磁耦合谐振式无线电能传输(wireless power transfer，WPT)技术可实现电能传输过程中，发射、接收端装置在电气层面的隔离，有助于大幅提高电力传输过程的安全性、可靠性和灵活性。因此，该技术近年来在消费电子^[1-4]、生物医药^[5-6]、电气化交通^[7-11]等领域受到了越来越广泛的关注。作为WPT系统的一种典型结构，多接收端WPT系统的使用可有效减轻单个接收端的散热、绝缘压力和接收端变换器功率半导体器件的选型难度^[7]，提高供电的灵活性^[1]，并提升系统的总体效率^[12]，在电动汽车动态充电^[13-14]、轨道交通供电^[15]等大功率、动态充电、多负载场合具有较大的应用潜力。目前，针对多接收端WPT系统的研究主要有：1) 基本理论和稳态性能研究，包括稳态阻抗特性^[16]、谐振原理^[17]和频率分裂^[18]等；2) 以提高系统效率为目标的系统参数^[14]、工况^[19]、负载特性^[20]的优化设计；3) 系统控制策略，包括功率传输定向控制^[21]和效率优化控制^[22]等。

大容量、动态充电的WPT应用场合对装置的散热、绝缘要求较高，运行过程存在工况参数快速切换的情况，这对系统动态过程中超调、响应速度等性能提出了更高的要求。然而，现有研究缺乏对多接收WPT系统的动态模型、动态性能的描述和评估；在参数设计、控制系统设计中也未充分考虑其对系统动态性能的影响。

由于谐振式WPT系统包含了交流、直流，线性、非线性等多种性质的组成部分，传统电力电子系统动态建模所采用的状态平均法^[23]难以在WPT系统中应用。文[24]使用广义状态空间平均(generalized state space averaging，GSSA)和拓展描述函数(extended describing function，EDF)两种方法共同建立了单接收、串联-串联(series-series, S-S)谐振拓扑的WPT系统动态模型并进行了准确性验证。根据文[24]，GSSA和EDF方法分别用于WPT系统谐振电路和高频变换器的建模，两者都对系统高频交流变量进行了开关周期尺度下的平均化，且仅考虑交流量的基频成分，本质上描述的是高频交流量的包络特性，这样处理便于建立系统统一的状态空间模型，可用于进行动态特性分析和控制系统设计。然而，由于磁耦合谐振式WPT系统开关频率远高于控制频率，上述平均化模型的精度足够满足进行控制系统分析和控制器设计的需求。文[25]则在分别推导电感-电容-电感(LCL)-S谐振拓扑的单接收端WPT系统和接收端Buck变换器的动态模型基础上，分析接收端直流-直流(DC-DC)变换器控制的WPT系统稳定性问题，并基于能量平衡控制思想提出了改善系统动态性能、提高系统稳定性的方法。此控制方法通过优化接收端DC-DC变换器的小信号阻抗特性，有效地提升了系统动态性能。然而，如何通过优化WPT系统本体的参数来进一步提高系统动态性能，并未得到足够的关注和研究。

本文的研究建立在文[25]的基础上，首先基于模块化思想，建立易拓展的n接收端WPT系统动态模型。然后，推导在文[25]提出的控制方法下，LCL-S谐振拓扑的多接收端WPT系统各项稳、动态性能指标受系统参数的影响规律。接下来，提出了一种兼顾系统稳、动态性能的多目标参数优化方法。最后，通过设计仿真和实验，对所提出的模型和优化方法的准确性、有效性进行了验证。

1 多接收端WPT系统及其动态模型推导 1.1 系统描述和各重要物理量的定义

本文对一类多接收端WPT的典型拓扑——LCL-S谐振拓扑的接收端DC-DC变换器控制的多接收端WPT系统进行分析研究，该系统各部分拓扑如图 1所示。图 1标出的系统参数中：L_f表示发射端补偿电感，L_p、L_si分别表示发射端、第i个接收端的自感，C_p、C_si分别表示发射端、第i个接收端补偿电容，R_p、R_si分别表示发射端、第i个接收端线圈电阻，M_i表示发射端和第i个接收端之间的互感，M_ij表示第i、j个接收端之间的互感，C_f表示接收端直流母线电容，L_B表示接收端Buck变换器输出滤波电感。该系统发射端使用电力电子变换器进行高频逆变，通过LCL-S补偿网络进行无功补偿和带通滤波，在耦合线圈中形成稳定的谐振电流，实现能量的磁耦合谐振式无线传输。各接收端对线圈电流进行二极管整流后，为直流母线电容C_f提供稳定电压。本文选取LCL-S谐振拓扑的WPT系统进行分析，是因为LCL-S谐振拓扑具有功率因数高、输出端口具有电压源特性、便于功率控制等优点，适用于大容量、多接收端WPT系统^[25]。同时，本文的思想和方法具有通用性，易于拓展到其他拓扑的WPT系统。

如图 1所示，为提高系统的功率密度，降低控制复杂度，本文分析的系统采用与文[15]提出的高速铁路WPT实验样机相同的接收模块并联结构。为保证系统各接收模块的对称、稳定运行，将发射端、接收端互感应设计为相同值，接收端之间互感应具有对称特性。

在下文推导之前，设定以下近似条件：1) 发射端高频逆变器采用移相控制，仅考虑其输出端口特性，近似看作交流电压源；2) 由于使用软磁材料，耦合线圈的磁化曲线近似为线性，可使用固定的自感、互感参数进行描述；3) 忽略耦合线圈的铁耗，其铜耗使用集总的电阻参数(R_p、R_si)进行描述；4) 忽略高频逆变器、二极管整流桥的开关损耗，根据谐振网络的选频特性，忽略LCL-S补偿网络和耦合线圈中电压、电流等物理量的高次谐波(仅考虑与高频逆变器开关频率相同的频率成分)。

