驱动电机伺服控制是机床控制的一个重要环节^[1-4]，对运动速度、运动精度、加工稳定性都有影响。特别地，并混联机床具有强耦合、非线性、固有频率低的特点，对伺服控制要求更高。目前工业中对伺服电机的控制方式已经较为成熟和固定，通常对伺服电机的主要状态变量(电流、速度、位置)分别进行检测，进而形成由内层至外层的电流环、速度环、位置环3个反馈控制环，使用3个控制器对它们分别调节^[2-3]。实际工程中使用比例积分微分(proportional integral derivative，PID)^[5]或简化的P、PI、PD方法来设计这3个控制器。

机床驱动电机的控制效果取决于伺服控制参数的设计，学者们对此进行了大量的研究。1942年Ziegler和Nichols^[6]从时域响应的角度着手，提出了Ziegler-Nichols工程整定法。但面对各不相同的应用环境和被控对象，一成不变的Ziegler-Nichols工程整定法适应性不佳。在实际工程中，应用更多的是基于工程师的经验进行整定，德国西门子公司曾归纳总结为“调节器最佳整定”^[3]法，具体包括“模最佳整定”和“对称最佳整定”2种。李亚聪等^[7]结合自己的工程实践提出了伺服参数调整方法和顺序。这一类工程整定法建立在人工经验之上并且需要反复试错，有着费时费力的弊端。并且，工程师在整定时往往为了保证稳定、准确，在快速性方面过于保守，导致整定结果仅仅达标，尽管在静态精度和稳定性方面满足要求，却在动态跟随速度上有着较大提升空间，制约了加工效率。尤其对于并混联机床，各个驱动轴动态跟随误差对于刀尖点有着很强的耦合作用，会导致刀尖的轨迹误差，在高速加工时更为明显。

近年来，有很多学者提出基于智能算法的控制参数整定方法^[8-9]，其中相当一部分学者采用了遗传算法。遗传算法^[10-13]由Holland在1969年提出，并经其他学者整理形成，是一种模拟生物遗传的极值求解算法。遗传算法将各个不同的参数组合抽象为种群中的个体，令个体之间进行交叉和变异，同时设计适应度函数来反映参数组合的应用效果，将适应度函数较高的个体淘汰，得到下一代个体，而终代个体即代表着整定得到的参数组合。适应度函数标志着遗传算法的选择方向，是关系到整定结果的关键因素。郝齐等^[14]综合误差平方积分、峰值时间、最大超调和调整时间设计了适应度函数，齐战等^[15]和郑光廷等^[16]使用绝对误差积分作为适应度函数，孙雨萌等^[17]使用绝对误差积分和一个惩罚值作为适应度函数，Jaen-Cuellar等^[18]综合了误差的平方积分、误差的平均方差、最大超调量设计了适应度函数。

现有的基于智能算法的控制参数整定方法存在以下问题：在理论模型方面，现有研究都将机械结构视为刚性，而并混联机床相对其他机构刚性较弱，这一点需要在伺服控制中予以考虑；在智能算法方面，现有研究通常将过程中的绝对误差积分作为主要指标，而过程中的绝对误差受控制系统的稳定性、准确性、快速性共同影响，不同工程对稳定、准确、快速有着不同要求，以绝对误差积分作为指标有些过于笼统。

本文采用遗传算法对1台五轴混联机床的并联驱动轴的伺服控制参数进行了整定。首先建立了伺服电机的物理模型及控制系统模型。其次，在适应度函数方面，与现有研究不同，着重关注响应的快速性、稳定性和准确性，提出了适合混联机床并联主轴头驱动轴的、包含报警指标和择优指标2类指标的适应度函数。最终采用遗传算法进行参数优化，得到优化的控制参数；并在该机床上进行了正弦信号跟随实验和直线进给实验，结果表明跟随性能得到提升，验证了所提出的整定方法的有效性。

