绳牵引并联机器人(cable-driven parallel robot，CDPR)是一种使用绳索来代替刚性连杆控制末端执行器位姿的新型并联机器人，由于其具有结构简单、惯性小、运动空间较大、刚度较大以及动态性能良好等优点^[1]，非常适用于装备制造、医疗康复、航空航天等领域，已经逐渐成为国内外研究的热点^[2-4]。尤其在航空领域风洞试验应用方面，它作为一种新型的飞行器模型支撑方式也被深入研究。例如，法国宇航局、美国佐治亚理工学院、中国厦门大学等均开展了低速风洞绳牵引并联支撑技术的理论和试验研究^[5-7]。

根据绳索数量m和自由度数量n之间的关系，CDPR可以分为欠约束(m<n+1)，完全约束(m=n+1)和冗余约束(m>n+1)3种^[8]。其中，当m=n时，悬挂型CDPR依靠重力保持绳索张紧，充当附加绳索，也属于完全约束类。截至目前，冗余/完全约束绳牵引并联技术发展相对成熟，而在欠约束方面的研究相对较少，主要是由于其约束不足、刚度低，以及运动几何与静力学存在耦合等，限制了它的应用，但这也意味着欠约束绳牵引并联机构具有高度的灵巧性与自适应性。考虑到风洞试验在自由运动、“受迫+自由”运动，以及气动/运动/控制耦合等方面遇到的技术瓶颈，采用欠约束绳牵引并联支撑方式将是一种理想的选择。

目前，已有部分学者开展了关于欠约束CDPR的研究。在运动学求解与分析方面，鉴于欠约束系统绳索与自由度数量之间的关系，其系统几何方程与静力学方程相互耦合，需要联合求解。文[9-10]提出通过Groebner基和Sylvester方程混合消元的方法，但求解阶数过高，过程复杂，如针对三绳牵引欠约束CDPR共得到156个实数域和复数域解；还需通过优化算法等进一步解决复数解问题，得到具有实际物理意义的实数解。Abbasnejad等^[11]采用同伦算法进行欠约束CDPR几何静力学问题求解，编写了开源DGP-solver软件包，但其没有包含绳拉力等约束条件，需要进一步后处理，才能确定有效解。Berti等^[12]考虑了绳拉力约束和绳数量，提出基于区间分析的方法，可以直接搜索实数域解。

在控制方面，已有研究多是针对冗余约束CDPR，如Shang等^[13]针对三自由度CDPR在绳长空间设计基于跟踪误差和同步误差的复合控制器，实现不同并联支路间的同步运动，进一步提高末端动平台的跟踪精度。Schenk等^[14]针对八绳冗余约束CDPR存在不确定性的情况，提出了基于增益自适应律的Super Twisting控制器，能够有效减小跟踪误差。文[15]针对八绳牵引并联机构在风洞动态试验中的应用，基于奇异摄动理论提出了一种自适应滑模控制方法，可以减小绳弹性以及气动力等不确定性参数对跟踪误差的影响，提高运动控制精度。而在欠约束控制方面，仅有Yamamoto等^[16]基于逆动力学和绳拉力约束条件，对三绳牵引的欠约束CDPR进行精确线性化，完成轨迹跟踪仿真和实验验证，但没有考虑外界干扰。Heyden等^[17]针对一种典型的三绳牵引并联CABLEV机构，其牵引绳与滑轮连接位置可在设定轨道上移动，对该运动学不确定系统，基于微分平滑理论进行反馈控制。Hwang等^[18]通过分析系统固有频率，基于前馈的输入整形方法，对欠约束CDPR轨迹控制中的振动进行抑制。Barbazza等^[19]针对平面欠约束绳牵引宏-微机器人，采用微分平滑方法和多目标优化设计控制律，实现了点到点运动控制。国内，Zhang等^[20]提出了一种几何方法对欠约束三自由度CDPR进行轨迹规划，但未涉及控制。由上述可知，针对欠约束CDPR，由于受到应用的限制，无论是运动学还是控制方面的研究均相对较少。考虑到其在风洞动态试验中应用的优势，有必要深入研究欠约束CDPR几何静力耦合问题，确定初始平衡状态，并进一步开展控制方法研究与分析，考察其运动控制性能。

