液滴碰撞壁面是常见的两相流现象,广泛存在于应急喷淋冷却、汽水分离再热、电路印刷等各种工业科技领域。液滴在壁面上的运动行为对许多物理过程有重要影响,例如在喷淋冷却中,需要增大液滴碰壁后的铺展直径D,并减小液滴中心厚度hc,从而扩大换热面积,促进流体蒸发,利用汽化潜热加强散热[1-2]。液滴碰撞壁面后的运动状态,主要受流体性质、壁面润湿性、碰撞速度、入射角度等因素的影响[3-8]。通过研究上述因素与液滴行为的内在联系,有效控制液滴运动,揭示其动力学机理,是研究和应用的共同需要。在近20年里,随着高速摄像技术的应用和普及,液滴碰撞动力学得到了快速发展[9-12]。
为描述初始直径D0的液滴以速度U0垂直碰撞壁面后的形态变化,研究者们用铺展因子β=D/D0表征液滴直径变化,用无量纲中心厚度h*=hc/D0表征液滴厚度变化,观测β和h*随无量纲时间τ=t·U0/D0变化的情况,重点关注最大铺展因子βmax和最小中心厚度hmin*。针对上述参数,学者们开展了大量研究。
根据β随τ变化情况,液滴碰撞分为运动、铺展、弛豫和平衡4个阶段[13],如图 1所示。在运动阶段(τ < 0.1),惯性力占主导地位,液滴上部仍保持球状,下部铺展成楔形边缘,文[13, 19-22]指出该阶段可忽略流体性质影响,β随τ呈指数上升,即β ∝τb,其中指数b介于0.45到0.57之间,一般取b=0.5;在铺展阶段,受黏性力或毛细力的主导作用,β逐渐增至βmax,然后液滴开始回撤收缩,进入驰豫阶段[14];在平衡阶段,液滴可能稳定铺展,也可能发生反弹[15-16],或者碎裂飞溅[17-18]。本文主要针对运动阶段和铺展阶段进行研究。
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图 1 β随τ变化的4个阶段 |
对于直径小于其毛细长度的液滴碰撞(即ρgD02 < σ,其中ρ和σ分别是液滴的密度和表面张力,g为重力加速度;本文研究体系均满足该条件),一般认为βmax主要受We和Re这2个特征数控制[22]。We=ρD0U02/σ,Re=ρD0U0/μ,其中μ是液滴的黏度。
1996年,Pasandideh-Fard等[23]对水滴碰撞进行实验和数值研究,认为βmax由We、Re和前进接触角θa共同决定:βmax=[(We+12)/(3-3cosθa+4We/Re0.5)]0.5。2009年,Roisman等[24]通过理论推导,认为在We、Re较大的情况下,有βmax=0.87Re0.2-0.40Re0.4We-0.5。上述预测模型认为We和Re都对βmax产生影响,而Bartolo等[3]、Clanet等[14]、Eggers等[26]利用碰撞因子P=We/Reb(0 < b < 1)判定液滴铺展由哪种力主导,认为当毛细力主导铺展时,βmax由We决定;当黏性力主导铺展时,βmax由Re决定。
h*随τ变化分3个阶段[27]:降低阶段、平台阶段、回升阶段。在降低阶段的初期,受惯性力主导,h*随τ线性降低[22]。当U0较大时,hmin*接近黏性边界层厚度,h*保持在hmin*一段时间即进入平台阶段。随后,受表面张力作用,h*进入回升阶段。
对于hmin*,2010年Schroll等[28]数值模拟了硅油碰撞平面,忽略空气影响,发现hmin*由边界层厚度决定。2010年,Eggers等[26]通过数值模拟,认为当Re较大时存在规律hmin*∝Re-0.4,但对于Re较小的情况,可以忽略双曲流影响,有hmin*∝Re-0.5。2012年,Lagubeau等[29]通过实验测量水和甘油溶液液滴碰撞平面,认为在100 < Re < 10 000的范围内,hmin*与Re-0.4成正比。2017年,Zhu等[30]通过数值模拟液滴撞击球面,认为当We较小时,表面张力也显著影响液滴厚度。
