相较于传统系统，直驱进给系统具有传动误差小、能耗低、噪声小、定位精度高以及动态响应性能好等优点，近年来在高速高精密加工领域得到广泛应用^[1-5]。

传统进给系统存在机械传动结构，其系统刚度主要取决于传动部分机械刚度；直驱进给系统省去机械传动环节，其系统刚度主要取决于伺服刚度^[6]，由于负载扰动无缓冲地作用在直驱进给系统上，同时系统运行时受非线性因素影响，因此伺服控制具有较高难度^[7]。对于直驱进给系统，不合理的伺服参数设置会导致系统抗干扰能力差、精度低以及系统动态特性差等问题，影响工件加工精度和表面质量^[8]。伺服刚度优化研究对提高直驱式伺服进给系统动态特性具有重要意义。

目前，关于直驱式伺服进给系统的伺服刚度优化研究受到了国内外学者的广泛关注。相关研究可大致分为3类：1) 对于直驱式伺服进给系统结构建模优化及部件匹配优化^[9-10]；2) 基于具体优化目标，如跟随性能和伺服动刚度等，给出针对性的电机控制算法，通过算法实时自动调整伺服控制参数对系统进行优化^[11-12]；3) 通过各种方式开展不同的频率响应实验，以获得实际机械系统动刚度以及各控制参数对系统动刚度的影响^[13-14]。

然而，目前对直驱式伺服进给系统伺服刚度优化的研究大多基于单个参数对系统伺服刚度的影响，给出相应的优化方法。本文基于多个参数对伺服动刚度的影响，对系统Routh判稳条件进行化简得到多个参数之间的约束关系，提出了一种同时调整多个伺服控制参数以提高系统伺服动刚度的优化方法。该优化方法对于实际工程应用中提高直驱式伺服进给系统动刚度具有指导意义，并为后续寻求基于伺服动刚度的全局最优控制参数整定方案的理论研究奠定了基础。

1 力矩电机直驱伺服进给系统机电耦合建模 1.1 力矩电机建模

目前数控机床直驱进给系统多采用环形永磁力矩电机，是一种永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor, PMSM)。该类电机建模复杂，控制参数整定困难。PMSM电流环在以控制结构为重点研究对象时可等效为直流电机电流环，其具体等效原理本文中不再赘述，其物理模型如图 1所示^[15]。

图 1中：e_i(t)为电机输入电压，L_a为电枢电感，R_a为电枢电阻，e_m(t)为电机工作时产生的反电动势，i_a(t)为回路电流，T(t)为电机输出转矩, θ₀(t)为电机输出转角, J_e为系统及负载在电机轴上的等效转动惯量, M_C(t)为负载转矩。

由Kirchhoff定律及电磁感应定律有：

$ \begin{gathered} e_{\mathrm{i}}(t)=R_{\mathrm{a}} i_{\mathrm{a}}(t)+L_{\mathrm{a}} \frac{\mathrm{d} i_{\mathrm{a}}(t)}{\mathrm{d} t}+e_{\mathrm{m}}(t), \\ e_{\mathrm{m}}(t)=K_{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d} \theta_{0}(t)}{\mathrm{d} t}. \end{gathered} $

(1)

其中K_e为电机反电动势系数。

根据力矩平衡方程以及Lorentz电磁定律有：

$ T(t)-M_{\mathrm{C}}(t)-D_{\mathrm{m}} \frac{\mathrm{d} \theta_{0}(t)}{\mathrm{d} t}=J_{\mathrm{e}} \frac{\mathrm{d}^{2} \theta_{0}(t)}{\mathrm{d} t^{2}}, $

(2)

$ T(t)=K_{\mathrm{t}} i_{\mathrm{a}}(t). $

(3)

其中：K_t为电动机力矩系数；D_m为系统在电机轴上的等效黏滞阻尼系数。联立式(2)和(3)并进行Laplace变换可得

$ \begin{gathered} \varTheta_{0}(s)=\frac{K_{\mathrm{t}} E_{\mathrm{i}}(s)}{L_{\mathrm{a}} J_{\mathrm{e}} s^{3}+R_{\mathrm{a}} J_{\mathrm{e}} s^{2}+K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{e}} s}- \\ \frac{\left(L_{\mathrm{a}} s+R_{\mathrm{a}}\right) M_{\mathrm{C}}(s)}{L_{\mathrm{a}} J_{\mathrm{e}} s^{3}+R_{\mathrm{a}} J_{\mathrm{e}} s^{2}+K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{e}}s}. \end{gathered} $

