故障树分析是一种用于评估系统安全性和可靠性的逻辑图示方法。1961年，美国贝尔实验室首次将其应用于导弹发射控制系统^[1]。随后，美国波音公司将其应用于飞机可靠性设计^[2]。1974年，故障树分析方法在核能领域得到有效应用^[3]，进而迅速推广至电子^[4]、化工^[5]、机械^[6]等行业。目前，故障树分析被公认为是一种简单、有效且非常有前景的安全性和可靠性分析方法。

故障树种类众多，除了最常见的标准故障树之外，动态故障树、相关故障树、可修复故障树和时变故障树等多种不同的故障树被相继提出^[7]。上述故障树方法将各基本事件的发生概率考虑为某一具体的精确值，通过系统失效概率函数得到的顶事件发生概率也是一个具体值，然后根据数值的大小来判断系统的可靠性程度。但是，系统中各组件的失效具有很大的不确定性，这一点在工程实践中尤为明显^[8]。因此，将故障树中各基本事件的发生概率考虑为精确值具有一定的局限性。

在工程应用中，常用随机模型描述不确定性，但其应用的基本前提是存在大量试验统计数据或事件具有可重复性。诸多研究表明^[9-10]，随机模型的微小误差可能引起计算结果的较大偏差，当数据信息缺乏时，随机可靠性方法的计算结果难以令人信服。郭书祥^[11]总结了概率可靠性方法在工程应用中存在的自身难以克服的局限性。基于上述原因，非概率区间模型开始受到广泛关注。

在结构可靠性领域，Ben-Haim^[12]和郭书祥^[11]建立了用于分析结构不确定性的非概率区间方法。但是，由于基于故障树的系统可靠性分析和基于功能函数的结构可靠性分析之间存在较大差异，因此该方法不能有效应用于系统可靠性评估中。同时，对于不同的系统，其安全标准和可靠性要求一般也不同，但是传统的系统可靠性评价指标并没有考虑系统的安全标准和可靠性要求。

针对现有系统可靠性模型和指标的不足，本文将系统中各组件失效概率考虑为非概率区间模型，提出了基于故障树的系统可靠性分析方法。首先，计算得到系统的失效概率区间。其次，提出一种系统非概率可靠性及灵敏度计算方法，用于评估系统的可靠性程度并确定该系统中的重要基本事件。最后，将本文所提出的方法应用于工程实例，考查该方法的可行性和合理性。

1 故障树分析方法回顾 1.1 故障树的数学表达

为了便于对故障树进行定性及定量分析，选择状态函数对故障树进行数学表达^[13]。对于一个包含n个组件的系统，系统失效被认为是顶事件T，各组件失效被认为是基本事件X_i(i=1, 2, …, n)。顶事件T的状态可以表示为

$ \varphi=\varphi(\boldsymbol{x})=\varphi\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right). $

(1)

式中：φ表示顶事件T的状态，x_i表示基本事件X_i(i=1, 2, …, n)的状态，x是包含x₁, x₂, …, x_n的n维向量。

计算故障树顶事件发生概率有2种常用方法^[14]：1) 最小割集法。树结构比较复杂时，该方法的计算量会迅速增加。2) 不交和展开法。该方法将最小割集中的相容事件转化为不相容事件，即把最小割集的相交和化为不交和。具体流程如下：

假设故障树有2个最小割集K₁和K₂，由于K₁和K₂的相交性(即含有1个或几个相同的基本事件)，因此顶事件发生概率不等于最小割集K₁和K₂的发生概率之和，即

$ P(T) \neq P_{\mathrm{r}}\left[K_{1}\right]+P_{\mathrm{r}}\left[K_{1}\right]. $

(2)

但是，可以证明K₁和$\overline{K_{1}} K_{2}$必不相交，即

$ K_{1} \cup K_{2}=K_{1}+\overline{K_{1}} K_{2}. $

(3)

