随着近年来与高速转轴相结合的五轴联动机床在高精密的复杂曲线加工中应用越来越广泛，其刀头的动态精度与整体的动态性能也成为国内外科研工作者重视的研究热点之一^[1-3]。

伺服进给系统性能的高低对于数控机床的动态性能与加工精度具有重要影响^[4-5]。对伺服进给系统的机电耦合建模主要有两种方式：1) 在未知系统具体结构的条件下通过辨识来获得整体宏观上的系统模型^[6-8]；2) 在已知系统理论结构的条件下直接建立系统模型^[9-11]。

目前针对五轴联动机床伺服进给系统的研究主要集中在各单轴伺服进给系统导致跟踪误差的原因及其对最终加工精度的影响^[12-14]，而对于各单轴之间伺服匹配关系对最终加工精度的影响的研究却非常匮乏^[15]。伺服匹配是指当参与插补曲线加工的伺服轴数量为2个或2个以上时，对参与轴基于伺服控制参数进行联动性能优化与调整。这种基于已有的机械结构与控制设备进行的优化与调整仅需改变内部参数，因此比其他优化方法成本大幅度降低，具有十分重要的工程意义。

在伺服匹配方面，对于两轴间的伺服匹配优化已有较为成熟的伺服插补圆度测试法，但对于多轴参与运动的机械系统如五轴联动机床等尚未有成熟、系统的伺服匹配优化方法。本文提出了一种基于圆度测试法的多轴间伺服匹配优化方法，从机床整体结构、各轴负载及运动关系出发，对各轴的伺服控制参数进行调整优化。本文提出的方法可行性强，且仿真结果验证了其优化的有效性。

1 五轴联动铣床三维模型 1.1 机床整体结构描述

由AC型双摆头五轴联动铣床实际整体结构简化所得的三维模型如图 1所示。X轴导轨与工作台均与床身固连，X方向两边导轨各有一驱动系统同时对Y轴横梁及其上负载进行驱动，Y轴、Z轴、A轴及C轴上负载均由单一驱动系统进行驱动。

该装有AC双摆头的五轴联动铣床的三维原理图如图 2所示。首先，建立工件坐标系。以工作台中心点O_p作为坐标系原点，以过该点竖直向上的工作平面法向量为z轴，以过该点的Y轴横梁平行向量为y轴，由右手定则确定x轴。考虑到工作台与床身固连，工件坐标系也作为该系统的惯性坐标系。

然后，分别建立X、Y、Z 3个方向上的导轨-滑块坐标系。分别取X、Y、Z方向导轨中心轴线一端端点为坐标系原点O_x、O_y、O_z，3坐标系下的x、y、z轴正方向均与工件坐标系相同。

最后，建立A、C两旋转轴坐标系。取摆头顶端平面中心点为坐标原点O_c，x、y、z轴正方向与工件坐标系相同；取C轴回转轴线与A轴回转轴线交点为A轴坐标系原点O_a，x轴正方向沿刀主轴轴线方向，y轴正方向沿A轴回转轴线方向，z轴正方向由右手定则确定。

1.2 理想运动变换矩阵

设a坐标系下一点坐标转换到b坐标系下的齐次变换矩阵为 ${ }_{a}^{b} \boldsymbol{T} $ 。根据图 2中系统拓扑结构，建立该机床的正运动学变换矩阵，如式(1)所示。

$ { }_{A}^{P} \boldsymbol{T}={ }_{X}^{P} \boldsymbol{T}_{Y}^{X} \boldsymbol{T}_{Z}^{Y} \boldsymbol{T}_{C}^{Z} \boldsymbol{T}_{A}^{C} \boldsymbol{T} . $

(1)

其中各变换矩阵表达式为：

$ { }_{Z}^{Y} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & \Delta x_{z y} \\ 0 & 1 & 0 & y+\Delta y_{z y} \\ 0 & 0 & 1 & \Delta z_{z y} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], $

$ { }_{Y}^{X} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & x+\Delta x_{y x} \\ 0 & 1 & 0 & \Delta y_{y x} \\ 0 & 0 & 1 & \Delta z_{y x} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right],{ }_{X}^{P} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & \Delta x_{x p} \\ 0 & 1 & 0 & \Delta y_{x p} \\ 0 & 0 & 1 & \Delta z_{x p} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], $

$ { }_{C}^{Z} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & \Delta x_{c z} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & z+\Delta z_{c z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{c} & -\sin \theta_{c} & 0 & 0 \\ \sin \theta_{c} & \cos \theta_{c} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], $

