现代燃气轮机为了减少NO_x等污染排放，大多采用干式贫燃预混燃烧技术。该技术将燃料与空气混合后进入燃烧区内进行稀相燃烧，通过控制当量比小于化学恰当比，降低燃烧室内的峰值温度，从而减少热力型NO_x的生成。但与此同时，贫燃预混燃烧模式下当量比趋于熄火边界，使得燃烧不稳定成为需要重点解决的问题。一旦燃烧放热率脉动和压力脉动耦合(热声耦合)形成正反馈，燃烧放热产生的能量将转化为声学系统的振荡能量，导致剧烈的压力和放热率振荡，该现象一般称为振荡燃烧或热声振荡^[1]。实际工程中，一旦发生振荡燃烧，大幅压力脉动可能使流场恶化，使得燃烧室局部温度过高，燃烧污染物排放增加，也有可能导致火焰吹熄或回火等现象。在极端情况下，压力的脉动还将与结构振动耦合，导致燃烧室内喷嘴、联焰管或透平的一级静叶等重要结构发生破坏。这将严重降低燃烧室寿命，并带来严重的安全问题。

热声振荡机理往往通过“热”和“声”的耦合机制进行分析，Rayleigh准则可作为热声不稳定性的判据，如式(1)所示，当放热率和压力脉动之间的相位小于90°，满足积分大于零的条件时就会产生热声振荡的现象。

$ \oint p^{\prime} q^{\prime} \mathrm{d} t>0 $

(1)

其中：p′为压力脉动，q′为放热率脉动，dt为时间微分。

由式(1)可以看出燃烧时的放热率脉动及火焰动力学的描述是分析预测热声振荡的关键。在实际燃烧系统中，“热”和“声”的耦合过程往往与流动、混合和燃烧等过程密切相关，如图 1所示。例如当量比脉动、声波本身的速度脉动以及由声扰动带来的涡脱落都会产生放热率的脉动。

在热声耦合问题中，火焰对声波的响应是重要的因素，当速度脉动与火焰放热率脉动之间以传递函数的方式表示输入与输出的关系时，如式(2)所示，就可以将燃烧室视为系统中的元件/环节，通过开环测量获得放热率脉动对扰动量的响应特性，通过火焰传递函数(flame transfer function，FTF)来表示，

$ \mathrm{FTF}(\omega)=\frac{q^{\prime}}{\bar{q}} / \frac{u^{\prime}}{\bar{u}}. $

(2)

其中：q′为放热率脉动，q为平均放热率，u′为气体速度脉动，q为气体平均速度。实际中，通过实验或数值模拟对稳态火焰进行扰动，可以测量火焰传递函数。

随着对燃烧排放和燃烧稳定性的控制要求的不断提高，燃烧的组织方式也愈来愈复杂，如越来越普遍使用的分级燃烧形式，为抑制燃烧不稳定而设计的值班火焰形式，以及为保证环形燃烧室出口温度均匀度的周向多火焰结构。通过对不同燃烧组织形式的火焰动力学特性进行研究，将更好地认识燃烧室内放热率和声波的耦合过程，掌握热声不稳定的形成机理和抑制方法。

1 火焰动力学 1.1 非预混火焰动力学^[3]

非预混(扩散)火焰广泛应用于燃气轮机、冲压发动机以及火箭发动机内。对于非预混火焰来说，由于其长度较长，燃烧由扩散作用控制，在大扰动下火焰甚至可能撕裂，其本身会有分布式特征。

Balasubramanian等^[4-5]研究了扩散火焰放热率的非线性响应以及热声耦合的非线性现象。Tyagi等^[6]结合理论分析与数值计算研究了二维扩散火焰对速度扰动和燃料质量分数扰动的放热响应。以上研究没有对热斑的演化过程以及其对放热率的影响作讨论，而通过低阶燃烧模型和混合分数输运方程可以研究这一问题。

