能够应用于高速运转的轴承类型有很多，角接触球轴承由于摩擦系数小，结构简单，运行精度高和易于维护等优点，在高速主轴的支撑方案中得到了非常广泛的应用。对于高速滚动轴承，采用脂润滑简化了复杂的油润滑系统，对环境污染小，已经成为高速主轴润滑的主要发展趋势。脂润滑角接触球轴承高速运转中温升过高、润滑不良等现象导致精度丧失已经成为其失效的主要形式，在高速工况下，急剧增加的摩擦发热若产生过高的温升，将会直接影响轴承与主轴之间的配合量，导致轴承的精度降低，严重的情况下会因为过热而引发轴承失效。由于角接触球轴承固有的几何和动态复杂性，滚珠轴承的热分析尚未得到彻底解决，因此对高速角接触球轴承，尤其是脂润滑方式的轴承，分析其热特性和精度特性的影响因素十分必要，可以为高性能轴承的精密设计提供理论基础。

轴承的生热计算是热特性分析的基础。在此研究方面最经典的经验模型是由Palmgren^[1]构建的，但此模型适用于润滑油流量不大、转速不高的工况。Harris等^[2]提出了球轴承和滚子轴承针对各部分摩擦生热的局部计算方法。文[3-8]针对高速球轴承摩擦生热问题进行了分析，考虑了滚动轴承高速运转下的生热机理；文[9-12]对脂润滑轴承的生热传热、温度分布、热影响参数等热特性问题进行了研究。以上研究对脂润滑轴承在12 000~36 000 r/min转速范围内的功率损耗没有进行准确的评估。

热网络法的高效及准确性使其成为目前滚动轴承热特性分析的重要手段之一，文[13-17]采用热网络方法构建轴承热分析模型，对轴承热传递、热阻及对流换热系数的确定、温升效应的瞬态分析等方面做了深入的研究，但针对轴承转速在12 000~36 000 r/min范围内的高速脂润滑轴承的热分析研究较少。文[18-21]是国内外学者对热膨胀对轴承影响的研究，与前述所阐述的问题一致，这些研究没有专门针对高速工况下的脂润滑滚动轴承来进行研究。

综上所述，对于高速工况下的角接触球轴承，尤其是脂润滑轴承的生热计算及传热模型还需要深入讨论，热膨胀对轴承温度的影响研究还不够彻底。本文首先建立了包含热膨胀影响因素的角接触球轴承受力模型；其次应用局部法生热模型计算轴承产生的热量，通过热网络方法建立了脂润滑角接触球轴承传热模型，理论计算得到了轴承各元件温度；最后通过试验比对，分析了理论值与试验测试值的偏差，为脂润滑高速角接触球轴承的热特性分析及优化设计提供了参考。

1 轴承热膨胀

角接触球轴承在高速运转过程中，由于内部各元件之间的摩擦生热，轴承温度上升，轴承各组件不可避免地会发生受热膨胀，导致轴承额外的轴向/径向变形，进而对轴承的热特性产生影响。在轴承的受力分析中需要通过进行力和变形的分析来研究轴承的热特性。

计算轴承零件的线性膨胀采用Harris等^[2]给出的公式:

$ u=\varepsilon \cdot \Delta t \cdot d_{x}. $

(1)

其中: u为线性膨胀，ε为线热膨胀系数，Δt为温升，d_x为目标零件的直径。

根据线膨胀公式可以得到轴承各组件的线性热膨胀，各部分热膨胀的计算公式如表 1所示。其中，分别考虑了主轴热膨胀和轴承座热膨胀对内外圈滚道径向热膨胀的联合作用。

综合表 1中的公式，得到滚珠热膨胀后的直径：

$ D_{\mathrm{b} 1}=D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}} . $

(2)

内外圈沟道的径向相对热膨胀：

$ u_{\mathrm{r}}=u_{\mathrm{o}}-u_{\mathrm{i}}-2 u_{\mathrm{b}} . $

(3)

