食品、医药、新能源、物流及3C(computer、communication、consumer electronic)等诸多行业需要大量对产品进行高速拣选、理料和包装的机器人。高速机器人已成为分拣和包装领域中提高效率、降低成本和提升质量的核心装备，需求量大，应用面广。目前的高速机器人按照构型可以分为串联和并联2种，均为刚性结构。SCARA机器人是一种典型的高速串联机器人，其机构基座和末端执行器之间只有一条开环运动链，具有工作空间大和灵活性好的特点^[1]。然而，串联机器人的各个构件需要承担从负载到该构件的所有质量，对构件刚度要求较高，导致结构笨重，难以满足高速运动的需求。

并联机器人的闭式运动链使其具备高刚度和结构紧凑的优势^[2]。并联机构的驱动部件常常安装在机架附近，使得机构的运动部件质量得到有效降低^[3]，具有出色的动态特性^[4]。并联机器人凭借构型优势，逐渐在高速分拣领域占据主导地位。Clavel于1985年提出的Delta机构^[5]是经典高速并联机构之一。随后，科研人员研发了Diamond^[6]、H4^[7]、Par4^[8]和X4^[9-10]等具有相似支链结构(主动摆杆+被动平行四边形状结构)的并联机构。

绳索为轻质高承载介质，绳索驱动结构简单，易于实现大范围收放，具有轻量化、高动态、低成本和低功耗等优势。采用绳索驱动代替刚性杆件，可大幅降低机器人的运动惯量，同时避免复杂的关节铰链，简化支链结构，绳索驱动在高速运动领域潜力巨大。融合并联构型和绳索驱动的索并联机构继承了并联构型高动态特性的优点，并在工作空间、功耗和效率等方面获得了大幅性能提升^[11-12]。清华大学项目团队设计并开发了采用内部支链张紧的新型索驱动高速并联机器人TBot^[13-14]，该高速机器人的结构如图 1所示，主要由静平台、驱动单元、滑轮组、平行索、中间刚性支链和动平台构成。6根绳索分为3组平行索，平行索由滑轮组导向支撑，缠绕于同一滚筒上，由一个伺服电机驱动，同步收放。传统的单索驱动无法产生约束力矩，必须通过多根索共同作用，平行索驱动可以通过自动的力分配实现这一功能，同时减少控制电机的数量，降低控制难度，实现了高效驱动与有效约束的结合，大幅简化支链结构，实现轻量化设计。

刚性支链由伸缩结构和压缩弹簧组成。刚性支链一端通过虎克铰U与动平台连接，另一端通过复合铰链(虎克铰U和移动副P组成)与静平台连接，形成UPU结构。动平台运动过程中，弹簧始终处于压缩状态，对动平台施加推力，保证绳索张紧。刚性支链提供张紧力，避免冗余驱动，降低控制难度，实现了索驱动和刚性支链的融合，大幅提升机构的工程实用价值。同时，刚性支链还可以向动平台传递水平转动，实现绕动平台所在平面法向的单自由度转动。TBot机器人具有高速度、高加速度、低功耗、低成本、高精度等优势，体现了机器人装备刚柔融合的前沿趋势，反映出一种先进的轻量化设计理念，为高速机器人提供了新的思路，具有重要的研究价值。

本文对TBot和Delta 2款高速并联机器人展开运动学及动力学建模和性能对比研究，分析标准门字分拣轨迹下驱动关节的角速度、角加速度、转矩以及功耗差异，从而为后续高速机器人的研究和应用奠定基础。

1 系统描述 1.1 TBot的机构描述和模型简化

TBot高速索并联机器人采用3组平行索进行驱动，可保证动平台始终保持水平。同一组平行索的运动状态相同，在后续运动学和动力学建模时可等效为一根索，等效绳索的连接点位于原动平台或静平台绳索连接点连线的中点。TBot机器人简化后的机构如图 2所示。B_i(i=1，2，3)为静平台等效连接点，以静平台B₁B₂B₃几何中心为原点建立基础坐标系{O-XYZ}，Z轴正方向竖直向上，X轴正方向指向B₁。P_i(i=1，2，3)为动平台等效连接点。R和r分别为静平台和动平台等效绳索连接点分布圆的半径。

在刚性支链建立局部坐标系{O-xyz}，其坐标原点与静平台中心O点重合。z轴正方向沿OP向下，y轴垂直于Z轴与z轴构成的平面，x轴的方向由右手法则确定。支链局部坐标系可由基础坐标系{O-XYZ}绕Z轴转动α，再绕Y轴转动β角获得。

