灾害严重地影响到了人类社会的可持续发展，尤其是灾害事件发展的过程中存在的Domino效应^[1]致使灾害损失更为严重。例如，2011年日本福岛地震、海啸事件^[2-3]不仅直接夺走了数万人的生命，同时还引发了核电站、化工厂爆炸等一系列次生灾害事件，使得此类事件造成的危害更为持久。因此，对于灾害演化规律的深入探索，无疑成为研究灾害特征及其控制的重要内容。

绝大多数灾害系统均表现出复杂网络的特征，因此复杂网络理论也成为研究灾害演化的重要方法^[4-12]。学者们运用复杂网络理论研究灾害演化的重大机理^[4-7]，其中Lubos等^[4-5]建立了普适性的灾害演化动力学模型，来研究灾害演化行为。此外，复杂网络的思想也被运用到生命线系统等具体的灾害演化及其应急管理的研究中^[8-10]。灾害的传播需通过一定的路径来实现，不同的演化途径将成为影响灾害传播的关键因素。目前对于灾害演化发展的研究主要包括以下几个方面：Lubos等^[4-5]通过建立灾害网络演化模型，提出了只有当灾害系统所受到的外界扰动超过某一阈值时，该系统才会出现崩溃，并分析了复杂网络的中心性和关键节点对网络拓扑结构演化的影响。Weng等^[13]在此基础上研究了3种理想网络拓扑结构在随机扰动下的灾害演化动力学特征。Ouyong等^[14-15]将Lubos等提出的灾害演化模型用于研究具有冗余系统的灾害演化。Chen等^[16]和Li等^[17]考虑了灾害网络中诱发连接边的特性，建立了一种能够描述持续性和短暂性影响的灾害演化动力学模型，同时提出了灾害系统中灾害循环拓扑结构的表征模型理论，进而研究了灾害复杂网络中循环链的作用机制和突变特征。这些理论成果为灾害演化模型研究的进一步开展奠定了良好的基础。

而在实际灾害演化过程中，灾害的传递需考虑如下2方面的问题。一方面，2个灾害事件之间演化路径的形成，需要源灾害事件的损失值超过某个临界灾害值^[4]；且后者越大，对应灾害事件间连接边越难形成。另一方面，当灾害事件之间的演化路径形成后，灾害传递的方式也有差异。常见的两种典型灾害传递方式可表述为：1) 当源灾害损失值达到了灾害发生传递的临界灾害值时，只有超出部分的灾害损失能够作用于子灾害事件，称为溢流模式；2) 达到临界灾害值后的源灾害损失将全部传递至子灾害事件处，称为溃坝模式。基于此，本文提出了一种基于连接边形成的临界灾害值条件判断的灾害演化模型，来更进一步探索实际灾害发展过程中，上述2种典型灾害演化模式的致灾机理、灾害演化特征及具体的灾害应对措施。

1 灾害演化动力学模型 1.1 灾害演化网络特征分析

灾害的发展将伴随产生众多次生灾害，通常情况下，对后续灾害事件的分析会截止到四、五级次生灾害(因为初始灾害对更高级别的次生灾害事件影响的可能性相对较小，另外通过对截止到四、五级次生灾害事件的分析基本已经可以发现相应的灾害发展规律)，可以通过经典灾害演化网络来形象地表示灾害之间的演化关系^[16]，如图 1所示。1个节点代表 1个灾害事件，1个连接边代表 2种灾害事件(父节点与子节点)之间的演化关系。演化网络结构中共包括了13个节点，其中，初始灾害事件为a₁，其余次生灾害事件为a₂~a₁₃。根据灾害演化中灾害事件传播的关系对次生灾害事件进行分级，首先，a₁引发的次生灾害事件记为一级，而由(n-1) 级次生灾害事件直接引发的灾害事件则记为第n级(n>1)，以此类推^[17]。该实例中a₁为初始灾害事件，a₂、a₃、a₄为一级次生灾害事件，a₅、a₆、a₇、a₈、a₉为二级次生灾害事件，a₁₀、a₁₁、a₁₂为三级次生灾害事件；a₁₃为四级次生灾害事件，也称为终灾害事件。a₁~a₁₃灾害事件不局限于某一特定灾害，而是代表了灾害链中的不同级别事件，具有普适性。该网络基本上包括了最常见4种典型的灾害演化链，用于表征灾害节点的传播特点：直链式灾害演化链(a₁ → a₂ → a₅ → a₁₀ → a₁₃)、发散式灾害演化链(a₃ → a₆, a₇, a₈)、集中式灾害演化链(a₆, a₇, a₈ → a₁₁; a₁₀, a₁₁, a₁₂ → a₁₃)、循环式灾害演化链(a₄ → a₁₂ → a₉ → a₄)。