$ { }_{A}^{C} \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \Delta z_{a c} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} \sin \theta_{a} & 0 & \cos \theta_{a} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\cos \theta_{a} & 0 & \sin \theta_{a} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]. $

在上述坐标变换矩阵中，x、y、z分别为X、Y、Z 3个方向上的伺服控制系统的进给量；Δx、Δy、Δz为各坐标系间转换时因整体机械结构导致的X、Y、Z 3个方向上的位移增量常数；θ_a、θ_c为AC双摆头绕A、C两轴分别旋转的角度，即A轴与C轴的伺服控制系统的进给量。通过式(1)即可得到一组工件坐标系下的位姿(x^′，y^′，z^′，θ_a，θ_c)以及该位姿下五轴铣床各轴进给量的相互转换关系。

2 伺服进给系统建模 2.1 平动轴模型

本文选取研究的AC型双摆头五轴联动铣床中X、Y、Z方向平动轴使用的是传统滚珠丝杠机械传动结构，具体结构经简化后的平动轴模型如图 3所示。

图 3中：J₁为主动轴转动惯量；J₂为从动轴转动惯量；T_m为电机输出扭矩；θ_m为电机输出转角；T₂为从动轴驱动扭矩；θ₂为从动轴转角；T_h为从动轴传递至滚珠丝杠的输出扭矩；θ_h为从动轴驱动滚珠丝杠的输出转角；K₂为从动轴的扭转刚度系数；D₂为从动轴阻尼系数；M_t为动平台质量；D_t为负载阻尼系数；X_t为动平台输出位移；f_t为动平台负载阻力；i为主动轴到从动轴的第1级减速装置减速比；i_h为滚珠丝杠减速比，对于单线螺纹有i_h=2π/P_h，其中P_h为滚珠丝杠螺距。

由从动轴到动平台间能量守恒可知从动轴转动1周有：

$ 2 {\rm{ \mathsf{ π} }} T_{\mathrm{h}\_\mathrm{M}}=M_{\mathrm{t}} \ddot{X}_{\mathrm{t}} P_{\mathrm{h}}, 2 {\rm{ \mathsf{ π} }} T_{\mathrm{h}\_\mathrm{D}}=D_{\mathrm{t}} \dot{X}_{\mathrm{t}} P_{\mathrm{h}}, $

$ 2 {\rm{ \mathsf{ π} }} T_{\mathrm{h}\_\mathrm{f}}=f_{\mathrm{t}} P_{\mathrm{h}}, i_{\mathrm{h}}=2 {\rm{ \mathsf{ π} }} / P_{\mathrm{h}}, X_{\mathrm{t}}=\theta_{\mathrm{h}} / i_{\mathrm{h}}. $

其中：T_{h_M}、T_{h_D}、T_{h_f}分别为从动轴输出转矩中驱动平台移动的转矩、克服阻尼的转矩以及克服负载阻力的转矩。联立上面两式可得

$ T_{\mathrm{h}}=T_{\mathrm{h}\_\mathrm{M}}+T_{\mathrm{h}\_\mathrm{D}}+T_{\mathrm{h}\_ \mathrm{f}}=\frac{M_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+f_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}. $

(2)

由主动轴到从动轴的力矩平衡以及从动轴到动平台的力矩平衡可得：

$ T_{\mathrm{m}}=J_{1} \ddot{\theta}_{\mathrm{m}}+\frac{T_{2}}{i_{0}}, $

(3)

$ \begin{gathered} T_{2}=K_{2}\left(\theta_{2}-\theta_{\mathrm{h}}\right)+D_{2}\left(\dot{\theta}_{2}-\dot{\theta}_{\mathrm{h}}\right)=J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{h}}= \\ J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+\frac{M_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+f_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}. \end{gathered} $

(4)

联立式(2)—(4)，并进行Laplace变换，可得：

$ T_{\mathrm{m}}(s)=J_{1} s^{2} \varTheta_{\mathrm{m}}(s)+\frac{\left(K_{2}+D_{2} s\right)\left(\varTheta_{2}(s)-\varTheta_{\mathrm{h}}(s)\right)}{i_{0}}, $

(5)

