2. 北京林业大学 工学院, 北京 100084;
3. 航空工业西安飞机工业(集团)有限责任公司, 西安 710089
2. School of Technology, Beijing Forestry University, Beijing 100084, China;
3. Avic Xi'an Aircraft Industry Group Company Ltd, Xi'an 710089, China
在航天飞机的制造过程中,有许多管道类零件承担着输送、进排气等重要功能,在装配和使用前,一般需要对其内部进行喷涂,从而提高其使用寿命和工作能力[1]。而这些管道大多具有复杂外形和狭小空间的特点,冗余度机器人凭借着极强的环境适应性和较好的避障能力被广泛应用在喷涂作业中[2-4]。
针对冗余机械臂避障的问题,许多学者进行了研究。Lazona Perze[5]将发生碰撞的机器人位姿变换为C空间内的障碍空间,在剩下的自由空间内寻找可行路径。熊有伦等[6]采用多面体对障碍物进行表示,提出J函数法解决避障问题。Khatib[7]提出了基于虚拟推力法的人工势场法实现避障路径规划。Fox等[8]利用栅格的思想将机器人工作空间划分为二值网格单元,利用栅格连通图实现避障规划。Klein[9]通过对机器人关节连杆施加远离障碍物的速度进行无碰路径规划。Liegeois首次提出了梯度投影法[10],利用齐次解寻找满足避障要求的最优解,这种方法是目前求解冗余机器人逆运动学的主流方法。近年来,模糊逻辑算法、遗传算法、粒子群算法及神经网络等智能算法逐渐被用于冗余机器人的路径规划中,杨延西等[11]利用模糊规则实现对避障参数的自动调整,提高了路径规划的实时性。贠超等[12]使用RBF网络实现了避障路径的二次规划。赵爽等[13]利用遗传算法对逆解进行优化,降低了关节运动幅度。
上述研究大多基于在开放空间中规避单一或少数规则障碍物的情况,对于避障路径连续性和工业实际工况考虑欠缺,在对复杂管道类零件进行喷涂路径规划时,现有算法存在计算量大、实时性弱、稳定性和灵活性差的缺点[14]。在梯度投影算法的研究基础上,本文较为系统地提出了面向管道等全封闭障碍特征零件进行路径规划的方法,首先提出了投影相交法进行碰撞检测,并将碰撞分为可规避碰撞和不可规避碰撞两种类型。针对可规避碰撞,利用权值动态调整算法实时调整关节权重值,灵活实现机器人的自优化碰撞。针对不可规避碰撞,利用杠杆原理对目标点及轨迹邻近点进行姿态修正,实现碰撞规避。最后从加速度层入手减缓机器人的运动惯性,增强机器人运动过程的稳定性,提高喷涂的实际质量。算法整体框架如图 1所示。
1 冗余机械臂逆运动学 1.1 冗余机械臂结构及建模
本文的研究基于图 2所示的8自由度冗余机械臂,主要由基座、直线伸缩轴及8个旋转关节组成。
使用Denavit-Hartenberg法建立该冗余机械臂的D-H参数表如表 1所示,αi表示关节扭转角,ai表示关节偏移量,di表示关节长度。
关节 | ai/m | αi/(°) | di/m | θi/(°) |
1 | 0 | -90 | 2.79+q1 | 0 |
2 | 0.34 | -90 | 0 | q2-90 |
3 | 1.2 | 0 | 0 | q3 |
4 | 0.192 | 90 | 0 | q4 |
5 | 1.02 | -90 | 0 | q5 |
6 | 0.138 | 90 | 0 | q6 |
7 | 0 | 90 | 0 | q7+90 |
8 | 0 | 90 | 0.96 | q8 |
1.2 梯度投影法
较非线性的运动学方程而言,机器人速度水平上的逆运动学问题可以转换为线性方程组的求解,因此机器人的逆运动学研究常常在速度水平上进行[15]。
机器人任务空间的速度,即操作速度
$ \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{J} \boldsymbol{\dot q}, $ | (1) |
$ \boldsymbol{J}_{i}=\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{z}_{i} \times^{i} \boldsymbol{p}_{n}^{0} \\ \boldsymbol{z}_{i} \end{array}\right). $ | (2) |
其中,
根据线性代数的理论,方程组(1)的解可描述为最小范数解
