重型商用车在交通运输行业中发挥着重要的作用，智能重型商用车的自动驾驶将具有巨大的社会商业价值。与其相关的自动驾驶技术具有提高车辆稳定性和安全性、缓解交通拥堵、减轻驾驶员操作负担、降低运输成本的优点^[1]。特别是重型商用车通常在高速公路上行驶，相比城市道路，驾驶场景相对简单，使得自动驾驶更容易实现。自动循迹或横向控制是重型车辆行驶自动化的基础和重要问题^[2-3]。

近年来，对乘用车自动驾驶横向控制策略的研究取得了丰硕的成果^[4-6]。在进行自动循迹控制过程中，与乘用车相比，重型商用车的动力学特性更加复杂^[7]：整车转动惯量较大，对转向输入的响应缓慢^[8]，因此要针对商用车设计兼顾循迹精度^[9-10]、动力学稳定性^[11]、乘员舒适性^[12]等多种控制目标的横向控制器。

然而，目前对于重型车辆自动循迹控制的研究较少。Wang等^[13]提出了一种考虑了轮胎侧偏刚度和外界干扰不确定性的鲁棒状态反馈控制器，实现路径跟踪和横向控制；Ji等^[14]基于交互式鲁棒控制理论设计车辆横向路径跟踪控制策略，基于前后轮协调转向的控制策略能够在车辆受到外界干扰时保证较好的路径跟踪精度和横向稳定性；Yang等^[15]采用了鲁棒多重速率控制策略，在提高车辆车道保持性能的同时减小了车辆横摆角速度的波动。然而，当前研究中针对一定范围内系统不确定性的设计方法具有极大的保守性，对自动循迹控制精度带来影响。

本文重点研究了针对商用车自动循迹的过程中纵向车速时变输出反馈鲁棒控制。把道路曲率的不确定性作为外部干扰，利用输出反馈控制方法以及增广的商用车四自由度动力学模型和轨迹跟踪模型设计了重型商用车横向H_∞鲁棒控制器；针对车辆纵向速度的时变问题，设计了改进的梯形多胞体LPV控制器，极大地改善了系统的保守性。最终，联合仿真和硬件在环实验证明了提出的控制算法的有效性和实时性。

1 商用车动力学模型和轨迹跟踪模型 1.1 商用车动力学模型

在假定车辆具有恒定的前进速度、零侧风、不计道路倾角以及悬架系统具有恒定的侧倾刚度和阻尼的前提下^[16]，建立了商用车四自由度横向-横摆-侧倾耦合动力学模型^[17]，如图 1所示。

整车横向、横摆、簧载质量侧倾、非簧载质量侧倾动力学方程表示如下：

$ m v_{y}+m v_{x} \dot{\psi}-m_{\mathrm{s}} h \ddot{\phi}=F_{y \mathrm{f}}+F_{y \mathrm{r}}, $

(1)

$ I_{z z} \ddot{{\phi}}+I_{x z} \ddot{\phi}=F_{y \mathrm{f}} l_{\mathrm{f}}-F_{y \mathrm{r}} l_{\mathrm{r}}, $

(2)

$ \begin{gathered} m_{\mathrm{s}} h \dot{v}_{y}-I_{x z} \ddot{\psi}+m_{\mathrm{s}} v_{x} h \dot{\psi}-\left(I_{x x}+m_{\mathrm{s}} h^{2}\right) \ddot{\phi}+ \\ D_{\mathrm{s}}\left(\dot{\phi}_{\mathrm{u}}-\dot{\phi}\right)=\left(K_{\mathrm{s}}-m_{\mathrm{s}} g h\right) \phi-K_{\mathrm{s}} \phi_{\mathrm{u}}, \end{gathered} $

(3)

$ \begin{gathered} -m_{\mathrm{us}}\left(h_{\mathrm{u}}-r\right) \dot{v}_{y}+D_{\mathrm{s}}\left(\dot{\phi}_{\mathrm{u}}-{\dot \phi}\right)= \\ -r C_{\mathrm{r}} v_{y}+\left[\frac{r C_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{r}}}{v_{x}}+m_{\mathrm{us}} v_{x}\left(h_{\mathrm{u}}-r\right)\right] \dot{\psi}+\\ K_{\mathrm{s}} \phi+\left[m_{\mathrm{us}} g\left(h_{\mathrm{u}}-r\right)-K_{\mathrm{us}}-K_{\mathrm{s}}\right] \phi_{\mathrm{u}} . \end{gathered} $