通过对一个如图 2所示的理想二维平板的非预混火焰进行建模和计算可以得到其火焰动力学特性。基于Burke-Schumann形式的火焰^[7]和Lewis数为1的假设，可以得到非预混火焰的输运方程：

$ \frac{\partial Z}{\partial t^{*}}+u^{*} \frac{\partial Z}{\partial x^{*}}=\frac{1}{P e}\left(\frac{\partial^{2} Z}{\partial x^{* 2}}+\frac{\partial^{2} Z}{\partial y^{* 2}}\right) . $

(3)

其中：Z为混合分数，Pe为Peclet数。

利用Green函数在稳态条件下求解可以得到空间内的温度脉动传递函数G_T(St, x)和速度脉动的传递函数G_u(St, x)，进一步可以求得火焰形态和放热率变化。通过建立低阶燃烧动力学模型可以利用以上2个传递函数来推导总体的FTF，如式(4)：

$ \begin{gathered} D a \cdot G_{f}=\underbrace{\langle\bar{\rho}\rangle^{*}\langle\bar{u}\rangle^{*} J_{1} \frac{\mathrm{d} G_{T}}{\mathrm{~d} x^{*}}}_{(1)}+\\ \underbrace{\frac{\langle\bar{\rho}\rangle^{*}\langle\bar{u}\rangle^{*} J_{1}}{\gamma_{C}{ }^{* 2}-\langle\bar{T}\rangle^{*}} \frac{\mathrm{d}\langle\bar{T}\rangle^{*}}{\mathrm{~d} x^{*}} G_{T}}_{(2)}+\\ \underbrace{i S t\left(\frac{\langle\bar{\rho}\rangle^{*}\langle\bar{T}\rangle^{*}\left(1-\gamma J_{1}\right)}{\gamma\left(\gamma c^{* 2}-\langle\bar{T}\rangle^{*}\right)}+\frac{\langle\bar{\rho}\rangle^{*}}{\gamma}\right) G_{T}}_{(3)}+\\ \underbrace{\langle\bar{\rho}\rangle^{*} J_{1} \frac{\mathrm{d}\langle\bar{T}\rangle^{*}}{\mathrm{~d} x^{*}} G_{u}}_{(4)} . \end{gathered} $

(4)

其中：Da为Damkohler数，St为Strouhal数，G_f为非预混火焰传递函数，J₁为焓值分布不均匀引入的形状因子，ρ为平均密度，γ为比热比，c为声速，T为温度。

式(4)是一个混合型的传递函数，温度场和速度场的动态响应有不同特征。理论计算表明，非预混火焰的分布式传递函数有双峰的特征，该特征与文[10]中的数值计算结果特征相同，数值吻合较好。

通过给予不同频率的扰动可以测量火焰整体的放热率响应。不同扰动下，实验和理论解的火焰形态相近，如图 3所示。整体FTF的实验与理论解也相近，呈现明显的低通特性。理论与实验相比，两者虽在细节上不完全一致，但都捕捉到非预混火焰分布式FTF双峰和π相位突变的主要特征。同时可以分析热斑的形成和传播过程。如图 4所示，当改变Strouhal数St和Peclet数Pe时，热斑的传播和消散特性也会改变。当St增加或者Pe数减小时，热斑的总体强度会降低。

1.2 钝体稳燃火焰动力学^[11]

钝体结构是常用于稳定火焰燃烧的结构，而在声波作用下，钝体后的涡结构会变化，进而影响火焰的形态和放热率。针对钝体稳燃火焰的动力学的研究多为实验研究。Erickson等^[12]比较了冷热态下涡结构的区别。Nottin等^[13]对比了实验测量与大涡模拟结构下，钝体后火焰与涡结构的相互作用。Balachandran等^[14]通过实验测量研究了钝体火焰的非线性特征。