1.2 动态模型推导

本节根据GSSA和EDF动态建模方法，推导图 1所示的WPT系统中，高频谐振部分(包括补偿网络、耦合线圈和高频整流器)的动态模型。由于接收端DC-DC变换器的状态空间等效动态模型已经得到充分的研究和应用，本文对这部分的动态模型推导不再赘述。基于模块化的建模思想，本文的动态模型可保证不同接收端数量下的模型拓展性，便于研究接收端数量对系统特性的影响。

根据电路定理，可推导系统的微分方程组为

$ \left\{\begin{array}{l} L_{\mathrm{f}} \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{f}}}{\mathrm{d} t}=u_{\mathrm{p}}-u_{\mathrm{cp}}, \\ C_{\mathrm{p}} \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{cp}}}{\mathrm{d} t}=i_{\mathrm{f}}-i_{\mathrm{p}}, \\ L_{\mathrm{p}} \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} t}-\sum\limits_{i=1}^{n} M_{i} \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{s} i}}{\mathrm{~d} t}=u_{\mathrm{cp}}-R_{\mathrm{p}} i_{\mathrm{p}}, \\ -M_{i} \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} t}+L_{\mathrm{s} i} \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{s} i}}{\mathrm{~d} t}+\sum\limits_{j \neq i} M_{i j} \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{s} j}}{\mathrm{~d} t}= \\ \ \ \ \ \ \ -R_{\mathrm{s}i} i_{\mathrm{s} i}-u_{\mathrm{cs}i}-u_{\mathrm{s} i} \quad(i=1,2, \cdots, n), \\ C_{\mathrm{s} i} \frac{\mathrm{d} u_{\mathrm{cs} i}}{\mathrm{~d} t}=i_{\mathrm{s} i} \quad(i=1,2, \cdots, n) . \end{array}\right. $

(1)

其中：u_p表示发射端高频逆变器输出电压，u_cp、u_csi分别表示C_p、C_si两端电压，i_f表示通过L_f的电流，u_si表示第i个接收端的整流桥交流侧电压，u_cf表示接收端直流母线电压，i_p、i_si分别表示发射端、第i个接收端线圈电流，i_ri表示第i个接收端的整流桥直流侧电流。选取式(1)中各电容电压、电感电流共2n+3个变量组成状态变量向量x，选取高频逆变器输出电压u_p、各接收端整流桥输入电压u_si(i=1, 2, …, n)作为输入变量，则系统补偿网络和磁耦合机构部分状态方程可表示为

$ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{A}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{u}_{\mathrm{s}}+\boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{e}_{2 n+3_{-} 1} u_{\mathrm{p}} . $

(2)

其中：向量e_{m_k}表示第k元素为1、其余元素均为0的m阶列向量。状态变量向量x和由各接收端高频整流桥输入电压构成的输入变量向量u_s可分别表示为：

$ \boldsymbol{x}=\left[i_{\mathrm{f}}, u_{\mathrm{cf}}, i_{\mathrm{p}}, i_{\mathrm{sl}}, u_{\mathrm{csl}}, i_{\mathrm{s} 2}, u_{\mathrm{cs} 2}, \cdots, i_{\mathrm{s}n}, u_{\mathrm{cs}n}\right]^{\mathrm{T}} \text {. } $

(3)

$ \boldsymbol{u}_{\mathrm{s}}=\left[u_{\mathrm{s} 1}, u_{\mathrm{s} 2}, \cdots, u_{\mathrm{s} n}\right]^{\mathrm{T}}. $

(4)

基于模块化思想，接收端个数为n时，式(2)中各参数可分别用分块矩阵的形式表示为

$ \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}=\left[\begin{array}{ccccc} L_{\mathrm{f}} & & & & & \\ & \boldsymbol{A}_{\mathrm{pp}} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M 1} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M{n}} \\ & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}M1}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}L 1} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M 12} & \cdots & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M 1 n} \\ & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M 2}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M 21} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} L 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M 2 n} \\ &\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M n}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M{n} 1} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M{n} 2} & \cdots & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}L n} \end{array}\right] . $

(5)

$ \boldsymbol{A}_{\mathrm{s}}=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & -1 & & & & \\ 1 & 0 & -1 & & \cdots & \\ & 1 & -R_{\mathrm{p}} & & \cdots & \\ & & & \boldsymbol{A}_{\mathrm{s} R 1} & \cdots & \\ & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ & & & & \cdots & \boldsymbol{A}_{\mathrm{s} R n} \end{array}\right] . $

(6)

$ \boldsymbol{A}_{\mathrm{pp}}=\left[\begin{array}{cc} C_{\mathrm{p}} & \\ & L_{\mathrm{p}} \end{array}\right] . $

(7)

$ \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}=\left[\boldsymbol{e}_{2 n+3\_4}, \boldsymbol{e}_{2 n+3\_6}, \cdots, \boldsymbol{e}_{2 n+3\_2 n+2}\right]. $

(8)

参数矩阵表达式(5)、(6)中，各分块子矩阵可根据系统参数表示为以下二阶矩阵，

$ \left\{\begin{array}{l} \begin{aligned} &\boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M {i}}=\left[\begin{array}{l} &&\\ -M_{i}& \end{array}\right], \\ &\boldsymbol{A}_{\mathrm{p} M{i} j}=\left[\begin{array}{l} M_{i j}&\\ && \end{array}\right], \end{aligned}\\ \begin{aligned} &\boldsymbol{A}_{\mathrm{p} L{i}}=\left[\begin{array}{cc} L_{\mathrm{s}i} & \\ & C_{\mathrm{s} i} \end{array}\right], \\ &\boldsymbol{A}_{\mathrm{s} R i}=\left[\begin{array}{rr} -R_{\mathrm{s} i} & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right], \end{aligned}\\ \end{array}\right. \ \ \ i, j=1,2, \cdots, n ; i \neq j. $