(4)

其中：m、m_s、m_us分别为车辆总质量、簧载质量和非簧载质量，I_xx、I_xz、I_zz分别为横摆、横摆-侧倾和侧倾转动惯量，K_s和D_s分别为悬架侧倾刚度和阻尼系数，K_us为非簧载质量的侧倾刚度，C_f和C_r分别为车辆前、后轴侧偏刚度，F_yf和F_yr分别为前、后车轮侧向力，v_x和v_y分为车辆纵向和横向速度，β为质心侧偏角，$ \dot{\psi }$为车辆横摆角速度，h为簧载质量质心离侧倾轴线高度，h_u为非簧载质量质心高度，r为侧倾轴线高度，ϕ为簧载质量侧倾角，ϕ_u为非簧载质量侧倾角，l_f和l_r分别为前、后轴到质心的距离。与重型商用车动力学模型相关的几何参数如图 1所示。

根据线性轮胎模型，前、后车轮的侧向力F_yf和F_yr可以被描述为

$ \left\{\begin{array}{l} F_{y \mathrm{f}}=C_{\mathrm{f}} \alpha_{\mathrm{f}}, \\ F_{y \mathrm{r}}=C_{\mathrm{r}} \alpha_{\mathrm{r}} . \end{array}\right. $

(5)

其中：α_f和α_r分别为前、后轮胎侧偏角。

假设车身质心侧偏角很小，前、后轮胎侧偏角可以被描述为

$ \left\{\begin{array}{l} \alpha_{\mathrm{f}}=-\beta-\frac{l_{\mathrm{f}} \dot{\psi}}{v_{x}}+\delta_{\mathrm{f}}, \\ \alpha_{\mathrm{r}}=-\beta+\frac{l_{\mathrm{r}} \dot{\psi}}{v_{x}} . \end{array}\right. $

(6)

其中δ_f为车辆前轮转角。

1.2 轨迹跟踪模型

轨迹跟踪模型如图 2所示^[18]，本文给出了由于车辆运动和道路几何变化而引起的轨迹跟踪误差的方程。本文考虑了预瞄点与道路中心线的横向偏移e_yL以及车辆航向角相对于道路航向角的误差e_ψ，二者可以表示为

$ \begin{gathered} \dot{e}_{y L}=\dot{e}_{y}+L\left(\dot{\psi}-\dot{\psi}_{\mathrm{d}}\right)= \\ v_{x} \beta+L \dot{\psi}+v_{x} e_{\psi}-L \dot{\psi}_{\mathrm{d}}, \end{gathered} $

(7)

$ \dot{e}_{\psi}=\dot{\psi}-\dot{\psi}_{\mathrm{d}}. $

(8)

其中：e_y为车辆当前位置与道路中心线的横向偏移；L=tv_x为车辆视觉系统的前视距离；t为预瞄时间；$ {{\dot{\psi }}_{\text{d}}}$=v_xκ为由于道路曲率变化引起的横摆角速度，κ为道路曲率。本文将道路曲率的不确定性作为外部扰动来处理。

在商用车自动循迹问题中，需要综合考量商用车横摆-侧倾稳定性以及轨迹跟踪精度。结合商用车四自由度动力学方程和路径跟踪误差动力学方程，可得重型车辆自动循迹控制模型为

$ \begin{gathered} \dot{\hat{\boldsymbol{x}}}=\left[\boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{J}\right] \hat{\boldsymbol{x}}+\left[\boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{F}\right] u+\left[\boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{N}\right] \omega . \\ \hat{\boldsymbol{y}}=\boldsymbol{E} \hat{\boldsymbol{x}}. \end{gathered} $

(9)

其中

$ \boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{ccccccc} m & 0 & 0 & -m_{\mathrm{s}} h & 0 & 0 & 0 \\ 0 & I_{z z} & 0 & I_{x z} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ m_{\mathrm{s}} h & -I_{x z} & 0 & -I_{x \mathrm{s}} & D_{\mathrm{s}} & 0 & 0 \\ -m_{\mathrm{us}}\left(h_{\mathrm{u}}-r\right) & 0 & 0 & 0 & D_{\mathrm{s}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], $