式中$\overline{K_{1}} $表示最小割集K₁的补集。此时，顶事件的发生概率可以表示为

$ P(T)=P_{\mathrm{r}}\left[K_{1}\right]+P_{\mathrm{r}}\left[\overline{K_{1}} K_{2}\right]. $

(4)

当任意3个最小割集K_i、K_j、K_k彼此相交时，可以按照式(5)化为不交和，

$ \begin{array}{c} K_{i} \cup K_{j} \cup K_{k}=K_{i}+\overline{K_{i}}\left(K_{j} \cup K_{k}\right)= \\ K_{i}+\left(\overline{K_{i}} K_{j} \cup \overline{K_{i}} K_{k}\right)= \\ K_{i}+\overline{K_{i}} K_{j}+\overline{\overline{K_{i}} K_{j}} \overline{K_{i}} K_{k}= \\ K_{i}+\overline{K_{i}} K_{j}+\left(\overline{K_{i}} \cup K_{j}\right)\left(\overline{K_{i}} K_{k}\right)= \\ K_{i}+\overline{K_{i}} K_{j}+\overline{K_{i}} \overline{K_{j}} K_{k}. \end{array} $

(5)

此方法可以直接推广到k>3的情况，即

$ \begin{array}{c} \bigcup \limits_{j=1}^{k} K_{j}= \\ K_{1}+\overline{K_{1}}\left(K_{2} \cup K_{3} \cup \cdots \cup K_{k}\right)= \\ K_{1}+\overline{K_{1}} K_{2}+ \\ \overline{\overline{K_{1}} K_{2}}\left(\overline{K_{1}} K_{3} \cup \overline{K_{1}} K_{4} \cup \cdots \cup \overline{K_{1}} K_{k}\right) . \end{array} $

(6)

计算过程中运用Boole运算规则，直到将所有相交和化为不交和为止。

根据上述2种方法，若已知故障树结构及各基本事件发生概率，便可以计算得到系统失效概率。假设各基本事件X₁, X₂, …, X_n的发生概率依次为q₁, q₂, …, q_n，则系统失效概率可以表示为

$ P = f(\mathit{\boldsymbol{q}}) = f({q_1},{q_2}, \cdots ,{q_n}). $

(7)

式中P表示系统的失效概率，即顶事件发生概率。f(·)是关于q₁, q₂, …, q_n的函数，称为系统失效概率函数。

在本文中，由于各基本事件发生概率均为区间值，导致系统失效概率函数表达式比较复杂。在本文节4.1中，将采用化相交和为不交和的方法来推导系统失效概率函数，同时使用MATLAB软件中的优化函数来进行计算。

1.2 基本事件重要度分析

故障树中各基本事件的重要度取决于各部件在系统中所处的位置以及各部件的失效概率。重要度分析对于系统可靠性设计及其优化至关重要，决定了系统重点监测对象的选择以及系统故障诊断计划的制定。

传统的重要度分析包括概率重要度、结构重要度和关键性重要度^[15]。但是，这些指标并没有充分考虑各基本事件的不确定性，因此所得到的重要性排序难以令人信服。在这种情况下，Aven等^[16]结合传统重要度指标和不确定性重要度指标来评估基本事件对系统失效及其不确定性的贡献，但是该方法存在一定缺陷。Youngblood^[17]阐述了不确定基本事件稳健程度的重要性。Baraldi等^[18]和Modarres^[14]讨论了不确定基本事件发生概率对系统失效的影响，同时给出了概率重要度指标的排序方法，但是这种排序首先需要假设系统各部件的位置重要性，因此该方法对各基本事件位置重要性假设的依赖性较大。

2 基于区间模型的非概率可靠性指标

在故障树中，用于描述基本事件发生概率不确定性的相关模型具有一定的局限性，同时现有系统可靠性指标也存在不足。为此，基于非概率区间模型^[11]，考虑系统的安全标准或可靠性要求，本文提出了一种非概率可靠性指标。