(9)

对于各接收端的二极管整流桥，根据二极管的正向导通特性，可得电路方程为

$ u_{\mathrm{s} i}=\operatorname{sign}\left(i_{\mathrm{s} i}\right) \cdot u_{\mathrm{cf}i} \quad(i=1,2, \cdots, n). $

(10)

式(10)中sign()表示符号函数。高频整流器为非线性环节。为便于使用控制理论进行系统动态性能分析，本文使用GSSA和EDF方法构建统一的系统线性动态模型。根据GSSA理论，仅考虑谐振电路中状态变量的基频分量，可将系统状态变量表示为

$ \boldsymbol{x}=\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\sin } \sin \omega t+\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\cos } \cos \omega t. $

(11)

其中：〈x〉_sin和〈x〉_cos分别表示x的正弦、余弦分量，两者共同决定x的幅值、相位信息。根据Fourier展开，可分别得到〈x〉_sin和〈x〉_cos的平均化表达式为

$ \left\{\begin{array}{l} \langle\boldsymbol{x}\rangle_{\mathrm{sin}}(t)=\frac{\omega}{k {\rm{ \mathsf{ π} }}} \int_{0}^{2 k {\rm{ \mathsf{ π} }} / \omega} \boldsymbol{x}(t-2 {\rm{ \mathsf{ π} }} / \omega+s) \sin \omega s \cdot \mathrm{d} s, \\ \langle\boldsymbol{x}\rangle_{\cos }(t)=\frac{\omega}{k {\rm{ \mathsf{ π} }}} \int_{0}^{2 k {\rm{ \mathsf{ π} }} / \omega} \boldsymbol{x}(t-2 {\rm{ \mathsf{ π} }} / \omega+s) \cos \omega s \cdot \mathrm{d} s . \end{array}\right. $

(12)

其中s为Laplace变换下的复变量。用〈x〉_sin和〈x〉_cos表示x，实现了交流量向直流量的转化，有利于系统变量、方程形式的统一。对式(11)等号两边求导，可得状态变量x导数的GSSA表达式为

$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{x}}{\mathrm{d} t} &=\left[\frac{\mathrm{d}\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\sin }}{\mathrm{d} t}-\omega\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\cos }\right] \sin \omega t+\\ &\left[\omega\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\sin }+\frac{\mathrm{d}\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\cos }}{\mathrm{d} t}\right] \cos \omega t. \end{aligned} $

(13)

可知，式(12)描述的系统状态方程中，各状态变量、输入变量均为谐振电路的电压、电流量，将它们全体表示为GSSA形式，并令等号两端正弦、余弦函数的系数分别平衡，可得系统在GSSA描述下的状态方程(E_k表示k阶单位阵)为

$ \begin{gathered} {\left[\begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\mathrm{sin}}}{\mathrm{d} t} \\ \frac{\mathrm{d}\langle\boldsymbol{x}\rangle_{\cos }}{\mathrm{d} t} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{A}_{\mathrm{s}} & \omega \boldsymbol{E}_{2 n+3} \\ -\omega \boldsymbol{E}_{2 n+3} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{A}_{\mathrm{s}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \langle\boldsymbol{x}\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \langle\boldsymbol{x}\rangle_{\mathrm{cos}} \end{array}\right]+} \\ {\left[\begin{array}{cc} -\boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} & \\ & -\boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \left\langle\boldsymbol{u}_{\mathrm{s}}\right\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \left\langle\boldsymbol{u}_{\mathrm{s}}\right\rangle_{\cos } \end{array}\right]+} \\ {\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{e}_{2 n+3_{-} 1} & \\ & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{e}_{2 n+3_{-} 1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \left\langle u_{\mathrm{p}}\right\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \left\langle u_{\mathrm{p}}\right\rangle_{\cos } \end{array}\right] .} \end{gathered} $

(14)

其中：符号〈a〉_sin、〈a〉_cos分别表示GSSA下向量a中每一元素的正弦、余弦分量构成的向量。由式(14)可知，在系统的GSSA描述下，〈x〉_sin、〈x〉_cos成为新的状态变量，〈u_s〉_sin、〈u_s〉_cos、〈u_p〉_sin、〈u_p〉_cos成为新的输入变量，系统保持线性，阶数变为之前的2倍(即4n+6)。

下面在上文建立的系统谐振电路GSSA模型的基础上，推导二极管高频整流桥的EDF线性模型。EDF方法的基本原理在于对多输入、多输出非线性环节，仅考虑其对输入、输出交流变量基频成分的影响，可将式(10)表示为

$ \begin{array}{c} \left\{\begin{aligned} u_{\mathrm{s}i}=& \frac{4\left\langle i_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\sin } u_{\mathrm{cf}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }} \sqrt{\left\langle i_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle i_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\cos }^{2}}} \sin \omega t+\\ & \frac{4\left\langle i_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\cos } u_{\mathrm{cf}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }} \sqrt{\left\langle i_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle i_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{cos}}^{2}}} \cos \omega t, \\ i_{\mathrm{r} i}=&\frac{2}{{\rm{ \mathsf{ π} }}} \sqrt{\left\langle i_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle i_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{cos}}^{2}} , \end{aligned}\right.\\ i=1,2, \cdots, n . \end{array} $

(15)

对于变量a，用A表示其稳态值(若a为交流量则表示其稳态幅值)，用â表示其小信号值。式(15)仍包含非线性成分，因此在系统静态工作点附近对式(15)进行小信号线性化处理，