内外圈沟道的轴向相对热膨胀：

$ u_{\mathrm{a}}=\left(\varepsilon_{\mathrm{h}} \cdot \Delta t_{\mathrm{h}} \cdot L_{\mathrm{h}}-\varepsilon_{\mathrm{s}} \cdot \Delta t_{\mathrm{s}} \cdot L_{\mathrm{s}}\right) / 2 . $

(4)

2 考虑热膨胀的受力及运动分析 2.1 计入热膨胀的受力分析

本文研究高速电主轴脂润滑角接触球轴承，主要承受轴向载荷，将热膨胀的影响考虑到角接触球轴承分析当中，建立了受轴向载荷前后滚珠体和轴承内、外圈滚道沟曲率中心的相对位置关系，如图 1所示。

根据图 1几何关系，可列出方程：

$ \begin{gathered} \left(\left(A_{1}+u_{\mathrm{a}}\right)-X_{1}\right)^{2}+\left(\left(A_{2}+u_{\mathrm{r}}\right)-X_{2}\right)^{2}= \\ {\left[\left(f_{\mathrm{i}}-0.5\right)\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)+\delta_{\mathrm{i}}\right]^{2}} , \end{gathered} $

(5)

$ X_{1}^{2}+X_{2}^{2}-\left[\left(f_{\mathrm{o}}-0.5\right)\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)+\delta_{\mathrm{o}}\right]^{2}=0. $

(6)

其中：A₁+u_a、A₂+u_r分别为滚动体在任意角位置处，考虑热膨胀影响的内外滚道沟曲率中心的轴向位移和径向位移；X₁、X₂为便于计算引入的新变量；δ_i、δ_o为静载荷下内外滚道的法向接触变形；f_i、f_o为内外圈沟曲率系数。

高速角接触球轴承受轴向载荷情况下，滚珠的受力如图 2所示。轴承高速运转时依据滚道控制原理^[22]，取γ_o=2、γ_i=0。分别列出图中水平方向与竖直方向上的力平衡方程为：

$ \begin{gathered} \frac{\frac{2 M_{\mathrm{g}} X_{2}}{\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)}-K_{\mathrm{o}} \delta_{\mathrm{o}}^{1.{5} X_{1}}}{\left(f_{\mathrm{o}}-0.5\right)\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)+\delta_{\mathrm{o}}}+ \\ \frac{K_{\mathrm{i}} \delta_{\mathrm{i}}^{1.5}\left(\left(A_{1}+u_{\mathrm{a}}\right)-X_{1}\right)}{\left(f_{\mathrm{i}}-0.5\right)\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)+\delta_{\mathrm{i}}}=0. \end{gathered} $

(7)

$ \begin{gathered} \frac{\frac{2 M_{\mathrm{g}} X_{1}}{\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)}-K_{\mathrm{o}} \delta_{\mathrm{o}}^{1.5} X_{2}}{\left(f_{\mathrm{o}}-0.5\right)\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)+\delta_{\mathrm{o}}}+ \\ \frac{K_{\mathrm{i}} \delta_{\mathrm{i}}^{1.5}\left(\left(A_{2}+u_{\mathrm{r}}\right)-X_{2}\right)}{\left(f_{\mathrm{i}}-0.5\right)\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)+\delta_{\mathrm{i}}}-F_{\mathrm{c}}=0 . \end{gathered} $

(8)

其中，M_g为陀螺力矩。

进而建立整个轴承的平衡方程为

$ F_{\mathrm{a}}-Z \frac{K_{\mathrm{i}} \delta_{\mathrm{i}}^{1.5}\left(\left(A_{1}+u_{\mathrm{a}}\right)-X_{1}\right)}{\left(f_{\mathrm{i}}-0.5\right)\left(D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}\right)+\delta_{\mathrm{i}}}=0. $

(9)

联立包含热膨胀条件的轴承受力平衡方程式(5)—(9)，运用Newton-Raphson法对方程组进行求解，进而得到接触角、接触载荷等力学参数。

2.2 轴承运动分析

本文针对的脂润滑高速角接触球轴承其外圈固定，内圈旋转。根据Harris等^[2]提出的球轴承的运动关系，得到滚珠的公转角速度ω_m为

$ \omega_{\mathrm{m}}=\frac{1-\gamma^{\prime} \cos \alpha_{\mathrm{i}}}{1+\cos \left(\alpha_{\mathrm{i}}-\alpha_{\mathrm{o}}\right)}. $