$ \dot{\boldsymbol{q}}=\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{h}}=\boldsymbol{J}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}+\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{J}\right) \boldsymbol{v}. $ | (3) |
其中,J+称作Jacobian矩阵的广义逆,当J行满秩时,J+= JT(JJT)-1。v是n维实空间
梯度投影法的思想是通过选择不同的关节速度矢量v来实现避障、避奇异位形、防止关节运动超限等二次目标[9],通常将拟优化的目标函数H(q)的梯度矢量∇H(q)乘上一个合适的缩放系数k作为v,从而有:
$ \dot{\boldsymbol{q}}=\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{s}}+\dot{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{h}}=\boldsymbol{J}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}+k\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{J}\right) \nabla H(\boldsymbol{q}). $ | (4) |
式(4)即为梯度投影法的基本公式,本文将在此基础上进一步研究。
2 碰撞检测及分类 2.1 “投影相交法”碰撞检测碰撞检测是机器人避障规划的基础,在传统的避障研究中,多采用几何体包络法[16-18],如图 3所示,即用圆柱体和球体近似替代机械臂和障碍物来进行碰撞检测,将碰撞问题简化为点到线段的距离问题。显然,上述方式无法准确地描述机械臂在复杂管道内的位置信息,且运算量庞大。因此,本文提出了投影相交法来进行碰撞检测,如图 4所示。流程如下:
1) 利用正运动学Xrobot= T0iq求解出关节点i的理论位置,T0i表示关节i相对于基坐标的齐次变换矩阵,并转为工件坐标系下的位置描述Xpipe。
2) 利用预提取的喷涂轨迹计算出管道轮廓中心点,对管道轴线进行样条插值,获得管道轴线拟合方程G(x, y, z)。
3) 根据管道轴线拟合方程G(x, y, z)判断既定关节点i相邻管道轮廓。
4) 求取关节点至相邻管道轮廓平面的距离d1及d2,依照线性插值的原则计算插值轮廓,获取距当前关节点i最近的近似管道轮廓,插值比例K=
5) 将关节点和插值多边形轮廓向工件坐标系xoy平面投影,判断以关节点为中心,r为半径的圆是否在多边形轮廓内,若在,则无碰撞,反之,则发生碰撞。r为机器人关节的包络半径。
由于机械臂关节间均为刚性连杆,因此通过步骤1)获取到机械臂各关节位置后,便可推算出连杆上任意位置的空间坐标,因此,本方法可实现对于机械臂任意位置的碰撞检测。
2.2 关节碰撞分类关节碰撞分类见图 5。机器人在笛卡尔空间内具备的自由度取决于其关节空间维数n,机器人工作目标点在三维欧氏空间位姿决定了其任务空间维数m。
通常,当目标点的位姿确定后,由于冗余机械臂m>n的冗余特性,其运动学逆解有无穷多个,这些解的集合{qn}对应了机器人关节空间中的无穷多个位形。当检测到关节碰撞时,可通过梯度投影等方法在集合{qn}中寻找并更换其他可行解,使得机械臂的位形发生变动而不影响末端位姿,从而满足目标点可达性和规避碰撞的要求。
但是,对于具备确定构型的机械臂,不同于前端关节,末端三关节连杆的位形由目标点位姿严格限定[19],即无法通过选择{qn}中的其他解来改变末端三关节连杆与管道的相对位置,无法通过梯度投影等优化法实现避障求解。
设qs为满足避障任务的关节逆解,qt为实际发生碰撞的关节,则可依照碰撞关节所处的位置将碰撞类型分为可规避碰撞和不可规避碰撞2种,具体有(t=1, 2, …, 8):
$ \begin{cases}\boldsymbol{q}_{\mathrm{s}} \in\left\{\boldsymbol{q}_{n}\right\}, & t<6 ; \\ \boldsymbol{q}_{\mathrm{s}} \notin\left\{\boldsymbol{q}_{n}\right\}, & t \geqslant 6 .\end{cases} $ | (5) |
针对2种不同的碰撞类型,本文提出了不同的避障规划算法,将在后文进行详细介绍。
3 基于碰撞反馈的避障规划算法 3.1 关节权值动态调整算法针对可规避碰撞,避障规划的目标在于合理地设计目标优化函数H(q),通过优化函数的控制作用,从而在{qn}中找到满足避障需求的最优解。