1.2 Delta的机构描述和模型简化

Delta并联机器人主要由静平台、3条由主动摆杆和被动平行四边形机构组成的运动支链以及动平台构成。根据平行四边形机构的特点，同样可建立Delta机器人的简化模型，如图 3所示。以静平台几何中心为原点建立基础坐标系{O-XYZ}。A_i(i=1，2，3)为铰链的中间关节点。

2 运动学模型 2.1 TBot的运动学建模

如图 2所示，刚性支链的总长度为H，其中位于xOy平面以下的长度为h，刚性支链的单位方向向量为e₀，l_i为第i根绳索向量，l_i为第i根绳索长度，绳索单位方向向量为e_i，b_i和p_i分别为B_i和P_i点的位置向量。

以TBot机器人的第i条支链作为研究对象，末端执行器中心点P的位置矢量可以描述为

$ \mathit{\boldsymbol{t}} = {\mathit{\boldsymbol{b}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{l}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{p}}_i}. $

(1)

进而，第i组平行索的长度为

$ {l_i} = \left| {{\mathit{\boldsymbol{l}}_i}} \right| = \sqrt {{{\left( {\mathit{\boldsymbol{t}} + {\mathit{\boldsymbol{p}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{b}}_i}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{t}} + {\mathit{\boldsymbol{p}}_i} - {\mathit{\boldsymbol{b}}_i}} \right)} . $

(2)

对式(1)关于时间求导，并点乘向量e_i有

$ {{\dot l}_i} = {\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{\dot l}}}_i} = - {\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \cdot \mathit{\boldsymbol{\dot t}}. $

(3)

联立各支链等式，并整理为矩阵形式，可得动平台与索长的速度映射方程：

$ {\mathit{\boldsymbol{\dot L}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot l}_1}}&{{{\dot l}_2}}&{{{\dot l}_3}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {\mathit{\boldsymbol{e}}_1}}&{ - {\mathit{\boldsymbol{e}}_2}}&{ - {\mathit{\boldsymbol{e}}_3}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{\dot t}} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^B}\mathit{\boldsymbol{\dot t}}}. $

(4)

其中J^B=[－e₁  －e₂  －e₃]^T为TBot机构的逆向Jacobi矩阵。

可以计算得到绳索驱动单元，也即滚筒的角速度为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} = \mathit{\boldsymbol{\dot L}}/\left( {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{R_{{\rm{roll}}}}} \right). $

(5)

其中R_roll为滚筒半径。

中间刚性支链的质心位置矢量为

$ \mathit{\boldsymbol{c}} = (h - H/2){\mathit{\boldsymbol{e}}_0}. $

(6)

局部坐标系相对于基坐标系的旋转矩阵为

$ ^O{\mathit{\boldsymbol{R}}_i} = \mathit{\boldsymbol{R}}(z,\alpha )\mathit{\boldsymbol{R}}(y,\beta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{c}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{ - {\rm{s}}\alpha }&{{\rm{c}}\alpha {\rm{s}}\beta }\\ {{\rm{s}}\alpha {\rm{c}}\beta }&{{\rm{c}}\alpha }&{{\rm{s}}\alpha {\rm{s}}\beta }\\ { - {\rm{s}}\beta }&0&{{\rm{c}}\beta } \end{array}} \right]. $

(7)

其中：s表示sin，c表示cos。

局部坐标系中动平台P点的速度为

$ ^i{\mathit{\boldsymbol{v}}_P}{ = ^i}\mathit{\boldsymbol{\omega }} \times {h^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0} + {{\dot h}^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0}{ = ^i}{\mathit{\boldsymbol{R}}_O}\mathit{\boldsymbol{\dot t}}{ = ^O}\mathit{\boldsymbol{R}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{\dot t}}{\rm{. }} $

(8)

其中ⁱω为刚性支链的角速度。

式(8)两边叉乘ⁱe₀，整理得到刚性支链的角速度为

$ ^i\mathit{\boldsymbol{\omega }} = \frac{1}{h}\left( {^i{\mathit{\boldsymbol{e}}_0}{ \times ^i}{\mathit{\boldsymbol{v}}_P}} \right). $

(9)

式(8)两边点乘ⁱe₀，可得刚性支链的伸缩速度：

$ \dot h{ = ^i}{\mathit{\boldsymbol{v}}_P}{ \cdot ^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0}. $

(10)

进一步地，刚性支链质心的速度为

$ ^i{\mathit{\boldsymbol{v}}_{\rm{C}}} = {(h - H/2)^i}\mathit{\boldsymbol{\omega }}{ \times ^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0} + {{\dot h}^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0}. $

(11)

对式(3)两边关于时间求导，可得末端平台和索长的加速度关系：

$ {{\ddot l}_i} = d\left( { - {\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \cdot \mathit{\boldsymbol{\dot t}}} \right) = - \left( {\mathit{\boldsymbol{\dot t}} \times {{\mathit{\boldsymbol{\dot e}}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{e}}_i} \times \mathit{\boldsymbol{\ddot t}}} \right). $