$ I_{x \mathrm{s}}=I_{x x}+m_{\mathrm{s}} h^{2}, $

$ \boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccccc} Y_{\beta} & Y_{\dot{\psi}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ N_{\beta} & N_{\dot{\psi}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -m_{\mathrm{s}} v_{x} h & K_{\mathrm{s}}-m_{\mathrm{s}} g h & D_{\mathrm{s}} & -K_{\mathrm{s}} & 0 & 0\\ -{r} C_{\mathrm{r}} & Y_{\dot{\psi} \mathrm{r}} & K_{\mathrm{s}} & D_{\mathrm{s}} & P_{\mathrm{us}} & 0 & 0 \\ 1 & L & 0 & 0 & 0 & 0 & v_{x} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right], $

$ Y_{\beta}=-\frac{C_{\mathrm{f}}+C_{\mathrm{r}}}{v_{x}}, \quad Y_{\dot{\psi}}=-m v_{x}+\frac{C_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{r}}-C_{\mathrm{f}} l_{\mathrm{f}}}{v_{x}}, $

$ N_{\beta}=\frac{C_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{r}}-C_{\mathrm{f}} l_{\mathrm{f}}}{v_{x}}, \quad N_{\dot{\psi}}=-\frac{C_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{r}}^{2}+C_{\mathrm{f}} l_{\mathrm{f}}^{2}}{v_{x}}, $

$ Y_{\dot{\psi}{\mathrm{r}}}=m_{\mathrm{us}} v_{x}\left(h_{\mathrm{u}}-r\right)+\frac{r C_{\mathrm{r}} l_{\mathrm{r}}}{v_{x}}, $

$ P_{\mathrm{us}}=m_{\mathrm{us}} g\left(h_{\mathrm{u}}-r\right)-K_{\mathrm{us}}-K_{\mathrm{s}}, $

$ \boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{lllllll} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right], $

$ \boldsymbol{F} =\left[\begin{array}{lllllll} C_{\mathrm{f}} & C_{\mathrm{f}} l_{\mathrm{f}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, $

$ \boldsymbol{N} =\left[\begin{array}{lllllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -L & -1 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

其中：系统状态$ {\mathit{\boldsymbol{\hat x}}}$选取为横向速度v_y、横摆角速度$ {\dot{\psi }}$、车厢侧倾角ϕ、车厢侧倾角速度$ {\dot{\phi }}$、非簧载质量侧倾角ϕ_u、横向位移误差e_yL和航向角误差e_ψ。输出$ {\mathit{\boldsymbol{\hat y}}}$选取为横摆角速度$ {\dot{\psi }}$、车厢侧倾角速度$ {\dot{\phi }}$、横向位移误差e_yL和航向角误差e_ψ，均为实际可测量值，可以用于下文输出反馈控制器的设计。控制输入u=δ_f, 输入模型的道路曲率变化引起的横摆角速度被认为是外部干扰信号ω=$ {{{\dot{\psi }}}_{\text{d}}}$。

2 LPV/H_∞控制器设计

在重型商用车自动循迹过程中，纵向车速对车辆动力学特性影响显著^[19]。本文把纵向车速考虑成时变参数，基于商用车四自由度动力学模型和轨迹跟踪模型，设计了一种LPV/H_∞控制器，控制策略架构如图 3所示。该控制器能够实现对车速的自适应处理。

2.1 输出反馈H_∞控制器设计

用于控制器设计的增广模型如图 3中红色虚线框中所示。首先，对干扰进行建模并设计性能指标和控制量的权重函数。

商用车在高速公路上自动循迹过程中，道路曲率不确定性被认为是外部干扰输入，具有明显的低频特性。对干扰建模如下：

$ W_{\mathrm{dis}}(s)=\frac{2}{s+10}. $

(10)

车辆动力学状态的变化是缓慢的，横向位移误差的高频分量可以认为是噪声。因此，对横向位移误差的低频段设置较高的惩罚权重。横向位移误差权重函数设计为

$ W_{e_{y L}}(s)=\frac{1}{M G_{e_{y L}}} \frac{G_{e_{y L}} s+2 {\rm{ \mathsf{ π} }} f_{e_{y L}}}{s+2 {\rm{ \mathsf{ π} }} f_{e_{y L}}}. $

(11)

其中：G_eyL为允许的最大横向位移误差的稳态误差，G_eyL=0.1；M为鲁棒性裕度，M=2；f_eyL为横向位移误差截止频率，f_eyL=0.5 Hz。

与横向位移误差权重函数设计类似，航向角误差权重函数设计为

$ W_{e_{\psi}}(s)=\frac{1}{M G_{e_{\psi}}} \frac{G_{e_{\psi}} s+2 {\rm{ \mathsf{ π} }} f_{e_{\psi}}}{s+2 {\rm{ \mathsf{ π} }} f_{e_{\psi}}} . $