在灾害演化网络中，每2级灾害之间的连接边的发生均需要满足一定的条件。以图 2中的洪水灾害为例，在遇到上游洪水灾害威胁时，只有当洪水超过堤坝的临界蓄水能力时，该上游区域的洪涝灾害才会蔓延至堤坝的下游地区。此外，灾害链的演化方式也存在一定差异，在上游洪水灾害超过堤坝的临界水位的条件下，其对下游的灾害作用可能会存在2种形式：1) 仅超过临界水位部分的洪水对下游区域造成危害；2) 达到临界水位的洪灾可能会冲毁堤坝，从而导致此时的灾害全部作用于下游地区，造成更为严重的危害。

1.2 灾害演化动力学模型的构建

针对连接边形成的临界条件判断过程，以及2种灾害演化模式的具体特征，本文通过有向图G = (N, S)^[4]构建了灾害演化系统动力学模型。其中N表示网络中n个灾害节点的集合，S为一个n×n维的矩阵，且灾害演化连接边(i, j)用来表示节点a_i和a_j之间发生的衍生关系，用节点的灾害损失值n_i (t)来表示a_i在t时刻的灾害严重程度。当n_i (t)>0时，越大则表示该节点t时刻的灾害程度越严重；而当n_i (t)=0时，则表示该节点灾害此时没有发生，或者已经恢复至无灾害状态。

1.2.1 节点间连接边形成的临界条件判断过程

当父节点a_j发生((n_j (t)＞0)后，只有当父节点灾害损失值大于对应连接边形成时的临界灾害值Θ_j→i时，a_j与a_i之间连接边才能形成，本文用δ_j→i (t)>0来表示；否则a_j与a_i之间连接边不能形成，用δ_j→i (t)=0来表示。因此，a_j与a_i之间连接边能否形成的判断函数为

$ \left\{\begin{array}{ll} \delta(j, i)>0, & n_{j}(t)>{\mathit{\Theta}}_{j \rightarrow i}(t) ; \\ \delta(j, i)=0, & n_{j}(t) \leqslant {\mathit{\Theta}}_{j \rightarrow i}(t) . \end{array}\right. $

(1)

1.2.2 模型动力学原理

n_i (t)由父节点影响度q_i (t)、节点内外噪声m_i (t)(如灾害事件内外随机干扰因素)及修复能力r_i (t)(如政府的修复能力)3个参数决定。n_i (t)的时间演化动力学可以表示如下：

$ n_{i}(t)=q_{i}(t)+m_{i}(t)-r_{i}(t) $

(2)

首先，用q_j→i (t)来表示该模型中父节点a_j对子节点a_i的影响度，通过对实际灾害演化特征的分析，将这一作用分为溢流和溃坝2种模式，本文将这2种演化方式所对应的父节点影响度分别表示为$\underset{j \in\{\delta(j, i)=1\}}{q_{j \rightarrow i}(t)} $和$\underset{j \in\{\delta(j, i)=2\}}{q_{j \rightarrow i}(t)} $，具体分析如下。