假设实数集R中某一闭区间可以表示为

$ Y^{\mathrm{I}}=\left[Y^{\mathrm{L}}, Y^{\mathrm{U}}\right]=\left\{Y: Y \in R \mid Y^{\mathrm{L}} \leqslant Y \leqslant Y^{\mathrm{U}}\right\}. $

(8)

式中：Y是一区间变量，Y^I是一个区间数，Y^L和Y^U分别表示区间的下界和上界。所有此类区间被定义为IR，当Y^I>0和Y^U < 0时分别记为IR⁺和IR^-。

对于某一区间变量Y，令：

$ Y^{\mathrm{C}}=\frac{Y^{\mathrm{U}}+Y^{\mathrm{L}}}{2}, Y^{\mathrm{R}}=\frac{Y^{\mathrm{U}}-Y^{\mathrm{L}}}{2}. $

(9)

则式(10)成立：

$ Y^{\mathrm{L}}=Y^{\mathrm{C}}-Y^{\mathrm{R}}, Y^{\mathrm{U}}=Y^{\mathrm{C}}+Y^{\mathrm{R}}. $

(10)

此时，区间数Y^I和区间变量Y可以表示为

$ Y^{\mathrm{I}}=Y^{\mathrm{C}}+Y^{\mathrm{R}} \varDelta^{\mathrm{I}}, Y=Y^{\mathrm{C}}+Y^{\mathrm{R}} \delta . $

(11)

式中：Δ^I=[－1, 1]称为标准化区间，δ∈Δ^I称为标准化区间变量。显然，所有的区间数Y^I和区间变量Y都可以用一组Y^C和Y^R唯一表示。Y^C和Y^R分别表示区间变量Y的中值和离差。

对于节1.1中的式(7)，将输入变量q₁, q₂, …, q_n考虑为区间变量，即

$ q_{i} \in\left[q_{i}^{\mathrm{L}}, q_{i}^{\mathrm{U}}\right](i=1,2, \cdots, n). $

(12)

式中：q_i^L和q_i^U分别表示区间变量q_i的下界和上界。由于q_i表示基本事件的发生概率，故0≤q_i^L≤q_i≤q_i^U≤1。此时，区间变量q_i的中值和离差分别为：

$ q_{i}^{\mathrm{C}}=\frac{q_{i}^{\mathrm{U}}+q_{i}^{\mathrm{L}}}{2}, q_{i}^{\mathrm{R}}=\frac{q_{i}^{\mathrm{U}}-q_{i}^{\mathrm{L}}}{2}. $

(13)

显然，f(·)是关于区间变量q_i的连续函数，因此系统失效概率P也是一个区间变量，表示为[P^L, P^U]，其中值P^C和离差P^R分别为：

$ P^{\mathrm{C}}=\frac{P^{\mathrm{U}}+P^{\mathrm{L}}}{2}, P^{\mathrm{R}}=\frac{P^{\mathrm{U}}-P^{\mathrm{L}}}{2}. $

(14)

对于某一特定系统，假定其安全标准或可靠性要求为P⁰，即该系统失效概率不得高于P⁰。此时，定义非概率可靠性指标R为

$ R = \frac{{{P^0} - {P^{\rm{C}}}}}{{{P^{\rm{R}}}}}. $

(15)

如图 1所示，P⁰将整个概率区间分割为接受域和拒绝域。此时，对于非概率可靠性指标R，存在3种情况，具体讨论如下：

1) 若R>1，即P^U < P⁰，则系统失效概率区间落在接受域，即系统失效概率的所有可能取值都小于P⁰。此时，认为系统的可靠性程度满足要求。同时，R越大，系统的可靠性程度越高。

2) 若－1≤R≤1，即P^L≤P⁰≤P^U，则系统失效概率区间各有部分分别落在接受域和拒绝域，即系统失效概率有可能大于P⁰，也有可能小于或等于P⁰。此时，不能确保系统一定可靠。这种情况下，需要采取措施改进系统结构设计或降低系统相关部件的失效概率，从而提高系统可靠性。