$ \begin{gathered} \left(K_{2}+D_{2} s\right)\left(\varTheta_{2}(s)-\varTheta_{\mathrm{h}}(s)\right)=J_{2} s^{2} \varTheta_{\mathrm{h}}(s)+ \\ \frac{M_{\mathrm{t}} s^{2} \varTheta_{\mathrm{h}}(s)+D_{\mathrm{t}} s \varTheta_{\mathrm{h}}(s)+F_{\mathrm{t}}(s) i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}. \end{gathered} $

(6)

联立式(5)和(6)，可得平动轴传动系统传递函数为

$ \begin{gathered} \varTheta_{\mathrm{h}}(s)=\frac{i_{\mathrm{h}}^{2}\left(K_{2}+D_{2} s\right) \varTheta_{2}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+M_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}- \\ \frac{i_{\mathrm{h}} F_{\mathrm{t}}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+M_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}. \end{gathered} $

(7)

式(7)可化为系统输入电机转角与动平台位移的传递函数，且由典型二阶系统结构不难验证该系统稳定可控。

2.2 旋转轴模型

本文选取研究的AC型双摆头五轴联动铣床中A、C方向旋转轴采用的是传统蜗轮蜗杆机械传动结构，经简化后的转动轴模型如图 4所示。

图 4中：J_t为负载转动惯量，D_t为负载阻尼系数，θ_t为蜗轮转轴输出转角，T_t为蜗轮转轴负载扭矩。

由做功相等可得：

$ T_{\mathrm{h}} \theta_{\mathrm{h}}=\left(J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{t}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{t}}+T_{\mathrm{t}}\right) \theta_{\mathrm{t}}, $

(8)

$ \begin{gathered} T_{\mathrm{h}}=\left(J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{t}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{t}}+T_{\mathrm{t}}\right) \frac{\theta_{\mathrm{t}}}{\theta_{\mathrm{h}}}=\frac{J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{t}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{t}}+T_{\mathrm{t}}}{i_{\mathrm{h}}}= \\ \frac{J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}} . \end{gathered} $

(9)

由主动轴与蜗杆之间力矩平衡方程可得：

$ T_{\mathrm{m}}=J_{1} \ddot{\theta}_{\mathrm{m}}+\frac{T_{2}}{i}, $

(10)

$ \begin{gathered} T_{2}=K_{2}\left(\theta_{2}-\theta_{\mathrm{h}}\right)+D_{2}\left(\dot{\theta}_{2}-\dot{\theta}_{\mathrm{h}}\right)=J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{h}}= \\ J_{2} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+\frac{J_{\mathrm{t}} \ddot{\theta}_{\mathrm{h}}+D_{\mathrm{t}} \dot{\theta}_{\mathrm{h}}+T_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{h}}}{i_{\mathrm{h}}^{2}}. \end{gathered} $

(11)

联立式(8)—(11)并进行Laplace变换，与平动轴同理可得系统传递函数为

$ \begin{gathered} \varTheta_{\mathrm{h}}(s)=\frac{i_{\mathrm{h}}^{2}\left(K_{2}+D_{2} s\right) \varTheta_{2}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+J_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}-\\ \frac{i_{\mathrm{h}} T_{\mathrm{t}}(s)}{\left(J_{2} i_{\mathrm{h}}^{2}+J_{\mathrm{t}}\right) s^{2}+\left(D_{\mathrm{t}}+i_{\mathrm{h}}^{2} D_{2}\right) s+i_{\mathrm{h}}^{2} K_{2}}. \end{gathered} $

(12)

基于式(12)对传递函数进行分析，根据Routh判据可知该系统亦为稳定可控。

2.3 伺服电机控制系统模型

比例-积分-微分(proportion-integration-differ-entiation, PID)控制器在工业控制领域是一种常见、简单并且十分有效的控制器。在许多应用中，可以将PID控制器简化为P、PI或PD控制器进行控制。在通常的伺服电机控制方案中，采用PI控制的电流环和速度环以及P控制的位置环，就可以保证控制系统具有较好的稳定性、较高的精度以及较快的响应。

从电流环开始，以输出角速度作为输出、输入电流作为输入，从内向外解算该控制系统的传递函数。解算各环的推导过程在文[15]中已给出，在此不再赘述，仅给出最后得到的系统整体控制框图，如图 5所示。Θ_i与Θ_o分别为输入转角与输出转角。