1) δ(j, i)=1表示灾害传递为溢流模式。

$ \underset{j \in\{\delta(j, i)=1\}}{q_{j \rightarrow i}(t)}$主要由关系强度因子ω_j→i(表示灾害事件间的相互关系强度)、父节点的灾害损失值n_j (t-tp_j→i)、对应连接边形成时所需满足的临界灾害值Θ_j→i (t)、延迟系数tp_j→i (表示a_j将灾害损失值传递至a_i过程所需的时间)、以及为了避免当t-tp_j→i＜0时灾害损失值出现负值而引入的延时系数β^t-tp_j→i (见式(4))^[16]等参数共同决定：

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {{q_{j \to i}}(t)}\limits_{j \in \{ \delta (j, i) = 1\} } = }\\ {{\omega _{j \to i}}\left[ {{n_j}\left( {t - {{{\mathop{\rm tp}\nolimits} }_{j \to i}}} \right) - {\mathit{\Theta }_{j \to i}}(t)} \right]{\beta ^{ - {\rm{t}}{{\rm{p}}_{j \to i}}}};}\\ {} \end{array} $

(3)

$ \beta^{-\mathfrak{t p}_{j \rightarrow i}}=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t-\operatorname{tp}_{j \rightarrow i}<0 \\ 1, & t-\operatorname{tp}_{j \rightarrow i} \geqslant 0. \end{array}\right. $

(4)

2) δ(j, i)=2表示灾害传递为溃坝模式。

与溢流模式不同，在灾害模式中达到连接边形成的临界灾害值的a_j的灾害损失值n_j (t-tp_j→i)将全部传递至a_i处：

$ \underset{j \in\{\delta(j, i)=2\}}{q_{j \rightarrow i}(t)}=\omega_{j \rightarrow i} n_{j}\left(t-\operatorname{tp}_{j \rightarrow i}\right) \beta^{-\operatorname{tp}_{j \rightarrow i}}. $

(5)

由于灾害演化网络中，a_i可能对应多个父节点，因此a_i对应的父节点影响度函数满足：

$ q_{i}(t)=\sum\limits_{j \in\{u(j, i)=1\}} q_{j \rightarrow i}(t)+\sum\limits_{j \in\{u(j, i)=2\}} q_{j \rightarrow i}(t) . $

(6)

式(2)等号右边第2项m_i (t)主要包括节点内部噪声m_{i; ISN}(t)(如因装修材料防火性能对于建筑火灾的影响)和节点外部噪声m_{i; ESN}(t) (如天气因素对火灾蔓延的影响)，因而可将m_i (t)^{[5, 16]}表示为

$ m_{i}(t)=m_{i ; \mathrm{ISN}}(t)+m_{i ; \mathrm{ESN}}(t) $

(7)

其中：m_{i; ISN}(t)^[16]由节点的内部噪声损失极大值ψ_{i; ISN}(t)和发生比例分布函数f_{i; ISN}(t)共同决定, m_{i; ESN}(t)由外部噪声损失极大值ψ_{i; ESN}(t)和灾害演化系统以外的损失发生比例分布函数f_{i; ESN}(t)来决定。为便于研究灾害事件演化行为特征，f_{i; ISN}(t)和f_{i; ESN}(t)均设为平均分布。

$ m_{i ; \mathrm{ISN}}(t)=\psi_{i ; \mathrm{ISN}}(t) f_{i ; \mathrm{ISN}}(t), $

(8)

$ m_{i, \mathrm{ESN}}(t)=\psi_{i ; \mathrm{ESN}}(t) f_{i, \mathrm{ESN}}. $

(9)

式(2)等号右边第3项r_i (t)表示节点a_i的修复能力，如地震发生后快速的人员救援与转移即为一种防止灾情扩大的政府修复行为，可表示为^[16]：

$ r_{i}(t)=\phi_{i} x_{i}(t), $

(10)

$ x_{i}(t)=\left[1-\exp \left(-\frac{n_{i}(t)}{n_{\text {cro }}}\right)\right] . $

(11)

其中：ϕ_i表示各部门应急管理的最大修复能力；x_i (t) 表示政府修复投入比例，且受到节点自身灾害损失值的影响；n_cro是一个临界灾害值系数，用于调节修复投入比例x_i (t)。