(12)

对式(9)关于时间求导，可得刚性支链的角加速度为

$ ^i\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }} = \frac{1}{h}\left( {^i{\mathit{\boldsymbol{e}}_0}{ \times ^i}{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_P} - 2{{\dot h}^i}\mathit{\boldsymbol{\omega }}} \right). $

(13)

对式(11)关于时间求导，可得刚性支链质心加速度为

$ \begin{array}{c} ^i{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{\rm{C}}} = {{\ddot h}^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0} + {(h - H/2)^i}\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}{ \times ^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0} + \\ 2{{\dot h}^i}\mathit{\boldsymbol{\omega }}{ \times ^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0} + {(h - H/2)^i}\mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \left( {^i\mathit{\boldsymbol{\omega }}{ \times ^i}{\mathit{\boldsymbol{e}}_0}} \right). \end{array} $

(14)

可得滚筒的角加速度为$ \ddot{\boldsymbol{\theta}}=\ddot{\boldsymbol{L}} /\left(2 \pi R_{\mathrm{roll}}\right)$。

2.2 Delta的运动学建模

如图 3所示，Delta机器人第i根支链的矢量链闭环方程为

$ {\mathit{\boldsymbol{A}}_i}{\mathit{\boldsymbol{P}}_i} = \mathit{\boldsymbol{O}}{\mathit{\boldsymbol{P}}_p} + {\mathit{\boldsymbol{P}}_p}{\mathit{\boldsymbol{P}}_i} - \left( {\mathit{\boldsymbol{O}}{\mathit{\boldsymbol{B}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{B}}_i}{\mathit{\boldsymbol{A}}_i}} \right). $

(15)

对式(15)的两边求平方得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{l^2} = {{\left[ {\left( {R + L\cos {\theta _i} - r} \right)\cos {\alpha _i} - {p_x}} \right]}^2} + }\\ {{{\left[ {\left( {R + L\cos {\theta _i} - r} \right)\sin {\alpha _i} - {p_y}} \right]}^2} + {{\left( {L\sin {\theta _i} + {p_z}} \right)}^2},} \end{array} $

(16)

其中：L为主动臂长度，l为从动臂长度，α_i为矢量OB_i与X轴的夹角，θ_i为第i条支链主动臂轴线与XOY平面的夹角，p_x、p_y、p_z分别为动平台中心的位置矢量t在x、y、z方向上的分量。

式(16)可整理为a_isinθ_i+b_icosθ_i=c_i的形式，机构逆运动学方程为

$ {\theta _i} = \arctan \left( { \pm c/\sqrt {a_i^2 + b_i^2 - c_i^2} } \right) - \arctan \left( {{b_i}/{a_i}} \right). $

(17)

式(17)中正负号取决于机器人的具体组装形式，本文应取负号。

电机转轴轴线的单位方向向量为ν_i，主动臂轴线的单位方向向量为u_i，从动臂轴线的单位方向向量为w_i。对式(15)关于时间求导得到

$ \mathit{\boldsymbol{\dot t}} = L{\mathit{\boldsymbol{\dot u}}_i} + l{\mathit{\boldsymbol{\dot w}}_i} = L{\dot \theta _i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right) + l{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}. $

(18)

其中ω_i为从动臂在基座标下的角速度。

令θ=[θ₁  θ₂  θ₃]^T，式(18)两端同时左乘w_i^T，可以得到Delta机构的Jacobian矩阵：

$ {\mathit{\boldsymbol{J}}^D} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {L\mathit{\boldsymbol{w}}_1^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_1} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_1}} \right)}&0&0\\ 0&{L\mathit{\boldsymbol{w}}_2^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_2} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_2}} \right)}&0\\ 0&0&{L\mathit{\boldsymbol{w}}_3^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_3} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_3}} \right)} \end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{w}}_1}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_2}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{w}}_3}} \end{array}} \right]. $

(19)

$ \mathit{\boldsymbol{\dot \theta }} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^D}\mathit{\boldsymbol{\dot t}}. $

(20)

对式(18)的两边同时叉乘w_i，化简得到

$ {\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} = \left( {\left( {L\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right) \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}\mathit{\boldsymbol{J}}_i^D + S\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right)} \right)/l} \right)\mathit{\boldsymbol{\dot t}} = \mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^D\mathit{\boldsymbol{\dot t}}. $

(21)

其中：S(w_i)为w_i的叉乘矩阵，J_i^D表示Jacobian矩阵的第i行。

主动臂末端的速度为

$ \mathit{\boldsymbol{v}}\left( {{A_i}} \right) = L\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right){\dot \theta _i} = L\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{J}}_i^D\mathit{\boldsymbol{\dot t}}. $