本文首先描述欠约束CDPR运动学模型，提出求解系统几何静力耦合问题的方法。其次，考虑实际应用受到的外界干扰，设计非线性干扰观测器，并采用基于动力学模型的计算力矩法设计总体控制器，进而根据Lyapunov函数法进行稳定性分析。最后，进行运动学仿真分析，并以典型的风洞动态试验轨迹为例，进行控制仿真和分析。

1 欠约束绳牵引并联支撑系统运动学分析

考虑到风洞动态试验的需求，在某些情况下，需要考察飞行器模型的“受迫+自由”运动响应，如俯仰振荡时的滚转/偏航角运动等，以便深入研究非定常气动特性，及其造成的非指令运动，这对掌握气动运动耦合机理以及飞行控制律的设计非常重要，因此采用欠约束绳牵引并联支撑形式。

该支撑系统的特点在于即使绳索的长度被指定，动平台在外力(如重力等)的作用下依旧可以运动。这种情况下，动平台(飞行器模型)的位置姿态由绳长和外力共同决定。因此，运动学和静力平衡问题必须同时解决，传统的运动学分析变成了几何静力耦合问题。同时，由于系统的不完全约束，还需要保证所有的绳索张力都是正值才能实现有效的运动。

1.1 运动学模型

采用一般构型的欠约束并联支撑形式，以四绳牵引为例，即m=4，探讨其运动特性，如图 1所示。为方便建立支撑系统的运动学模型，忽略定滑轮的直径，把定滑轮看成坐标固定的点状铰链。此外，为了准确描述飞行器模型的运动状态，采用欧美坐标系，其定义与系统运动学关系如图 2所示。

图中，B_i、P_i分别是静坐标系OXYZ的原点O到机架上定滑轮B_i、飞行器模型上牵引点的向量，即B_i=OB_i，P_i=OP_i；l_i为定滑轮B_i点到飞行器模型牵引点P_i的向量，即l_i=B_iP_i；X_O^′是静坐标系原点O到动坐标系O^′-X^′Y^′Z^′原点，即飞行器模型质心O^′点的向量，X_O^′=OO^′；r_i是飞行器模型上的质心O^′点到牵引点P_i的向量，即r_i=O^′P_i，u_i=l_i/l_i为第i根绳的方向矢量。

则牵引绳与飞行器模型的连接点P_i(X_Pi, Y_Pi, Z_Pi)^T(i=1, 2, …, m)在静坐标OXYZ中的坐标满足

$ {\mathit{\boldsymbol{P}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{X}}_{O'}} + \mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_{{P_i}}}. $

(1)

其中：X_O^′是飞行器模型质心在静坐标系中的坐标(X_P, Y_P, Z_P)^T；x_Pi是P_i点在动坐标系中的坐标(x_Pi, y_Pi, z_Pi)^T(i=1, 2, …, m)；R为动坐标系到静坐标系的旋转变换矩阵。

由图 2并结合式(1)，可得

$ {\mathit{\boldsymbol{l}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{X}}_{O'}} + \mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_{{P_i}}} - {\mathit{\boldsymbol{B}}_i}. $

(2)

则第i根绳的绳长表达式为

$ {l_i} = \sqrt {{{({\mathit{\boldsymbol{X}}_{O'}} + \mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_{{P_i}}} - {\mathit{\boldsymbol{B}}_i})}^T}({\mathit{\boldsymbol{X}}_{O'}} + \mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{x}}_{{P_i}}} - {\mathit{\boldsymbol{B}}_i})} . $

(3)

对于支撑系统而言，当飞行器模型受外力/力矩W作用时，通过绳拉力T保持静力平衡，其相应关系可表示为

$ {\mathit{\boldsymbol{J}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{T}} + \mathit{\boldsymbol{W}} = {\bf{0}}. $

(4)

其中：J为系统结构Jacobian矩阵。此外，绳拉力只有在正值时才有意义，即：

$ {T_{{\rm{max}}}} > {T_i} > {T_{{\rm{min}}}},\quad i = 1,2, \cdots ,m. $

(5)