3) 若R < -1，即P^L>P⁰，则系统失效概率区间落在拒绝域，即系统失效概率的所有可能取值都大于P⁰。此时，认为系统的可靠性程度不满足要求，系统必然会发生失效。

3 基于非概率可靠性的灵敏度分析

基于概率模型的可靠性灵敏度的定义为基本变量分布参数的变化引起可靠性指标变化的比率，反映了基本变量分布参数对系统失效概率或可靠度的影响程度^[15]。在数学上，可靠性灵敏度用可靠性指标对基本变量分布参数的偏导数来表达。

在本文中，可靠性灵敏度被定义为非概率可靠性指标R对各基本事件失效概率区间参数q_i^C(i=1, 2, …, n)和q_i^R(i=1, 2, …, n)的偏导数，由式(7)和式(13)、(14)可知，中值P^C和离差P^R是关于各基本事件失效概率区间参数q_i^C(i=1, 2, …, n)和q_i^R(i=1, 2, …, n)的函数：

$ {P^{\rm{C}}} = {h_1}(q_i^{\rm{C}},q_i^{\rm{R}}), $

(16)

$ P^{\mathrm{R}}=h_{2}\left(q_{i}^{\mathrm{C}}, q_{i}^{\mathrm{R}}\right). $

(17)

由式(15)—(17)，利用复合函数求导法则，得到可靠性灵敏度表达式：

$ \frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{C}}}=\frac{\partial R}{\partial P^{\mathrm{C}}} \cdot \frac{\partial P^{\mathrm{C}}}{\partial q_{i}^{\mathrm{C}}}+\frac{\partial R}{\partial P^{\mathrm{R}}} \cdot \frac{\partial P^{\mathrm{R}}}{\partial q_{i}^{\mathrm{C}}}, $

(18)

$ \frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{R}}}=\frac{\partial R}{\partial P^{\mathrm{C}}} \cdot \frac{\partial P^{\mathrm{C}}}{\partial q_{i}^{\mathrm{R}}}+\frac{\partial R}{\partial P^{\mathrm{R}}} \cdot \frac{\partial P^{\mathrm{R}}}{\partial q_{i}^{\mathrm{R}}}. $

(19)

其中$\frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{C}}}$表示第i(i=1, 2, …, n)个基本变量的中值q_i^C在特定系统状态下对非概率可靠性指标R的影响程度。同样，$\frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{R}}}$表示第i(i=1, 2, …, n)个基本变量的离差q_i^R在特定系统状态下对非概率可靠性指标R的影响程度。由于故障树运算中逻辑运算的复杂性以及区间运算的引入，得到函数h₁和h₂的具体表达式较为困难，因此本文采用一阶差分方法来求解$\frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{C}}} \text { 和 } \frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{R}}}$。

相比节1中所提及的传统重要度指标，可靠性灵敏度指标R不仅考虑了各组件在系统中所处位置对系统失效的影响，同时考虑了各组件失效概率对系统失效的影响，可以认为R是一种混合重要度指标。

4 某型飞机襟翼机构可靠性分析

襟翼机构在飞机起飞及着陆过程中至关重要，其可靠性直接影响着整个飞机的安全性^[19]。数据显示^[19]，飞机襟翼机构功能失效事件常有发生，涉及的机型包括Boeing 737-300/500、Boeing 747、BAE146、Boeing 767等。根据Pareto法则^[20]，系统中80%的失效风险是由20%的系统组件失效引起的。使用有效的可靠性分析方法对飞机襟翼机构进行可靠性分析及优化，不仅可以提高飞机整体可靠性，而且大大降低了设计及维修费用。因此，对飞机襟翼机构进行可靠性分析及研究意义重大。下面将综合考虑$\frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{C}}} \text { 和 } \frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{R}}}$，对某型飞机单侧襟翼机构不对称运动故障树中各基本事件的重要性进行评价，从而筛选出对系统失效影响较大的基本事件，为襟翼系统进一步的可靠性优化提供指导。