βmax和hmin*的多种预测模型如表 1所示。从表 1可以看出,在黏性力区,已有的理论、实验和模拟研究普遍认为βmax主要由Re控制,与Re0.2成正比,但目前实验数据和模拟验证均较少,已有实验主要针对硅油、甘油溶液,黏度在300 mPa·s以内,缺乏对于更高黏度液体的研究;另外,Eggers等[26]的模拟研究不针对真实流体,且忽略空气影响和假设壁面完全疏水,与现实情况具有差异。在毛细力区,尽管Eggers等[26]的模拟结果与Fedorchenko等[25]的理论相符合,都认为βmax∝We0.5,但Clanet等[14]的实验结果却表明βmax∝We0.25,实验所得We指数大小仅为理论的一半。因此,仍需对βmax进行更多的实验、模拟研究。
模型提出者 | 研究方法和研究范围 | 主要研究流体和结论 | 备注 |
Clanet等[14] | 实验: 10<Re<10 000 2<We<1 000 |
毛细力区:水; P=We/Re0.8<1, βmax∝We0.25 黏性力区: 硅油(黏度20 mPa·s、300 mPa·s); P=We/Re0.8>1, βmax∝Re0.2 |
无论壁面润湿性如何,均满足毛细力区的辅展规律;黏性力区的实验基于壁面亲液 |
Fedorchenko等[25] | 理论: 240<Re<12 000 200<We<1 200 |
毛细力区:无实际物质; P=We/Re0.5≤1, βmax∝We0.5 黏性力区:无实际物质; P=We/Re0.5≥1, βmax∝Re0.2 |
在毛细力区,βmax还受到壁面润湿性影响 |
Eggers等[26] | 数值: 800<Re<8 000 400<We<16 000 |
毛细力区:无实际物质; P=We/Re0.4→0, βmax∝We0.5 黏性力区:无实际物质; P=We/Re0.4→∞, βmax∝Re0.2 |
不考虑空气影响,且假设壁面完全疏水 |
Fedorchenko等[25] Roisman等[24] Eggers等[26] Lagubeau等[29] |
理论:Re>1 000 理论:大数量级Re 数值:Re>1 000 实验:100<Re<10 000 |
无分区:水、甘油溶液(黏度0.95~220 mPa·s); hmin*∝Re-0.4 |
|
Eggers等[26] Du等[22] |
数值:Re<1 000 | 无分区:水、甘油溶液(黏度35.5~220 mPa·s); hmin*∝Re-0.5 |
忽略双曲流影响 |
针对hmin*的实验和模拟研究结论主要基于水和甘油溶液,研究流体种类较少;同时,Lagubeau等[29]的实验结论hmin*∝Re-0.4和Du等[22]的数值结果hmin*∝Re-0.5也存在一定差异,尽管2种结论所基于的Re范围有所不同,但Re是否对指数有直接影响以及Re是否为hmin*的唯一影响因素,有待进一步探讨。
综上所述,针对βmax和hmin*的研究,不同学者所得结论具有差异,研究的流体种类也较为单一,We和Re的研究范围也各不相同。因此本文采用相场法,对9组真实流体碰撞不同润湿性平面进行数值模拟,将μ和σ的研究范围分别扩展为1~970 mPa·s和20~500 mN/m,并通过改变U0,获得1≤Re≤18 600、1≤We≤4 660的测试体系,探索流体性质、壁面润湿性等因素在液滴碰撞过程中的作用机理,补充了低Re液滴碰撞数据,探索已有理论的适用性,尝试揭示更具普适性的液滴碰撞机制。
1 相场法模型介绍多相流数值模拟的技术关键点之一是对相界面进行描述和追踪,常用的界面捕捉技术有VOF法[31]、水平集法[32]、界面追踪法[33]、相场法[34]等。与VOF法和水平集法相比,相场法对高密度比两相流模拟具有更好的数值稳定性,且能更加真实地体现表面张力的影响[35]。同时,相场法用有限厚度的扩散层来描述相界面,用界面扩散来体现三相接触线移动,解决了接触线“奇点”问题[36]。