$ \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{l} \left\langle\hat{u}_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \left\langle\hat{u}_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\cos } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} Z_{\mathrm{ss}\_{i}} & Z_{\mathrm{sc}\_{i}} \\ Z_{\mathrm{sc}\_i} & Z_{\mathrm{cc}\_i} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \left\langle\hat{i}_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \left\langle\hat{i}_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{cos}} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} g_{\mathrm{s}_{-} i} \\ g_{\mathrm{c}_{-} i} \end{array}\right] \hat{u}_{\mathrm{cf}},} \\ \hat{i}_{\mathrm{r}i}=\frac{1}{2}\left(g_{\mathrm{s}\_i}\left\langle\hat{i}_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}+g_{\mathrm{c}\_i}\left\langle\hat{i}_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\cos }\right), i=1,2, \cdots, n. \end{array}\right. $

(16)

其中：

$ \begin{array}{c} \left\{\begin{array}{l} Z_{\mathrm{ss}\_i}=\frac{4\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{cos}}^{2} U_{\mathrm{cf}i}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{cos}}^{2}\right)^{3 / 2}}, \\ Z_{\mathrm{sc}\_i}=-\frac{4\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{cos}} U_{\mathrm{cf}i}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\cos }^{2}\right)^{3 / 2}}, \\ Z_{\mathrm{cc}\_i}=\frac{4\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2} U_{\mathrm{cf}i}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\cos }^{2}\right)^{3 / 2}} , \end{array}\right.\\ i=1,2, \cdots, n . \end{array} $

(17)

$ \begin{array}{c} &\left\{\begin{array}{l} g_{\mathrm{s}\_i}=\frac{4\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{cos}}^{2}\right)^{1 / 2}} ,\\ g_{\mathrm{c}\_i}=\frac{4\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{cos}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}\left(\left\langle I_{\mathrm{s} i}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle I_{\mathrm{s}i}\right\rangle_{\mathrm{cos}}^{2}\right)^{1 / 2}}, \end{array}\right.\\ &i=1,2, \cdots, n. \end{array} $

(18)

定义接收端直流母线的总输入电流i_r为高频谐振部分的系统输出变量，则系统输出方程可表示为

$ \hat{i}_{\mathrm{r}}=\sum\limits_{i=1}^{n} \hat{i}_{\mathrm{r} i}=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{4}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{g}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{g}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\cos } \end{array}\right] . $

(19)

其中，

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{g}_{\mathrm{s}}=\left[g_{\mathrm{s}\_1}, g_{\mathrm{s}\_2}, \cdots, g_{\mathrm{s}\_n}\right]^{\mathrm{T}}, \\ \boldsymbol{g}_{\mathrm{c}}=\left[\begin{array}{lll} g_{\mathrm{c}\_1}, g_{\mathrm{c}\_2}, \cdots, g_{\mathrm{c}\_n} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. \end{array}\right. $

(20)

同理，将式(14)表示的线性方程写作小信号形式，并与式(16)联立，可得系统高频谐振部分整体的小信号状态空间模型为

$ \left\{\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} \mathrm{d}\langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\mathrm{sin}} / \mathrm{d} t \\ \mathrm{~d}\langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\cos } / \mathrm{d} t \end{array}\right]=\boldsymbol{A}\left[\begin{array}{c} \langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\cos } \end{array}\right]+\boldsymbol{B}_{1} \hat{u}_{\mathrm{cf}}+\boldsymbol{B}_{2}\left[\begin{array}{c} \left\langle\hat{u}_{\mathrm{p}}\right\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \left\langle\hat{u}_{\mathrm{p}}\right\rangle_{\cos } \end{array}\right],} \\ \hat{i}_{\mathrm{r}}=\boldsymbol{C}\left[\begin{array}{l} \langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \langle\hat{\boldsymbol{x}}\rangle_{\mathrm{cos}} \end{array}\right] . \end{array}\right. $

(21)

其中各参数矩阵的表达式分别为：

$ \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1}\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{s}}-\boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{Z}_{\mathrm{ss}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}\right) & \omega \boldsymbol{E}_{2 n+3}-\boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{Z}_{\mathrm{sc}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \\ -\omega \boldsymbol{E}_{2 n+3}-\boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{Z}_{\mathrm{sc}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1}\left(\boldsymbol{A}_{\mathrm{s}}-\boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{Z}_{\mathrm{cc}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}\right) \end{array}\right]. $

(22)

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{Z}_{\mathrm{ss}}=\operatorname{diag}\left(Z_{\mathrm{ss}\_1}, Z_{\mathrm{ss}\_2}, \cdots, Z_{\mathrm{ss}\_n}\right), \\ \boldsymbol{Z}_{\mathrm{sc}}=\operatorname{diag}\left(Z_{\mathrm{sc}\_1}, Z_{\mathrm{sc}\_2}, \cdots, Z_{\mathrm{sc}\_n}\right), \\ \boldsymbol{Z}_{\mathrm{cc}}=\operatorname{diag}\left(Z_{\mathrm{cc}\_1}, Z_{\mathrm{cc}\_2} , \cdots, Z_{\mathrm{cc}\_n}\right). \end{array}\right. $

(23)

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{B}_{1}=-\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{g}_{\mathrm{s}} \\ \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}} \boldsymbol{g}_{\mathrm{c}} \end{array}\right], \\ \boldsymbol{B}_{2}=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{e}_{2 n+3\_1} & \\ & \boldsymbol{A}_{\mathrm{p}}^{-1} \boldsymbol{e}_{2 n+3\_1} \end{array}\right] . \end{array}\right. $

(24)

$ \boldsymbol{C}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{g}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{g}_{\mathrm{c}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]. $

(25)

对于式(21)描述的系统，其特征多项式p_A(s)可表示为

$ p_{\boldsymbol{A}}(s)=\left|s \boldsymbol{E}_{4 n+6}-\boldsymbol{A}\right|. $

(26)