1 研究对象理论模型

本文研究对象为五轴混联机床的并联主轴头z方向进给驱动轴。理论模型可以分为永磁同步电机物理模型和伺服控制器模型2个部分。

1.1 永磁同步电机动态模型

永磁同步电机由永磁体转子和三相电路定子构成，由于没有换向器和电刷，具有效率高、损耗小的优点^[4]，常用于机床驱动。如图 1所示，永磁同步电机在使用中常将三相电路转换到d-q坐标系中^[2-3]。

在d-q坐标系下，定子电流表示为2个分量i_d和i_q。永磁同步电机常使用i_d=0的控制策略。由于永磁同步电机的d轴电流控制器应用成熟，控制效果良好，可以认为i_d=0控制效果理想。在这种情况下，电机的数学模型可简化为：

$ u=R+L_{q} \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}+\omega K_{\mathrm{e}} , $

(1)

$ T_{\mathrm{e}}=K_{\mathrm{t}} i , $

(2)

$ T_{\mathrm{e}}-T_{1}=J \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}. $

(3)

其中：下标d、q表示在d、q两轴的分量，u为电压，i为电流，L为电感，R为电阻，K_e为反电动势系数，ω为电机角速度，T_e为输出扭矩，K_t为电机扭矩常数，T_l为负载扭矩，J为电机及丝杠的转动惯量。电机物理模型中各参数的值如表 1所示。将式(1)—(3)进行Laplace变换，并整合得到简化的永磁同步电机物理模型框图，如图 2所示，图中s是Laplace复变量。

本文所研究的驱动轴是并联主轴头的输入端，3个驱动轴共同控制动平台。并联主轴头结构复杂、关节多，具有与串联机床相比更低的固有频率，在驱动伺服控制器研究中，有必要予以考虑。本文将主轴头振动简化等效为进给的单自由度振动，给电机及丝杠的物理模型添加一个弹性阻尼力，于是式(3)修改为

$ T_{\mathrm{e}}-T_{1}=J \frac{\mathrm{d}^{2} \theta}{\mathrm{d} t^{2}}+k \theta. $

(4)

其中：θ为电机转动的弧度；k为弹性阻尼力的弹性系数，由于其他科研人员进行模态实验检测得到本机床主轴头一阶固有频率约40 Hz，故取k=[40/(2π)]²J。

修改后的永磁同步电机物理模型框图如图 3所示。

1.2 永磁同步电机三环控制模型

伺服控制系统需要控制电机进行跟随，需要稳定、快速、准确地对电机的电流、转速、位置3个状态变量进行反馈控制，形成电流环、速度环、位置环的控制系统。实际使用中，一般速度环、电流环采用PI控制，位置环采用P控制。多级反馈控制的优势在于稳定性和准确性，而外环快速性欠佳，常设置速度环前馈，以提高其快速性。控制框图如图 4所示。图中单位转换模块已省略。人工经验进行参数整定的结果如表 2所示。

伺服控制系统的电流环是最内环，实际电机运行中电流的干扰因素较多，实验测得电流环带宽900 Hz。在电流环前串接一个干扰模拟器，经过配凑，干扰模拟器传递函数为1/(2 997s+1)。

实际的电机控制是在离散系统中实现的，故位置环反馈、速度环反馈并非实时反馈，位置检测装置2 ms更新一次，速度检测装置125 μs更新一次。速度环前馈并非理想微分环节，而是采用2 ms更新周期内的平均速度来表示当前速度。故在这3个位置需增加延时环节。设置位置环反馈、速度环前馈延时为2 ms，速度环反馈延时为125 μs。修正后的控制框图如图 5所示。

2 基于遗传算法的伺服控制器参数整定

基于建立的仿真模型，可以进行基于遗传算法的伺服控制器参数整定。将各个不同的参数组合抽象为种群中的个体，每一代按照要求进行一定比例的淘汰，最终种群中的稳定个体即为整定的参数组合。

2.1 研究对象的仿真实现

图 5所示的理论模型有3个反馈控制环，较为复杂，故本文选择Simulink仿真方式实现。遗传算法运行中用MATLAB的assignin函数来改变Simulink模型中的参数。在Simulink中给系统输入一个在第1 s从0 mm阶跃至1 mm信号，共仿真0~2 s，根据响应情况，获得适应度函数。

