由于低成本和质量轻等应用要求，大型桁架结构在航海和航天领域具有很多特定应用^[1-2]。小型双体船^[1]采用桁架连接桥将2个单体船连接，以提高航行稳定性。双体船运行时连接桥需承受复杂的波浪载荷，因此桁架结构会产生不同载荷下的振动响应，直接影响使用寿命。孙海宁等^[2]研究了航天卫星单侧柔性桁架展翼的抑振问题。考虑到卫星观测精度，展翼在姿态调整过程中运动稳定性需得到保证。当展翼处于完全展开的状态时，满足长径比大的条件，只考虑弯曲变形，桁架结构能简化为Euler-Bernoulli梁进行分析。同时，考虑到展翼端部的检测装置，将研究模型改进为端部具有载荷的Euler-Bernoulli梁，如图 1所示。

目前，许多学者研究了上述结构的动力学模型和振动特性^[3-6]。Vakil等^[3]分析了柔性梁的自由振动特性，推导得到频率方程。Dwivedy等^[4]总结了柔性执行器的建模、控制和实验研究。Wei等^[5]考虑到柔性连接的柔性梁系统，通过仿真实验研究了系统的动态响应特点。Oguamanam等^[6]针对柔性梁结构，从坐标系类型和刚化效果2个方面进行讨论。研究表明，在自由振动过程中，柔性梁呈现较大幅度的摆动，严重影响终端精度。

为此，孙海宁等^[2]提出了一种四索驱动的柔性梁抑振机构，基于模糊比例积分微分(proportion integration differentiation，PID)控制方法，有效减少振动持续时间，缩小了索力变化范围。Dixit等^[7]采用固定长度绳索连接提高柔性机构的刚度。比较2种抑振设计方法，第1种采用主动控制绳索收放的方法，绳索始终处于拉力状态，属于主动抑振模式；第2种将固定长度绳索连接到柔性杆件两端，在抑振过程中存在绳索松弛情况，属于被动抑振模式。

采用多根绳索被连接到柔性梁，构成闭环机构，运动控制器同时控制绳索的放缩，该机构被称为索驱动并联机构。Tang^[8]总结了近十几年索并联机构的理论与应用研究现状，展望了未来发展方向。Yao等^[9]研究了大射电望远镜的位姿规划问题。现有索并联机构控制方法主要包含鲁棒PID控制方法^[10]、自适应鲁棒控制方法^[11]、模糊PID控制方法^[2]、导纳控制方法^[12]和基于索力控制方法^[13]。为了简化绳索控制方法，本文采用文[13]中基于索力约束控制方法，后续仿真实验验证了该控制方法的有效性和实用性。

本文首先分析卫星展翼简化模型的振动特性，推导带有负载的柔性梁自由振动的频率计算公式。然后提出基于平行索设计的索并联机构构型，分析该构型运动自由度特点。并结合ADAMS软件，分析被动绳索模式的抑振效果。为了控制索力变化范围，采用基于绳索索力约束控制方法，结合MATLAB/Simulink和ADAMS仿真实验结果验证控制方法有效性。最后，总结本文的主要结果，并指出了后续研究方向。

1 带负载柔性梁自由振动特性

如图 1所示，带负载柔性梁简化模型由中心组件、Euler-Bernoulli梁和端部负载组成。Euler-Bernoulli梁分别连接中心组件和端部负载。中心组件具有一个转动轴，能够带动柔性梁和端部负载实现旋转运动。假设本系统中重力加速度方向垂直于纸面，重力造成的变形相对于旋转运动造成的变形较小，忽略不计。本文采用切线坐标系统^[14]建立运动学模型，如图 2所示。切线坐标系统能将柔性梁的刚体运动和柔性变形解耦，坐标系x^′轴沿柔性梁近转动轴端点的切线方向。考虑到梁结构的柔性，绕中心组件旋转轴转动时，柔性梁偏离未变形梁。坐标系O-xy设定为全局坐标系。坐标系O-x^′y^′为局部坐标系，其中定义x^′轴沿未变形梁中性面。参数θ表示局部坐标系x^′轴与全局坐标系x轴夹角，即柔性梁转动角度。