4.1 飞机襟翼机构故障树

飞机襟翼不对称运动会造成非常严重的飞行事故，襟翼不对称运动故障涉及的系统和零部件较多，分析过程比较复杂。襟翼不对称运动可能会出现以下2种情况^[19]：1) 左侧襟翼机构正常，右侧襟翼机构发生故障；2) 右侧襟翼机构正常，左侧襟翼机构发生故障。飞机的左右襟翼机构完全对称，为了降低故障树的复杂程度，将某型飞机的“单侧襟翼不对称运动”考虑为顶事件。其传动机构和控制系统的连接关系如下：内襟翼由1号、2号襟翼作动器驱动，同时1号、2号襟翼未设置用于监控内襟翼倾斜角度的襟翼倾斜传感器，即不能单独监控内襟翼的倾斜角度；外襟翼由3号、4号襟翼作动器驱动，对3号、4号襟翼作动器分别设置了襟翼倾斜传感器，即可以单独监控外襟翼的倾斜角度。在襟翼传动机构最外侧的扭力管组件处安装有襟翼位置传感器(左右各1个)，用于监控单侧襟翼的位置。襟翼位置控制装置属于冗余设计，由1号、2号襟翼控制单元构成，控制系统能隔离控制单元的故障信号，转而由正常的襟翼控制装置进行控制。该型飞机的襟翼控制装置接收各传感器的监控信号，如果襟翼控制装置监控到系统发生倾斜，则可以通过动力驱动装置停止襟翼运动，将襟翼倾斜角度控制在安全范围内。

该型飞机单侧襟翼不对称运动故障树如图 2所示^[19]。图中：T表示顶事件，M_i(i=1, 2, …, 8)表示中间事件，X_i(i=1, 2, …, 12)表示各基本事件。各事件的详细介绍见表 1^[19]。

将各基本事件的发生概率考虑为区间变量，其下界、上界、中值和离差分别列于表 2中(表中数据仅供参考)。

根据节1.1中所介绍的不交和展开法，可以得到系统失效概率表达式为

$ \begin{array}{c} P=q_{6}+q_{7}+q_{1} q_{2} q_{3}+q_{1} q_{2}\left(1-q_{3}\right) q_{4}+q_{1} q_{2} \cdot \\ \left(1-q_{3}\right)\left(1-q_{4}\right) q_{5}+q_{1} q_{2}\left(1-q_{3}\right)\left(1-q_{4}\right) \cdot \\ \left(1-q_{5}\right) q_{8}+q_{1} q_{2}\left(1-q_{3}\right)\left(1-q_{4}\right)\left(1-q_{5}\right) \cdot \\ \left(1-q_{8}\right) q_{9}+q_{1} q_{2}\left(1-q_{3}\right)\left(1-q_{4}\right)\left(1-q_{5}\right) \cdot \\ \left(1-q_{8}\right)\left(1-q_{9}\right) q_{10}+q_{1} q_{2}\left(1-q_{3}\right)\left(1-q_{4}\right) \cdot \\ \left(1-q_{5}\right)\left(1-q_{6}\right)\left(1-q_{7}\right)\left(1-q_{8}\right)\left(1-q_{9}\right) \cdot \\ \left(1-q_{10}\right) q_{11}+q_{1} q_{2}\left(1-q_{3}\right)\left(1-q_{4}\right)\left(1-q_{5}\right) \cdot \\ \left(1-q_{6}\right)\left(1-q_{7}\right)\left(1-q_{8}\right)\left(1-q_{9}\right)\left(1-q_{10}\right) \cdot \\ \left(1-q_{11}\right) q_{12} . \end{array} $

(20)

4.2 飞机襟翼机构可靠性及其灵敏度分析

在本文中，假设该型飞机单侧襟翼机构不对称运动的安全标准或可靠性要求P⁰为5×10^-5，即该型飞机单侧襟翼机构不对称运动发生概率不得大于5×10^-5。由于式(16)中系统失效概率表达式较为复杂，同时区间运算的计算量较大，因此借助MATLAB的序列二次规划工具箱进行求解，计算流程如图 3所示。