其中T_max和T_min分别为绳拉力的最大值和最小值。

1.2 几何静力耦合问题求解

考虑位置和姿态变化，欠约束绳牵引并联支撑系统的自由度为6，即n=6。则式(3)和(4)共包含(m+6)个标量关系式，其中有(2m+6)个变量，即飞行器模型位姿$ \boldsymbol{X}=\left(X_{P}, Y_{P}, Z_{P}, \phi, \theta, \psi\right)^{\mathrm{T}}$的6个分量，绳长l_i, 绳拉力T_i(i=1, 2, …, m)。如果给定其中任意m个变量就可以求出上述标量关系式组的有限解集。由此对应欠约束CDPR运动学求解的两类问题：当给定m根绳长时求解绳拉力与位姿，即正几何静力问题；当给定m个位姿变量时求解绳拉力与绳长，即逆几何静力问题。

进行欠约束CDPR运动学求解时，考虑到传统数值算法，如Newton迭代法，由于需要给定初值，且对初始值很敏感，具有一定局限性；而前文描述的求解算法相对比较复杂，或不能直接得到有效解。因此，采用一种智能高效的算法进行欠约束CDPR的运动学求解分析是很有必要的。粒子群算法是一种新颖的群体智能优化算法，它在求解非线性方程组中具有不依赖初始点的选取、更强的全局搜索能力和较快收敛于可接受解等优点。因此，本文拟采用自适应粒子群算法进行几何静力耦合问题求解。

粒子群优化算法由一组粒子在N维空间搜索最优解，每个粒子所处的位置表示一个解向量^[21]。利用该方法求解方程组时，只需要将其转化为求解优化问题$\min F(x)=\sum_{i=1}^{k} f_{i}^{2}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right) $即可。其中f_i²(x₁, x₂, …, x_N)=0表示各个子方程，当F趋于最小值0时，即得到方程组的解。

调整权重是控制粒子群算法寻优的常用方法，为了平衡全局和局部搜索能力，加快算法的收敛，这里采用了一种非线性的自适应惯性权重来代替传统的常数型惯性权重。同时，为了增强粒子群算法的局部寻优能力，本文加入模拟退火算法的思想：在模拟温度的下降过程中，在以概率为1接受全局最优值的同时也以概率P去接受较差的值^[22]。选择跳变概率为$P_{T}=\mathrm{e}^{-\left(p_{\mathrm{k}}-p_{\mathrm{g}}\right) / T_{\mathrm{K}}} $，其中p_k为粒子的个体最优值，p_g为粒子的全局最优值，T_K为当前温度。再在确定全局最优值的时候，根据轮盘赌的概率结果选择较差的全局最优值去替代当前全局最优值。其算法流程如图 3所示。

2 欠约束绳牵引并联支撑系统动力学控制 2.1 动力学模型

基于Newton-Euler法，分别对飞行器模型和驱动系统进行建模，可以得到系统的动力学方程为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {M\mathit{\boldsymbol{\ddot P}} = {\mathit{\boldsymbol{f}}_{\rm{e}}} + \sum\limits_{i = 1}^4 {\left( { - {T_i}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right)} + M\mathit{\boldsymbol{g}},}\\ {{\mathit{\boldsymbol{A}}_G}\mathit{\boldsymbol{\dot \omega }} = {\mathit{\boldsymbol{\tau }}_{\rm{e}}} + \sum\limits_{i = 1}^4 {{\mathit{\boldsymbol{r}}_i}} \times \left( { - {T_i}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right) - \mathit{\boldsymbol{\omega }} \times \left( {{\mathit{\boldsymbol{A}}_G}\mathit{\boldsymbol{\omega }}} \right);} \end{array}} \right. $

(6)

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_0}{{\mathit{\boldsymbol{\ddot \theta }}}_m} + {\mathit{\boldsymbol{C}}_0}{{\mathit{\boldsymbol{\dot \theta }}}_m} + \mu \mathit{\boldsymbol{T}} = \mathit{\boldsymbol{\tau }}. $

(7)

其中：M是飞行器模型的质量，$ \ddot{\boldsymbol{P}}=\left(\ddot{X}_{P}, \ddot{Y}_{P},\right.$$ \left.\ddot{Z}_{P}\right)^{\mathrm{T}}$是飞行器模型参考点O^′的线性加速度向量，f_e和τ_e是作用在飞行器模型上的空气动力和动力矩，T_i为第i根绳的拉力，g为重力加速度，A_G=$\boldsymbol{R} \boldsymbol{A}_{G}^{*} \boldsymbol{R}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}_{G}^{*} $ 是飞行器模型关于重心的惯性矩阵，$ \mathit{\boldsymbol{\dot \omega }}$是角加速度向量。M₀为等效到驱动器的惯性矩阵，θ_m为电机转角，C₀为等效到驱动器的黏性摩擦系数矩阵，μ为滚珠丝杠传动系数，T为绳拉力矢量，τ为电机转矩。