遗传算法运行中难免遇到效果差的参数组合，为防止Simulink求解器报错，采用固定步长0.1 ms进行仿真求解，并设置判断模块，在检测到系统发散时，提前终止该参数组合的仿真。

2.2 种群的构造

伺服电机的控制参数很多，没有必要全部进行整定。电流环控制器位于最内层、控制周期最短、响应最快、参数设计成熟，人工经验整定时一般不作修改，故本文也不予以整定。速度环前馈控制参数为理论计算值，一般不进行修改，本文也不予以整定。位置环、速度环控制参数需针对不同应用状态重新调试。故本文选取位置环比例增益、速度环比例增益、速度环积分时间常数3个参数进行遗传算法整定。

尽管3个参数物理意义不同，但在遗传算法中可以通过编码成为同一个个体，并对其整体进行交叉和变异。本文所选择的3个待整定参数数量级差异较大。为保证3个参数对个体影响相近，将位置环比例增益和速度环比例增益分别进行0.1倍、0.01倍的放缩，以0.1K_pp、0.01K_ps、T_is构成遗传算法的种群个体。

2.3 适应度函数的构造

遗传算法的适应度函数是遗传算法的关键，决定了遗传算法优化的方向，适应度函数值越大，遗传算法判定其效果越差，会按比例进行淘汰。相关研究^[13-15]构造适应度函数时聚焦于过程中的误差，本文则更注重响应的快速性、稳定性、准确性。而且，相关研究^[13-15]构造的适应度函数没有充分考虑机床的特点，本文将针对所研究的混联机床进行适应度函数设计。

并混联机床结构复杂、固有频率较低，对稳定性要求也高于串联机床。针对研究对象的实际情况，本文设计的适应度函数由多个指标构成，可以分为2类：报警指标和择优指标。由于混联机床的并联主轴头驱动器对稳定性和准确性要求高，故在稳定性、准确性方面设计报警指标，一旦不满足要求，适应度函数增加一个报警量；而在快速性方面，遵循“越快越好”的原则，设计择优指标。具体的指标设计如下：

1) 发散报警指标。发散报警指标是一个保护性指标。为保证遗传算法顺利进行，本文设置了若响应发散则提前终止仿真的保护措施，发散报警指标用于剔除发散性个体。具体实施方式为：若仿真返回时间小于2 s，则说明仿真提前终止，判定本指标为1×10¹⁰，否则指标为0。

$ a=\left\{\begin{array}{cc} 1 \times 10^{10}, & \max t<2 \mathrm{~s};\\ 0, & \max t=2 \mathrm{~s} . \end{array}\right. $

(5)

其中t为仿真时间。

2) 超调报警指标。超调是阶跃响应中不得不存在的现象，但是又严重影响机床的稳定性，本文设计最大超调为35%，如果超调大于35%，则判定本指标为1×10¹⁰，否则指标为0。

$ b=\left\{\begin{array}{cl} 1 \times 10^{10}, & \max z>1.35 ;\\ 0, & \max z \leqslant 1.35. \end{array}\right. $

(6)

其中z为系统响应。

3) 振荡报警指标。系统的阶跃响应常常产生振荡现象。本文设计除第1个波峰外，不能产生振荡，即不能存在波谷。具体实施方式是：若某时刻响应比前后一小段时间Δt的响应都小，超过一个小量Δx，则视为产生波谷，判定本指标为1×10¹⁰，否则指标为0。由于控制系统的检测周期是2 ms，本文Δt<2 ms，取Δt=1 ms。Δx也取很小的量，Δx=0.000 5 mm。

$ c=\left\{\begin{array}{ccc} & \exists & \Delta t<t<2-\Delta t, \\ 1 \times 10^{10}, & \text { s. t. } & z(t)<z(t-\Delta t)-\Delta x, \\ & \wedge & z(t)<z(t+\Delta t)-\Delta x ; \\ 0, & \text { 其他. } & \end{array}\right. $

(7)

4) 静差报警指标。伺服控制系统的静差与机床的静态精度直接相关，故设置静差报警指标。具体实施中，取最后时刻的响应作为稳态值，稳态值与理论值的差超过Δx即视为产生了静差，判定本指标为1×10¹⁰，否则指标为0。