2 结果及分析 2.1 默认参数设置条件下节点的演化规律

为进一步阐明本文所建立的灾害演化模型特征，以及对重要参数进行评估，同时结合图 1的具体案例，考虑一种均质(各灾害节点属性相同)灾害演化网络系统，设定了各参数的初始值：t、Θ_j→i、ω_j→i、tp_j→i、ψ_{i; ISN}、ψ_{i; ESN}、ϕ_i分别为30、40、1、2、1、1、5。将初始事件的发生设定为正态分布N(σ, μ), 其中σ为9，μ为2.5，并将该数值增大1 000倍后作为模拟实验初始值^[16]，并以此对各参量的影响作用进行分析。在默认参数中，t =30对应1个月的天数。Θ_j→i初始值为40，从而保证各节点之间的临界灾害值存在明显的区分，既不会因为阈值太大导致多个节点灾害损失值为0，也不会由于阈值太小导致各节点灾害损失值区分度太低(如图 3、4所示)，并且便于后期进一步分析不同临界灾害值(0、40、80、120、160)对2种灾害演化模式的影响。ω_j→i范围为0~1，取1表示各灾害事件之间具有完全相关性。tp_j→i过小(趋于0)时，表示灾害事件的发展不需要时间，这不符合灾害发展的规律，并且为了便于后期进一步分析不同延迟系数(2、4、6、8)对2种灾害演化模式的影响，设定了tp_j→i初始值为2。为了简化分析过程中的不确定量，ψ_{i; ISN}和ψ_{i; ESN}的默认值均为1，ϕ_i的默认值为5，这些参数的选取参考了前人的工作^[17]。

当父节点灾害损失值满足节点间连接边形成的临界灾害值条件后，由于灾害传递方式的不同，将导致灾害网络整体演化结果差异较大。图 3展示了2种灾害演化模式中节点随时间的演化规律。由于次生灾害的诱发需要父节点灾害损失值累积达到临界灾害值，导致灾害在演化过程中存在明显的延迟效应，因此溢流模式的延迟比溃坝模式的更为明显。例如，在图 3a的溢流模式中，灾害的发展存在明显的延迟现象，不同等级次生灾害节点诱发的时间向后延迟2~4 d，同时节点灾害演化持续时间(指灾害损失值由0开始增长至峰值后，又恢复至初始灾害状态所经历的时间)出现了明显缩短，初始节点a₁灾害持续了15 d，而终灾害事件a₁₃的灾害演化持续时间已降至4 d。在图 3b的溃坝模式中，不同节点对应峰值也向后延迟，但a₃、a₇、a₁₁灾害演化持续时间却均为10 d，明显大于溢流模式对应值，且由于循环链节点的影响，a₁₃灾害损失值降至某一值后(a₁灾害损失值附近)便保持稳定，即该节点灾害演化持续时间更久。因而，溃坝模式中节点的灾害事件演化持续时间更长，更难控制。

初始条件下，2种模式中所有节点灾害损失值的变化规律见图 4。溢流模式中网络各级节点的灾害损失值演化规律整体表现为先增大到一定峰值后便开始降低，且a₁灾害损失峰值最大，与其最接近的a₂、a₃、a₄受到多个父节点的影响，对应的灾害损失峰值有所增大。因此，网络中节点所处的位置和结构将成为影响其灾害演化的重要因素。

而溃坝模式下各节点灾害损失值明显高于溢流模式。一方面，各级节点灾害损失值比a₁的灾害损失值并无显著降低，且a₁₁和a₁₃因为位于集中式演化链，致使其对应的灾害损失值显著大于其余节点对应值，其中，a₁₃的灾害损失峰值754.6比a₁的灾害损失峰值159.7的4倍还多。另一方面，溃坝模式中循环链节点产生的持续性灾害影响也比溢流模式更为严重。因而，在灾害控制过程中，需提早对不同性质的灾害演化方式进行辨识和分析，并结合其具体特征制定正确有效的灾害应对措施。