基于上述优点,相场法在液滴碰撞模拟研究中得到了广泛应用[36-38]。本文采用有限元计算软件COMSOL Multiphysics®中的相场法模块,建立2-D轴对称的液滴碰撞模型。
1.1 相场法原理本文采用的相界面控制方程为Cahn-Hilliard方程[39]:
$ \partial \phi / \partial t+\boldsymbol{u} \cdot \nabla \phi=\nabla \cdot(\gamma \nabla G). $ | (1) |
其中:ϕ为相函数,在单相流体内部为常数,而在相间交界层内线性变化;u为流场速度矢量;γ是迁移率,表征相间扩散的时间尺度;G是化学势,代表多相流系统自由能对相函数的变化率[40]。
$ G=\lambda\left[-\nabla^{2} \phi+\phi\left(\phi^{2}-1\right) / \varepsilon^{2}\right] . $ | (2) |
其中:λ为混合能密度;ε是相界面厚度,取最小网格尺寸h的一半,即ε=h/2。
界面张力Fst由相函数ϕ的梯度和化学势G共同决定:
$ \boldsymbol{F}_{\mathrm{st}}=G \nabla \phi. $ | (3) |
将Fst作为体积力加入到控制流场的Navier-Stokes方程中去,并结合连续性方程,计算不可压缩流体的运动情况:
$ \rho(\partial \boldsymbol{u} / \partial t+\boldsymbol{u} \cdot \nabla \boldsymbol{u})=-\nabla p+\mu \nabla^{2} \boldsymbol{u}+\boldsymbol{F}_{\mathrm{st}}+\rho \boldsymbol{g}, $ | (4) |
$ \nabla \cdot \boldsymbol{u}=0 $ | (5) |
其中:ρ和μ分别是流体的密度和动力黏度,p是压强,g是重力加速度。
通过求解计算式(1)—(5),利用相函数获得新的界面位置,得到各相流体的体积分数,对流体密度、黏度等参数进行更新,实现两相流的瞬态模拟计算。
1.2 模型验证为保证模型的数值稳定性,h和D0需满足关系:h/D0 < 0.01[41]。为研究网格敏感性,设置D0=2 mm,分别取h为0.014和0.010 mm,建立非结构化网格。用2种网格设置的模型模拟水滴碰撞疏水壁面,所得β~τ曲线如图 2所示,2种网格设置的计算结果相差约0.03%。为节省计算时间,本文取h=0.014 mm。
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图 2 网格敏感性分析(We=28) |
为验证模型可靠性,建立与Šikalo等[42]的水滴碰撞实验相同的数值模型:D0=2.45 mm,Re=4 010,We=90,壁面接触角θe=100 °。相场法模拟结果与Šikalo等的实验数据、VOF法模拟结果的对比如图 3所示,其中灰色为实验照片,橘色为VOF模拟结果,蓝色为本文相场法模拟结果。可以看出,相场法模型能较为准确地呈现液滴形态的变化过程。
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图 3 水滴撞击疏水壁面 |
图 4给出了上述碰撞过程的β~τ曲线。在运动阶段,相场法模型所得β值比实验数据略小;从τ>0.1到液滴铺展至βmax,相场法模型与实验数据整体符合良好,相场法对βmax的模拟精度略高于VOF法;在驰豫阶段,相场法模拟结果与实验数据基本吻合。
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图 4 水滴撞击疏水壁面的β~τ曲线 |
2 液体性质和壁面润湿性对液滴碰撞的影响