(12)

其中：G_eψ为允许的最大航向角误差的稳态误差，G_eψ=0.1；M为鲁棒性裕度，M=2；f_eψ为航向角误差截止频率，f_eψ=0.5 Hz。

较高频率的前轮转角控制输入会对执行器带来损害，同时执行器也不会对其进行响应，因此应对前轮转角控制输入的高频部分进行惩罚。前轮转角控制输入权重设计为

$ W_{\delta_{\mathrm{f}}}(s)=G_{\delta_{\mathrm{f}}} \frac{s+2 {\rm{ \mathsf{ π} }} f_{\delta_{\mathrm{f}}}}{s / 10+2 {\rm{ \mathsf{ π} }} f_{\delta_{\mathrm{f}}}} . $

(13)

其中：G_δf为控制输入增益，G_δf=8；f_δf=10 Hz。

综合商用车四自由度动力学模型和轨迹跟踪模型以及上述权重函数，增广的被控系统可以描述为

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{B}_{\omega} \omega+\boldsymbol{B} u, \\ \boldsymbol{z}=\boldsymbol{C}_{z} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{D}_{z \omega} \omega+\boldsymbol{D}_{z} u, \\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{D}_{\omega} \omega. \end{array}\right. $

(14)

其中：x为增广系统的状态向量；u为控制输入，这里指前轮转角；ω为由于道路曲率变化引起的外部干扰输入；z为与被控系统表现相关的加权被控输出向量，z =[z₁, z₂, z₃, z₄]^T；y为量测输出向量，y =[$ {\dot{\psi }}$, $ {\dot{\phi }}$, e_yL, e_ψ]^T，均为实际可测量值，用于本文下述输出反馈控制器的设计。

令T表示在输出反馈控制率u= Ky下，从干扰ω到被控输出z的闭环传递函数。将输出反馈控制律代入式(14)中的广义系统，闭环系统T表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{cl}}=\boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{cl}}+\boldsymbol{B}_{\mathrm{cl}} \omega, \\ \boldsymbol{z}=\boldsymbol{C}_{\mathrm{cl}} \boldsymbol{x}_{\mathrm{cl}}+\boldsymbol{D}_{\mathrm{cl}} \omega. \end{array}\right. $

(15)

令‖ T ‖_∞表示闭环传递函数T的H_∞范数，约束‖ T ‖_∞＜γ可以被认为是抵抗干扰的表现，在增强系统的鲁棒性方面是有益的。本文目标是设计一个输出反馈控制率K，

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{\zeta}=\boldsymbol{A}_{K} \boldsymbol{\zeta}+\boldsymbol{B}_{K} \boldsymbol{y} \\ u=\boldsymbol{C}_{K} \boldsymbol{\zeta}+\boldsymbol{D}_{K} \boldsymbol{y}. \end{array}\right. $

(16)

使得闭环系统(15)满足H_∞性能需求。

根据有界实引理^[20]，当且仅当存在一个正定矩阵P满足如下不等式，式(15)中的闭环系统是稳定的，且闭环传递函数T的H_∞范数小于γ，即‖ T ‖_∞＜γ^[21]。

$ \left[\begin{array}{ccc} \boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}+\boldsymbol{P} \boldsymbol{A}_{\mathrm{cl}} & \boldsymbol{P} \boldsymbol{B}_{\mathrm{cl}} & \boldsymbol{C}_{\mathrm{cl}}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{B}_{\mathrm{cl}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P} & -\gamma \boldsymbol{I} & \boldsymbol{D}_{\mathrm{cl}}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{C}_{\mathrm{cl}} & \boldsymbol{D}_{\mathrm{cl}} & -\gamma \boldsymbol{I} \end{array}\right]\prec0, \quad \boldsymbol{P}\succ 0. $

(17)

利用线性矩阵不等式(LMI)方法求解控制率K，将正定矩阵P和P^-1分解为：

$ \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{Y} & \boldsymbol{N} \\ \boldsymbol{N}^{\mathrm{T}} & * \end{array}\right], \boldsymbol{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{X} & \boldsymbol{W} \\ \boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} & * \end{array}\right]. $

(18)

可以推导出下式：

$ \boldsymbol{P} {\bf{\Pi }}_{1}={\bf{\Pi }}_{2}. $

(19)