根据对系统输入、输出量的定义，可推导系统高频谐振部分等效小信号输出导纳Y_WPT(s) 的s域表达式为

$ Y_{\mathrm{WPT}}(s)=-\frac{\hat{i}_{\mathrm{r}}(s)}{\hat{u}_{\mathrm{cf}}(s)}=-\boldsymbol{C}\left(s \boldsymbol{E}_{4 n+6}-\boldsymbol{A}\right)^{-1} \boldsymbol{B}_{1} . $

(27)

1.3 系统静态工作点与稳态模型

对于如图 1所示的多接收端WPT系统，定义稳态运行下各状态变量x正弦、余弦分量稳态值〈X〉_sin、〈X〉_cos，和接收端直流母线电压u_cf稳态值U_cf构成系统静态工作点向量S，

$ \boldsymbol{S}=\left[\langle\boldsymbol{X}\rangle_{\text {sin }}^{\mathrm{T}},\langle\boldsymbol{X}\rangle_{\cos }^{\mathrm{T}}, U_{\mathrm{cf}}\right]^{\mathrm{T}} . $

(28)

规定静态工作点向量S的决定条件为：1) 输入端等效电压幅值V_p；2) 系统总输出功率P_out。设u_p为参考零相位，则静态工作点的决定条件可总结为

$ \left\{\begin{array}{l} u_{\mathrm{p}}=V_{\mathrm{p}} \sin \omega t, \\ P_{\mathrm{out}}=\frac{1}{2} U_{\mathrm{cf}} \sum\limits_{i=1}^{n} I_{\mathrm{r}i}. \end{array}\right. $

(29)

易知稳态工作下，系统各状态变量导数为0，即

$ \left[\begin{array}{c} \mathrm{d}\langle\boldsymbol{X}\rangle_{\sin } / \mathrm{d} t \\ \mathrm{~d}\langle\boldsymbol{X}\rangle_{\cos } / \mathrm{d} t \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right]. $

(30)

联立式(21)、(29)和(30)，可推导出系统的稳态模型方程为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{A}\left[\begin{array}{c} \langle\boldsymbol{X}\rangle_{\sin } \\ \langle\boldsymbol{X}\rangle_{\cos } \end{array}\right]+\boldsymbol{B}_{1} U_{\mathrm{cf}}+\boldsymbol{B}_{2}\left[\begin{array}{c} V_{\mathrm{p}} \\ 0 \end{array}\right]=0, \\ \frac{1}{2} U_{\mathrm{cf}} \sum\limits_{i=1}^{n} I_{\mathrm{r} i}=\frac{1}{2} U_{\mathrm{cf}} \boldsymbol{C}\left[\begin{array}{c} \langle\boldsymbol{X}\rangle_{\mathrm{sin}} \\ \langle\boldsymbol{X}\rangle_{\cos } \end{array}\right]=P_{\mathrm{out}}. \end{array}\right. $

(31)

S∈R⁴ⁿ⁺⁷，而式(31)共包括4n+7个方程，显然可通过求解式(31)得到系统的静态工作点S。

2 系统稳、动态性能指标

下面利用节1建立的系统高频谐振部分动态、稳态模型，推导图 1所示的多接收端WPT系统的各项稳、动态性能指标表达式。

磁耦合机构自感L_p、L_si，补偿电容值C_p、C_si，谐振频率f等参数(i=1, 2, …, n)受工艺、空间、功率密度、机械结构等因素影响较为复杂，研究中一般使用基于有限元仿真结果的迭代方法进行相关的设计和优化^{[14, 26]}，这几个参数对系统性能的影响不在本文研究范围之内。本文主要研究的是在上述参数确定之后，其他相对比较容易调整的集总参数，如接收端数量n、发射端补偿电感L_f、接收线圈之间互感M_ij(i, j=1, 2, …, n)等，对系统稳态、动态性能的影响。

2.1 稳态性能

对于WPT系统，运行过程中所关注的稳态性能主要包括系统效率、发热和绝缘情况等。因此，系统稳态性能部分主要分析静态工作点上的系统传输效率η，补偿电容端电压稳态值U_cp、U_csi，线圈电流稳态值I_p、I_si(i=1, 2, …, n)。

此外，为保证发射端高频逆变器工作在零电压开关(zero voltage switch, ZVS)导通模式，发射端高频逆变器输出电流I_f的相位有必要略微落后于输出电压μ_p。因此，还需考虑I_f落后μ_p的相位角Δθ这一指标。

综上所述，稳态指标包括η、U_cp、U_csi、I_p、I_si(i = 1, 2, …, n)、Δθ。各稳态指标的计算表达式为

$ \begin{array}{c} \begin{aligned} &\left\{\begin{array}{l} \eta=\frac{2 P_{\mathrm{out}}}{V_{\mathrm{p}} \sqrt{\left\langle I_{\mathrm{f}}\right\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\left\langle I_{\mathrm{f}}\right\rangle_{\mathrm{cos}}^{2}}}, \\ A=\sqrt{\langle A\rangle_{\mathrm{sin}}^{2}+\langle A\rangle_{\mathrm{cos}}^{2}}\left(A=U_{\mathrm{cp}}, U_{\mathrm{cs}i}, I_{\mathrm{p}}, I_{\mathrm{s}i}\right), \\ \Delta \theta=-\arctan \left(\frac{\left\langle I_{\mathrm{f}}\right\rangle_{\mathrm{cos}}}{\left\langle I_{\mathrm{f}}\right\rangle_{\mathrm{sin}}}\right), \end{array}\right. \end{aligned}\\ i=1,2, \cdots, n. \end{array} $

(32)

2.2 动态性能

如图 1所示，定义WPT系统高频谐振部分小信号输出导纳Y_WPT、DC-DC变换器部分小信号输入导纳Y_Buck分别为

$ \left\{\begin{array}{l} Y_{\mathrm{WPT}}=-\hat{i}_{\mathrm{r}} / \hat{u}_{\mathrm{cf}}, \\ Y_{\mathrm{Buck}}=\hat{i}_{\mathrm{in}} / \hat{u}_{\mathrm{cf}} . \end{array}\right. $