(10)

其中，$\gamma^{\prime}=\frac{D_{\mathrm{b}}+u_{\mathrm{b}}}{d_{\mathrm{m}}}$。

自转角速度ω_R为

$ \omega_{\mathrm{R}}=\frac{-\omega}{\left(\frac{\cos \alpha_{\mathrm{o}}+\tan \beta \sin \alpha_{\mathrm{o}}}{1+\gamma^{\prime} \cos \alpha_{\mathrm{o}}}+\frac{\cos \alpha_{\mathrm{i}}+\tan \beta \sin \alpha_{\mathrm{i}}}{1-\gamma^{\prime} \cos \alpha_{\mathrm{i}}}\right) \gamma^{\prime} \cos \beta} . $

(11)

其中，tanβ=sinα_o/cosα_o+γ′，β为滚珠的姿态角，ω为主轴转速。

根据轴承高速运转的外滚道控制原理，滚珠在内圈产生自旋运动，外圈做纯滚动，则滚珠的自旋角速度ω_si为

$ \omega_{\mathrm{si}}=\frac{\left[\gamma^{\prime} \sin \beta+\sin \left(\alpha_{\mathrm{i}}-\beta\right)\right] \omega_{\mathrm{R}}}{1-\gamma^{\prime} \cos \alpha_{\mathrm{i}}}. $

(12)

3 高速角接触球轴承生热及传热 3.1 高速角接触球轴承局部法生热计算

轴承的生热通过计算轴承的功率损耗来间接进行，目前使用的计算方法有整体法和局部法两种。整体法计算轴承整体的摩擦力矩并乘以套圈转速得到轴承的整体功耗；局部法根据各元件的运动学关系单独计算每个接触区域的局部摩擦功耗最后求和。

高速角接触球轴承在高转速过程中，轴承各个接触区域状态并不完全一样，在轴承的不同位置会产生不同的子热源，各个子热源对轴承功耗的影响也存在差别。整体法在分析高速轴承的摩擦生热时误差大，无法反映滚动轴承内部零件之间的局部摩擦热，因此对高速角接触球轴承生热计算是基于高速轴承运动学和拟静力学分析结果针对接触区域进行精确局部功率损耗的计算。

3.1.1 滚珠与内圈的滑动摩擦功耗H₁

轴承高速运转中，轴承外圈固定，滚珠在轴承外圈做纯滚动而无滑动摩擦。产生的摩擦功耗为^[23]

$ H_{1}=H_{1 \mathrm{i}}=Z \int \tau_{\mathrm{i}} V_{y \mathrm{i}} \mathrm{d} A. $

(13)

其中：τ_i为内圈接触椭圆短轴方向的剪切应力; V_yi为球与内圈的滑动速度，依据式(14)计算得到; Z为滚珠的个数。

$ \begin{gathered} V_{y \mathrm{i}}=-\frac{\omega_{\mathrm{i}}}{2} d_{\mathrm{m}}-\left\{\sqrt{R_{\mathrm{i}}^{2}-x_{\mathrm{i}}^{2}}-\sqrt{R_{\mathrm{i}}^{2}-a_{\mathrm{i}}^{2}}+\right.\\ \left.\sqrt{\left(\frac{D_{\mathrm{b}}}{2}\right)^{2}-a_{\mathrm{i}}^{2}}\right\} \times\left(\frac{\omega_{\mathrm{b}}}{\omega_{\mathrm{i}}} \cos \beta \cos \beta^{\prime} \cos \alpha_{\mathrm{i}}+\right. \\ \left.\frac{\omega_{\mathrm{b}}}{\omega_{\mathrm{i}}} \sin \beta \sin \alpha_{\mathrm{i}}-\cos \alpha_{\mathrm{i}}\right) \omega_{\mathrm{i}}. \end{gathered} $

(14)

3.1.2 滚珠的陀螺转动摩擦功耗H₂

高速主轴旋转时，角接触球轴承中每个滚珠都会受到一个陀螺力矩的作用，进而发生陀螺转动。产生的摩擦功耗为^[23]