本文的研究体系如表 2所示,包括9组流体:水、3种质量分数的甘油水溶液、4种型号的PDMS硅油,以及镓基合金。镓基合金是一种常温液态金属,密度约为水的6倍,表面张力高达500 mN/m,黏度与水接近,其特殊的物性为在25℃常温下研究低黏度、超高表面张力和超高密度液滴碰撞提供了依据。PDMS硅油的表面张力约为水的1/3,是一种低表面张力流体,其黏度范围非常广,可以低至与水同一量级,也可以是水的上千倍。
流体 | ρ/(kg·m-3) | μ/(mPa·s) | σ/(mN·m-1) | We | Re |
水 | 996 | 1.0 | 73.0 | 7~682 | 996~9 960 |
60%质量分数甘油 | 1 150 | 11.7 | 64.8 | 9~1 739 | 98~1 376 |
85%质量分数甘油 | 1 210 | 97.7 | 63.5 | 10~1 867 | 12~173 |
96%质量分数甘油 | 1 250 | 397.8 | 63.0 | 10~1 944 | 3~44 |
镓基合金 | 6 200 | 2.0 | 500.0 | 6~223 | 3 100~18 600 |
PDMS 10 | 935 | 10.0 | 20.0 | 1~46 | 19~131 |
PDMS 100 | 965 | 100.0 | 20.3 | 24~4 659 | 10~135 |
PDMS 500 | 970 | 480.0 | 20.4 | 24~4 660 | 2~28 |
PDMS 1 000 | 970 | 970.0 | 20.4 | 24~4 660 | 1~14 |
所研究液滴D0均为2 mm,通过改变U0(0.1~ 7 m/s),获得了We变化范围覆盖3个数量级、Re变化范围覆盖4个数量级的模拟结果。同时,为分析壁面润湿性的影响,设置θe为90°、150°、180°。
本文采用Clanet等[14]提出的P=We/Re0.8来判断液滴铺展的主导力,认为当P>1时,黏性力起主导作用;当P < 1时,毛细力起主导作用。将表 2中的离散数据点绘制到图 5中。可以看到,因为镓基合金和水的黏度很低,这2种流体的碰撞体系完全处于毛细力区;甘油溶液、PDMS硅油作为水基和油基的黏性流体,大部分处于黏性力区。
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图 5 液滴碰撞研究体系 |
2.1 铺展因子β随时间变化
数值模拟表 2中部分流体碰撞θe为150 °的壁面,运动阶段的β~τ曲线如图 6所示,Re>100的数据用空心点表示,Re < 100的数据用实心点表示,黑色实线为Re>100数据的拟合结果β=2.17τ0.48(拟合方差R2=0.945),符合Rioboo等[13]的结论。
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图 6 运动阶段的β~τ曲线(θe=150°) |
从数据点分布情况可以看出,对于Re>100的液滴碰撞,尽管包含物性比较特殊的镓基合金,其分布也较为集中,基本遵循一致的指数变化规律。Re < 100的液滴碰撞结果则与指数规律β=2.17τ0.48相差较多,且数据点较为分散。这是因为低Re液滴的黏性力接近于惯性力,而β ∝τ0.5规律的成因是惯性力主导铺展,所以该规律对Re < 100的情况并不完全适用。
2.2 最大铺展因子βmax 2.2.1 毛细力主导区如表 1所示,不同学者给出的毛细力区(P < 1)βmax模型存在差异,但都认为与We密切相关,而与Re无关。Fedorchenko等[25]通过理论推导、Eggers等[26]利用数值模拟,认为βmax∝We0.5,但Eggers是在假设壁面完全疏水(θe=180°)的前提下得出该结论。Bartolo等[3]、Antonini等[5]、Clanet等[14]通过实验研究,得出βmax∝We0.25;Clanet等和Bartolo等认为无论壁面润湿性如何,该规律均适用,但Antonini等则认为当We < 200时, 壁面疏水性会导致βmax偏离该规律。