其中：

$ {\bf{\Pi }}_{1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{X} & \boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{M}^{\mathrm{T}} & 0 \end{array}\right], \quad {\bf{\Pi }}_{2}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{Y} \\ 0 & \boldsymbol{N}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]. $

定义如下控制器系数矩阵变形：

$ \left\{\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{A}}=& \boldsymbol{N} \boldsymbol{A}_{K} \boldsymbol{M}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{N B} _{K} \boldsymbol{C}+\boldsymbol{Y B C}_{K} \boldsymbol{M}^{\mathrm{T}}+\\ & \boldsymbol{Y}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B D}_{K} \boldsymbol{C}\right) \boldsymbol{X} ,\\ \hat{\boldsymbol{B}}=& \boldsymbol{N B}_{K}+\boldsymbol{Y} \boldsymbol{BD}_{K}, \\ \hat{\boldsymbol{C}}=& \boldsymbol{C}_{K} \boldsymbol{M}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{D}_{K} \boldsymbol{C} \boldsymbol{X}, \\ \hat{\boldsymbol{D}}=& \boldsymbol{D}_{K}. \end{aligned}\right. $

(20)

$ \left[\begin{array}{cccc} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B} \hat{\boldsymbol{C}}+(\boldsymbol{B} \hat{\boldsymbol{C}})^{\mathrm{T}} & * & *& * \\ \hat{\boldsymbol{A}}+(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \hat{\boldsymbol{D}} \boldsymbol{C})^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{Y}+\boldsymbol{Y} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\hat{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{C}+(\boldsymbol{B} \hat{\boldsymbol{C}})^{\mathrm{T}} & * & * \\ \left(\boldsymbol{B}_{\omega}+\boldsymbol{B} \hat{\boldsymbol{D}} \boldsymbol{D}_{\omega}\right)^{\mathrm{T}} & \left(\boldsymbol{Y} \boldsymbol{B}_{\omega}+\hat{\boldsymbol{B}} \boldsymbol{D}_{\omega}\right)^{\mathrm{T}} & -\gamma \boldsymbol{I} & * \\ \boldsymbol{C}_{z} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{D}_{z} \hat{\boldsymbol{C}} & \boldsymbol{C}_{z}+\boldsymbol{D}_{z} \hat{\boldsymbol{D}} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D}_{z \omega}+\boldsymbol{D}_{z} \hat{\boldsymbol{D}} \boldsymbol{D}_{\omega} & -\gamma \boldsymbol{I} \end{array}\right]<0,\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{X} & \boldsymbol{I} \\ \boldsymbol{I} & \boldsymbol{Y} \end{array}\right]>0 . $

(21)

对于给定的正定矩阵X、Y和满秩矩阵W、N，可以由$ {\mathit{\boldsymbol{\hat A}}}$、$ {\mathit{\boldsymbol{\hat B}}}$、$ {\mathit{\boldsymbol{\hat C}}}$、$ {\mathit{\boldsymbol{\hat D}}}$计算出A_K、B_K、C_K、D_K。用对角矩阵diag(Π₁^T, I, I)和diag(Π₁, I, I)对方程(17)进行全等变换，得到线性矩阵不等式(21)。为了计算出控制器矩阵系数，首先应该构造出矩阵W、N。由于PΠ₁= Π₂，可以推导出

$ \boldsymbol{W} \boldsymbol{N}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{X} \boldsymbol{Y}. $

(22)

由于P＞0，推导出X＞0，Y - X^-1＞0，因此1- XY是非奇异的。因此，总是可以用奇异值分解法找到可逆矩阵W、N，使其满足矩阵不等式(17)。

最后，通过求解线性矩阵不等式(21)，控制器系数矩阵A_K、B_K、C_K、D_K可以被描述为^[22]

$ \left\{\begin{aligned} \boldsymbol{D}_{K}=& \hat{\boldsymbol{D}}, \\ \boldsymbol{C}_{K}=&\left(\hat{\boldsymbol{C}}-\boldsymbol{D}_{K} \boldsymbol{C} \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{M}^{-\mathrm{T}}, \\ \boldsymbol{B}_{K}=& \boldsymbol{N}^{-1}\left(\hat{\boldsymbol{B}}-\boldsymbol{Y} \boldsymbol{B} \boldsymbol{D}_{K}\right), \\ \boldsymbol{A}_{K}=& \boldsymbol{N}^{-1}\left(\hat{\boldsymbol{A}}-\boldsymbol{N B}_{K} \boldsymbol{C} \boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}_{K} \boldsymbol{M}^{\mathrm{T}}-\right.\\ &\left.\boldsymbol{Y}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{D}_{K} \boldsymbol{C}\right) \boldsymbol{X}\right) \boldsymbol{M}^{-\mathrm{T}}. \end{aligned}\right. $