$ \left\{\begin{array}{l} H_{2 \mathrm{i}}=\frac{1}{2} D_{\mathrm{b}} \omega_{\mathrm{R}} F_{x \mathrm{i}} Z, \\ H_{2 \mathrm{o}}=\frac{1}{2} D_{\mathrm{b}} \omega_{\mathrm{R}} F_{x \mathrm{o}} Z, \\ H_{2}=H_{2 \mathrm{i}}+H_{2 \mathrm{o}} . \end{array}\right. $

(15)

其中：H_2i为滚珠与内圈滚道产生的陀螺运动摩擦功耗，F_xi为接触椭圆长轴方向上球与内圈滚道的摩擦力；H_2o为滚珠与外圈滚道产生的陀螺运动摩擦功耗，F_xo为接触椭圆长轴方向上球与外圈滚道的摩擦力。

3.1.3 滚珠的自旋摩擦功耗H₃

滚珠绕滚道转动时，接触区内角速度矢量在法向平面内的分量将引起轴承的自旋运动。产生的摩擦功耗为^[23]

$ H_{3}=M_{\mathrm{si}} \omega_{\mathrm{si}} Z . $

(16)

其中，$M_{\mathrm{si}}=\frac{3 \mu_{1} Q_{\mathrm{i}} a_{\mathrm{i}} E_{\mathrm{i}}}{8}$。M_si为球的自旋摩擦力矩，μ₁为润滑剂摩擦因数，E_i为第二类完全椭圆积分。

3.1.4 滚珠与润滑脂相对拖动的摩擦损耗H₄

滚珠与润滑脂在拖动过程中产生的摩擦功耗为^[23]

$ H_{4}=\frac{1}{2} d_{\mathrm{m}} F_{\mathrm{d}}\left(\omega_{\mathrm{m}}\right)^{0.81} Z. $

(17)

其中：F_d为滚珠与润滑剂之间的黏性拖动摩擦力，ω_m为滚珠公转角速度。

3.1.5 保持架与内圈引导面之间的滑动摩擦功耗H₅

保持架采用内圈引导，则保持架与内圈直接接触。轴承在高速运转中，保持架与内圈存在速度差，进而产生滑动摩擦，产生的摩擦功耗为^[23]

$ H_{5}=\frac{1}{2} D_{\mathrm{CR}} F_{\mathrm{CL}}\left[c_{\mathrm{i}}\left(\omega_{\mathrm{c}}-\omega_{\mathrm{i}}\right)\right]. $

(18)

其中：D_CR为保持架引导面直径；F_CL为保持架与套圈引导面之间的滑动摩擦力；c_i为滑动系数，取c_i=-1；ω_c为保持架的转动角速度；ω_i为内圈转动角速度。

3.1.6 滚珠和保持架的滑动摩擦功耗H₆

滚珠在润滑脂中会受到绕流阻力作用，从而导致摩擦热的产生。产生的摩擦功耗为^[23]

$ H_{6}=0.5 \mu_{2} D_{\mathrm{b}} Q_{\mathrm{c}} \omega_{\mathrm{b}} Z. $

(19)

其中：μ₂为滚珠和保持架之间的摩擦系数，Q_c为滚珠与保持架之间的接触作用力。

综合上述，根据不同元件之间的摩擦生热情况，热量来源可以简化为滚珠与内圈的摩擦和滚珠与外圈的摩擦，即得到滚珠与内圈摩擦热为

$ H_{\mathrm{i}}=0.5\left(H_{2}+H_{4}+H_{6}\right)+H_{1}+H_{3}+H_{5} \text {. } $

(20)

滚珠与外圈的摩擦热为

$ H_{\mathrm{o}}=0.5\left(H_{2}+H_{4}+H_{6}\right). $

(21)

轴承的总摩擦功耗为

$ H_{\mathrm{t}}=H_{\mathrm{i}}+H_{\mathrm{o}}. $

(22)

3.2 脂润滑高速角接触球轴承热传递

基本的传热模式包括热传导、热对流和热辐射。高速主轴在一定载荷下高速运转时，主轴表面的温度一般在40~80℃，忽略热辐射的影响(物体温度不超过200℃可以不考虑热辐射)，仅考虑热传导及热对流的影响。