$ d=\left\{\begin{array}{cl} 1 \times 10^{10}, & |z(2)-1|>\Delta x; \\ 0, & |z(2)-1| \leqslant \Delta x. \end{array}\right. $

(8)

由于机床对于准确性和稳定性要求严格，如式(5)—(8)所述设置了4个报警指标。在快速性方面，设置以下3个择优指标：

5) 上升时间择优指标。上升时间是反映响应速度的关键指标。具体实施方式是取响应达到90%时的时间作为该指标结果。

$ t_{\mathrm{p}}=\min t, \quad z(t)>0.9. $

(9)

6) 调整时间择优指标。响应迅速上升后，经过调整过程才达到稳态，一般认为响应不再超出稳态的±2%即为完成调整。调整时间也是重要的指标。

$ t_{\mathrm{s}}=\max t, \quad|z(t)-1|>0.02. $

(10)

7) 精确调整时间择优指标。作为调整时间择优指标的补充，为了更好地满足机床对准确性的要求，因此设置精确调整时间择优指标，当响应不再超出稳态的±0.2%即为精确完成调整。

$ t_{\mathrm{s}}^{\prime}=\max t, \quad|z(t)-1|>0.002 . $

(11)

综合式(5)—(11)提出的7个指标，本文采用的遗传算法的适应度函数为

$ \text { FITNESS }=t_{\mathrm{p}}+t_{\mathrm{s}}+w t_{\mathrm{s}}^{\prime}+a+b+c+d \text {. } $

(12)

其中w是精确调整时间择优指标的权重。由于精确调整时间择优指标仅针对准确性要求高的机械设备使用，而本文中混联机床对准确性要求很高，故设置w=1，在驱动一般机构时可以设w=0。

2.4 遗传算法的优化结果

使用式(12)所述的适应度函数进行遗传算法求解，得到的适应度函数值范围变化曲线如图 6所示，经过40余代报警指标全部归零。第51代得到终代结果，如表 3所示。

整定结果中，速度环积分时间与人工经验整定结果一致，位置环增益、速度环增益均大于人工经验整定结果，可以认为人工经验整定结果过于保守。

将原有的伺服控制参数和遗传算法优化后的伺服控制参数输入仿真模型，进行幅频曲线仿真，结果如图 7和8所示。对比图中幅值-3 dB对应的频率，即-3 dB带宽：现有人工经验整定参数下系统带宽约63 Hz，具有较好的响应性能；遗传算法优化的伺服参数将带宽提升到约83 Hz，系统比人工经验整定参数下具有更好的响应能力。

在节2.2进行种群构造时，对3个参数进行了不同比例系数的放缩。作为对照，将放缩取消，并同样进行遗传算法求解，得到结果相近，但遗传92代才得到终代结果。取消放缩情况下的遗传过程如图 9所示，收敛过程很不稳定，验证了进行放缩可使收敛过程更稳定、求解速度更快。

3 优化结果的实验验证

本文在1台五轴混联机床上，选择工程上常用的正弦信号跟随测试实验和模拟实际工作状态的直线进给实验来进行验证。

3.1 实验样机

本文选择的实验样机是1台混联机床，如图 10所示。刀具安装在并联主轴头上，主轴头可沿立柱y方向移动，工件可随工作台x方向移动。

主轴头是3PRRU并联机构^[19]，如图 11所示，由3个支链共同驱动动平台，每个支链有4个运动副，从驱动端开始依次为移动副(P)、转动副(R)、转动副(R)、虎克铰(U)。3个移动副为运动输入端，可控制动平台三自由度运动。

作为机床主轴头，3PRRU并联机构放置在工作台上，刀具安装在动平台上。3个移动副的驱动电机位置如图 12所示，z₁、z₂、z₃这3个移动副的运动驱动会导致动平台的z方向进给和各个方向的倾斜，以达到复杂的加工要求。