上述分析表明，不同的灾害演化模式在演化持续时间和灾害损失值2方面均表现出显著的差异。这主要是因为二者致灾机理的不同。本文以2种模式中a₁与a₃之间的灾害传递为例，对演化模式机理进行分析，具体数据见图 5。

根据图 5a，溢流模式的演化机理为：由于灾害节点间连接边是否形成需要通过临界条件判断，这致使灾害损失值较小的父节点灾害无法传递至子节点，因而a₃灾害演化持续时间明显缩短；同时，由于传递至子节点的灾害损失值仅为父节点灾害损失值与临界灾害值的差值，因而子节点灾害损失值小于对应父节点灾害损失值。根据图 5b，溃坝模式的灾害演化机理为：首先，连接边形成的临界条件判断过程也使得溃坝模式中的子节点灾害演化持续时间缩短；但由于该模式中，超过临界灾害值的父节点灾害损失值将全部传递至子节点，因此该模式中灾害网络各节点的灾害损失值远比溢流模式下的更高，且2种模式中位于集中式和循环式演化链中节点的灾害损失值差异更为显著。由上分析可知，同等初始条件下，溃坝模式比溢流模式造成的后果更为严重，更难控制。

2.2 临界灾害值Θ_j→i影响分析

在灾害演化拓扑结构中，所有灾害的传递均需要通过连接边来实现，连接边是否形成，将直接影响到节点事件的灾害损失情况及整个灾害网络各节点的灾害损失值。图 6给出了Θ_j→i由0变化至160(每次增大40)时2种模式中节点a₇灾害损失值的变化情况。溢流模式中，随着Θ_j→i的增大，a₇的灾害损失峰值不断降低，且灾害演化持续时间也显著缩短(由15 d降至6 d，随后又降至0)。其中，当Θ_j→i大于80后，该节点灾害已经不再发生(对应的灾害损失峰值约为0)。由此可知，在此类灾害应对系统中，通过提高子灾害事件发生所需的临界灾害值(如提高承灾载体的防御功能)，可显著地控制灾害事件的灾害损失值及其发生情况。而溃坝模式中节点灾害损失值受Θ_j→i的影响则表现出新特征。当Θ_j→i=0(所有连接边的形成已无条件约束)和Θ_j→i=160(灾害网络初始节点灾害无法向下传递)2个特殊条件下，a₇灾害演化规律与溢流模式中相同。然而，Θ_j→i由0增长至160的过程中，虽然a₇灾害演化持续时间不断降低，但节点灾害损失峰值保持不变，并不能有效地控制灾害所能造成的最大损失。

同时，2种模式中Θ_j→i对不同等级灾害事件演化的影响也存在差异，图 7反映终灾害事件a₁₃灾害损失值随Θ_j→i的变化规律。对比图 6可知，在溢流模式下，当Θ_j→i大于40后，a₁₃的灾害损失峰值由752.58快速减少至58.47，且随后便不再变化，其减小的程度比二级次生灾害事件a₇更为显著；此外，当Θ_j→i取40时，a₁₃灾害演化持续时间也更短。因此，在溢流模式中Θ_j→i对于灾害网络中末端灾害事件的控制影响作用更显著。而在溃坝模式下，Θ_j→i对a₁₃的灾害损失峰值及灾害演化持续时间的影响作用与a₇较为一致，因而该模式中Θ_j→i对于节点的演化影响作用与节点所处灾害等级并无太大关系。从上述分析中可发现一个重要现象，Θ_j→i的大小显著影响着灾害事件的发生情况。此外，模拟得出了2种模式中各个节点灾害无法发生时(灾害损失最大值接近0)所对应的最小连接边临界灾害值，具体数据见图 8。由此可知，溢流模式下，Θ_j→i对处于不同位置的各节点发生的控制作用有所差异。而溃坝模式下，只有当Θ_j→i大于初始节点的灾害损失峰值时，才能阻止网络中所有灾害事件的发生。