本文在毛细力区研究的流体包括水、60%质量分数甘油溶液、PDMS 10硅油和镓基合金,βmax随We变化的情况如图 7所示。对不同润湿性壁面的模拟结果进行拟合,如图 7中虚线所示:当θe=90°时,βmax∝We0.26(R2=0.921);当θe=180°时,βmax∝We0.40(R2=0.990);当θe=150°时,βmax∝We0.29(R2=0.918),介于前两者之间。因为真实表面无法绝对疏水,所以Clanet等[14]实验研究结果βmax∝We0.25更接近本文θe=90°的模拟结果,而Eggers等[26]针对完全疏水表面提出的βmax∝We0.5更适用于θe=180°的情况。
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图 7 βmax随We变化 |
虽然图 7中的4种流体物性差异较大,但模拟结果整体分布在以We为变量的幂函数曲线附近,说明在毛细力区,We是βmax的主要控制因素。从图 7中3条拟合曲线的指数变化可以看出,随着壁面疏水性增强,黏性力对液滴铺展的阻碍作用减弱,液滴的βmax随之增大,导致θe=180°时βmax∝Web规律的指数b最大。
2.2.2 黏性力主导区如表 1所示,文[14, 22, 25-26]指出在黏性力主导区(P>1)存在规律βmax ∝Re0.2。本文在黏性力区的研究采用3种质量分数的甘油溶液、3种型号的PDMS甘油,黏度变化范围为10~970 mPa·s,跨越近3个数量级。其中,黏度极高的PDMS 1 000硅油在低速碰撞壁面时有Re=1。
βmax随Re变化情况如图 8所示,图中虚线为碰撞不同润湿性壁面的拟合结果:当θe=90°时,βmax∝0.93Re0.19(R2=0.980);当θe=150°时,βmax∝Re0.27(R2=0.953)。可以看出,θe=90°的数据整体落在了θe=150°数据的上方,但随着Re增大,二者的差异逐渐减小。由此可见在黏性力区,液滴碰撞亲水壁面的βmax更大;但随着Re增加,黏性力影响减弱,与黏性力相关联的壁面润湿性影响随之减弱[43],此时疏水壁面上βmax迅速增加,导致βmax∝Reb规律的指数b更大。
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图 8 βmax随Re变化 |
当Re趋近于1时,数据点明显偏离拟合曲线,这是因为高黏度液滴低速度碰撞壁面时,入射动能很快通过黏性力耗散殆尽,液滴铺展基本不受惯性力影响,近似于自然铺展,导致βmax与Re关联性减弱。
2.3 液滴中心厚度h*随时间变化图 9给出了表 2中4种流体在θe为150°的壁面上的h*~τ曲线。当τ < 0.1时,无论We、Re如何变化,均有规律h*=1-τ,说明该阶段h*受惯性力主导。当We较大时,液滴的高入射速度和低表面张力使h*出现平台期。对于水和镓基合金,当We < 10时,h*随时间变化具有明显波动性,这说明在低速入射的情况下,高表面张力会导致液滴厚度产生振荡,这与Wang等[44]在水滴碰撞实验中观测到的现象一致。
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图 9 流体性质对的h*影响 |
如表 1所示,文[22, 24-26, 29]认为hmin*仅与Re相关。从图 9中甘油溶液和PDMS硅油的曲线可以看出,二者Re相近,hmin*几乎相同,与已有结论一致;但对于We相近、Re相差较大的水和镓基合金,二者也有相似的hmin*。因此,hmin*是否仅与Re相关,需要进一步探讨。