冗余机械臂避障任务的目的是寻找合适的关节位姿组合,在满足目标跟踪任务的同时,规避不必要的碰撞。对于优化函数H(q)的使用原则应当是在关节qi靠近管壁等极限位置时,加强对关节角qi的限制作用,在关节远离管壁等极限位置时,应当减小优化作用来保证系统的稳定性。
Liegois提出了如下的优化函数来回避机械臂的关节运动极限[10, 20]:
$ H(\boldsymbol{q})=\sum\limits_{i=1}^{n} H\left(q_{i}\right)=\sum\limits_{i=1}^{n} k_{i} \frac{\left(q_{i \max }-q_{i \min }\right)^{2}}{\left(q_{i \max }-q_{i}\right)\left(q_{i}-q_{i \min }\right)}. $ | (6) |
基于上述避关节极限优化函数H(q)和碰撞类型的实时反馈,本文提出一种关节权值的动态调整算法,流程如下:
1) 将初始目标优化函数H(q)代入到式(4)中求解,获得冗余机械臂的关节逆解qc。
2) 利用投影相交法判断机器人各关节和管道管壁的碰撞关系和碰撞类型。
3) 如图 6,获取碰撞点到管道轮廓中心连线的向量em作为指导避障的逃逸矢量,根据其分量er和et的大小关系,按照式(7)判断需要调整权重值和关节限制表达式的关节qi。
$ q_{i}= \begin{cases}q_{\text{rf-nearest}}, & \left\|\boldsymbol{e}_{\mathrm{r}}\right\| \geqslant\left\|\boldsymbol{e}_{\mathrm{t}}\right\| ; \\ q_{\text{tp-nearest}}, & \left\|\boldsymbol{e}_{\mathrm{r}}\right\|<\left\|\boldsymbol{e}_{\mathrm{t}}\right\|.\end{cases} $ | (7) |
其中,qrf-nearest代表当前碰撞关节前一个左右转动的关节,qtp-nearest代表当前碰撞关节前一个上下转动的关节。
4) 确定需要进行调整的关节qi后,记录下关节的当前角度值qic,依照式(8)对关节qi的关节极限优化函数H(qi)进行修正。
$ H\left(q_{i}\right)= \begin{cases}k_{i}^{\prime} \frac{\left(q_{i {\rm{c}}}-q_{i \min }\right)^{2}}{\left(q_{i {\rm{c}}}-q_{i}\right)\left(q_{i}-q_{i \min }\right)}, & q_{i {\rm{c}}} \geqslant 0; \\ k_{i}^{\prime} \frac{\left(q_{i \max }-q_{i {\rm{c}}}\right)^{2}}{\left(q_{i \max }-q_{i}\right)\left(q_{i}-q_{i {\rm{c}}}\right)}, & q_{i {\rm{c}}}<0.\end{cases} $ | (8) |
$ k_{i}^{\prime}=k_{i}+\Delta k_{i}, i=1,2, \cdots, n-3. $ | (9) |
其中,qi为关节i的角度值,Δki为权重修正增量。
5) 对新的权重值进行标准归一化处理,完成对H(qi)的修正,对于未碰撞的关节,可沿用之前的优化函数。
$ k_{i}^{\prime}=\frac{k_{i}^{\prime}-k_{i \min }^{\prime}}{k_{i \max }^{\prime}-k_{i \min }^{\prime}}. $ | (10) |
上述算法从关节限制的角度入手,迫使碰撞关节qi向管道中心靠近,同时放宽对其他关节的限制,通过合理地选择Δki来保证解的连续性。
3.2 “杠杆原理”避障算法针对发生不可规避碰撞的关节而言,末端三连杆位姿受到目标点的严格约束,优化函数H(q)无法起到调整姿态的作用,对于构型和参数已定的机械臂而言,只能通过放宽对喷涂目标点的约束来实现避障的需要。对于喷涂工艺而言,允许对喷枪角度在30°范围内进行一定的姿态调整[21]。因此,本文采用“杠杆原理”来满足避障需求,流程如图 7所示。
1) 获取碰撞关节的位置,获得碰撞关节qc到喷枪的单位方向向量ea。
2) 利用投影相交法获得的逃逸矢量em,得到对应的旋转矢量et= em× ea。
