22)

其中：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {M(t) = \frac{1}{2}\rho (t){\delta _{ij}},}\\ {C(t) = 2\rho v\int_0^1 {(1 - \xi )} \varphi _i^\prime {\varphi _j}{\rm{d}}\xi ,}\\ {K(t) = \frac{{EA}}{{l(t)}}\int_0^1 {\varphi _i^\prime } \varphi _j^\prime {\rm{d}}\xi + \rho \dot v\int_0^1 {(1 - \xi )} \varphi _i^\prime {\varphi _j}{\rm{d}}\xi - }\\ {\frac{{{v^2}}}{{l(t)}}\int_0^1 {{{(1 - \xi )}^2}} \varphi _i^\prime \varphi _j^\prime {\rm{d}}\xi ,}\\ {F(t) = l(t)\int_0^1 \rho (g - \dot v){\varphi _j}{\rm{d}}\xi .} \end{array} $

(23)

采用Runge-Kutta法求解式(22)的二阶常微分方程组，根据式(7)和式(19)即可得绳索索力在位置x处的受力状态。

2 数值仿真分析 2.1 初始条件

考虑到绳索提升系统是从静平衡状态开始运动的，在t=0时刻，位置x处的索力为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {EA{u_x}(x,0) = mg + \rho g(L - x) = }\\ {\quad \rho gL\left( {\frac{m}{{\rho L}} + 1 - \xi } \right).} \end{array} $

(24)

两边同时积分可得

$ \begin{array}{c} u(\xi ,0) = \frac{{\rho g{L^2}}}{{EA}}\int_0^\xi {\left( {\frac{m}{{\rho L}} + 1 - \xi } \right)} {\rm{d}}\xi = \\ \frac{{\rho g{L^2}}}{{EA}}\left( {\frac{m}{{\rho L}}\xi + \xi - \frac{1}{2}{\xi ^2}} \right). \end{array} $

(25)

由于

$ u(\xi ,0) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varphi _i}} (\xi ){q_i}(0). $

(26)

可得

$ \sum\limits_{i = 1}^n {{\varphi _i}} (\xi ){q_i}(0) = \frac{{\rho g{L^2}}}{{EA}}\left( {\frac{m}{{\rho L}}\xi + \xi - \frac{1}{2}{\xi ^2}} \right). $

(27)

根据振型正交性，在两边同时乘以 $ \rm sin\left( {\frac{{2n-1}}{2}} \right){\rm{\pi }}\xi $ 并积分可得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{q_n}(0) = \frac{{\rho g{L^2}}}{{EA}} \cdot }\\ {\left[ {\frac{8}{{{{\rm{ \mathsf{ π} }}^3}{{(2n - 1)}^3}}} + \frac{{4m\sin \left( {\frac{{2n - 1}}{2}} \right){\rm{ \mathsf{ π} }}}}{{\rho L{\kern 1pt} {{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}{{(2n - 1)}^2}}}} \right].} \end{array} $

(28)

由于

$ {u_t}(\xi ,0) = 0. $

(29)

根据式(20)可得

$ {u_t}(\xi ,0) = {\varphi _i}{{\dot q}_i} - \frac{{xv}}{{l(t)}}\varphi _i^\prime {q_i} = 0. $

(30)

因此

$ {{\dot q}_n}(0) = 0. $

(31)

2.2 绳索索力传递指标

终端负载的高速运动与终端绳索的受力状态密不可分，将物体运动的位移速度加速度作为系统的输入，为了更加直观地探索影响绳索索力传递的因素，提出索力滞后性指标和振动误差指标，当绳索的一端施加一定大小的力，经过绳索传递到负载，由于绳索不是理想的刚性物体，力的传递有一定的迟滞现象。滞后性越小，说明绳索的响应越快，绳索索力传递的效果越好。振动误差指标，绳索索力的振幅反映了索力的振动误差，当振幅逐渐减小时，说明绳索索力的传递效果越好。

由图 5可知，绳索的弹性模量越大，即刚度越高，绳索索力传递的滞后性越小，由图 6可知，绳索的线密度越大，绳索索力传递的滞后性越大。从上述两图可知，随着负载向上运动，绳索逐渐变短，绳索索力的振幅在增大。

3 试验验证

以航天器抛背罩试验标称工况为例，试验的绳索采用超高分子量聚乙烯编织绳，绳索的初始长度L=10 m，线密度ρ=0.049 kg/m，绳索半径r=4 mm，弹性模量E=1.37×10¹¹Pa，背罩的质量m=280 kg，有效试验时间为0.5 s。通过图 1中的分离试验装置，背罩如图 7中的加速度曲线运行，而图 7中的速度和位移曲线则是通过加速度曲线对时间进行积分得到的。将图 7中背罩随时间变化的加速度、速度、位移代入式(22)中，并利用初始条件式(28)、(31)求得关于q_i(t)的二阶常微分方程，根据式(7)和(19)即可得到绳索索力随时间的函数。如图 8所示，虚线为绳索末端索力的数值计算结果，实线为绳索末端的力传感器实测值。可以看出，数值计算的结果与实测值变化趋势相近，但是随着时间的增加，试验中得到的索力趋于平缓，而仿真得到的曲线波动较大。这是由于在试验结束后，即0.5 s之后，实际情况下绳索的索力不可能瞬间减小为零，索力会逐渐振荡减小，呈现出索力趋于平缓的现象。试验中的绳索一端缠绕在滚筒上，一端连接于重物，该种情况介于一端固定一端自由和两端固定这两种边界条件之间。而仿真采用了更接近实际情况的一端固定一端自由的边界条件，却使得在0.5 s时，模型的边界条件瞬间为零，因此造成了上述差异。

结果表明，本文所建立的模型在一定程度上能够准确预测高速索力传递过程中的受力状态。

4 结论

本文建立了绳索索力传递的动力学模型，采用空间离散的方法对其进行求解，并对相关的影响因素做了讨论，提出了评价绳索索力传递效果的指标，滞后性和振动性能，探索了绳索弹性模量，线密度和索长对索力传递效果的影响，结果表明：弹性模量越大，线密度越小；索长越长时，索力的传递效果越好。又结合实际算例对理论结果进行了验证，结果表明：该模型能够准确地模拟绳索在高速运动时的受力状态。此研究为航天器主动式分离试验提供了理论基础。

本文所建立的模型仅是针对绳索-重物提升系统，做了一些简化，为了更为准确地预测绳索的受力状态，需要将电机和滚筒等也考虑进去。绳索在略微松弛状态下，由于内部的干摩擦会产生明显的弯曲滞后效应，即绳索阻尼，在其张紧过程中阻尼非常小，本文忽略了绳索的阻尼产生的影响。由试验测量的绳索索力振动的数据可知，在负载上升过程中，绳索中会逐渐出现有规律的高频振荡，这在本文提出的动力学模型中未能体现。在下一步工作中，需要建立更加详细准确的动力学模型，对上述现象进行解释。