(23)

2.2 线性参数时变(LPV)控制器设计

商用车横摆响应同纵向车速之间具有强非线性耦合关系，因此线性时不变H_∞控制器不足以满足系统性能表现，因此本文设计了一个线性参数时变H_∞控制器。线性时变参数被描述为^[23]

$ \left\{\begin{array}{l} \rho_{1}(t)=v_{x}(t), \\ \rho_{2}(t)=\frac{1}{v_{x}(t)} . \end{array}\right. $

(24)

其中：ρ₁∈[V_min, V_max]，[V_min, V_max]代表车辆纵向速度范围。这里v_x和1/v_x被认为是2个独立的参数，方程(15)描述的线性参数时变闭环系统可以用一个多胞体描述为

$ \varTheta=\sum\limits_{i=1}^{4} \alpha_{i}(t) \varTheta_{i}. $

(25)

其中：Σα_i(t)=1, α_i(t)≥0。Θ_i={A_i, B_ω, B}代表多胞体的每一个顶点。这些顶点由时变参数ρ_i的上下边界表达为

$ \left\{\begin{array}{l} \varTheta_{1}=\left[\boldsymbol{A}\left(\underline{\rho}{}_{1}, \underline{\rho}{}_{2}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right], \\ \varTheta_{2}=\left[\boldsymbol{A}\left(\underline{\rho}{}_{1}, \bar{\rho}{}_{2}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right], \\ \varTheta_{3}=\left[\boldsymbol{A}\left(\bar{\rho}{}_{1}, \underline{\rho}{}_{2}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right], \\ \varTheta_{4}=\left[\boldsymbol{A}\left(\bar{\rho}{}_{1}, \bar{\rho}{}_{2}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right] . \end{array}\right. $

(26)

多胞体Θ内某一点的坐标α_i可以被描述为

$ \left\{\begin{array}{l} \alpha_{1}(t)=\left[\left|\bar{\rho}{}_{1}-\rho_{1}(t)\right|\left|\bar{\rho}_{2}-\rho_{2}(t)\right| / \Delta \rho\right], \\ \alpha_{2}(t)=\left[\left|\bar{\rho}{}_{1}-\rho_{1}(t)\right|\left|\rho_{2}(t)-\underline{\rho}{}_{2}\right| / \Delta \rho\right], \\ \alpha_{3}(t)=\left[\left|\rho_{1}(t)-\underline{\rho}{}_{1}\right|\left|\bar{\rho}_{2}-\rho_{2}(t)\right| / \Delta \rho\right], \\ \alpha_{4}(t)=\left[\left|\rho_{1}(t)-\underline{\rho}{}_{1}\right|\left|\rho_{2}(t)-\underline{\rho}{}_{2}\right| / \Delta \rho\right]. \end{array}\right. $

(27)

其中，

$ \Delta \rho=\left(\bar{\rho}_{1}-\underline{\rho}{}_{1}\right)\left(\bar{\rho}_{2}-\underline{\rho}{}_{2}\right) . $

上式的推导认为ρ₁和ρ₂是独立的，而实际上车辆纵向速度工况点只在双曲线ρ₁=1/ρ₂上变化。由V_min、1/V_min、V_max、1/V_max围成的车辆纵向速度变化范围是一个矩形域，如图 4中ON₁NN₂所示。矩形域ON₁NN₂包含双曲线ρ₁=1/ρ₂，但多胞体顶点N₁和N₂与双曲线ρ₁=1/ρ₂上的车辆状态点距离较远、相关性较低。此外，矩形域ON₁NN₂也包含了大面积的车辆实际状态无法到达的区域，称矩形域多胞体的保守性强。因此，本文设计了一种梯形域多胞体，如图 4中OABN所示。梯形域多胞体减小了多胞体顶点A和B与双曲线ρ₁=1/ρ₂上的车辆状态点的距离，提高了相关性，减小了多胞体中车辆实际状态无法到达区域的面积，因此改善了线性时变控制器的保守性，提升跟踪控制精度。

图 4中梯形OABN包含直线段ON和切线段OA、AB和BN。其中，OA是双曲线ORN在点O处的切线，AB是双曲线ORN与直线ON平行的切线，BN是双曲线ORN在点N处的切线。R是车辆实时速度状态点，是曲线ORN上一点。