2.3 延迟系数tp_j→i影响分析

tp_j→i显著影响一定时间内灾害网络各节点的灾害损失值，对该参数的研究对灾害事件的控制与应急救援意义重大^[16-17]。本文对比分析了不同tp_j→i对所建模型中2种模式的具体影响，并以a₉随tp_j→i的变化规律为例进行说明(见图 9)。

在灾害演化的30 d内，2种模式中处于循环链的a₉随tp_j→i的变化规律存在较大差异。在溢流模式中，随着灾害网络中tp_j→i的不断增大，a₉对应的灾害损失峰值虽无太大变化，但出现的时间依次向后推迟4 d，之后恢复至初始状态。因此，增大tp_j→i可为政府部门在一定时间内的灾害应对争取宝贵时间。

而溃坝模式中a₉的灾害损失值随tp_j→i的变化规律则较为明显；首先，由于二者致灾机理的不同，溃坝模式中a₉对应的灾害损失值远大于溢流模式中对应的数值；此外，灾害演化持续时间10 d也比溢流模式下的6 d更久；再者，当tp_j→i取2时，a₉的灾害损失值在达到峰值后，虽有轻微降低但相对稳定；当tp_j→i取4时，a₉的灾害损失值有所减弱，出现大小相近的两次峰值；而当tp_j→i继续增大时，a₉的灾害损失值在首次达到峰值后便恢复并保持低灾害状态。因而，通过增大溃坝模式中循环链灾害事件的tp_j→i可在一定时间内有效地控制其灾害损失值。另一方面，当tp_j→i取较大值时，2种模式中灾害网络整体各节点灾害损失值明显降低，以tp_j→i=8时为例，来具体分析2种模式下灾害网络的整体发展规律(见图 10)。

由图 10可知，溢流模式下各级节点的灾害损失值依次减小。其中，处于三和四级次生灾害事件节点的灾害演化不再发生，即此时灾害网络整体处于易控状态。而溃坝模式下灾害整体也得到了很好的控制，首先，终灾害事件a₁₃不再发生，且循环链节点的持续性灾害演化行为也得到了很好的控制；但各级节点的灾害损失值明显高于溢流模式对应值。因此，即使显著增大延迟系数，溃坝模式危害性依然较大，较难以控制。

因而，对于2种不同模式，增大灾害传递所需的延迟系数有利于对一定时间内灾害整体各节点灾害损失值的控制，尤其是对终灾害事件节点灾害损失值的控制。此外，增大延迟系数可以有效地降低溃坝模式中循环链节点的持续性灾害影响作用。

3 结论

本文提出了一种基于灾害事件间连接边形成临界条件判断的灾害网络演化模型，同时结合一种均质灾害演化网络系统对灾害演化过程中存在的溢流和溃坝模式进行了对比分析，得出的结论主要如下：

1) 在同等初始条件下，溃坝模式灾害损失值明显高于溢流模式，表现出更难控制的特点。此外，灾害网络中具有较多父节点的特殊节点灾害演化更为显著。因而，在现实灾害管理过程中，对于关键事件的早期预警和防治意义重大。

2) 溢流模式下，由于次生灾害的诱发需要父节点灾害损失值累积达到临界灾害值，因此灾害演化过程存在的延迟比溃坝模式下的更为明显。而溃坝模式下，临界灾害值的增大可以缩短灾害演化持续时间，但很难控制灾害事件最终所能达到的灾害损失峰值，因此应提前做好溃坝模式的辨识和控制，尽量阻断初始灾害事件的传播，进而有效控制该模式下灾害网络的演化发展。

3) 增大灾害延迟系数虽然很难降低最终的灾害损失峰值，但延迟了各个灾害事件发生的时间，从而在一定时间内降低了灾害整体演化的程度，特别是溃坝模式中的循环链灾害事件。因此，增加灾害延迟系数能够有效控制灾害的发展。

值得注意的是，本文分析案例中主要考虑的是均质灾害节点，而实际灾害中各次生灾害往往是异质的，对于以上2种模式在异质灾害演化网络中的差异，需要在下一步研究中进行分析。