(22)

由于认为动平台为平动的刚体，则从动臂末端与动平台的铰接点速度为$\boldsymbol{v}\left(P_{i}\right)=\dot{\boldsymbol{t}} $。

假设从动杆为等截面均质刚性杆，则其质心速度为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{v}}_{{\rm{c}}i}} = \mathit{\boldsymbol{v}}\left( {{A_i}} \right) + \frac{l}{2}{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i} = }\\ {\frac{1}{2}\left( {L\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{J}}_i^D - \frac{l}{2}\mathit{\boldsymbol{S}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^D} \right)\mathit{\boldsymbol{\dot t}} = \mathit{\boldsymbol{J}}_{vi}^D\mathit{\boldsymbol{\dot t}}.} \end{array} $

(23)

对式(18)关于时间求导，得到

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\ddot t}} = L{{\ddot \theta }_i}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right) + L\dot \theta _i^2\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)} \right) + }\\ {l{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i} + l{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{\omega }}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right).} \end{array} $

(24)

将式(20)的各行对时间进行求导得到主动臂的角加速度为

$ {\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }} = {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{D}}}\mathit{\boldsymbol{\ddot t}} + {{\mathit{\boldsymbol{\dot t}}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{H\dot t}},} $

(25)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{H}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{H}}_1}}&{{\mathit{\boldsymbol{H}}_2}}&{{\mathit{\boldsymbol{H}}_3}} \end{array}} \right]}^{\rm{T}}},}\\ {{\lambda _i} = \mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right),}\\ {{\mathit{\boldsymbol{H}}_i} = \frac{1}{{{L^2}{\lambda _i}}}\left[ {\frac{{{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{w}}_i}} \right){\mathit{\boldsymbol{w}}_i}\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}}}{{\lambda _i^2}} + } \right.}\\ {\left. {\frac{L}{l}{{\left( {\mathit{\boldsymbol{E}}(3) - \frac{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}}}{{{\lambda _i}}}} \right)}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{E}}(3) - \frac{{\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)\mathit{\boldsymbol{w}}_i^{\rm{T}}}}{{{\lambda _i}}}} \right)} \right].} \end{array} $

(26)

其中E(3)为三阶单位矩阵。

同理对式(21)和(23)关于时间求导得到从动臂质心加速度和从动臂的角加速度：

$ \begin{array}{c} {{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_i} = \mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^D\mathit{\boldsymbol{\ddot t}} - \frac{L}{l}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot t}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_i}\mathit{\boldsymbol{\dot t}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)} \right)/{L^2} - } \right.\\ \left. {{{\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_i^D\mathit{\boldsymbol{\dot t}}} \right)}^2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{w}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)} \right), \end{array} $

(27)

$ \begin{array}{c} {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{ci}} = \mathit{\boldsymbol{J}}_{vi}^D\mathit{\boldsymbol{\ddot t}} + \frac{L}{2}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\dot t}}}^{\rm{T}}}{\mathit{\boldsymbol{H}}_i}\mathit{\boldsymbol{\dot t}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right) + } \right.\\ {\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_i^D\mathit{\boldsymbol{\dot t}}} \right)^2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{v}}_i} \times {\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)} \right). \end{array} $

(28)

3 动力学模型 3.1 TBot的动力学建模

考虑重力和中间刚性支链弹簧对动平台的作用，关于动平台质心的作用力和惯性力旋量的矢量和可表示为

$ {{\mathit{\boldsymbol{\hat F}}}_p} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}_p}}\\ {{{\mathit{\boldsymbol{\hat n}}}_p}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_1}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_1}\mathit{\boldsymbol{\ddot t}} - k\left( {{L_{\rm{S}}} - h} \right){\mathit{\boldsymbol{e}}_0}}\\ {\bf{0}} \end{array}} \right]. $

(29)

其中：m₁为动平台的质量，L_S和k是弹簧的原始长度和刚度系数。

刚性支链关于其质心的作用力螺旋和惯性力螺旋的矢量和在局部坐标系{O-xyz}下可表示为

$ ^i{{\mathit{\boldsymbol{\hat F}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {^i{{\mathit{\boldsymbol{\hat f}}}_2}}\\ {^i{{\mathit{\boldsymbol{\hat n}}}_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m_2^i{\mathit{\boldsymbol{R}}_O}\mathit{\boldsymbol{g}} - m_2^i{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_C}}\\ {{ - ^i}{\mathit{\boldsymbol{I}}^i}\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}{ - ^i}\mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \left( {^i{\mathit{\boldsymbol{I}}^i}\mathit{\boldsymbol{\omega }}} \right)} \end{array}} \right]. $

(30)