2.4 SIMULINK伺服进给系统机电耦合仿真模型

以平动轴为例讨论机电的耦合方式，考虑到两方面问题：1) 若电机系统与传动系统通过直接拼接的方式搭建伺服进给系统模型，将会出现“角加速度 $ \rightarrow J_{1} \rightarrow T_{\mathrm{m}}\left(M_{\mathrm{C}}\right) \rightarrow 1 / J_{\mathrm{e}} \rightarrow$ 角加速度”的代数环，导致仿真无法进行；2) 实际伺服进给系统中，最终接受位置精度检测并反馈到输入的输出为动平台位移，故位置环反馈信号须由电机轴转角改为动平台位移。

基于直接拼接方式的伺服进给系统模型，将J₁折合进入J_e中并赋J₁零值，即J_e=J_e+J₁，J₁=0，从而在不改变系统整体性质的条件下消除了代数环；对伺服进给系统位置环进行修改，反馈信号由最终的平动轴位移反馈到输入端。修正后的模型如图 6所示。图中：X_input为X轴输入位置指令；ActT_X为X轴电机实际输出转矩；Actaccelaration_X为X轴电机实际输出角加速度；Real_X为X轴上动平台实际位移；F_t_X为X轴所受干扰力矩。

旋转轴伺服进给系统建模与平动轴建模同理。仿真过程中涉及的参数初始值如表 1所示。

3 基于RTCP功能的多轴伺服匹配优化 3.1 RTCP功能简述

将刀具绕中心点旋转(rotation tool center point, RTCP)功能应用于数控机床运动误差检测，其主要的优势在于：1) 可大幅减小旋转轴运动导致的离散化误差与非线性误差，提高刀尖点实际运动轨迹与理想轨迹的重合度；2) 简化数控机床运动时刀尖点空间位置测量工作，刀尖点在运动过程中理想状态应为相对工件坐标系静止，因而实际运动中刀尖点的运动即为出现的运动误差^[12]。RTCP功能关闭与开启时摆头与刀尖点运动状态如图 7所示。

在RTCP功能开启后，当输入的工件坐标系下后置指令为(x^′, y^′, z^′, θ_a, θ_c)时，由式(1)可得各轴进给运动指令(x, y, z, θ_a, θ_c)的关系表达式为

$ \left\{\begin{array}{l} x+\Delta x_{0}=x^{\prime}-L_{0} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}, \\ y+\Delta y_{0}=y^{\prime}-L_{0} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}, \\ z+\Delta z_{0}=z^{\prime}+L_{0} \cdot \cos \theta_{a}. \end{array}\right. $

(13)

其中：L₀为刀尖点到A轴回转轴线的距离；Δx₀、Δy₀、Δz₀分别为因整体几何结构而存在的X、Y、Z 3个方向上的位移增量常数总和。

3.2 基于转动轴的RTCP轨迹规划

由式(13)可得，对A、C两轴的转动进行规划即可控制整个数控机床的位姿变化。考虑到AC型双摆头五轴联动铣床中A轴的转动范围为±90°，为避免转动轴运动中出现速度或加速度突变，采用正弦变化的方式规划转动轴的运动。同时，作为后续多轴运动伺服匹配的运动轨迹，在沿该轨迹运动时各轴必须同时参与实际运动。综上，对A、C两轴转动进行“8”字轨迹规划，其表达式为

$ \left\{\begin{array}{l} \theta_{a}=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{6} \cdot \sin (\omega \cdot t) ,\\ \theta_{c}=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{6} \cdot \sin (2 \omega \cdot t). \end{array}\right. $

(14)

点O_a在空间中一个完整周期内运动形成的理想轨迹如图 8所示。

机床的数控系统对于机床各轴的运动性能有限制，如最大进给速度等。若在轨迹规划中存在运动性能超限，数控系统调整则会导致机床的整体运动过程与理想轨迹出现偏差，此误差将会影响到对数控机床本身运动误差的测量与判断。因此，须在轨迹规划后对轨迹特性进行分析，使得机床按该轨迹运动时各轴运动状态处于数控系统允许的范围内。

对式(13)求导可得

$ \left\{\begin{array}{l} v_{x}=-L_{0} \cdot\left(\omega_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\omega_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}\right) ,\\ v_{y}=-L_{0} \cdot\left(\omega_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}+\omega_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}\right) ,\\ v_{z}=-L_{0} \cdot \omega_{a} \cdot \sin \theta_{a}. \end{array}\right. $

(15)

分析式(15)可得各平动轴速度与A、C两轴角速度约束关系为

$ |v| \leqslant L_{0} \cdot \max \left\{\left|\omega_{a \max }\right|,\left|\omega_{c \max }\right|\right\}. $

(16)