角接触球轴承内外圈与轴颈和轴承座配合，分析轴承的热传递需要将轴颈和轴承座与轴承合并为一个单元体。对于脂润滑的角接触球轴承，其热传递过程包括：主轴端面与外界的热对流、主轴与轴承内圈之间的导热、内圈与润滑脂之间的导热、润滑脂与滚动体之间的导热、润滑脂与外圈之间的导热、轴承外圈与轴承座之间的导热、轴承座与外界的热对流，如图 3a所示。所以，可以在角接触球轴承单元结构中设置8个温度节点，如图 3b所示。

3.2.1 热传导系数

在脂润滑角接触球轴承各组件的接触区位置存在热传导关系，导热系数的影响因素为温度和材料，对于该试验轴承，内圈、外圈、滚珠都为轴承钢材料GCr15，且温度范围在20~140℃之间，依据材料属性可确定其导热系数，轴承各组件导热系数亦可同样确定。各接触位置的导热系数如表 2所示。

3.2.2 热对流系数

主轴在高速旋转过程中，周围空气一定速度流动，此时，主轴与空气的对流属于强迫对流换热，主轴的对流换热系数h_s可按如下公式计算^[24]:

$ \left\{\begin{array}{l} h_{\mathrm{s}}=\frac{N u \cdot \zeta_{\mathrm{a}}}{d_{\mathrm{s}}}, \\ N u=0.133 {Re}^{2 / 3} {Pr}^{1 / 3}, \\ R_{\mathrm{e}}=\omega d_{\mathrm{s}}^{2} / \nu_{\mathrm{a}}。\end{array}\right. $

(23)

其中：ζ_a为空气导热系数，Nu为无量纲Nusselt数，ω为主轴转动角速度，Re为Reynolds数，Pr为Prandtl数，ν_a为空气运动黏度，d_s为主轴直径。

在轴承系统中，轴承座是静止状态，轴承座与空气之间的对流换热系数^[25]h_h为9.7 W/(m²·K)。

3.3 脂润滑高速角接触球轴承热网络

应用传热学理论，根据能量平衡原理，即流入该节点的能量等于流出该节点的能量，每个节点之间以热阻的形式关联形成热网络。在不考虑辐射的条件下，建立脂润滑高速角接触球轴承热网络如图 4所示，此网络模型是包含内圈、内圈滚道、滚珠、外圈滚道及外圈5个未知温度节点的传递系统。

由于热量大部分是在滚珠与内外圈接触处产生的，由Burton和Steph^[26]提出的观点，2个接触元件如果物性相同或相近，可假设将接触区的摩擦热等分给2个接触体，即内圈生热量1∶1进入内圈和球，外圈热量1∶1进入外圈和球。根据图 3和图 4建立的包含5个未知量的温度节点系统和温度传递系统，建立热平衡方程如式(20)所示，方程组编程求解即可计算得到5个节点的温度值。

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{T_{\mathrm{o}}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{h}}}=\frac{T_{\mathrm{o1}}-T_{\mathrm{o}}}{R_{\mathrm{o}}}+0.5 H_{\mathrm{o}}, \\ \frac{T_{\mathrm{o1}}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{o}}+R_{\mathrm{h}}}+\frac{T_{\mathrm{o1}}-T_{\mathrm{G}}}{R_{1}+R_{2}}=0.5 H_{\mathrm{o}}, \\ \frac{T_{\mathrm{b}}-T_{\mathrm{o1}}}{R_{2}}=\frac{T_{\mathrm{i} 1}-T_{\mathrm{b}}}{R_{1}}, \\ \frac{T_{\mathrm{i} 1}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{i}}+R_{\mathrm{s}}}+\frac{T_{\mathrm{i} 1}-T_{\mathrm{G}}}{R_{1}+R_{2}}=0.5 H_{\mathrm{i}}, \\ \frac{T_{\mathrm{i} 1}-T_{\mathrm{i}}}{R_{\mathrm{i}}}+0.5 H_{\mathrm{i}}=\frac{T_{\mathrm{i}}-T_{\infty}}{R_{\mathrm{s}}} . \end{array}\right. $