(33)

由于发射端高频逆变器在定占空比、定移相比运行时可等效为恒定交流电压源，而接收端Buck变换器采用输出电流控制，LCL-S谐振部分和DC-DC变换器小信号模型可分别等效为等效电压源u_WPT与输出导纳Y_WPT串联、等效电流源i_Buck与输入导纳Y_Buck并联的形式，如图 2所示。

设接收端母线电容导纳为Y_c，则系统小信号电路方程为

$ \hat{u}_{\mathrm{cf}}=\frac{1}{1+\frac{Y_{\mathrm{c}}+Y_{\text {Buck }}}{Y_{\mathrm{WPT}}}} \hat{u}_{\mathrm{WPT}}+Y_{\mathrm{WPT}} \frac{1}{1+\frac{Y_{\mathrm{WPT}}}{Y_{\mathrm{c}}+Y_{\mathrm{Buck}}}} \hat{i}_{\mathrm{Buck}} . $

(34)

由于本文所分析系统的闭环控制方法和文[25]相同，即通过接收端DC-DC变换器进行输出功率控制，因此等效电流源系统i_Buck对系统动态过程的影响为研究的重点，即式(34)中小信号等效导纳之商Y_WPT/(Y_c+Y_Buck)的频率特性对系统动态性能起决定性作用。

文[25]分析了系统DC-DC变换器部分(包括直流母线)小信号输入导纳Y_c+Y_Buck的频率特性。本文在使用文[25]提出的能量平衡控制策略的前提下，进一步研究Y_WPT频率特性对n接收端WPT系统动态性能的影响。保持n=2，M_ij= -3.9 μF，分别绘制L_f为1.1L_p、0.9L_p时的Y_WPT频率特性曲线(红色)和文[25]提出的控制策略下的Y_c+Y_Buck频率特性曲线(蓝色)，如图 3所示。

文[25]指出，相对于传统PI控制策略，使用能量平衡控制策略可在几乎不改变Y_c+Y_Buck幅频特性的情况下，在更宽的频率范围内保持Y_c+Y_Buck相位为近似180°。因此，能量平衡控制下Y_c+Y_Buck频率特性可近似描述为：1) 幅频特性表现为滤波电容并联由母线电压、输出功率决定的负电导；2) 用f_c表示控制器截止频率，则相频特性表现为当f < f_c时，Y_c+Y_Buck相位近似为180°，当f>f_c时，Y_c+Y_Buck相位近似为90°。综上所述，Y_c+Y_Buck幅频、相频特性曲线的渐近线(如图 3所示)可分别表示为

$ \left|Y_{\mathrm{c}}+Y_{\text {Buck }}\right|=\sqrt{\left(-P / U_{\mathrm{cf}}^{2}\right)^{2}+\left(\mathrm{j} 2 {\rm{ \mathsf{ π} }} f C_{\mathrm{f}}\right)^{2}}. $

(35)

$ \operatorname{angle}\left(Y_{\mathrm{c}}+Y_{\mathrm{Buck}}\right)= \begin{cases}180^{\circ}, & f<f_{\mathrm{c}}; \\ 90^{\circ}, & f>f_{\mathrm{c}} .\end{cases} $

(36)

angle()为相角。

根据图 3中曲线和数据，当L_f由0.9L_p变为1.1L_p时，Y_WPT的幅频特性曲线向上偏移，相频特性曲线向下偏移。与此同时，Y_WPT、Y_c+Y_Buck幅频特性曲线交点从C₁变为C₂，交点处对应的相位差则由Δφ₁增大为Δφ₂。根据级联变换系统的稳定性判据^[27]，不同L_f参数下控制系统的相位裕度PM可表示为

$ \mathrm{PM}_{i}=\left|180^{\circ}-\Delta \varphi_{i}\right|, i=1,2. $

(37)

由图 3易知：1) L_f=0.9L_p时，Δφ₁=199°、PM₁=19°；2) L_f=1.1L_p时，Δφ₂=240°、PM₂=60°。可见，通过调整系统参数，使幅频特性曲线向上偏移、相频特性曲线向下偏移，可有效提升系统的相位裕度，提高控制稳定性。

尽管除Y_WPT的频率特性之外，系统稳定性还与闭环控制下Buck变换器小信号特性，即Y_c+Y_Buck的频率特性相关。然而，能量平衡控制下Y_c+Y_Buck的幅频、相频特性曲线近似于式(35)和(36)所描述渐近线。进一步地，当控制参数调节合理，在Buck变换器功率控制带宽足够大、闭环控制器截止频率足够高的较理想情况下，Δφ₁、Δφ₂可分别近似于Y_WPT、Y_c+Y_Buck幅频特性曲线交叉点频率处，Y_WPT的相位与180°之差，即

$ \begin{array}{c} \left\{\begin{array}{l} \Delta \varphi_{i} \approx 180^{\circ}-\operatorname{angle}\left(Y_{\mathrm{WPT}}\right) ,\\ \mathrm{PM}_{i}=\left|180^{\circ}-\Delta \varphi_{i}\right| \approx\left|\operatorname{angle}\left(Y_{\mathrm{WPT}}\right)\right|, \end{array}\right.\\ i=1,2. \end{array} $

(38)

综上所述，在文[25]提出的控制策略下，仅根据WPT系统的参数，即可近似计算出系统相位裕度，并将其用作系统动态性能的评判指标。

3 兼顾系统稳、动态性能的多目标参数优化方法

为了全面提升系统的稳、动态性能，对于图 1所示的多接收端WPT系统，需综合考虑效率、电容电压、电感电流、发射端输出电压、电流相位差、相位裕度等指标，对n、L_f、M_ij进行优化。为尽可能提升系统效率，降低谐振元件的散热、绝缘压力，保证高频逆变器中功率半导体器件的ZVS开通运行模式，提升系统稳定性，设计中对各项性能指标的要求总结如下：