对式(15)求导可得

$ \left\{\begin{aligned} a_{x}=&-L_{0} \cdot\left(\alpha_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\alpha_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}-\right.\\ &\left(\omega_{a}^{2}+\omega_{c}^{2}\right) \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\\ &\left.2 \omega_{a} \omega_{c} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}\right), \\ a_{y}=&-L_{0} \cdot\left(\alpha_{a} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}-\alpha_{c} \cdot \sin \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}-\right.\\ &\left(\omega_{a}^{2}+\omega_{c}^{2}\right) \cdot \sin \theta_{a} \cdot \sin \theta_{c}+\\ &\left.2 \omega_{a} \omega_{c} \cdot \cos \theta_{a} \cdot \cos \theta_{c}\right), \\ a_{z}=&-L_{0} \cdot\left(\alpha_{a} \cdot \sin \theta_{a}+\omega_{a}^{2} \cos \theta_{a}\right). \end{aligned}\right. $

(17)

分析式(17)可得各平动轴加速度与A、C两轴角速度、角加速度的约束关系为

$ \begin{array}{c} |a| \leqslant L_{0} \cdot\left[\max \left\{\left|\alpha_{a \max }\right|,\left|\alpha_{c \max }\right|\right\}+\right. \\ \left.\omega_{a \max }^{2}+\omega_{c \max }^{2}\right]. \end{array} $

(18)

对于本节中前述的“8”字轨迹，对式(14)求导可得：

$ \begin{array}{c} \left|\omega_{c \max }\right|=2\left|\omega_{a \max }\right|=\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}|\omega|}{3}, \\ \left|\alpha_{c \max }\right|=4\left|\alpha_{a \max }\right|=\frac{2 {\rm{ \mathsf{ π} }}|\omega|^{2}}{3}. \end{array} $

(19)

将式(19)代入式(16)和(18)中即可得到在该轨迹下各单轴最大速度和最大加速度与转动轴运动状态间的约束关系。通过调整轨迹定义公式(19)中参数ω就可以限制平动轴的速度、加速度在运行过程中的最大值。通过这种约束关系，可以方便地验证所设计的运动轨迹下的运动状态是否在数控机床允许的范围内，从而保证编程轨迹与数控机床实际驱动轨迹一致。

3.3 基于圆度测试的多轴间伺服匹配

本文选取的伺服匹配优化实例为一台AC型双摆头五轴联动铣床，其整体结构与优化前伺服进给系统相关参数已分别在节1.1与节2.4中给出。

圆度测试法是比较成熟的在两不同进给轴伺服系统间进行伺服匹配的优化方法。然而，对于同时有三轴及三轴以上伺服系统参与运动的情况，圆度测试法无法直接应用。本节提出一种基于圆度测试的多轴间伺服匹配方法：在多轴中选取一轴作为匹配对象，将其他各轴分别与该轴进行圆度测试伺服匹配，匹配过程中保持该轴的伺服系统参数不变，仅改变其他各轴的伺服系统参数。

在选取匹配对象时考虑误差累积以及电机性能与伺服性能相匹配两方面问题：1) Y、Z、A、C 4轴系统结构均安装于X轴导轨上，机床实际运行过程中X轴动态性能如高速运动时的微振等将会影响到其余4轴的定位精度；2) X方向负载最大，行程也较大，X、Y、Z、A、C 5个轴若要达到相同的最大速度及运动精度，X轴所需要的成本更大。

综合考虑以上两方面问题，在保证机床运行平稳的条件下，为了以最小的成本消耗实现相对较好的机床性能，选择X轴伺服系统为匹配对象。

文[6]中给出了包含5个单轴跟随误差及几何误差的AC型五轴联动机床刀尖点位姿表达式，即机床各单轴运动过程中速度越快，各单轴跟随误差通过刀尖点位姿体现得越明显，为避免因跟随误差远小于几何误差而被忽略，测试应在尽量高速的运动状态下进行。

考虑到本文中涉及的五轴联动机床平动轴采用的是西门子1FT7某型电机，其额定转速为3 000 r/min；旋转轴采用的是西门子1FT7某型电机，其额定转速为4 500 r/min，且为与后续在特定轨迹下多轴联动时运动速度相匹配，因此选取运动周期T=30 s、半径r=250 mm的圆轨迹分别对X、Y两轴及X、Z两轴进行圆度测试。