(24)

其中：$R_{1}=\frac{R_{\mathrm{i} 1} R_{\mathrm{b}} / 2}{R_{\mathrm{i} 1}+R_{\mathrm{b}} / 2}, R_{2}=\frac{R_{\mathrm{ol}} R_{\mathrm{b}} / 2}{R_{\mathrm{ol}}+R_{\mathrm{b}} / 2}$。

对方程式(23)中的各处热阻抗值分别计算：

外圈热阻：

$ R_{\mathrm{o}}=\frac{Z \ln \left(d_{\mathrm{o}} / d_{\mathrm{o1}}\right)}{2 k_{\mathrm{o}} {\rm{ \mathsf{ π} }} B} ; $

(25)

轴承座热阻：

$ R_{\mathrm{h}}=\frac{R_{\mathrm{rad}} R_{\mathrm{ax}}}{R_{\mathrm{rad}}+R_{\mathrm{ax}}}. $

(26)

其中：$R_{\mathrm{rad}}=\frac{Z \ln \left(D_{\mathrm{h}} / d_{\mathrm{o}}\right)}{2 \pi k_{\mathrm{h}} B}+\frac{Z}{h_{\mathrm{h}} \pi D_{\mathrm{h}} L_{\mathrm{h}}}$，R_ax= $\frac{4 Z L_{\mathrm{h}}}{k_{\mathrm{h}} \pi\left(D_{\mathrm{h}}^{2}-d_{\mathrm{o}}^{2}\right)}+\frac{4 Z}{h_{\mathrm{h}} \pi\left(D_{\mathrm{h}}^{2}-d_{\mathrm{o}}^{2}\right)}$，D_h为轴承座外径。滚珠与内滚道接触热阻(脂润滑)：

$ R_{\mathrm{i} 1}=\frac{D_{\mathrm{b}}}{2 k_{\mathrm{L}}\left(\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{Z} d_{\mathrm{i} 1} B-\frac{1}{4} {\rm{ \mathsf{ π} }} D_{\mathrm{b}}^{2}\right)}. $

(27)

滚珠与外滚道接触热阻(脂润滑)：

$ R_{\mathrm{o1}}=\frac{D_{\mathrm{b}}}{2 k_{\mathrm{L}}\left(\frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{Z} d_{\mathrm{ol}} B-\frac{1}{4} {\rm{ \mathsf{ π} }} D_{\mathrm{b}}^{2}\right)} . $

(28)

滚珠热阻：

$ R_{\mathrm{b}}=\frac{2}{k_{\mathrm{b}} {\rm{ \mathsf{ π} }} D_{\mathrm{b}}}. $

(29)

内圈热阻：

$ R_{\mathrm{i}}=\frac{Z \ln \left(d_{\mathrm{i1}} / d_{\mathrm{i}}\right)}{2 k_{\mathrm{i}} {\rm{ \mathsf{ π} }} B}. $

(30)

主轴热阻：

$ R_{\mathrm{s}}=\frac{4 L_{\mathrm{s}} Z}{k_{\mathrm{s}} {\rm{ \mathsf{ π} }} d_{\mathrm{i}}^{2}}+\frac{4 Z}{h_{\mathrm{s}} {\rm{ \mathsf{ π} }} d_{\mathrm{i}}^{2}}+\frac{Z}{k_{\mathrm{s}} {\rm{ \mathsf{ π} }} B}. $

(31)

建立含热膨胀的轴承力学模型、脂润滑生热计算、传热模型，求解热平衡方程组，就可以分析得到轴承温度场的分布情况。对于高速脂润滑球轴承热分析的完整流程如图 5所示。

4 分析模型的试验验证

本文通过高速电主轴轴承试验台来验证脂润滑角接触球轴承的力学模型、生热模型及传热模型的正确性。试验台实物及温度测试原理如图 6所示。该试验台由主轴系统、温度传感器、数据采集系统、PC端口等组成。试验测试以脂润滑H7008C-2RZHQ1P4角接触球轴承为对象，轴承的基本结构参数如表 4所示。