(4)

由式(4)可得电机系统模型框图如图 2所示。由式(4)不难看出，电机输出角度取决于E_i(s)与M_C(s)两部分系统输入，2个输入变量与输出分别构成单输入-单输出系统，且2个系统均为典型的二阶振荡系统。

1.2 伺服进给控制系统建模

如图 3所示，根据图 2并加入电流环、速度环和位置环后即可建立电机的控制模型，电机控制模型有2个输入，即输入电压E_i(s)和负载力矩M_C(s)，输出为电机转角Θ₀(s)。采用比例-积分-微分(proportion-integration-differentiation, PID)控制器，采用PI控制的电流环和速度环，以及P控制的位置环，就可以保证控制系统具有较好的稳定性、较高的精度以及较快的响应。

从电流环开始，以输出角速度作为输出，以输入电流作为输入，从内向外解算该控制系统的传递函数。解算各环的推导过程在文[15]中已给出，在此仅给出最后得到的系统整体传递函数为

$ \varTheta_{0}(s)=\varTheta_{\mathrm{i}}(s) G_{\mathrm{p}}(s)-M_{\mathrm{C}}(s) G_{\mathrm{M}}(s). $

(5)

其中：

$ \begin{gathered} G_{\mathrm{p}}(s)=\left[K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}\left(T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}} s^{2}+\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right) s+1\right)\right] / \\ \quad\left\{T_{\mathrm{iv}} J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}} L_{\mathrm{a}} s^{5}+T_{\mathrm{iv}}\left[J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right)+D_{\mathrm{m}} L_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}\right] s^{4}+\right. \\ T_{\mathrm{iv}}\left(K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}}+J_{\mathrm{e}} K_{\mathrm{pi}}+D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{ii}}+D_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}+K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}}\right) s^{3}+ \\ \left(K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{iv}}+K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}\right) s^{2}+ \\ \left.K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(K_{\mathrm{pp}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+1\right) s+K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\right\}. \end{gathered} $

$ \begin{gathered} G_{\mathrm{M}}(s)=\left[T_{\mathrm{ii}} L_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{iv}} s^{3}+T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right) s^{2}+K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{iv}} s\right] / \\ \left\{T_{\mathrm{iv}} J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}} L_{\mathrm{a}} s^{5}+T_{\mathrm{iv}}\left[J_{\mathrm{i}} T_{\mathrm{ii}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right)+D_{\mathrm{m}} L_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}\right] s^{4}+\right. \\ T_{\mathrm{iv}}\left(K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}}+J_{\mathrm{e}} K_{\mathrm{pi}}+D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{ii}}+D_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}+K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}}\right) s^{3}+ \\ \left(K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{iv}}+K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{i}}\right) s^{2}+ \\ \left.K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(K_{\mathrm{pp}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+1\right) s+K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\right\}. \end{gathered} $

式(5)给出了以完整的位置指令与干扰力矩为双输入、以电机实际转角为输出的双输入单输出PID伺服进给控制系统表达式。

2 伺服控制参数对伺服刚度的影响 2.1 伺服刚度的定义

对于任一系统其刚度具有各向异性，本文所研究的刚度指A、C双摆头系统圆周进给方向的刚度。在后文中若未加特别说明，均指该圆周进给方向刚度。

直驱式力矩电机机床伺服系统抵抗外界干扰引起输出偏差的能力取决于伺服控制系统以及A、C双摆头组成的系统整体所体现出的在外载荷作用下保持位置不产生偏差的能力，即伺服刚度。伺服刚度单位为N·m/rad，又分为静刚度与动刚度。

伺服静刚度的定义为伺服电机为消除位置偏差而产生的输出力矩与位置偏差之比，即在恒定外载荷作用下进给驱动系统抵抗位置偏差的能力^[12]，

$ K_{\mathrm{sj}}=\frac{T_{\mathrm{dis}}}{\Delta \theta}. $

(6)