上式可进一步表示为以下矩阵形式：

$ \mathit{\boldsymbol{A\ddot X}} - \mathit{\boldsymbol{B\dot X}} + \mathit{\boldsymbol{D}} = \mathit{\boldsymbol{C\tau }} + \mathit{\boldsymbol{d}}. $

(8)

其中：$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{M}(\boldsymbol{X})-\frac{1}{\mu^{2}} \cdot \boldsymbol{J}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{0} \boldsymbol{J} \boldsymbol{G}, \boldsymbol{C}=-\frac{1}{\mu} \boldsymbol{J}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B}= $$ \frac{1}{\mu^{2}}\left(\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{0} \boldsymbol{J} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}_{0} \boldsymbol{J} \boldsymbol{G}+\boldsymbol{J}^{T} \boldsymbol{C}_{0} \boldsymbol{J} \boldsymbol{G}\right), \boldsymbol{D}=\boldsymbol{N}-\boldsymbol{w}_{g} ; \boldsymbol{X}$为飞行器模型位姿矢量；M(X)是飞行器模型的惯性矩阵；N为非线性哥式离心力矩阵；w_g为重力矢量；d=w_e为实际气动力/力矩矢量，$ w_{\mathrm{e}}=\left[f_{\mathrm{e}} \; \tau_{\mathrm{e}}\right]^{\mathrm{T}}$；J为系统的结构Jacobian矩阵。

2.2 控制律设计

针对绳牵引并联支撑系统存在气动力扰动的情况，设计非线性干扰观测器进行实时观测和补偿，从而减少其对飞行器模型控制精度的影响。

2.2.1 非线性干扰观测器设计

基于系统动力学方程，非线性干扰观测器可设计为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathit{\boldsymbol{\hat d}} = \mathit{\boldsymbol{z}} + \mathit{\boldsymbol{p}}(\mathit{\boldsymbol{\dot X}}),}\\ {\mathit{\boldsymbol{\dot z}} = \mathit{\boldsymbol{L}}( - \mathit{\boldsymbol{B\dot X}} + \mathit{\boldsymbol{D}} - \mathit{\boldsymbol{C\tau }}) - \mathit{\boldsymbol{L\hat d}}.} \end{array}} \right. $

(9)

其中：$\mathit{\boldsymbol{\hat d}} $为干扰观测器的输出，z为内部状态变量；p为待设计的函数向量。

L与p存在如下关系：

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\mathit{\boldsymbol{p}} = \mathit{\boldsymbol{LA\ddot X}}. $

一般可视风洞试验中气动力干扰的变化是缓慢的，即$\mathit{\boldsymbol{\dot d}} $ =0。定义干扰观测器的误差为：$ \boldsymbol{E}=\boldsymbol{d}-\hat{\boldsymbol{d}}$，并设计Lyapunov函数为$ V=\frac{1}{2} \boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{E}$。则$\dot{V}=\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{E}} $，其中

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathit{\boldsymbol{\dot E}} = \mathit{\boldsymbol{\dot d}} - \mathit{\boldsymbol{\dot {\hat d}}} = - \mathit{\boldsymbol{\dot {\hat d}}} = }\\ {\mathit{\boldsymbol{Ld}} - \mathit{\boldsymbol{L}}( - \mathit{\boldsymbol{B\dot X}} + \mathit{\boldsymbol{D}} - \mathit{\boldsymbol{C\tau }}) - \mathit{\boldsymbol{LA\ddot X}} = }\\ {\mathit{\boldsymbol{Lz}} - \mathit{\boldsymbol{L}}( - \mathit{\boldsymbol{B\dot X}} + \mathit{\boldsymbol{D}} - \mathit{\boldsymbol{C\tau }} - \mathit{\boldsymbol{p)}} - \mathit{\boldsymbol{LA\ddot X}} = }\\ { - \mathit{\boldsymbol{L}}( - \mathit{\boldsymbol{B\dot X}} + \mathit{\boldsymbol{D}} - \mathit{\boldsymbol{C\tau }} + \mathit{\boldsymbol{AX}}) + \mathit{\boldsymbol{L}}(\mathit{\boldsymbol{z}} + \mathit{\boldsymbol{p}}) = }\\ { - \mathit{\boldsymbol{Ld}} + \mathit{\boldsymbol{Ld}} = - \mathit{\boldsymbol{LE}}.} \end{array} $