其中：m₂是中间刚性支链的质量，ⁱI是刚性支链关于质心的惯量矩阵在坐标系{O-xyz}下的表述，即

$ ^i\mathit{\boldsymbol{I}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_{xx}}}&{}&{}\\ {}&{{I_{yy}}}&{}\\ {}&{}&{{I_{zz}}} \end{array}} \right] = \frac{{{m_2}{\mathit{\boldsymbol{H}}^2}}}{{12}}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{}&{}\\ {}&1&{}\\ {}&{}&0 \end{array}} \right]. $

(31)

索并联机构3组平行索的拉力为

$ \mathit{\boldsymbol{T}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{T_1}}&{{T_2}}&{{T_3}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $

(32)

根据虚功原理，TBot机构动力学方程可以写为

$ {\mathit{\boldsymbol{J}}^{{\rm{BT}}}}\mathit{\boldsymbol{T}} + {{\mathit{\boldsymbol{\hat F}}}_p}{ + ^i}\mathit{\boldsymbol{J}}{{_2^{{\rm{BT}}}}^i}{{\mathit{\boldsymbol{\hat F}}}_2} = 0. $

(33)

其中${ }^{i} \boldsymbol{J}_{2}^{B} $由式(11)、(13)得到，满足$ \left[{ }^{i} \boldsymbol{v}_{\mathrm{C}}{ }^{i} \boldsymbol{\omega}\right]^{\mathrm{T}}={ }^{i} \boldsymbol{J}_{2}^{B} \dot{\boldsymbol{p}}$。

求解得到索力为

$ \mathit{\boldsymbol{T}} = - {\left( {{\mathit{\boldsymbol{J}}^B}} \right)^{ - {\rm{T}}}}\left( {{{\mathit{\boldsymbol{\hat F}}}_p}{ + ^i}\mathit{\boldsymbol{J}}{{_2^{{\rm{BT}}}}^i}{{\mathit{\boldsymbol{\hat F}}}_2}} \right). $

(34)

驱动关节转矩为

$ \mathit{\boldsymbol{\tau }} = \mathit{\boldsymbol{T}}{R_{{\rm{roll}}}} + {I_{{\rm{roll}}}}\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }}. $

(35)

如果考虑电机通过减速器驱动滚筒，则电机端的扭矩可以通过式(35)加上$ \left(j^{B}\right)^{2} I_{\text {box }}^{B} \ddot{\boldsymbol{\theta}}$进行求解。其中I_roll为滚筒的惯量，$ I_{\mathrm{box}}^{\mathrm{B}}$为TBot机构所使用减速器的惯量，j^B为对应减速比。

3.2 Delta机构动力学

主动臂、从动臂和动平台的质量分别为m₁、m₂和m₃。主动臂绕电机轴的转动惯量为I₁，从动臂相对于质心的惯性矩阵为I₂。

对主动臂而言，主动臂相对于其转轴的重力矩列阵为$m_{1} \boldsymbol{g} L \cos \theta / 2 $。令$\boldsymbol{I}_{1}=\left[\begin{array}{lll}I_{1} & I_{1} & I_{1}\end{array}\right] $，则主动臂的惯性力矩列阵为$ -\boldsymbol{I}_{1} \ddot{\boldsymbol{\theta}}$。施加于主动臂上的主动关节转矩列阵记为τ。则主动臂上的虚功为

$ W_{1}=\delta \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{\tau}+m_{1} \boldsymbol{g} L \cos \theta / 2-\boldsymbol{I}_{1} \ddot{\boldsymbol{\theta}}\right) $

(36)

对从动臂而言，单支臂上(质心)所受重力与惯性力之和为${m_2}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_2}{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}_{ci}}$。单支臂等效惯性力矩为$ \boldsymbol{R}_{l i} \boldsymbol{I}_{2} \boldsymbol{R}_{l i}{ }^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{\omega}}_{l i}$。则从动臂上的虚功为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{W_2} = \sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {\delta \mathit{\boldsymbol{p}}_{ci}^{\rm{T}}\left( {{m_2}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_2}{\kern 1pt} {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{ci}}} \right) + \delta \mathit{\boldsymbol{\varphi }}_{ci}^{\rm{T}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_2}\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{li}}} \right)} \right)} = }\\ {\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {\delta {\mathit{\boldsymbol{t}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_{vi}^{{\rm{DT}}}\left( {{m_2}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_2}{\kern 1pt} {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{ci}}} \right) + \delta {\mathit{\boldsymbol{t}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{{\rm{DT}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_2}\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{li}}} \right)} \right)} .} \end{array} $

(37)