其中：T_dis为系统所受干扰力矩，Δθ为干扰力矩引起的伺服系统输出转角增量。

伺服动刚度的定义为在动态载荷下动态干扰力矩与伺服进给系统为消除干扰所输出的转角增量之比，即在动态外载荷作用下伺服进给系统抵抗位置偏差的能力^[12]，

$ K_{\mathrm{sd}}(\mathrm{j} \omega)=\frac{T_{\mathrm{dis}}(\mathrm{j} \omega)}{\Delta \theta(\mathrm{j} \omega)}. $

(7)

其中：T_dis(jω)为动态干扰载荷，Δθ(jω)为随动态干扰载荷变化的伺服系统输出转角增量。

因K_sd(jω)为复数，故用其幅值衡量动刚度大小，

$ K_{\mathrm{sd}}=\left|K_{\mathrm{sd}}(\mathrm{j} \omega)\right| \text {. } $

(8)

2.2 伺服控制参数对伺服刚度的影响

首先验证节1.2中所建伺服进给系统控制模型在描述系统伺服刚度方面的有效性及准确性。依据文[16]中用于仿真分析及实验验证的伺服系统控制参数及电机结构参数，通过节1.2中图 3所示模型得到各参数对系统伺服刚度的影响，如图 4—8所示。

将得到的各参数对伺服动刚度影响的仿真曲线与文[16]中的实验结果进行对比，可验证本文节1.2所建立的直驱式伺服进给系统模型在描述伺服刚度方面的合理性、有效性以及较高的准确性。

3 各伺服控制参数约束关系分析

本节从伺服控制系统稳定性的整体角度，给出了各控制参数之间的约束关系，并提出了以伺服动刚度为优化目标的伺服系统参数优化策略。

3.1 基于Routh判据的各参数约束关系分析

完整的三闭环PID伺服控制系统十分复杂。考虑到力矩电机实际结构、初步三环PID控制器控制参数整定及节2.2中各系统参数对伺服刚度的影响，为使基于Routh判据的各参数约束关系分析能对于本文后续基于伺服刚度的伺服系统参数优化具有更实际的指导意义，作出如下假设：

1) 由于实际电机结构中电枢电感L_a及电枢电阻R_a较小，与除速度环积分时间常数T_ⅳ及电流环积分时间常数T_ii外其他的系统参数相比要小多个量级，因此在化简时将电枢电感L_a及电枢电阻R_a作为小量处理；

2) 由节2.2中速度环积分时间常数T_ⅳ与电流环积分时间常数T_ii分别对伺服动刚度的影响曲线(图 7和8)可以看出，两者越大，系统的伺服动刚度越小；且在系统三环PID控制器参数初步整定时T_ⅳ和T_ii一般均设定较小，与除电枢电感L_a及电枢电阻R_a外其他的系统参数相比要小多个量级，因此在化简时将速度环积分时间常数T_ⅳ与电流环积分时间常数T_ii作为小量处理。

设H为系统传递函数的特征多项式，由式(5)可得

$ \begin{gathered} H=T_{\mathrm{iv}} J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}} L_{\mathrm{a}} s^{5}+ \\ T_{\mathrm{iv}}\left[J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right)+D_{\mathrm{m}} L_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}\right] s^{4}+ \\ T_{\mathrm{iv}}\left(K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}}+J_{\mathrm{e}} K_{\mathrm{pi}}+D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{ii}}+D_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}+\right. \\ \left.K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}}\right) s^{3}+\left(K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+\right. \\ \left.D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{iv}}+K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}\right) s^{2}+ \\ K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(K_{\mathrm{pp}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+1\right) s+K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} . \end{gathered} $

H可化为

$ H=a_{0} s^{5}+a_{1} s^{4}+a_{2} s^{3}+a_{3} s^{2}+a_{4} s+a_{5} \text {. } $

(9)

其中：

$ a_{0}=T_{\mathrm{iv}} J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}} L_{\mathrm{a}}, $

$ a_{1}=T_{\mathrm{iv}}\left[J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right)+D_{\mathrm{m}} L_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}\right], $