(10)

因此，$\dot{V}=\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{E}}=-\boldsymbol{E}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{L} \boldsymbol{E} \leqslant 0 $ ，由此可知，当L取值较大，可以实现误差的快速收敛，进而实现对干扰的准确估计。

2.2.2 总体控制律设计

在上述干扰观测器收敛的前提下，为使系统误差在有限时间内收敛，采用基于飞行器模型位姿误差的计算力矩控制方法，设计总体控制框图如图 4所示。此外，鉴于欠约束系统运动学求解的复杂性，在实际应用过程中，可采用视觉测量方式^[23]，获取飞行器模型的位姿，并进一步通过估计等为闭环控制提供反馈。

总控制律表示为

$ \mathit{\boldsymbol{\tau}}=-\mu\left(\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}}\right)^{+}\left[\boldsymbol{A}\left(\ddot{\boldsymbol{X}}_{d}-\boldsymbol{K}_{d} \dot{\boldsymbol{e}}-\boldsymbol{K}_{p} \boldsymbol{e}\right)-\boldsymbol{B} \dot{\boldsymbol{X}}+\boldsymbol{D}-\hat{\boldsymbol{d}}\right]. $

(11)

其中：$\boldsymbol{e}=\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X}_{d}, \boldsymbol{\hat d} $ 是干扰观测器的输出，$ \boldsymbol{K}_{d}, \boldsymbol{K}_{p}$ 为正定增益矩阵，(J^T)⁺为J^T的Moore-Penrose逆矩阵。将控制律代入到式(8)中，可以得到

$ \ddot{\boldsymbol{e}}+\boldsymbol{K}_{d} \dot{\boldsymbol{e}}+\boldsymbol{K}_{p} \boldsymbol{e}=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{d}-\boldsymbol{\boldsymbol {\hat d}})=\boldsymbol{A}^{-1} \widetilde{\boldsymbol{d}}. $

(12)

2.3 稳定性分析

为保证所设计控制律的稳定性，选择Lyapunov函数为 $ V=\frac{1}{2} \dot{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{e}}+\frac{1}{2} \boldsymbol{K}_{p} \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}$ 。对其进行求导得到

$ \begin{array}{c} \dot{V}=\dot{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}} \ddot{\boldsymbol{e}}+\boldsymbol{K}_{p} \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{e}}= \\ \dot{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{-1} \widetilde{\boldsymbol{d}}-\boldsymbol{K}_{d} \tilde{e}-\boldsymbol{K}_{p} \boldsymbol{e}\right)+\boldsymbol{K}_{p} \boldsymbol{e} \tilde{\boldsymbol{e}}= \\ \boldsymbol{A}^{-1} \widetilde{\boldsymbol{d}} \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{e}}-\boldsymbol{K}_{d} \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{e}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{e}}. \end{array} $

(13)

当干扰观测器的误差收敛时，$\widetilde{\boldsymbol{d}}=\mathbf{0} $ ，易知 $ \dot{V}=$ $ -\boldsymbol{K}_{d} \boldsymbol{e}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{e}} \leqslant \mathbf{0}$ 。

当且仅当 $ \dot{ \boldsymbol e}=\mathbf{0}$ 时，$ \dot{V}=\mathbf{0}$ 。即当 $\dot{V} \equiv \mathbf{0} $ 时，$\dot{ \boldsymbol e} \equiv $$\mathbf{0} $ ，从而 $ \ddot{ \boldsymbol e} \equiv \mathbf{0}$ ，代入上式，可得 $ \boldsymbol e \equiv \mathbf{0}$ 。根据LaSalle不变性原理，闭环系统渐进稳定。

3 仿真分析

本节将对上述自适应粒子群算法的运动学求解，以及总体控制律的有效性进行验证，代入欠约束绳牵引并联支撑系统参数进行仿真计算。电机主轴转动惯量M₀=7×10^-5 kg·m²；传动机构滚珠丝杠导程为5 mm；飞行器模型的质量为1.868 2 kg；绳采用Kevlar材料，直径1 mm。