3) 利用四元数法,根据旋转矢量et构造对应的变换矩阵Tc,调整末端目标点的姿态Pnew=Pold·Tc,支点O为qc到喷枪连线中点。
“杠杆原理”通过调整目标点的姿态,使得碰撞关节向管道内靠近,从而实现避障需求。
当连续轨迹内出现某一目标点姿态调整较大的情况时,机械臂在向该目标点运动时,需要在短时间内快速调整末端三连杆的位形,可能会产生较大的加速度,产生一定的冲击作用,对电机造成损伤或引发机械臂的抖动。对此,可根据当前目标点的调整角度θadj,构建等差数列{α, 2α, …, θadj-α}和{θadj-β, …, 2β, β},公差α和β通常取为3°。分别构建以et为旋转方向的旋转矩阵Ti,依次对目标点前后的轨迹点进行姿态连续性调整,保证连续轨迹中相邻两点间的姿态变化较小。
3.3 避障轨迹优化考虑到冗余机械臂关节连杆刚性较差,在实际喷涂作业时,应当避免关节速度或关节加速度突变而引起的电流冲击,同时应当避免由于较大加速度引起的机械臂惯性作用,从而导致机械臂的跟踪精度降低。因此,需要对关节加速度进行优化限制,按照不失灵活性的原则[22],设计如下的优化函数:
$ H(\boldsymbol{q})=\sum\limits_{i=1}^{n} k_{i} H_{i}, $ | (11) |
$ H_{i}= \begin{cases}\left(\ddot{\theta}_{i}+\alpha \sigma_{i \mathrm{m}}\right)^{2}, & \ddot{\theta}_{i} \leqslant-\alpha \sigma_{i \mathrm{m}} ; \\ 0, & -\alpha \sigma_{i \mathrm{m}}<\theta_{i}<\alpha \sigma_{i \mathrm{m}} ; \\ \left(\ddot{\theta}_{i}-\alpha \sigma_{i \mathrm{m}}\right)^{2}, & \alpha \sigma_{i \mathrm{m}} \leqslant \ddot{\theta}_{i}.\end{cases} $ | (12) |
其中:
在梯度投影法式(4)中,合理选择自运动优化系数k是十分重要的,k过小,则优化能力不足,k过大,则会引起控制失稳及关节振荡[15]。为保证最小范数解与齐次解的数量级相当,本文使用连续比例因子[23]。
$ k=\lambda \frac{\left\|\boldsymbol{J}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}\right\|}{\left\|\boldsymbol{J}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}\right\|+\left\|\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{J}\right) \nabla H\right\|}. $ | (13) |
为了减少机械臂在关节奇异点处的关节角速度,增强关节解的全局连续性,可以在伪逆中增加阻尼因子[24]。即:
$ \dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{J}_{\rho}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}+k\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{J}\right) \nabla H(\boldsymbol{q}). $ | (14) |
综上所述,本文改进后的梯度投影算法可最终表示为:
$ \dot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{J}_{\rho}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}+k\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{J}\right)\left(\lambda_{1} \nabla H_{1}(\boldsymbol{q})+\lambda_{2} \nabla H_{2}(\boldsymbol{q})\right), $ | (15) |