柔性梁各点的位移r_fl由未变形梁对应点的位移r_rl和柔性导致的横向位移r_t组成。横向位移与柔性梁各点位置和时间有关，在局部坐标系中定义为

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_{\rm{t}}} = {[u(s,t),v(s,t)]^{\rm{T}}}. $

(1)

其中：s为柔性梁距近转动端的曲线距离，t为时间。局部坐标系相对于全局坐标系的旋转矩阵表示为

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]. $

(2)

柔性梁的曲线点x在全局坐标系中的坐标为

$ {\mathit{\boldsymbol{r}}_{{\rm{fl}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ - \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ 0 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u\\ v \end{array}} \right]} \right). $

(3)

本系统的势能为柔性梁势能，表示为

$ V = \frac{{{\rm{EI}}}}{{2{L^3}}}\int_0^1 {{{\left( {\frac{{{\partial ^2}y}}{{\partial {\xi ^2}}}} \right)}^2}} {\rm{d}}\xi . $

(4)

其中：EI为柔性梁的弯曲刚度，L为柔性梁的总长，ξ=s/L, s∈[0, L]。考虑柔性梁终端负载动能，系统的总动能表示为

$ T = {T_{\rm{p}}} + {T_{\rm{L}}}, $

(5)

其中：$\quad T_{\mathrm{p}}=\frac{m_{\mathrm{p}}}{2}\left(\left.\frac{\partial \boldsymbol{r}_{\mathrm{f} 1}}{\partial t}\right|_{s=L}\right)^{\mathrm{T}}\left(\left.\frac{\partial \boldsymbol{r}_{\mathrm{f} 1}}{\partial t}\right|_{s=L}\right)+\frac{J_{\mathrm{p}}}{2} \text { . } $ $ \left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}+\left.\frac{\partial^{2} v}{\partial s \partial t}\right|_{s=L}\right)^{2}, J_{\mathrm{p}}$ 为负载的转动惯量，$ T_{\mathrm{L}}=\frac{\rho L}{2} \text { . }$$ \int_{0}^{1}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{\mathrm{fl}}}{\partial t}\right)^{\mathrm{T}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_{\mathrm{fl}}}{\partial t}\right) \mathrm{d} \xi, m_{\mathrm{p}}$ 为负载质量。中心组件的作用力矩产生的虚功为 $ \delta W=\tau \delta \theta$ ，根据Hamilton原理推导出带负载柔性梁的动力学运动方程：

$ \int_{{t_1}}^{{t_2}} {(\delta T - \delta V + \delta W)} {\rm{d}}t = 0. $

(6)

其中：W为虚功，τ为电机作用力矩。根据变分原理，推导具有终端负载的柔性梁系统的动力学模型为

$ {\rm{EI}}\frac{{{\partial ^4}v}}{{\partial {s^4}}} + p\left[ {s\left( {\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}} \right) + v{{\left( {\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}t}}} \right)}^2} + \left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}}} \right)} \right] = 0, $

(7)

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{J_{\rm{p}}}\left( {\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + {{\left. {\frac{{{\partial ^3}v}}{{\partial s\partial {t^2}}}} \right|}_{s = L}}} \right) + \int_0^L \rho \left( {{s^2} + {v^2}} \right)\left( {\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}} \right){\rm{d}}s + }\\ {{m_{\rm{p}}}\left( {{L^2} + {{\left. {{v^2}} \right|}_{s = L}}} \right)\left( {\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}} \right) + \int_0^L \rho s\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}}} \right){\rm{d}}s + }\\ {{{\left. {{m_{\rm{p}}}L\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}}} \right)} \right|}_{s = L}} + \int_0^L \rho v\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right){\rm{d}}s\left( {\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}t}}} \right) + }\\ {{{\left. {{{\left. {{m_{\rm{p}}}v} \right|}_{s = L}}\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)} \right|}_{s = L}}\left( {\frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}t}}} \right) = 0.} \end{array} $

(8)

其中：参数ρ为柔性梁的线密度(假设柔性梁线密度保持恒定)。柔性梁近端点(s=0)约束条件为

$ {\left. v \right|_{s = 0}} = 0,{\left. {\frac{{\partial v}}{{\partial s}}} \right|_{s = 0}} = 0. $

(9)