3.1 运动学仿真分析

为了验证所用求解方法的有效性，针对四绳欠约束CDPR，给定各结构参数，分别进行运动学正/逆解。

已知支撑系统牵引绳与滑轮和飞行器模型的连接点坐标，如表 1所示。

3.1.1 运动学逆解结果

以3个姿态角均为0°和静坐标系下质心坐标Z=-0.582 m作为已知条件，用改进的粒子群算法进行运动学逆解，计算结果如表 2所示。

由上表可知，该算法的适应度函数值F很小，由此验证了计算结果的精度。进行运动学逆问题求解后，将得到的绳长和绳拉力作为初始的平衡条件，使飞行器模型能够稳定在平衡位置处，为后面的动力学控制奠定基础。

3.1.2 运动学正解结果

用上述逆解得到的绳长作为初始值，进一步求解绳长和静力平衡所组成的方程组。为了避免转换矩阵求逆时出现奇异的情况，进行正解时采用四元数，并转化为姿态角。欠约束系统运动学正解存在多解情况，受篇幅限制，这里仅列出其中3组，如表 3所示。

由上述正解结果可知，适应度函数F值均可接受，但第1组数据的姿态角数值过大，其中滚转角超过90°，飞行器模型已经倒置，不符合实际情况；第2组与第3组数据较为接近0平衡位置。但第3组的姿态角更接近于0°，且适应度值最小，综合比较后，可取第3组作为四绳正运动学求解的最后结果。

从上述结果可以看出，正解得到的姿态角，接近于理想的0°姿态角，只存在少量的偏差，是由于数值计算造成的。总体来看，求解过程是可靠的，求解结果相对准确，进而验证了自适应粒子群算法的可行性和有效性。

3.1.3 绳拉力约束影响

需要特别说明的是，上述运动学正/逆解的拉力约束均设置为T_i>0。由仿真结果可知，绳拉力满足约束条件，且经过逆解和正解后得到的姿态角都接近0°，具有较好的一致性。

而当绳拉力约束需保持在一定范围内时，如[T_min, T_max]。由于强约束作用，会导致正解的数量减少，尤其当绳拉力约束过大时，可能会导致出现无解的情况。

3.2 动力学控制仿真分析

由前述可知，欠约束绳牵引并联支撑系统的自由度为6。但与冗余约束系统相比，欠约束系统刚度明显降低，当其固有频率(如一阶)减小至较小值时，可近似认为相应方向无约束，可以实现自由运动，而在其他较大值、高阶固有频率的对应方向，仍然可以通过绳长控制在一定范围内实现可控受迫运动。这里将根据风洞动态试验需求，以四绳牵引为例，重点考察俯仰等方向做受迫运动时，其他方向未受控时的运动情况。

3.2.1 单自由度算例

首先，以风洞试验中典型的俯仰方向单自由度振荡运动为例，进行控制仿真模拟，给定俯仰角期望运动规律：

$ {\mathit{\boldsymbol{X}}_d} = {\mathit{\boldsymbol{X}}_0} + [0,0,0,0,{\rm{ \mathsf{ π} }}/18 - {\rm{ \mathsf{ π} }}/18 \cdot \cos (t),0]. $

系统位置初始状态X₀为[0，0，－0.582 m，0，0，0]，速度初始状态为[0 , 0, 0, 0, 0, 0]，外界干扰施加在俯仰运动方向上，给定为[0，0，0，0，0.1·cos(t)，0]。这里重点考察飞行器模型在受迫方向的运动控制情况，以及其他方向的自由运动情况。因此，只在俯仰方向设计控制律，即设定控制增益矩阵为K_p=diag([0 , 0, 0, 0, 50, 0])，K_d=diag([0 , 0, 0, 0, 20, 0])。经动力学逆解可得，初始绳拉力由逆解设置为T=[5.322 5 N, 5.322 5 N, 4.918 8 N, 4.918 8 N]。

令X_n=0.009·diag([0 , 0, 0, 0, 1, 0])，非线性干扰观测器的参数矩阵设置为：$ \boldsymbol{L}=\boldsymbol{X}_{n} \boldsymbol{A}^{-1}$，$\boldsymbol{p}=\boldsymbol{X}_{n} \dot{\boldsymbol{X}} $ 。