$ \begin{gathered} a_{2}=T_{\mathrm{iv}}\left(K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}}+J_{\mathrm{e}} K_{\mathrm{pi}}+D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{ii}}+\right. \\ \left.D_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}+K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}}\right), \end{gathered} $

$ \begin{gathered} a_{3}=K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+D_{\mathrm{m}} K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{iv}}+ \\ K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}, \end{gathered} $

$ \begin{gathered} a_{4}=K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}}\left(K_{\mathrm{pp}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)+1\right), \\ a_{5}=K_{\mathrm{pp}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} . \end{gathered} $

由Routh判据可得，该闭环系统稳定的充分必要条件为：

$ a_{0}>0, $

(10)

$ a_{1}>0, $

(11)

$ \frac{a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}}{a_{1}}>0, $

(12)

$ \frac{a_{1} a_{2} a_{3}-a_{2} a_{3}^{2}-a_{1}^{2} a_{4}+a_{0} a_{1} a_{5}}{a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}}>0, $

(13)

$ \frac{\left(a_{1} a_{2} a_{3}-a_{0} a_{3}^{2}-a_{1}^{2} a_{4}+a_{0} a_{1} a_{5}\right)\left(a_{1} a_{4}-a_{0} a_{5}\right)-\left(a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}\right)^{2} a_{5}}{\left(a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}\right) a_{1} a_{3}-a_{1}^{3} a_{4}+a_{0} a_{1}^{2} a_{5}}>0 , $

(14)

$ a_{5}>0 . $

(15)

由伺服进给系统性质可知，所涉及的各参数均为正数，因此可知式(10)、(11)及(15)均成立。

在式(11)成立的条件下，式(12)两边同乘a₁后可化为

$ a_{1} a_{2}>a_{0} a_{3}. $

上式两边同时除以a₀并代入式(9)中各阶次系数，可得

$ \begin{gathered} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}+\frac{D_{\mathrm{m}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}}+\frac{T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{pp}}}> \\ \left(\frac{K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}}{L_{\mathrm{a}}}+\frac{D_{\mathrm{m}}}{J_{\mathrm{e}}}\right)\left(\frac{K_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}}+\frac{J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}}+\right. \\ \left.\frac{D_{\mathrm{m}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}}+\frac{D_{\mathrm{m}} R_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pp}}}+\frac{T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{pp}}}\right). \end{gathered} $

在上面不等式的右式中，忽略高阶小量并进行合理放缩，不等式可化为

$ \begin{aligned} &\left(\frac{K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}}{L_{\mathrm{a}}}+\frac{D_{\mathrm{m}}}{J_{\mathrm{e}}}\right) \frac{J_{\mathrm{e}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}}> \\ &T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}+\frac{D_{\mathrm{m}} T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}}+\frac{T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}}{K_{\mathrm{pp}}}. \end{aligned} $

(16)

对不等式(16)进行移项整理后可得

$ \frac{J_{\mathrm{e}} K_{\mathrm{pi}}+K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pi}} K_{\mathrm{pv}} T_{\mathrm{ii}}}{L_{\mathrm{a}} K_{\mathrm{t}} T_{\mathrm{ii}} K_{\mathrm{pv}}}-\frac{T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}}{T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}}>K_{\mathrm{pp}}. $

(17)

由式(17)不难看出，存在系统各参数的取值使得式(17)成立。在式(12)成立的条件下，不等式(13)两边同乘a₁a₂－a₀a₃并移项可得

$ a_{1} a_{2} a_{3}+a_{0} a_{1} a_{5}>a_{2} a_{3}^{2}+a_{1}^{2} a_{4}. $

(18)

考虑式(18)中各项在代入各阶次系数后高阶小量的阶次，式(18)右式中消去a₂a₃²并将不等式两边同时除以a₁可得

$ a_{2} a_{3}+a_{0} a_{5}>a_{1} a_{4} $

(19)

代入各阶次系数，不等式(19)两边同时除以J_eK_tK_piK_pvK_pp可得

$ \begin{gathered} \frac{K_{\mathrm{pi}} D_{\mathrm{m}} T_{\mathrm{ii}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pp}}}+\frac{K_{\mathrm{pi}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)}{K_{\mathrm{pp}}}+K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{ii}} T_{\mathrm{iv}}+L_{\mathrm{a}} T_{\mathrm{ii}}> \\ T_{\mathrm{ii}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right)\left(\frac{1}{K_{\mathrm{pp}}}+T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right) . \end{gathered} $