1) 稳态运行下传输效率η尽可能高；

2) 稳态运行下耦合线圈电流幅值I_p、I_si以及补偿电容电压幅值U_p、U_csi尽可能低，且最高不高于其限值(分别表示为I_{p_max}、I_{si_max}、U_{p_max}、U_{csi_max})；

3) 稳态运行下发射端高频逆变器输出电流I_f滞后其输出电压V_p的相位角度Δθ需大于某正值Δθ_min；

4) 稳态运行点下的系统相位裕度PM应尽可能大。

基于上述要求，对多接收端WPT系统参数n、L_f、M_ij的设计可初步整理出如下的优化问题。

$ \begin{gathered} \min \limits_{n \in \mathbb{Z}^{+}, L_{\mathrm{f}}>0} g\left(n, L_{\mathrm{f}}, M_{i j}\right)= \\ -\eta+I_{\mathrm{p}}+U_{\mathrm{p}}+\sum\limits_{i=1}^{n}\left(I_{\mathrm{s} i}+U_{\mathrm{s}i}\right)-\mathrm{PM}, \\ \text { s. t. } \quad I_{\mathrm{p}} \leqslant I_{\mathrm{p}\_\max }, U_{\mathrm{cp}} \leqslant U_{\mathrm{cp}\_{\mathrm{max}}}, \\ I_{\mathrm{s} i} \leqslant I_{\mathrm{s}i\_\max }, U_{\mathrm{cs} i} \leqslant U_{\mathrm{cs}i\_\max }, \\ \Delta \theta \geqslant \Delta \theta_{\min }, \\ \mathrm{PM} \geqslant \mathrm{PM}_{\min } . \end{gathered} $

(39)

在实际应用中，式(39)所描述的优化方法还需根据实际情况进行如下所述的进一步完善：

1) 对于实际系统，接收端间互感M_ij的正负与发射、接收端磁耦合机构的耦合情况有关，如图 4所示。图中：箭头表示电流参考正方向(以发射端电流方向为基准)，符号“×”表示磁力线穿过纸面向里，符号“·”表示磁力线穿过纸面向外，符号“×”“·”的颜色对应磁力线的产生电流(黑、红、蓝色分别表示发射端电流、接收端1电流、接收端2电流)。在轨道交通的WPT应用中，由于发射线圈常为长导轨形式，图 4a所示情况比较常见，故本文以该情况下M_ij的取值范围作为限定条件，即M_ij < 0。此外，M_ij的值并非可以任意取得：(1) 受接收线圈匝数、几何形状、尺寸等因素影响，M_ij的绝对值最大不能超过某特定值M_{ij_max}；(2) 受接收端空间的限制，接收线圈之间的距离不可能无穷远，故M_ij的绝对值最小也不能低于某特定值M_{ij_min}。相似地，L_f的选取也应有最大值限制，表示为L_{f_max}。

2) 可通过参数对不同性能指标影响程度的差别设计分步优化，简化优化过程。显然，系统输出功率一定的情况下，接收端线圈电流稳态幅值I_si和接收端补偿电容电压稳态幅值U_csi受接收端数量n的影响最大，可随n的取值不同而成倍变化。因此，接收端绝缘、散热、开关器件的限制对I_si、U_csi的最大值制约(分别表示为I_{si_max}、U_{csi_max})，为参数n选取的首要条件。相对而言，n对其他指标的影响则不显著。故可在优化过程中，将参数n的选取放在最前，其参考因素为I_si、U_csi的取值约束。

3) 由于各指标量级差别较大，且对系统性能的影响程度不同，故需要在优化过程中对各指标进行归一化和加权。统一地，在根据I_{si_max}、U_{csi_max}确定的n取值下，且L_f=L_p、M_ij=0时，将指标η、I_p、U_cp、I_si、U_csi、PM的值选取为基准值(分别表示为η₀、I_p0、U_cp0、I_si0、U_csi0、PM₀)；用λ_k(k=1, 2, …, 5)表示各指标权重。

式(39)描述的参数优化问题可进一步完善为

$ \begin{gathered} \underset{n \in {\bf{Z}}^{+}, 0<L_{\mathrm{f}} \leqslant L_{\mathrm{f}\_ \max}, \atop M_{i{j}\_\min } \leqslant\left|M_{i j}\right| \leqslant M_{i j\_\max }} \min g\left(n, L_{\mathrm{f}}, M_{i j}\right)=-\lambda_{1} \frac{\eta}{\eta_{0}}+\lambda_{2} \frac{I_{\mathrm{p}}}{I_{\mathrm{p} 0}}+\\ \lambda_{3} \frac{U_{\mathrm{p}}}{U_{\mathrm{p} 0}}+\frac{\lambda_{4}}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{I_{\mathrm{s} i}}{I_{\mathrm{s}i0}}+\frac{U_{\mathrm{s}i}}{U_{\mathrm{s}i0}}\right)+\lambda_{5} \frac{\mathrm{PM}}{\mathrm{PM}_{0}},\\ \text { s. t. } I_{\mathrm{p}} \leqslant I_{\mathrm{p}\_\max }, U_{\mathrm{cp}} \leqslant U_{\mathrm{cp}\_\max }, \\ I_{\mathrm{s} i} \leqslant I_{\mathrm{s}i\_\max }, U_{\mathrm{cs} i} \leqslant U_{\mathrm{cs}i\_\max } ,\\ \Delta \theta \geqslant \Delta \theta_{\min }, \\ \mathrm{PM} \geqslant \mathrm{PM}_{\min }. \end{gathered} $