仿真结果如图 5—10所示。其中，由图 5可知，在俯仰方向受到干扰且经过补偿后，飞行器模型在Y方向位移很小；但在X和Z 2个平动方向会产生一定运动，但仍然保持在有限范围内，最大位移误差约0.04 m。这是由于系统具有欠约束的特点，即使飞行器模型只进行俯仰方向运动，也会在其他方向产生一定的耦合作用。

由图 6—8可知，在俯仰方向控制律作用下，实际俯仰角与理论角度曲线重合良好，最大跟踪误差约为0.1°，具有较高的跟踪精度。而对于滚转、偏航2个角运动，虽没有施加控制作用，但结果显示在无额外干扰的情况下，支撑系统在这2个方向上仍能保持较好的稳态特性。

由图 9可以看出，在动态过程中各绳拉力都能保持为正值。对于欠约束绳牵引并联支撑系统而言，绳拉力不再具有多解特性，而是直接通过动力学逆解求得。因此，需要选择合适的构型，如本文所选为悬挂方式，飞行器模型自身重力提供附加约束，使得绳拉力具有一定初始值。同时，末端动平台的运动也受到一些限制，如不能实现较大的加速度运动。而风洞动态试验更多是关注飞行器模型的角振荡运动，尤其是受迫俯仰运动+自由滚转/偏航运动类型，因此这也在一定程度上保证运动过程中绳拉力始终处于张紧状态。此外，即使飞行器模型处在较大迎角状态，升力方向受到大干扰时，亦可以通过增加飞行器模型配重或者在机身下方引入一根通过质心的绳索，这样既不影响角运动，又可以满足一定的绳拉力约束要求。图 10显示对扰动的跟踪情况，表明所设计的干扰观测器能够有效补偿外界干扰。

3.2.2 双自由度算例

以俯仰方向和Z轴方向两自由度复合运动模拟飞行器模型作俯仰升沉运动为例，进行控制仿真模拟，给定运动规律函数：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{X}}_d} = {\mathit{\boldsymbol{X}}_0} + [0,0,0.2 - 0.2 \cdot \cos (t),}\\ {0,{\rm{ \mathsf{ π} }}/18 - {\rm{ \mathsf{ π} }}/18 \cdot \cos (t),0].} \end{array} $

系统初始位姿状态X₀为[0，0，－0.582 m，0，0，0]，速度初始状态为[0 , 0, 0, 0, 0, 0]。为了进一步考察飞行器模型的角自由运动特性，除了在升沉和俯仰方向，还在滚转方向施加干扰，为0.1·cos(t)·0，0，1，1，1，0，但滚转方向不进行控制。设定参数为K_p=diag([0，0，12 000，0，80，0]), K_d=diag([0，0，2 100，0，22，0])。

令X_n=0.009·diag([0 , 0, 1, 0, 1, 0])，非线性干扰观测器的参数矩阵设置为：$\boldsymbol{L}=\boldsymbol{X}_{n} \boldsymbol{A}^{-1}, \boldsymbol{p}=\boldsymbol{X}_{n} \dot{\boldsymbol{X}} $ 。

仿真结果如图 11—15所示。由图 11—14可知，飞行器模型在受迫运动升沉和俯仰方向上，可以实现有效高精度跟踪。在X和Y2个平动方向由于欠约束特性会产生一定位移，但仍保持在有限范围内。由于滚转方向存在外界干扰，且未施加有效控制，滚转角在±10°内变化，偏航角从-5°到10°间变化，但整体仍处于稳定运动范围内。这可以模拟飞行器模型在进行升沉和俯仰振荡时，受气动力/力矩的作用，在滚转和偏航方向的自由角运动特性。由图 15可知，在复合动态过程中各绳拉力均能保持张紧状态，满足实际应用要求。

4 结论

本文针对欠约束绳牵引并联机器人在风洞试验中的应用，研究了系统运动学分析和鲁棒控制问题，主要结论为：欠约束绳牵引并联支撑系统在运动学方面存在几何静力耦合问题，通过采用提出的自适应粒子群智能求解算法，可以有效确定初始稳定平衡状态。针对实际系统受到外界干扰的情况，所设计的非线性干扰观测器与计算力矩控制律能够很好跟踪期望运动轨迹，并且有效补偿扰动，实现高性能鲁棒控制。尤其可以模拟受迫运动，以及未受控方向的自由运动特性，这可为风洞试验气动/运动/控制耦合特性的研究，以及飞行控制律的设计提供支持和参考。