忽略高阶小量，式(19)移项整理后可简化为

$ \frac{K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{iv}}}{T_{\mathrm{ii}}\left(K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{ii}}-L_{\mathrm{a}}\right)}>K_{\mathrm{pp}}. $

(20)

分析式(17)及(20)不难得出，存在系统各参数的取值使得两式同时成立。在式(11)、(17)及(20)同时成立的条件下，式(14)两边同时乘以(a₁a₂－a₀a₃)a₁a₃－a₁³a₄+a₀a₁²a₅，移项整理后可得

$ \begin{gathered} \left(a_{1} a_{2} a_{3}-a_{0} a_{3}^{2}-a_{1}^{2} a_{4}+a_{0} a_{1} a_{5}\right)\left(a_{1} a_{4}-a_{0} a_{5}\right)> \\ \left(a_{1} a_{2}-a_{0} a_{3}\right)^{2} a_{5}. \end{gathered} $

去括号后整理不等式有

$ \begin{gathered} a_{1}^{2} a_{2} a_{3} a_{4}+2 a_{0} a_{1}^{2} a_{4} a_{5}+a_{0} a_{1} a_{2} a_{3} a_{5}-a_{0} a_{1} a_{3}^{2} a_{4}- \\ a_{1}^{3} a_{4}^{2}-a_{0}^{2} a_{1} a_{5}^{2}>a_{1}^{2} a_{2}^{2} a_{5}. \end{gathered} $

考虑上式中各项在代入各阶次系数后高阶小量的阶次，式左消去a₀a₁a₃²a₄，不等式两边同时除以a₀a₁a₅可得

$ \frac{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}}{a_{0} a_{5}}+a_{2} a_{3}>\frac{a_{1} a_{2}^{2}}{a_{0}}+\left(\frac{a_{1} a_{4}}{a_{0} a_{5}}-2\right) a_{1} a_{4}+a_{0} a_{5} . $

(21)

代入各阶次系数，忽略高阶小量，不等式(21)左边可化为

$ \frac{J_{\mathrm{e}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pi}}^{2} T_{\mathrm{iv}}}{L_{\mathrm{a}}}\left[\frac{K_{\mathrm{pi}}}{K_{\mathrm{pp}}}+K_{\mathrm{pi}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)\right]\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right), $

不等式(21)右边可化为

$ \begin{gathered} \frac{J_{\mathrm{e}} K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}} K_{\mathrm{pi}}^{2} T_{\mathrm{iv}}}{L_{\mathrm{a}}}\left[\frac{J_{\mathrm{e}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right)+D_{\mathrm{m}} L_{\mathrm{a}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}}}+\right. \\ \left.\left[\frac{K_{\mathrm{pi}}}{K_{\mathrm{pp}}}+K_{\mathrm{pi}}\left(T_{\mathrm{ii}}+T_{\mathrm{iv}}\right)\right] T_{\mathrm{i}}\right]. \end{gathered} $

综上，有

$ \frac{K_{\mathrm{pi}}}{K_{\mathrm{pp}}}+K_{\mathrm{pi}} T_{\mathrm{iv}}>\frac{J_{\mathrm{e}}\left(K_{\mathrm{pi}}+R_{\mathrm{a}}\right)+D_{\mathrm{m}} L_{\mathrm{a}}}{K_{\mathrm{t}} K_{\mathrm{pv}}}. $

(22)

分析式(17)、(20)及(22)不难得出，存在系统各参数的取值使得这3个公式同时成立，即存在系统各参数取值使得该系统稳定。式(17)、(20)及(22)给出了在系统稳定条件下各参数之间的约束关系。

3.2 系统稳定性判据验证

以某一装有A、C双摆头的五轴联动机床中A轴伺服进给系统为例。该系统初步整定的各伺服控制参数及电机结构参数如表 1所示。

基于表 1中实际系统的各参数值对节3.1中所得Routh判据表达式的准确性进行验证。基于节3.1中在进行Routh判据表达式简化前所作假设，在验证时不妨令T_ⅳ、T_ii及其他电机结构参数保持不变；为验证理论模型的准确性，暂不考虑系统实际工作时电机力矩、转速及电流等限制。