新多胞体的顶点可以被描述为

$ \left\{\begin{array}{l} \varTheta_{1}=\left[\boldsymbol{A}\left(A_{x}, A_{y}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right], \\ \varTheta_{2}=\left[\boldsymbol{A}\left(O_{x}, O_{y}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right], \\ \varTheta_{3}=\left[\boldsymbol{A}\left(B_{x}, B_{y}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right], \\ \varTheta_{4}=\left[\boldsymbol{A}\left(N_{x}, N_{y}\right), \boldsymbol{B}_{\omega}, \boldsymbol{B}\right] . \end{array}\right. $

(28)

其中：A_xy、O_xy、B_xy、N_xy分别为点A、O、B、N的坐标。

定义S_ij为线段ij的长度。过点R作平行于ON的直线，与AO和BN的交点分别为P、Q，可以得到点R的坐标为

$ \begin{gathered} R_{x y}=\frac{S_{R Q}}{S_{P Q}} P_{x y}+\frac{S_{P R}}{S_{P Q}} Q_{x y}= \\ \frac{S_{R Q}}{S_{P Q}}\left(\frac{S_{P O}}{S_{A O}} A_{x y}+\frac{S_{A P}}{S_{A O}} O_{x y}\right)+\frac{S_{P R}}{S_{P Q}}\left(\frac{S_{Q N}}{S_{B N}} B_{x y}+\frac{S_{B Q}}{S_{B N}} N_{x y}\right)= \\ s_{1} A_{x y}+s_{2} O_{x y}+s_{3} B_{x y}+s_{4} N_{x y}. \end{gathered} $

(29)

其中：P_xy、Q_xy分别为点P、Q的坐标。s₁、s₂、s₃、s₄为增益系数，被定义为：

$ s_{1}=\frac{S_{R Q}}{S_{P Q}} \frac{S_{P O}}{S_{A O}}, s_{2}=\frac{S_{R Q}}{S_{P Q}} \frac{S_{A P}}{S_{A O}}, $

$ s_{3}=\frac{S_{P R}}{S_{P Q}} \frac{S_{Q N}}{S_{B N}}, s_{4}=\frac{S_{P R}}{S_{P Q}} \frac{S_{B Q}}{S_{B N}}. $

s₁+s₂+s₃+s₄=1，满足式(25)。因此，基于新的顶点，多胞体Θ内某一点的坐标α_i可以被描述为

$ \left\{\begin{array}{l} \alpha_{1}(t)=s_{1}, \\ \alpha_{2}(t)=s_{2}, \\ \alpha_{3}(t)=s_{3}, \\ \alpha_{4}(t)=s_{4}. \end{array}\right. $

(30)

基于线性参数时变系统理论，控制器状态空间方程的系数矩阵表示如下^[24]：

$ \left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}_{K}(\rho) & \boldsymbol{B}_{K}(\rho) \\ \boldsymbol{C}_{K}(\rho) & \boldsymbol{D}_{K}(\rho) \end{array}\right]=\sum\limits_{i=1}^{4} \alpha_{i}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A}_{K i} & \boldsymbol{B}_{K i} \\ \boldsymbol{C}_{K i} & \boldsymbol{D}_{K i} \end{array}\right] . $

(31)

其中，各顶点控制器的状态空间方程的系数矩阵A_Ki、B_Ki、C_Ki、D_Ki可以离线计算，而权重系数α_i需要根据实时纵向车速在线计算。

3 联合仿真和硬件在环实验 3.1 仿真结果分析

本文设计的重型商用车自动循迹LPV/H_∞控制器解决了商用车自动循迹过程中速度时变的问题，并且改善了以往控制器保守性的问题，提升了商用车自动循迹过程中的性能。

为了验证所提出的控制策略在重型商用车自动循迹过程中的性能，在TruckSim-Simulink联合仿真环境下进行验证。在TruckSim软件中建立重型商用车动力学模型和仿真驾驶场景，在MATLAB和Simulink中建立上述LPV/H_∞控制器。控制器根据TruckSim反馈的实际车辆状态信息和环境信息，计算出目标前轮转角，输入到TruckSim软件的车辆动力学模型和驾驶场景中，实时获得车辆状态和道路-环境信息输入，从而构成商用车自动循迹横向运动闭环控制。仿真采用本文提出的LPV/H_∞梯形域多胞体控制器(控制器A)与三角形域多胞体控制器^[25](控制器B)进行对比分析。