$ k=\lambda \frac{\left\|\boldsymbol{J}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}\right\|}{\left\|\boldsymbol{J}^{+} \dot{\boldsymbol{x}}\right\|+\left\|\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{J}\right)\left(\lambda_{1} \nabla H_{1}(\boldsymbol{q})+\lambda_{2} \nabla H_{2}(\boldsymbol{q})\right)\right\|}, $ | (16) |
$ \boldsymbol{J}_{\rho}^{+}=\boldsymbol{J}^{+}\left(\boldsymbol{J}\boldsymbol{J}^{\mathrm{T}}+\rho^{2} \boldsymbol{I}\right)^{-1} . $ | (17) |
其中: H1是基于碰撞反馈实时调整的关节优化函数,H2是对关节加速度限制的性能优化函数,ρ2为阻尼因子,其选取原则参考文[24],λ1和λ2是调节系数。
4 仿真及实验本节采用前述的8轴冗余机械臂进行相关的仿真验证。首先选取某段具有代表性的管道轮廓,进行实际的规划仿真,给出优化前后的实验结果,验证了本文算法的有效性;针对可规避碰撞和不可规避碰撞两类碰撞,分别给出优化前后的效果图;最后立足于机械臂关节加速度的变化情况验证本文算法的实用性。
本文选用某管道的某单圈轨迹作为实验用例,使用“投影相交法”给出该圈轨迹的碰撞情况如图 8所示。其中,p1作为轨迹起始点和终止点出现两次。
针对上述单圈轨迹,分别给出使用本文优化算法前后的机械臂关节形位图如图 9和10所示。
由于算法未涉及对目标点位置的修改,因此跟踪精度仅受到计算精度和机械臂精度的影响。如图 9和10所示,使用本文算法进行优化后,机械臂能够在保证目标跟踪精度的同时实现自优化避障。为进一步体现本文算法的效果,给出优化算法应用前后机械臂关节距管壁最小距离的变化曲线如图 11所示。
针对该圈轨迹点中的可规避碰撞,给出在某碰撞点处使用权值动态调整算法前后的优化效果如图 12所示。
以该碰撞点为例,给出优化算法前后机械臂主要关节的变化情况如表 2所示。
关节 | 优化前 | 优化后 | Δq |
1 | 746.32 mm | 768.80 mm | 22.48 mm |
2 | -24.36° | -21.63° | 2.73° |
4 | -0.22° | -1.04° | -0.82° |
5 | 3.32° | -4.62° | -7.94° |
从机械臂关节的变化情况可以看出,碰撞关节q2实现了反向运动,且同时造成了左右转动关节q5的较大改变,而对于上下转动关节如q4的影响较小,机械臂确实按照预想路线进行了相应的调整,实现了避障功能。
针对不可规避碰撞问题,给出在某碰撞点处使用“杠杆原理”算法前后的优化效果如图 13所示。本次试验中,单圈目标点姿态的最大调整角度,符合喷涂工艺需求θmax<12°。
最后,为了验证关节逆解的可行性和实用性,给出机械臂运行过程中各关节的关节角加速度变化图如图 14和15所示。
经过优化后,关节加速度的峰值得到改善,且q2、q3等大关节的加速度改善明显,虽然q6、q7关节加速度产生了波动,但其处于机械臂末端,所引起的动量较小,整体而言有助于改善机械臂的稳定性。
5 结论针对冗余机械臂在复杂封闭管道类零件内进行喷涂作业环境时的避障需求,本文系统地提出了一种基于碰撞反馈思想的冗余机械臂避障算法。
针对可规避碰撞,提出一种关节权值动态调整算法,基于碰撞反馈加强对碰撞关节的限制,同时放宽对非碰撞关节的约束,使得冗余机械臂能够实现自运动避障的需求;针对不可规避碰撞,提出基于“杠杆原理”的目标点位姿调整方法。为保证算法的实用性,从减小电流冲击的角度入手,设计了关于角加速度的优化函数。通过MATLAB仿真与实验,验证了上述算法的可行性。
本文算法充分利用轨迹信息和机器人的运动学参数对运动干涉和碰撞进行分类,进而充分利用冗余机械臂的冗余特性及其自运动对轨迹进行优化,实现无碰撞机器人运动程序的生成,计算简单直接,实用性强,填补了从轨迹信息中提取机器人控制程序的空缺,对解决复杂环境下的机器人作业规划问题具有一定的借鉴意义。
实验过程中也发现,关节优化函数的初始权值对整个算法的迭代过程影响较大,如何选择最佳的权重值有待进一步完善,同时,喷涂目标点姿态改变对于喷涂质量的影响有待进一步研究。
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