试验中温度传感器(PT100)插入轴承座与轴承外圈接触，末端连接数据采集系统，记录轴承的外圈温度。试验条件为轴向载荷为350 N，试验转速从1.2×10⁴ r/min增至3.6×10⁴ r/min，试验时长约为180 min。

5 结果对比及分析 5.1 热膨胀对轴承参数的影响

脂润滑角接触球轴承在高速旋转时，温升引起的热膨胀对轴承接触角和接触载荷有很大的影响，接触角和接触载荷的变化对轴承内部组件的运动关系、摩擦和润滑等都有重要的影响。

5.1.1 接触角

图 7是轴向载荷为350 N，转速从1.2×10⁴ r/min增加到3.6×10⁴ r/min时，内外接触角在考虑和不考虑轴承内外圈和滚动体热膨胀2种情况下的变化。图中可以看出，随着转速增加，轴承内接触角不考虑轴承热膨胀时从17.6°增加到19.9°，考虑轴承热膨胀时从20.7°增加到36.4°；轴承外接触角不考虑轴承热膨胀时从14.3°减小到5.7°，考虑轴承热膨胀时从16.3°减小到5.9°。同时可以发现，考虑热膨胀，内外接触角都增大。在低速时(小于1.8×10⁴ r/min)内圈接触角受轴承热膨胀的影响较小，高于1.8×10⁴ r/min时产生的影响较大。

5.1.2 接触载荷

图 8是轴向载荷为350 N，转速从1.2×10⁴ r/min增加到3.6×10⁴ r/min时，内外接触载荷在考虑和不考虑 热膨胀2种情况下的变化。图中可以看出，随着转速增加，轴承内接触载荷不考虑轴承热膨胀时从52.5 N减小到46.6 N，考虑轴承热膨胀时从45.1 N减小到26.8 N；轴承外接触载荷不考虑轴承热膨胀时从60.9 N增加到126.7 N，考虑轴承热膨胀时从53.4 N增加到117.8 N。随着转速的增加，离心力增大，滚珠与外圈接触载荷变大，与内圈接触载荷变小。在速度小于1.8×10⁴ r/min时考虑热膨胀所带来的影响较小，高于1.8×10⁴ r/min时产生的影响较大。

5.2 热膨胀对运动参数的影响

图 9为脂润滑角接触球轴承在3.0×10⁴ r/min转速下，滚珠公转角速度、自转角速度以及自旋角速度随着轴向载荷增加的变化情况，同时考虑了热膨胀的影响。图中可以看出，随载荷的增加，考虑热膨胀因素影响的滚珠自旋角速度逐渐增加，反之则逐渐减小。随着载荷的增加，滚珠公转角速度和自转角速度受热膨胀的影响不大。

自旋角速度发生在滚珠与内圈的接触处，其速度受滚珠与内圈的接触载荷影响较大，这是因为随着接触载荷的增大，摩擦力增大，从而会限制滚珠自旋运动，即接触载荷和自旋速度成反比相关关系。随着轴向载荷的增加，考虑热膨胀时的滚珠与内圈的接触载荷小于未考虑热膨胀时滚珠与内圈的接触载荷，根据接触载荷越大，自旋速度越小可知，考虑热膨胀时的自旋速度要大于未考虑热膨胀时的自旋速度。

图 10为一定轴向载荷(350 N)时，滚珠公转角速度、自转角速度以及自旋角速度随转速增加的变化情况。图中可以看出，随转速的增加滚珠自旋角速度受热膨胀的影响仍然是最大的，尤其是在转速超过1.8×10⁴ r/min以后显现的更明显，转速达到3.6×10⁴ r/min时，考虑热膨胀的滚珠自旋角速度达到1.02×10⁴ rad/s，未考虑热膨胀的滚珠自旋角速度为4.85×10³ rad/s。