其中：$ \boldsymbol{p}_{c i}$为从动臂质心位置向量，$\boldsymbol{\varphi}_{c i} $为从动臂空间位姿向量。由$ \boldsymbol{v}_{c i}=\boldsymbol{J}_{v i}^{D} \dot{t}$和$\boldsymbol{\omega}_{i}=\boldsymbol{J}_{\omega i}^{D} \dot{\boldsymbol{t}} $可得$\delta \boldsymbol{p}_{c i}=$\boldsymbol{J}_{v i}^{D} \delta \boldsymbol{t} $和$\delta \boldsymbol{\varphi}_{c i}=\boldsymbol{J}_{\omega i}^{D} \delta \boldsymbol{t} $。

对动平台而言，其重力和惯性力矢量和为${m_3}g - {m_3} \boldsymbol{\ddot t}$。则动平台上的虚功为

$ {W_3} = \delta {\mathit{\boldsymbol{t}}^{\rm{T}}}\left( {{m_3}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_3}\mathit{\boldsymbol{\ddot t}}} \right). $

(38)

综合式(36)—(38)，由虚功原理，Delta机构的动力学方程为

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {\partial {\mathit{\boldsymbol{t}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_{vi}^{{\rm{DT}}}\left( {{m_2}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_2}{\kern 1pt} {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{ci}}} \right) + \delta {\mathit{\boldsymbol{t}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{{\rm{DT}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_2}\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}}_{li}}} \right)} \right)} + }\\ {\partial {\mathit{\boldsymbol{\theta }}^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{\tau }} + {m_1}{\kern 1pt} \mathit{\boldsymbol{g}}L\cos \theta /2 - {\mathit{\boldsymbol{I}}_1}\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }}} \right) + \delta {\mathit{\boldsymbol{t}}^{\rm{T}}}\left( {{m_3}\mathit{\boldsymbol{g}} - {m_3}\mathit{\boldsymbol{\ddot t}}} \right) = 0.} \end{array} $

(39)

同样，当考虑减速时，Delta机构减速器的转动惯量为$ \boldsymbol{I}_{\mathrm{box}}^{D}$，减速比为j^D，且$ \boldsymbol{I}_{\mathrm{box}}^{D}=\left[I_{\mathrm{box}}^{D} \quad I_{\mathrm{box}}^{D} \quad I_{\mathrm{box}}^{D}\right]$。减速器的惯量同样会给电机造成一定负载，此时主动关节驱动电机端的扭矩可以表示为

$ \begin{array}{l} \tau = {\left( {{j^D}} \right)^2}\mathit{\boldsymbol{I}}_{{\rm{box}}}^{\rm{D}}\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }} + \left( {{{\bf{I}}_1}\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }} - {m_1}\mathit{\boldsymbol{g}}L\cos \theta /2} \right) + \\ {\left( {{\mathit{\boldsymbol{J}}^D}} \right)^{ - {\rm{T}}}}\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {\mathit{\boldsymbol{J}}_{vi}^{{\rm{DT}}}\left( {{m_2}{\kern 1pt} {{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{ci}} - {m_2}\mathit{\boldsymbol{g}}} \right) + } \right.} \\ \left. {\mathit{\boldsymbol{J}}_{\omega i}^{{\rm{DT}}}\left( {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}}{\mathit{\boldsymbol{I}}_2}\mathit{\boldsymbol{R}}_{li}^{\rm{T}}{{\mathit{\boldsymbol{\dot v}}}_{li}}} \right) + \left( {{m_3}\mathit{\boldsymbol{\ddot t}} - {m_3}\mathit{\boldsymbol{g}}} \right)} \right). \end{array} $

(40)

4 仿真分析

选取典型Delta机器人产品和实验室中的TBot-800索并联机器人作为研究对象，以下仿真均基于空载条件下进行。这2台机器人的工作空间相同，均为直径800 mm，高度200 mm的圆柱。2台机器人的各参数见表 1。

高速机器人的典型运动轨迹是点对点的高速分拣运动。本文采用标准门字轨迹(25-305-25 mm轨迹：宽度为305 mm，高度为25 mm)作为机器人的仿真运动轨迹，如图 4所示，对2种机器人分别进行分析，对比其运动学和动力学特性的差异。所用门字路径采用五次多项式进行轨迹规划，使路径肩部的直角变得平滑，具体轨迹表达式如下：