2.4 最小中心厚度hmin*如表 1所示,Roisman等[24]和Fedorchenko等[25]通过理论推导,Eggers等[26]通过数值模拟,发现当Re较大时有hmin*∝Re-0.4,Lagubeau等[29]通过实验测量支持了该结论。当Re < 1 000时,Du等[22]和Eggers等[26]通过模拟研究,认为此时可以忽略双曲流影响,有hmin*∝Re-0.5。也有研究[30]认为当We较小时,表面张力显著影响液滴厚度。
由于h*达到hmin*时,液滴的中心比边缘要薄,因此很难通过拍摄手段获得准确数据[29],并且已有结论主要基于水和甘油溶液,体系覆盖范围有限。因此,本文对表 2中9组流体进行碰撞模拟,得到hmin*随Re变化的情况如图 10所示(水和镓基合金低速碰撞θe为90°的壁面时,液滴中心剧烈振荡无稳定模拟结果,故剔除这部分数据)。
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图 10 hmin*随Re变化 |
本文所研究的碰撞体系大部分满足Re < 1 000,因此与文[22]中规律hmin*∝Re-0.5比较。对We≥10、Re < 1 000的数据拟合得到hmin*=1.20Re-0.50(R2=0.955)。可以看出空心数据点大多落在该拟合曲线上,本文模拟结果与文[22]的结论一致。从2种形状的空心数据点在拟合曲线上基本重合可以看出,壁面润湿性对We≥10液滴的hmin*~Re关系无显著影响。
We < 10的实心数据点整体分布在拟合曲线上方,且不同θe对应的hmin*相差较大。当We=1时,液滴碰撞θe为150°的壁面的hmin*比拟合曲线hmin*=1.20Re-0.50高出197.53%。这一现象证实了Zhu等[30]的研究结论:We较小时,表面张力和壁面润湿性对hmin*产生明显影响。因此本文认为,hmin*主要受Re控制的理论仅适用于We较大的情况。
此外,当Re接近于1时,hmin*明显偏离hmin*∝Re-0.5规律,其原因与上文所述一致,即高黏度液滴低速碰撞壁面时,液滴更多的表现出自然铺展特性。
3 结论本文利用相场法,数值模拟了9组流体碰撞不同润湿性壁面的过程,拓展了液滴碰撞模拟研究的流体物性范围,主要结论如下:
1) 在碰撞初期(τ < 0.1),发现文[13]提出的规律β∝τ 0.5[13]主要适用于Re>100的液滴碰撞,这是因为低Re液滴的黏性力较强,惯性力不再处于主导地位;h*的模拟结果符合已有结论h*=1-τ,说明在碰撞初期,h*主要受惯性力影响。
2) 在毛细力区,本文模拟结果显示βmax∝Web,符合前人研究结论;随着壁面疏水性增强,指数b逐渐增大,说明当毛细力主导铺展时,壁面越疏水,黏性力对铺展的阻碍作用越小,βmax越大。在黏性力区,数值结果满足规律βmax∝Reb,与已有理论相符;当液滴Re较小时,亲水壁面上的βmax更大,但随着Re增大,惯性力增强,壁面润湿性的影响随之减弱,疏水壁面上的βmax迅速增加,导致βmax∝Reb规律的指数b较大。
3) 当We≥10、Re < 1 000时,hmin*模拟结果与文[22]提出的规律hmin*∝Re-0.5相符,但We < 10时会偏离该规律,壁面润湿性和表面张力对hmin*产生明显影响。其机理在于低We液滴的毛细力较强,高表面张力和壁面疏水性减弱了液滴的铺展能力,所以不能再仅依据Re去预测hmin*。
4) 对于以往鲜有研究的高黏度PDMS 1 000硅油和超高表面张力的镓基合金,尽管这2种流体物性较为特殊,但其碰撞过程仍主要受Re和We影响。但当PDMS 1 000硅油以低速碰撞壁面时,Re接近于1,此时液滴的入射动能很快通过黏性力耗散殆尽,惯性力作用可忽略不计,液滴在壁面上近似于自发铺展,导致βmax和hmin*主要由液滴初始动能和壁面润湿性决定,偏离结论2和3中与We、Re之间的幂函数关系。
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