远端点(s=L)约束条件为

$ {{{\left. {{\rm{EI}}\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {s^2}}}} \right)} \right|}_{s = L}} + {J_{\rm{p}}}\left[ {\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + {{\left. {\left( {\frac{{{\partial ^3}v}}{{\partial s\partial {t^2}}}} \right)} \right|}_{s = L}}} \right] = 0,} $

(10)

$ {{m_{\rm{p}}}L\left( {\frac{{{{\rm{d}}^2}\theta }}{{{\rm{d}}{t^2}}}} \right) + {{\left. {{m_{\rm{p}}}\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}}} \right)} \right|}_{s = L}} - {{\left. {{\rm{EI}}\left( {\frac{{{\partial ^3}v}}{{\partial {s^3}}}} \right)} \right|}_{s = L}} = 0.} $

(11)

假设横向变形表示为

$ v(s,t) = \psi (s)\sin (\omega t),\theta = \Theta \sin (\omega t). $

(12)

忽略 $ \left(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\right)^{2}$ 项，将式(12)代入到式(7)，推导出

$ {\frac{{{\partial ^4}\psi (s)}}{{\partial {s^4}}} - {\beta ^4}(\psi (s) + s\Theta ) = 0,} $

(13)

$ {{\beta ^4} = \frac{{{\omega ^2}\rho }}{{{\rm{EI}}}}.} $

(14)

其中：$ \psi(s)=A \sin (\beta s)+B \cos (\beta s)+C \sinh (\beta s)+$$D \cosh (\beta s)-\Theta s $ .

结合端点约束条件式(9)-(11)，得到

$ \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{H_{11}}}&{{H_{12}}}&{{H_{13}}}&{{H_{14}}}&0\\ {{H_{21}}}&{{H_{22}}}&{{H_{23}}}&{{H_{24}}}&1\\ {{H_{31}}}&{{H_{32}}}&{{H_{33}}}&{{H_{33}}}&{{H_{35}}}\\ 0&1&0&1&0\\ \beta &0&\beta &0&{ - 1} \end{array}} \right]}_\mathit{\Pi }\underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} A\\ B\\ C\\ D\\ \Theta \end{array}} \right]}_x = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right]. $

(15)

其中：

$ {H_{11}} = - \rho \sin (\beta L) - {J_{\rm{p}}}{\beta ^3}\cos (\beta L), $

$ {H_{12}} = {J_{\rm{p}}}{\beta ^3}\sin (\beta L) - \rho \cos (\beta L), $

$ {H_{13}} = - {J_{\rm{p}}}{\beta ^3}\cosh (\beta L) + \rho \sinh (\beta L), $

$ {{H_{14}} = - {J_{\rm{p}}}{\beta ^3}\sinh (\beta L) + \rho \cosh (\beta L),} $

$ {{H_{21}} = {m_{\rm{p}}}\beta \sin (\beta L) - \rho \cos (\beta L),} $

$ {{H_{22}} = {m_{\rm{p}}}\beta \cos (\beta L) + \rho \sin (\beta L),} $

$ {{H_{23}} = {m_{\rm{p}}}\beta \sinh (\beta L) + \rho \cosh (\beta L),} $

$ {{H_{24}} = {m_{\rm{p}}}\beta \cosh (\beta L) + \rho \sinh (\beta L),} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H_{31}} = {m_{\rm{p}}}L\sin (\beta L) + {J_{\rm{p}}}\beta \cos (\beta L) + }\\ {\rho \int_0^L {\sin } (\beta s)s{\rm{d}}s,} \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H_{32}} = {m_{\rm{p}}}L\cos (\beta L) - {J_{\rm{p}}}\beta \sin (\beta L) + }\\ {\rho \int_0^L {\cos } (\beta s)s{\rm{d}}s,} \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H_{33}} = {m_{\rm{p}}}L\sinh (\beta L) + {J_{\rm{p}}}\beta \cosh (\beta L) + }\\ {\rho \int_0^L {\sinh } (\beta s)s{\rm{d}}s,} \end{array} $

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{H_{34}} = {m_{\rm{p}}}L\cosh (\beta L) + {J_{\rm{p}}}\beta \sinh (\beta L) + }\\ {\rho \int_0^L {\cosh } (\beta s)s{\rm{d}}s,} \end{array} $