首先通过式(20)计算三平动轴在该圆轨迹下的频率响应特性参数^[16]，

$ f_{\text {circle }} / \mathrm{Hz}=\frac{v /\left(\mathrm{mm} \cdot \mathrm{min}^{-1}\right)}{60 \times 2 {\rm{ \mathsf{ π} }} \ \mathrm{r} / \mathrm{mm}}. $

(20)

计算得到的三平动轴频率响应特性参数均小于0.5 Hz，为较低动态响应状态，轴间可进行圆度测试匹配；A轴与C轴的频率响应特性参数大于0.5 Hz，处于较高动态响应状态，无法与X、Y、Z进行匹配^[16]。考虑到处于较高动态响应水平的两旋转轴在节3.2中给出的基于RTCP功能的“8”字轨迹下运动时跟随误差较小，因此本文仅对X、Y、Z三平动轴进行轴间伺服匹配。

选取实际运动过程中O_a点到圆心距离与理论圆半径的方差 $ \sigma_{\text {round }}^{2}$ 作为机床整体轮廓加工精度的评价指标；同时，为维持各单轴跟随性能在一定水平，选取各单轴在圆度测试中的跟随误差最大值ε_max作为各单轴动态特性的评价指标。根据以上两项指标，优化目标函数为

$ \rho=\sigma_{\text {round }}^{2}+\lambda \cdot \varepsilon_{\max }. $

其中λ为权重系数，根据对机床的实际性能要求进行选定，为常数。本节优化中取1。

由文[16]可知，位置环比例增益K_pp以及速度环比例增益K_pv之间的差异是圆度测试结果的主要影响因素。采用遗传算法分别对X、Y轴间控制参数K_pp、K_pv以及X、Z轴间控制参数K_pp、K_pv进行匹配。

Y轴K_pp与K_pv优化值搜索范围以及Z轴K_pp与K_pv优化值搜索范围分别为：

$ y: K_{\mathrm{pp}} \in[20.855,27.452]; $

$ K_{\mathrm{pv}} \in[4.242,5.517]. $

$ z: K_{\mathrm{pp}} \in[13.036,20.855] ; $

$ K_{\mathrm{pv}} \in[5.517,11.843]. $

适应度函数为

$ f=\frac{1}{c \cdot \rho} . $

其中c为大于1的常数。本节优化中取100。

种群大小取50，迭代次数为100，交叉概率为0.5，变异因子为0.000 1。

在SIMULINK中进行圆度测试仿真，X、Y两轴间匹配及X、Z两轴间匹配结果分别如图 9和10所示。

优化后Y轴伺服系统参数K_pp=22.582，K_pv=5.142，其他参数不变；Z轴伺服系统参数K_pp=17.056，K_pv=10.043，其他参数不变；X轴与两旋转轴伺服系统参数不变。

3.4 基于特定轨迹的多轴伺服匹配优化效果验证

根据节3.2中的轨迹规划及特性分析，令ω=π/15；根据机床刀具实际尺寸，令L₀=331.445 mm。通过式(13)、(14)及式(16)、(18)、(19)，得到具体的空间“8”字运动轨迹，且运动过程中速度始终不超过电机额定转速。为使本文优化方法能对提高实际机床加工精度更具指导意义，选取实际运动过程中O_a点到刀尖点距离与L₀的方差 $\sigma_{\text {test }}^{2} $ 作为精度评价指标。在SIMULINK中进行仿真，结果如图 11所示。

由图 11可知，经过以X轴伺服系统为匹配对象的X、Y两轴伺服匹配以及X、Z两轴伺服匹配后，机床多轴联动的动态精度明显提高。

4 结论

本文针对具有RTCP功能的AC型双摆头五轴联动铣床，提出了一种精度易于测量、优化成本较低且工程实践性强的基于匹配对象的多轴间伺服匹配精度优化方法。首先通过多体拓扑机构学对铣床进行了运动学分析；而后建立了各轴的传动模型以及电机模型，并在SIMULINK中分别搭建了平动轴与旋转轴的机电耦合伺服进给系统模型；基于RTCP功能规划了一条多轴同时参与的运动轨迹并分析了该轨迹下各轴的运动特性，解决了五轴联动铣床刀尖点空间位置精度测量问题；考虑到误差累积以及电机性能与伺服性能相匹配两方面问题，选取了合理的匹配对象，基于圆度测试法以及遗传算法进行两两轴间匹配，实现了多轴间伺服匹配；最后在完成了轴间匹配后，通过对比匹配优化前后的“8”字轨迹运动精度验证了本文优化方法的有效性。