实验样机驱动器伺服采用数字控制器，并已经集成在数控系统中，可以直接输入整定的伺服控制参数，并读取驱动的跟随误差。数控系统界面如图 13所示。

3.2 正弦信号跟随实验

给z₁轴输入一个速度幅值1 r/min、周期500 ms的正弦信号，在人工经验整定伺服参数和遗传算法整定伺服参数下的跟随误差可通过如图 13所示的数控系统检测，结果如图 14所示。

由图 14可见，遗传算法整定参数下正弦信号跟随误差更小、跟随效果更好。观察到电机在启动和换向时会产生较大的瞬时误差，其余情况存在相对稳定的跟随误差。式(13)采用绝对误差极值(MAXAE)来量化分析运动过程中产生的最大误差，式(14)采用绝对误差积分(ITAE)来量化分析跟随全过程的跟随效果。本实验的跟随误差如表 4所示。

$ \mathrm{MAXAE}=\max (|\Delta z|), $

(13)

$ \mathrm{ITAE}=\int_{0}^{+\infty}|\Delta z| \mathrm{d} t. $

(14)

由表 4可见，绝对误差极值减小了27.2%，绝对误差积分减小了42.6%。这2个指标都表明了在正弦信号跟随实验中，遗传算法整定参数更有效地控制了跟随误差，进而导致跟随效果更佳。

3.3 直线进给实验

给虚拟z轴输入进给指令，z₁、z₂、z₃轴将同时进给运动，这样能更好地模拟实际工作状态。本文选择直线进给100 mm进行实验。同样选择在人工经验整定伺服参数和遗传算法整定伺服参数下的跟随误差进行比较，结果如图 15和16所示。

由图 15和16可见，遗传算法整定参数下直线进给跟随误差更小、效果更好。采用绝对误差极值和绝对误差积分来量化比较的结果如表 5所示。

由表 5可见，绝对误差极值减小28.5%，绝对误差积分减小39.3%。

由图 15和16观察到伺服电机启动阶段跟随误差明显高于平稳运行阶段，而平稳运行时的跟随误差更值得关注。本文不妨假设第1 s至第5 s为平稳运行阶段，计算该时间段内的绝对误差极值和绝对误差积分，如表 6所示。

由表 6可见，绝对误差极值减小42.1%，绝对误差积分减小38.4%。表 5和6表明了在直线进给实验中，遗传算法整定参数更有效地控制了跟随误差，进而导致跟随效果更佳。

综合2个实验可以看出，人工经验整定的伺服控制参数已经具有不错的跟随效果。正弦信号跟随误差不超过10 μm，直线进给跟随误差在平稳运行阶段不超过1.5 μm，启动阶段不超过5 μm。遗传算法整定的伺服控制参数具有更小的跟随误差以及更好的跟随效果。正弦信号跟随误差不超过7 μm，直线进给跟随误差在平稳运行阶段不超过0.9 μm，启动阶段不超过3.5 μm。驱动器没有产生稳态误差，伺服准确性良好，误差波动情况优于人工经验整定参数，伺服稳定性良好。正弦信号跟随、直线进给过程中各项误差指标均降低超过27%，伺服快速性得到明显改善。具体而言，平稳运行阶段误差降低更为明显，即控制效果优化更为明显，这是由于平稳运行阶段，电机实际动态特性与仿真更为接近，参数整定更具有针对性。

4 结论

本文针对机床驱动电机的伺服控制参数整定问题，鉴于人工经验整定费时费力且效果不够理想的现状，提出了一种基于遗传算法的伺服控制参数整定方法。首先建立了理论模型和控制系统模型，并结合实际带宽和固有频率进行了修正。针对并混联机床的特点，在稳定性和准确性方面提出4个报警指标、在快速性方面提出3个择优指标，并提出包含这2类指标的适应度函数。基于遗传算法整定了伺服控制参数，并在1台五轴混联机床上分别进行了正弦信号和直线进给跟随实验。实验结果显示：采用本文方法得到的优化参数下，伺服准确性、稳定性良好，快速性得到明显改善，跟随误差减小超过27%，跟随性能明显优于人工经验整定参数。可见，本文提出的基于遗传算法的参数整定方法省时省力，且可以针对准确性、稳定性、快速性进行有侧重的优化，并得到优于人工经验整定参数的效果。