$ {{H_{35}} = {m_{\rm{p}}}{L^2} + {J_{\rm{p}}} + \frac{\rho }{3}{L^3}.} $

为了保证向量x有非平凡解，矩阵Π的行列式必须等于零，推导计算得到参数β。带负载的柔性梁自然频率根据式(14)确定。本文以卫星展翼简化柔性梁模型为例，分析带负载柔性梁的振动特性，其简化模型参数如表 1所示。为了验证分析结果，计算模型的尺寸为600 mm×30 mm×0.2 mm，材料选择结构钢(密度为7 800 kg/m³，弹性模量为2.07×10¹¹ N/m²)。

根据表 1参数表，计算出该验证模型的基本自然频率为8.766 rad/s(1.395 Hz)。对比文[15]，得到具有终端载荷的柔性梁经验公式结果如下：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _1} = \sqrt {\frac{{3{\rm{EI}}}}{{\left( {{m_{\rm{p}}} + \frac{{33}}{{140}}{m_{\rm{L}}}} \right){L^3}}}} = }\\ {8.62{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{rad}}/{\rm{s}} = 1.372{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{Hz}}.} \end{array} $

(16)

其中：ω₁为第一阶自然频率，m_L为柔性梁质量。进一步，采用有限元软件ANSYS分析计算模型的基本自然频率为8.753 rad/s(1.393 Hz)。综合以上结果，本文提出的柔性梁计算方法与有限元软件分析计算结果最接近，相对误差为0.14%，而与经验公式的计算结果相对误差为1.65%。分析结果表明：带负载柔性梁的频率计算方法有效，同时说明柔性梁频率较低，易产生振动。

2 基于平行索的索机构构型

在简化柔性梁模型的频率特点基础上，提出抑制终端振动的构型设计与控制方法。在孙海宁等^[2]四索并联抑振机构的基础上，提出了基于平行索设计的四索并联机构，如图 3所示。该构型包含2对绳索分别连接中心组件的外延框架结构和终端负载。平行绳索组成平行四边形，2根平行绳索由同一个电动机控制绳索的收放。在系统运动过程中，2对绳索始终保持平行四边形形状。根据文[16]运动奇异性分析结论，平行绳索能够约束绕平行四边形平面法线的旋转自由度。Zhang等^[17]分析了平行绳索构型索并联机构的尺寸优化问题。因此，该平行四索并联机构构型能够约束柔性梁模型的扭转运动，同时减少控制电机数量，进而降低四索并联机构的控制难度。

假设简化柔性梁模型的旋转轴线方向与重力加速度方向一致，考虑到平行索构型，终端点只能在平面内运动。平行四索并联机构能够简化为平面两索并联机构进行分析，如图 4所示。

3 抑振控制模式

基于绳索的柔性梁抑振控制方法分为被动抑振模式和主动抑振模式。简化柔性梁的抑振效果分析运动过程采用柔性梁1 s内转动90°，然后停止转动，采用ADAMS中Joint Motion模块设置的运动轨迹函数STEP(time, 0, 0 d, 1, 90 d)，柔性梁0~5 s绕轴转动具体轨迹如图 5所示。转动停止后，在一端固定一端自由约束条件下，带负载柔性梁产生自由振动。

首先，考虑柔性梁阻尼系数为0.01 N/(m·s^-1) ^[7]，基于ADAMS分析未加绳索的简化柔性梁系统在运动过程中的振动响应，如图 6所示。仿真运动轨迹表明柔性梁在自由振动(1 s后)阶段，终端点偏离静止状态最大位移为0.22 m，运动振幅过大。经过Fourier变换，得到自由振动运动中最低自然频率为1.13 Hz，小于理论分析计算值。

随后分析固定长度绳索对简化柔性梁模型终端点抑振效果。对比图 6未加绳索，增加被动绳索能够有效抑制自由振动幅值，提高终端点的运动稳定性和精度。加入被动绳索后，简化柔性梁系统刚度提高。终端点运动轨迹经过快速Fourier变换，系统第一阶自然频率从1.13 Hz提高到2.715 Hz(如图 7所示)。提取运动仿真过程两索索力随时间的变化数据，如图 8所示。