5.3 热膨胀对轴承温升的影响 5.3.1 轴承各组件的生热量大小

图 11给出了脂润滑角接触球轴承两种情况下系统内各组件的生热量大小，同时比较了热膨胀对生热量的影响。

1) 转速一定(3.0×10⁴ r/min)，轴向载荷200 N增加到600 N；

2) 轴向载荷一定(350 N)，转速从1.2×10⁴ r/min增加到3.6×10⁴ r/min。

由图 11a分析得到，随着载荷的增加，各组件的生热量均是逐渐增大的，热膨胀对于生热量的影响随着轴向载荷的增加而逐渐增加；图 11b比较了生热量随转速的变化关系，可以看出，低转速时，考虑与不考虑热膨胀产生的生热量接近；当转速升高，考虑热膨胀下各组件的生热量明显增加，这是因为自旋角速度考虑热膨胀时增加明显，转速升高自旋摩擦生热量自然增加，导致各组件的生热量明显增加。

5.3.2 轴承各组件的热膨胀大小

图 12分别给出了脂润滑角接触球轴承两种情况下系统内各组件的热膨胀大小：

1) 转速一定(3.0×10⁴ r/min)，轴向载荷200 N增加到600 N；

2) 轴向载荷一定(350 N)，转速从1.2×10⁴ r/min增加到3.6×10⁴ r/min。

由图 12a分析得到，内圈滚道径向的热膨胀量最大，其次为外圈滚道的径向热膨胀量，最后为滚珠，这是因为内圈的生热量远远大于外圈的生热量，导致外圈温度远大于内圈温度，而滚珠的直径远远小于内外圈滚道直径，从而导致滚珠的热膨胀量最小。

图 12b可以看出，随着转速的增加，内圈滚道的热膨胀量最大，滚珠的热膨胀量最小，这是因为滚珠的直径较外圈和内圈的滚道直径小的缘故。随着转速的增加，内外滚道间的相对径向热膨胀量为负值，且一直变小，这是因为在轴承高速运转过程中，内圈温度大于外圈温度，导致内圈滚道的热膨胀量大于外圈滚道，从而使内圈滚道与外圈滚道之间的相对径向热膨胀量减小，因此为负值，且随着内圈与外圈的温差越来越大，则内圈滚道与外圈滚道之间的相对径向热膨胀量越来越小。同理，内外圈滚道的相对轴向热膨胀量越来越小，也为负值，是因为主轴的温度大于轴承座的温度。

5.3.3 试验比对结果

图 13所示为主轴转速与轴承内部各组件温度的关系。可以看出，内圈的温度最高，外圈的温度最低，这是因为内圈的生热量较外圈较高，导致内圈温度大于外圈温度。滚珠的温度在两者之间，是因为滚珠虽然生热量最大，但是脂润滑轴承滚珠被润滑脂包裹，润滑脂的降温导致滚珠的温度低于内圈温度。图中可以得到：

1) 内圈温度上升了88.9℃，外圈温度上升了16.9℃，滚珠温度上升了43.5℃。各转速下轴承各组件的温度理论计算值见表 5。

2) 试验测试条件为：轴向载荷为350 N，转速从12 000 r/min上升到36 000 r/min，试验测试角接触球轴承的外圈温度，理论与测试值的最大差值在30 000 r/min位置，温差大小为3.5℃，误差为10.6%。

6 结论

1) 建立了含热膨胀的轴承受力和运动模型，轴承的力学参数和运动学参数受转速的影响要大于载荷的影响，随着转速的上升，内接触角、外接触载荷、滚珠公转、自转、自旋速度随之增大，外接触角、内接触载荷、轴向位移随之减小，此时，轴承的生热量增加，温度升高，热膨胀对轴承的内部特性影响明显。

2) 考虑热膨胀时，随着轴向载荷(预紧力)增大，滚珠自旋速度、轴承各部件的生热量、内圈热膨胀量、套圈沟道间的径向热膨胀量都增加，套圈沟道间径向热膨胀量减小。外滚珠的公转速度、自转速度、外圈热膨胀量、滚珠热膨胀量、套圈滚道间轴向热膨胀量受预紧力影响较小。

3) 通过考虑热膨胀的力学模型和脂润滑角接触球轴承的生热及传热模型，理论计算得到的外圈温度与试验值吻合较好，最大误差出现在30 000 r/min处，最大误差在10%以内，证明了此模型分析计算脂润滑角接触球轴承温度的可靠性。