仿真路面附着系数为0.85，车辆纵向速度随纵向位移的变化如图 5所示。

仿真获取的对比结果如图 6所示。图 6a描述了车辆运动轨迹和横向位移误差，图 6b描述了航向角误差，2个控制器都有良好的跟踪性能表现，最大横向位移误差均不超过0.2 m。最大航向角误差均不超过2.5°。与控制器B相比，在控制器A的作用下，最大横向位移误差减小了44%，而最大航向角误差减小了35%，控制器A的自动循迹性能表现更加优异。

前轮转角是车辆系统的控制输入，等效的方向盘转角仿真结果如图 6c所示。与控制器B相比，在控制器A的作用下，具有较小的方向盘转角控制输入，最大方向盘转角减小了11%。

经过上述仿真分析，控制器A和控制器B均能较好地完成自动循迹任务，而控制器A具有更小的轨迹跟踪误差。这说明本文提出的LPV/H_∞控制器在商用车自动循迹过程中，能够显著降低控制器的保守性，提升轨迹跟踪控制精度，且对车辆纵向速度具有鲁棒性。此外，仿真过程中还发现，梯形域多胞体LPV/H_∞控制器对V_min和V_max的设定不敏感，两者的变化不会对梯形域多胞体控制器的性能带来显著变化，而对三角形域多胞体控制器的影响显著，这给控制器的设计带来便利。

3.2 硬件在环实验结果与分析

为了验证控制算法的实时性，本文进行了硬件在环实验。本硬件在环实验在如图 7所示的商用车转向控制实验台上进行，包括MicroAutoBox快速原型开发单元、NI/PXI实时硬件测试系统、商用车电液耦合转向系统和转向阻力扭矩模拟器。实验平台通过CAN进行实时信息交换，波特率设置为500 kbit/s。

MicroAutoBox是由dSPACE公司研发的快速原型开发单元，在Simulink中搭建的控制策略转化成可执行代码部署到MicroAutoBox控制器中，进行目标前轮转角的实时计算，然后将目标前轮转角发送给底层转向子系统控制器进行跟踪控制。NI/PXI实时硬件测试系统运行重型车辆动力学模型和道路环境，并将车辆状态信息反馈给MicroAutoBox控制器；转向子系统控制算法在飞思卡尔SPC5604P 32位MCU上运行，经过前期验证，转向子系统的角度跟踪精度和快速性等控制性能足以验证本文提出的自动横向控制策略。

硬件在环实验条件与联合仿真的条件相同，实验结果如图 8所示。图 8a描述了车辆运动轨迹和横向位移误差，图 8b描述了航向角误差，2个控制器都有良好的跟踪性能表现，最大横向位移误差均不超过0.27 m，最大航向角误差均不超过2.5°；与控制器B相比，在控制器A的作用下，最大横向位移误差减小了63%，而最大航向角误差减小了35%，控制器A的轨迹跟踪性能表现更加优异。

方向盘角度控制输入的实验结果如图 8c所示。与控制器B相比，在控制器A的作用下，具有较小的方向盘角度控制输入，最大方向盘角度减小了13%。

经过上述实验分析，硬件在环实验结果和TruckSim-Simulink联合仿真结果相似。两者均证明了本文提出的控制策略在商用车自动循迹过程中的有效性，在保证车辆稳定性的同时，显著提升轨迹跟踪控制精度。

4 结论

本文提出了一种新型的重型商用车LPV/H_∞鲁棒控制器。重型商用车处于复杂的车—路—环境闭环系统之中，且商用车横摆响应同纵向车速之间具有强非线性耦合关系。本文把道路曲率的不确定性作为外部干扰，并对性能指标进行加权，利用增广的商用车四自由度动力学模型和轨迹跟踪模型设计了重型商用车横向H_∞鲁棒控制器；针对商用车在自动循迹过程中速度时变的问题，本文把纵向车速当作线性时变参数，提出了改进的LPV梯形多胞体控制算法。联合仿真和台架实验结果表明：本文提出的LPV/H_∞控制器改善了原有控制算法的保守性，在保证重型商用车自动循迹稳定性的同时，能够显著提升轨迹跟踪精度。本文设计的控制器没有对车辆动力学稳定性考虑得特别充分，但能保证车辆动力学稳定性在可接受的范围，考虑车辆动力学稳定性的控制器设计将在以后的研究中进行。本研究对重型商用车自动驾驶控制技术的发展具有借鉴作用。