仿真模型两索索力变化特点表现为：

(1) 两索索力交替变化，始终保持一根索索力为零，另一根索索力大于零。

(2) 在0~1 s旋转运动过程中，索力值较大，加速阶段绳索1索力作用于柔性梁，减速阶段绳索2作用于柔性梁。

(3) 在1 s后，柔性梁处于自由振动阶段，柔性梁横向变形呈现周期函数变化，索力变化相对之前减小。

对于大型卫星展翼，结构在外界激励或者加减速作用下会产生较大变形。采用被动绳索抑振，能够较大幅度减少终端位置误差，但是相应的索力变化较大。为了控制绳索索力范围和限制索力极限值，研究基于索力控制的柔性梁索并联结构主动抑振方法。采用ADAMS和MATLAB/Simulink联合实施仿真实验。在ADAMS中保存柔性梁和绳索的物理模型，MATLAB/Simulink调试控制算法。ADAMS运动模型输入Simulink绳索控制量，输出索力变化值到Simulink控制算法。

柔性梁索并联抑振结构的主动抑振算法基本思路为：运动过程保持只有一根索处于拉伸状态，作用于柔性梁，另一根索索力保持为最小允许值；当处于拉伸状态的绳索索力超过规定极限值(仿真试验采用0.2 N)时，通过电动机释放一定长度的绳索，并记录绳索变化值，直至索力值小于等于极限值；当绳索处于索力为允许最小值的状态时，通过电动机收紧绳索，记录绳索变化值。根据以上算法思路，在MATLAB/Simulink中设计系统控制流程图，如图 9所示。其中，柔性梁ADAMS物理模型数据交互模块adams_sub，如图 10所示。

在主动控制模式下运行联合仿真模型5 s，将主动模式索1索力与被动控制模式索1索力变化相比较，得到2种控制模式的终端点的位置误差(见图 11)，终端点的速度(见图 12)和加速度(见图 13)，以及索1和索2索力变化(见图 14和15)。

结合图 11-15，分析和讨论主动与被动抑振模式终端位置点误差、终端点的速度和加速度变化及索1和索2索力变化，结果表明：

(1) 根据图 11-13，在被动绳索抑振模式下，3 s后柔性梁终端点无明显振动；在主动绳索抑振模式下，3.5 s后终端点无明显振动产生。说明在1 s后，对比主动抑振模式，被动抑振模式的柔性梁终端点位置误差较快趋近于0。

(2) 被动模式绳索1在振动1~5 s阶段的索力最大值均大于0.2 N；主动模式绳索1在振动阶段(1~5 s)，并且在前两次绳索控制作用后索力最大值均小于0.2 N。相比于被动抑振模式，主动抑振模式索力最大值减少60%以上，索力控制效果明显。不同于被动抑振模式，主动抑振模式可以控制索力的最小值，如图 14和15索力最小值为0.01 N。

(3) 相比被动模式，主动抑振模式索力最大值变化较快，4 s后已接近降低到索力控制最小值；而被动抑振模式索力降低速率较小，5 s后仍然可以看到索力呈现周期性变化。

4 结论

卫星展翼等大型桁架结构能够简化为带负载的柔性梁模型研究。在柔性梁运动过程中，结构柔性产生的弯曲变形导致终端运动精度较差。针对以上问题，本文提出了基于绳索的大型结构件抑振构型和控制方法。首先，分析了柔性梁模型的频率特性和幅值特点，理论推导柔性梁运动频率计算方法，并且采用仿真实验验证在不加绳索作用下，柔性梁终端的最大偏置位移约为柔性梁长度的35%。

本文还提出了基于平行绳索布置的抑振构型，该构型能够约束柔性梁机构的旋转自由度，减少柔性梁的扭转运动。采用被动绳索系统后，终端点运动误差大幅度减少，但是两索索力波动较大，长时间工作容易导致绳索疲劳损伤。最后，为了控制索力范围，研究了简化柔性梁索并联结构系统的绳索主动控制模式。通过MATLAB/Simulink和ADAMS联合仿真验证了基于索力控制的绳索主动抑振模式。

运动仿真实验结果表明：在主动控制模式下，绳索在自由振动阶段索力最大值大幅度减小，索力波动降低。但是本文主动控制方法中绳索控制量选择需要通过调试确定。下一步将研究基于绳索控制的绳索控制量自适应确定问题。同时将进一步分析和讨论滑模控制、神经网络和模糊控制等算法对该模型终端点位置抑振效果。