(40)

假设各接收线圈间互感相同(对称结构)，且M_ij的正负性与图 4a所示情况相同，即M_ij < 0，则可归纳式(40)优化问题的具体求解流程如图 5所示。除待优化参数外，系统其他参数列于表 1。

令各指标在目标函数g中所占权重相同，即λ_k=1(k=1, 2, …, 5)，对图 1所示的多接收端WPT系统使用式(40)优化方法，可得决策变量的最优点{n_opt, L_{f_opt}, M_{ij_opt}}。上述优化过程中各参数、性能指标限值(如无限值用符号“-”表示)及其最优值列于表 2。

为进一步提高参数优化过程的可视化，图 6展示了根据I_si、U_csi的限制确定接收端数为2后，不同L_f、M_ij取值下目标函数值，并标出了最优点{n_opt, L_{f_opt}, M_{ij_opt}}及该点处的目标函数值g_opt。图中，与L_f-M_ij平面垂直的红色平面表示当Δθ=2°下L_f、M_ij的取值。为保证Δθ>Δθ_min，除了令g尽可能小，L_f、M_ij的取值还需在该红色平面左侧。

4 仿真和实验验证 4.1 仿真验证

为验证本文推导动态、稳态模型的准确性，评价提出优化方法的合理性，在MATLAB/Simulink平台搭建与本文研究系统完全相同的n接收端WPT系统仿真模型。在根据U_{csi_max}限制确定接收端个数n为2后，变化不同的L_f、M_ij参数对系统进行仿真实验。下面从模型准确性、优化过程和动态性能3个方面，分别对本文提出的模型、方法进行仿真验证。

图 7和8分别对比了仿真中各稳态性能指标、Y_WPT频率特性的测算值和稳态模型计算结果。可见，仿真结果与理论计算结果在数值上非常接近，且各结果随参数变化的趋势相同，这说明本文推导的多接收端WPT系统动态、稳态模型是准确的。

使用不同L_f、M_ij参数下的系统稳、动态性能指标仿真结果，根据式(40)分别计算对应的目标函数值g(n, L_f, M_ij)，计算结果示于图 9。可见，使用仿真结果的参数优化下，最优点{n_opt, L_{f_opt}, M_{ij_opt}}的优化结果和上文的理论计算相符，最优点处的目标函数最优值(2.036)也非常接近于理论计算值(2.028)。综上所述，本文推导的系统稳态、动态模型准确性高，可在多接收端WPT系统参数优化中使用。

图 10展示了两接收端WPT系统在不同L_f、M_ij参数下的启动过程仿真波形，及对应所选取参数的相位裕度计算值。所展示的波形包括发射端高频逆变器输出电流i_f、发射端补偿电容电压u_cp、发射线圈电流i_p、接收线圈电流i_s、接收端直流母线电压u_cf、负载电流i_L。根据图 10可看出，对应相位裕度计算值较大的参数选取情况下，各物理量波形振荡较小，动态过程中补偿电容、线圈更不容易出现过流、过压现象，这一结论与理论分析吻合。

4.2 实验验证

使用具有2个接收端的轨道交通WPT实验平台，对推导的稳、动态模型准确性进行验证，对提出的参数优化设计方法得到的最优参数下多接收WPT系统性能进行评估。实验平台中，发射端高频逆变器发出固定占空比脉冲；接收端DC-DC变换器控制输出功率，稳定输出电流；发射、接收端控制核心为TI-TMS320F28379D；负载采用双向可编程直流电源TopCon TC.GSS模拟恒压负载。实验平台的双端变换器、磁耦合机构和电压源型负载如图 11所示。

在现有实验平台上，可供选取的参数有限。根据测量，分别使用提出的参数优化方法所得最优参数值(L_f=1.06L_p, M_ij=-2 μH)和改变L_f取值后的参数取值(L_f=1.28L_p, M_ij=-2 μH)进行对照实验。

在表 1所列系统工况下进行实验，各关键稳态性能指标的实测值和计算值列于表 3，系统各物理量的稳态波形及重要数值的测量结果如图 12所示。其中，交流-直流(AC-DC)效率测量于发射端高频逆变器输出端到负载之间。根据表 3和图 12中的实验结果，本文推导的稳态模型计算结果和实测结果相差较小，随参数的变化规律也符合实际情况。因此，本文推导的稳态模型准确性可满足用于多接收端WPT参数优化的需求。

使用相同的能量平衡控制策略^[25]，不同参数下系统的启动暂态波形及重要数值的测量结果如图 13所示。根据本文推导的系统动态模型，当参数选取为{L_f=1.06L_p, M_ij=-2 μH}和{L_f=1.28L_p, M_ij=-2 μH}时，系统相位裕度分别是82.27°和54.51°。从图 13中曲线和数据可清晰地看出，相位裕度计算值较大的系统相对相位裕度计算值较小的系统，启动暂态可在相同(甚至更小)的超调下实现更短的调整时间，这一现象与本文推导的动态模型计算结果吻合。以上结果说明，本文的动态模型可用于进行多接收端WPT系统参数优化。

5 结论

本文以现有研究中WPT系统动态性能优化控制策略为基础，通过探索WPT系统本体参数对系统特性的影响，提出兼顾系统稳、动态性能的参数优化方法，从而在参数设计层面进一步优化系统的稳、动态特性。本文的模型推导、分析中，将系统拓展到多接收端的情况，把接收端数量n作为参数之一纳入系统的建模、分析与优化之中，具有更强的普适性、拓展性。仿真和实验结果表明，本文推导的模型可准确描述多接收端WPT系统稳、动态特性；提出的多目标参数优化方法可有效提升系统稳、动态性能；相同控制策略、控制参数下，使用优化所得最优的n、L_f、M_ij参数的系统，具有较高的稳、动态性能。