$ \begin{array}{c} x = 0;\\ y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} {0,\quad t < {t_1}/2;}\\ {{a_{ym}}t_2^2\left( {6{{\left( {\frac{{\left( {t - {t_1}/2} \right)}}{{{t_2}}}} \right)}^5} - 15{{\left( {\frac{{\left( {t - {t_1}/2} \right)}}{{{t_2}}}} \right)}^4} + } \right.}\\ {\qquad \left. {10{{\left( {\frac{{\left( {t - {t_1}/2} \right)}}{{{t_2}}}} \right)}^3}} \right),\quad {t_1}/2 \le t < {t_2} + {t_1}/2;} \end{array}}\\ {{y_{\max }},\quad t \ge {t_2} + {t_1}/2;} \end{array}} \right.\\ z = \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{l}} {{a_{zm}}t_1^2\left( {6{{\left( {\frac{t}{{{t_1}}}} \right)}^5} - 15{{\left( {\frac{t}{{{t_1}}}} \right)}^4} + } \right.}\\ {\qquad \left. {10{{\left( {\frac{t}{{{t_1}}}} \right)}^3}} \right),\quad t < {t_1};} \end{array}\\ {z_{\max }},\quad {t_1} \le t < {t_2};\\ {z_{\max }} - {a_{zm}}t_1^2\left( {6{{\left( {\frac{{t - {t_2}}}{{{t_1}}}} \right)}^5} - 15{{\left( {\frac{{t - {t_2}}}{{{t_1}}}} \right)}^4} + } \right.\\ \qquad \left. {10{{\left( {\frac{{t - {t_2}}}{{{t_1}}}} \right)}^3}} \right),\quad t \ge {t_2}. \end{array} \right. \end{array} $

(41)

其中：y_max=305 mm，z_max=25mm，a_ym=y_max/t₂²，a_zm=z_max/t₁²。上升和下降段用时为t₁，水平段用时为t₂，单次运动总时间为t₁+t₂。

2台机器人的可达工作空间和操作空间如图 4所示，操作空间位于可达工作空间底部，是机器人进行分拣操作的工作空间。操作空间均为直径800 mm，高度200 mm的圆柱。标准门字轨迹位于工作空间底部，在OYZ平面内。

4.1 工作空间分析

从可达工作空间来看，Delta并联机构的工作空间受静平台和动平台铰接点分布圆半径差、主动臂、从动杆以及关节转角范围的约束，具体为6个球面相交出的区域^[15]；TBot的可达工作空间受到中间被动支链长度、关节转角范围以及弹簧压缩比的约束，具体为两球面之间空间的一部分。两球面分别以中间杆最短长度和中间杆最大长度，结合关节转角范围确定。

Delta高速机器人支链关节较多，转角约束和运动干涉较复杂，导致实际工作空间分析较复杂，也进一步减小了操作空间的占比。对于TBot而言，支链及中间杆之间无干涉，整个机构只有中间杆上的2个铰链，可达工作空间计算简单，且在几何参数相近的情况下能够具备更大的可达工作空间和操作空间。此外，通过增加被动支链长度和弹簧伸缩比，其工作空间可以得到有效拓展，TBot机器人的工作空间分析和调整均较简便。

4.2 运动学仿真分析

使用MATLAB软件编写TBot和Delta的动力学求解程序。2台机器人进行周期为0.6 s的往复抓取(频率为100次/min)，仿真得到的2台机器人各驱动关节单次运动的角速度和角加速度，如图 5所示，左侧为Delta的数据，右侧为TBot的数据。由于结构上存在一定的相似性，因此两款机器人的驱动各关节速度和加速度变化趋势比较一致，2号和3号电机的速度较快、加速度较大，体现出上升、水平运动和下降3次加减速变化。

可以发现，Delta机器人的驱动关节最大角速度不足4 rad/s，最大角加速度为150 rad/s²；TBot机器人的驱动关节最大速度接近60 rad/s，最大角加速度达到1 600 rad/s²。Delta机器人主动关节的角速度和角加速度均远小于TBot。Delta机器人的驱动电机需要安装较大速比的减速器，实现电机转速和工况要求的匹配。对于TBot而言，可以通过小速比减速器来实现电机的匹配，甚至可以通过合理的滚筒设计和采用低速大扭矩电机来避免使用减速器，有利于简化传动链，降低机构的成本，提高传动效率和动态特性。

4.3 动力学仿真分析

同样采用上述门字高速分拣轨迹，分别以0.3、0.6、1、2 s为往复周期进行高速抓取运动的仿真，对应分拣频率为200、100、60、30次/min。分别获得2台机器人各驱动关节转矩随时间的变化，如图 6所示。

TBot中弹簧的作用是保证绳索张紧。在不同负载和工况要求下，绳索需要提供的驱动力会发生改变，弹簧的弹性系数也要相应调整。刚度系数较大的弹簧能够保证终端的高加速度，但也意味着电机负载的增加，主动关节扭矩和功耗的上升。因此需要根据具体工况要求，兼顾整体功耗进行弹簧参数的选择，保证弹簧在工作过程中既能始终保持绳索张紧，同时尽量降低功耗。基于上述原则，各运行频率下弹簧的弹性系数分别选取900、200、100、20 N/m。