对于绝大多数采用PID控制的数控机床进给系统，其各环比例增益的整定范围均在0~200之间(各比例增益数值单位同表 1)，而分析式(17)与(20)不难看出，当各环比例增益在该范围内变化时，式(17)及(20)始终成立。

因此，本节仅给出式(22)的准确性验证过程。保持K_pi不变，令K_pv=50 A·s/rad以使得在验证式(22)时式(17)及(20)始终成立。由式(22)可得，当K_pp>136.364 s^-1时系统失稳即式(22)不再成立。

逐渐增大K_pp并通过Simulink得到系统阶跃响应仿真曲线，得到当K_pp=137.5 s^-1时，系统响应出现振荡失稳，仿真曲线如图 9所示。综上，理论模型中式(22)的准确性得到仿真验证。

4 基于Routh判据的伺服刚度优化 4.1 伺服系统多参数优化方法

由节2.2中伺服系统各参数对伺服刚度的影响曲线可知，减小T_ⅳ及T_ii可提高伺服动刚度；由PID控制原理可知，增大T_ⅳ及T_ii会极大地影响系统的动态响应性能。综合考虑以上两方面，结合实际工程应用中对于伺服系统的性能要求，在对T_ⅳ及T_ii进行优化时供优化搜索的范围很小，导致其数值变化对于伺服刚度及系统动态响应性能影响较小，因此在优化中暂不考虑对T_ⅳ及T_ii的优化整定，而是将它们设成较小的常数值。

在对伺服系统中各环比例增益进行优化整定时，将K_pp、K_pv、K_pi的优化搜索范围设置为K_pp∈ (0, k_{pp lim}], K_pv∈(0, k_{pv lim}], K_pi∈(0, k_{pi lim}]。各增益数值单位与表 1中相同；其中，k_{pp lim}、k_{pv lim}以及k_{pi lim}的值取决于系统给定输入以及实际电机运行时电机的最大转速、最大电流和最大输出转矩。

首先，取出K_pv搜索范围内所有整数，

$ K_{\mathrm{pv}_{i}}=i \quad\left(i \in\left(0, k_{\mathrm{pv} \lim }\right], i \in {\bf{Z}}^{+}\right). $

(23)

将K_pvi代入式(20)和(22)中得到在系统稳定条件下各K_pvi对应的位置环比例增益K_pp取值范围，将该范围与K_pp的优化搜索范围取交集后取整，与K_pv同理，即

$ K_{\mathrm{pp}_{i j}}=j \quad\left(j \in\left(0, k_{\mathrm{pp} \lim }^{\prime}\right], j \in {\bf{Z}}^{+}\right). $

(24)

其中k_{pp lim}^′为取交集后新的取值上限。为缩短优化方法计算时间，考虑到节2.2中所得位置环比例增益K_pp增大到一定程度后对伺服刚度的影响变化不大，将式(24)改写为

$ \left\{\begin{array}{l} K_{\mathrm{pp}_{i j}}=j \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(j \in\left(0, \frac{k_{\mathrm{pp\lim }}^{\prime} }{2}\right], j \in {\bf{Z}}^{+}\right), \\ K_{\mathrm{pp}_{i j}}=2 j-\left\lceil {\frac{k_{\mathrm{pp\lim}}^{\prime}}{2}} \right\rceil \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(j \in\left(\frac{k_{\mathrm{pp \lim}}^{\prime} }{2}, \frac{3 k_{\mathrm{pp} \lim}^{\prime}}{4}\right], j \in {\bf{Z}}^{+}\right). \end{array}\right. $

(25)

其中$\lceil \; \rceil $为向下取整计算。

将K_pvi及其对应的j个K_ppij分别代入式(17)中得到系统稳定条件下各组位置环比例增益K_pp与速度环比例增益K_pv对应的电流环比例增益取值范围。由节2.2可知K_pi对于伺服刚度的影响与K_pp相似，因此为缩短优化方法计算时间，对K_pi的数据处理方式与K_pp相同，可得