根据图 3所述流程，计算得到

$ \left\{\begin{array}{l} P^{\mathrm{C}}=1.979 \times 10^{-5} \\ P^{\mathrm{R}}=2.435 \times 10^{-5} \end{array} \Rightarrow R=5.627\right. $

(21)

由计算结果可以判断，系统处于可靠状态。为进一步减小系统失效概率不确定性并提高系统可靠性程度，需要对系统作进一步优化。为此，根据节3方法，利用MATLAB编程实现非概率可靠性灵敏度的计算，结果见表 3。

表 3中结果均为负值，表明各基本变量中值q_i^C和离差q_i^R与系统可靠度指标R成反比关系，即如果想要提高系统可靠度，需要减小基本变量中值q_i^C和离差q_i^R，这与实际情况相符合。$\frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{C}}} \text { 和 } \frac{\partial R}{\partial q_{i}^{\mathrm{R}}}$的计算结果对比如图 4所示。

4.3 结果讨论

由节4.2的分析结果可以看出：飞机单侧襟翼机构的非概率可靠性指标R>1，表明该型飞机单侧襟翼系统发生不对称运动失效的不确定性可以接受或可以被允许。此时，有理由认为该型飞机单侧襟翼系统是可靠的或满足设计要求的。根据各基本事件在给定状态下的局部可靠性灵敏度计算结果，基于各基本变量的中值q_i^C，所有基本事件可以被分为4组，{X₁₁，X₁₂}对系统非概率可靠性影响最为显著，{X₆，X₇}其次，然后是{X₃，X₈}，剩余{X₁，X₂，X₄，X₅，X₉，X₁₀}对系统非概率可靠性影响较小。基于各基本变量的离差q_i^R，所有基本事件同样可以被分为4组，{X₇，X₁₁，X₁₂}对系统非概率可靠性影响最为显著，{X₆}其次，然后是{X₈}，剩余{X₁，X₂，X₃，X₄，X₅，X₉，X₁₀}对系统非概率可靠性影响较小。

综合以上分析结果可以发现，在所给定的状态下，若要降低飞机单侧襟翼不对称运动失效的发生概率，应重点关注3、4号襟翼作动器翼弦方向传动故障不能驱动外襟翼运动，其次应该关注1、2号襟翼作动器翼弦方向传动故障，同时也应关注2号襟翼作动器翼展方向传动故障不能带动其外侧扭力管运动。基于以上判断，可以采取进一步措施，例如设计优化、实验研究和专家评估等，一方面有针对性地降低对系统可靠性影响显著的基本事件的发生概率，另一方面有针对性地缩小其发生概率区间，即减小基本事件的不确定性，最终达到进一步提高系统可靠性的目的。

5 结论

本文考虑了所研究系统的安全标准或可靠性要求，提出一种非概率可靠性指标，用于评估系统可靠性程度。针对传统故障树重要性分析方法的不足，提出了基于非概率可靠性的灵敏度指标，该指标综合考虑了系统各组件的结构重要性及各组件失效的概率重要性。最后，将所提方法应用于某型飞机单侧襟翼不对称运动故障树分析中，验证了所提方法的可行性。通过本文工作可以得出以下结论：

1) 所提系统非概率可靠性指标R反映了系统失效概率不确定性的可接受程度。当基本事件发生概率用非概率区间模型描述时，该指标可以合理地评估系统的可靠性程度。

2) 所提可靠性灵敏度指标可以有效地识别给定状态下对系统可靠性影响较大的基本事件，从而为系统可靠性优化和机构故障维修提供指导。

3) 根据某型飞机单侧襟翼不对称运动的故障树分析结果，所提方法可以合理地评估系统可靠性并有效计算各基本事件的可靠性灵敏度，在工程实践中具有可行性。