从图 6可以看出，2台机器人关节驱动力变化趋势仍然存在明显的相似性，动平台垂直运动段，3个驱动关节共同提供扭矩进行加减速，水平运动阶段主要由电机2和3提供加减速力矩。运行相同轨迹时，TBot作用于驱动关节上的转矩远小于Delta机构，TBot的极限扭矩仅为Delta的4%左右。再次说明Delta机构需要选配较高速比的减速器。较大的极限驱动扭矩也意味着对机械结构的强度和刚度要求的提高。

通过前面的计算已经确定了2台机器人运行过程中各驱动关节的角速度和转矩，则各驱动关节的瞬时功率可以通过$ {P_i} = {\tau _i}{\dot \theta _i}$求解，计算出2台机器人驱动关节的瞬时功率曲线如图 7所示。

在机器人运转过程中，部分电机可能处于制动发电状态，在图中表现为瞬时功率为负值，例如动平台加速后的减速阶段。可以看出，2台机器人的驱动关节最大瞬时功率基本相当，TBot机器人驱动关节的瞬时功率优势不明显。水平直线运动段Delta机器人的2号和3号驱动关节瞬时功率比较大，且两者方向一致性较好；水平直线运动段TBot机器人同样是2号和3号驱动关节瞬时功率较大，但是两者瞬时功率基本上完全异号。这主要是由于TBot机器人采用绳索驱动，只能向动平台提供拉力，不能提供压力，因此在动平台水平运动过程中，处于伸长运动的绳索只能做负功，处于收缩运动的绳索用于实现加速。

结合图 6和图 7可以看出，在门字轨迹下，TBot和Delta机器人驱动关节的扭矩和功率仅存在少数“峰值”，而在其他阶段电机转矩和功率都比较小。反映出门字轨迹和这两款并联机器人的性能并不完全匹配，可以对该运动轨迹进行进一步优化，以便充分发挥机器人的性能；也可以按照轨迹对机器人的驱动特性进行调整。

在能耗计算时对所有驱动关节的功率取绝对值进行积分，机器人的总功耗表示如下：

$ E = \int P {\rm{d}}t,\quad P = \sum\limits_{i = 1}^3 {\left| {{P_i}} \right|} . $

(42)

其中P_i为对应机器人各驱动关节的瞬时功率。计算2台机器人完成给定典型轨迹的单次能耗如表 2所示。

分析能耗结果发现，在不同频率下，TBot的能耗均低于Delta机构(具体结果受弹簧参数影响)体现出采用绳索驱动轻量化后对机器人能效的显著提升。

结合上述分析可以发现，与以Delta为代表的刚性高速并联机器人相比，采用绳索驱动的新型TBot高速机器人的驱动关节转矩和能耗均具有明显优势。除此之外，绳索驱动具有优异的承载能力，可以实现大负载的拣选，当进行低速大负载运动时，TBot可以省略刚性支链和弹簧，完全凭借负载的重力进行运动，此时其能耗优势将得到更加充分的体现。但同时需要注意，弹簧刚度实现TBot机器人高动态特性和功耗平衡的关键，需要建立有效的优选方法，也可以通过在驱动关节内采用扭簧，来实现弹簧张紧力的卸载，此时电机将主要用于提供加减速，TBot的整体效能将得到进一步提升。

5 结论

本文介绍了采用平行索驱动的索并联高速机器人TBot，完成了TBot和刚性高速并联机器人Delta的运动学建模，并针对两者的运动学和动力学性能展开对比分析，获得以下结论：

1) TBot索并联高速机器人采用平行绳索驱动，避免了刚性高速并联机器人Delta的复杂关节传动，大幅简化支链结构，实现轻量化设计。同时，TBot机器人的工作空间分析和调整均较简便。

2) 典型门字轨迹下的速度和扭矩分析表明，Delta并联机构的驱动关节转动速度较低但扭矩较大，必须选用大速比减速器，以实现与伺服电机的匹配。TBot则可以采用小速比减速器，甚至通过合理的滚筒设计避免减速器，有利于简化传动链，降低机构的成本，提高传动效率和动态特性。

3) TBot和Delta机器人的极限扭矩和功率均出现在局部位置。因此轨迹还存在进一步优化的空间，现有的门字轨迹无法充分发挥高速并联机器人的性能优势。

4) 通过多种不同频次门字轨迹仿真表明，与Delta机器人相比，TBot机器人在功耗方面存在较显著的优势，特别是在重载领域拥有巨大的应用潜力。

5) TBot机构采用弹簧保证绳索的张紧，高刚度弹簧可以保证高加速能力，但是同时会影响功耗，因此合理选择弹簧是TBot机器人设计的一个关键问题，有待展开进一步的研究。