$ \left\{\begin{array}{l} K_{\mathrm{pi}_{i j h}}=\left\lceil h+k_{\mathrm{pi\min}}\right\rceil \\ \left(h \in\left(0, \frac{k_{\mathrm{pi} \lim}-k_{\mathrm{pimin}}}{2}\right], h \in {\bf{Z}}^{+}\right), \\ K_{\mathrm{pi}_{i j h}}=2\left\lceil h+k_{\mathrm{pi\min}}\right\rceil-\left\lceil\frac{k_{\mathrm{pi\min}}+k_{\mathrm{pi\lim}}}{2}\right\rceil \\ \left(h \in\left(\frac{k_{\mathrm{pi} \min }+k_{\mathrm{pi\lim}}}{2}, \frac{3 k_{\mathrm{pi\min}}+3 k_{\mathrm{pi\lim}}}{4}\right], h \in {\bf{Z}}^{+}\right). \end{array}\right. $

综上，即可在精度为1的条件下遍历在系统稳定前提下各环比例增益在优化搜索范围内的所有组合。

选取伺服动刚度的倒数即伺服动柔度作为伺服动刚度高低的评价指标。伺服动柔度的表达式即为干扰力矩输入(即电机实际转角输出)的系统传递函数，也就是式(5)中的G_M(s)。伺服动柔度的最大值对应于伺服动刚度的最小值。除此之外，为避免优化结果一味地增大各环比例增益而导致系统出现超调过大、振荡频繁等诸多动态性能问题，选取系统阶跃响应的调节时间T_stable为另一评价指标。综上，采用式(26)作为目标优化函数，

$ f=\frac{1}{\frac{\lambda}{K_{\mathrm{sd}}}+T_{\text {stable }}}. $

(26)

其中λ为根据系统实际性能需求设定的权重系数，为常数。

通过以上步骤即可得到精度为1的全局最优解，此时再根据所需精度，通过搜索区间长度为2的局部寻优，即可得到精度更高的解。可见，本节采用的优化方法在优化整定各环比例增益以提高了伺服刚度的同时，对系统的动态性能影响较小。

4.2 伺服系统动刚度优化方法验证

基于表 1中的系统初始参数作Bode图，如图 10所示，得到优化前伺服动柔度的频域特性。从图 10中可知，优化前系统的固有频率约88 rad/s，动柔度振幅峰值约为-90 dB。

该系统采用的力矩电机额定转矩为6 000 N·m，额定转速为200 r/min，额定电流为200 A。将表 1中除伺服控制参数K_pp、K_pv、K_pi外的各参数代入式(17)、(20)及(22)中可得该系统的稳定性条件。

由于在实际加工过程对该机床A轴伺服控制系统的性能要求是动态响应快、跟随误差小且抵抗切削力干扰的能力强，因此在输入为0.1 rad的阶跃响应下，设定权重系数为10¹⁰。

设定整定精度为0.1。通过节4.1中方法优化后伺服系统动柔度的频域特性如图 11所示，系统伺服动刚度得到明显提高，固有频率约127 rad/s，动柔度振幅峰值约为-110 dB，且全频域内整体伺服动刚度均有所提高。此时，K_pp=25.3 s^-1，K_pv=65.2 A·s/rad，K_pi=40.5 V/A，其他参数与初始值相同。可见，本文优化方法对于系统伺服刚度的优化效果较好。

5 结论

本文提出了一种对采用力矩电机直驱的数控机床进给系统的伺服刚度进行优化的方法。首先通过电流环等效简化了力矩电机模型，并建立了完整的伺服进给系统机电耦合模型；根据伺服系统各环PID控制参数对伺服刚度的影响，对系统稳定性Routh判据不等式进行了简化求解，得到各控制参数间的约束关系式并通过Simulink仿真验证了关系式的准确性；基于上述分析结果，提出了以伺服刚度为优化目标且能同时考虑系统调节时间的伺服控制参数优化方法。最后，以某五轴联动数控机床A轴力矩电机直驱进给系统为例，进行了优化应用验证，Bode图结果表明本文优化方法能有效提高系统伺服刚度，且操作难度低，易于实现，对实际工程实践具有指导意义。