预混燃烧的数值研究手段中，用水平集方法来描述火焰面位置是一种成熟的方法^[15]，利用流场信息推动标量场G方程式(4)的求解，获得火焰面位置(G=0)。采用5阶WENO格式，并应用局部水平集和重新初始化方法保证精度且提高计算速度。

$ \frac{\partial G}{\partial t}+\vec{u} \cdot \nabla G=S_{u}|\nabla G|. $

(5)

在钝体预混燃烧火焰中，由于涡结构的存在，需要精确的流场信息以推动G方程的求解。因此考虑使用离散涡模型来描述钝体后的流场变化。离散涡方法在以往的研究中已被成功用于二维不可压流动的模拟计算中，并取得了较好的效果^[16]。在离散涡模型中，利用Kutta条件给出点涡的生成方程，并给出自由点涡的运动和耗散过程，即可以通过复势的叠加给出流场。针对二维复杂的几何结构，可以通过Schwarz-Christoffel变换^[17]，即式(6)，将其与半无限大平面对应起来，进而简化复势的计算。

$ z=K_{\mathrm{m}} \int_{0}^{\lambda} \prod\limits_{j=1}^{6}\left(\xi-\lambda_{j}\right)^{\theta_{j}-1} \mathrm{~d} \xi+C_{\mathrm{m}}. $

(6)

其中：C_m、K_m为Schwarz-Christoffel变换的积分和比例系数，θ为钝体顶点夹角。

将G方程和离散涡耦合可以得到涡结构和火焰的相互作用，用离散涡方法得出的更为精确的流场信息推动G方程的求解。进一步通过Fourier变换可以得到火焰传递函数或火焰描述函数。

对管内不同钝体产生的V形火焰进行稳定性分析。V形火焰一个周期内的变化如图 5所示。对于长方形钝体，其产生的V形火焰的响应呈现低通特性。Reynolds数增加后，点涡的环量的强度更强，火焰面更短。在大幅值和高频率扰动下，涡脱落的特性接近于Karman涡街，因此钝体后产生的涡量带更为剧烈，其火焰响应更大一些。三角形钝体与长方形钝体相比，由于其角部更加尖锐，因此点涡环量强度更大，更易脱落，火焰传递函数幅值偏大。并且由于来流角度的区别，三角形钝体的火焰的倾斜角度更大，火焰更接近钝体，因此其传递函数的相位偏小。

对于双通道M形火焰，用以上方法可以获得不同扰动下火焰的响应特征。在小扰动下，点涡强度较低，其生成频率与脉动频率相同。点涡的产生使得火焰面褶皱和扭曲，但由于强度较低，因此火焰面的变化为小幅度的脉动。在较高幅度的扰动下，钝体后的点涡强度更大，涡脱落得更加剧烈，产生大尺度的涡团脱落。大尺度的涡使得火焰面剧烈变化，在一个周期内甚至可以使得火焰面因涡的挤压效果而断裂。如图 6所示，对大扰动下的火焰面进行积分并作Fourier变换可以得到放热率的频谱分布。频率信号清晰地显示了在扰动频率的倍频处，有明显的放热率信号。在不同的扰动幅值下，计算M形火焰的传递函数，可以发现其响应幅值随扰动幅值的增大而减小。说明此时火焰响应已经趋于饱和，现在处于非线性的响应区间。

1.3 值班火焰动力学^[18]

在实际燃烧室中往往通过引入值班火焰提高主火焰的稳定性，使火焰更加稳定。此时值班火焰与主火焰之间的动态相互作用将非常重要。Albrecht等^[19]通过实验验证了值班火焰对主火焰不稳定现象的控制。Dhanuka等^[20]通过实验明确了值班火焰与主火焰的相互作用影响火焰的稳定性。Fu等^[21]的实验表明值班喷嘴的流量将影响火焰的稳定性。值班火焰理论模型如图 7所示。

利用简化的二维G方程可以对主火焰和值班火焰间相互作用的动力学进行分析。通过简化G方程，分别描述值班火焰面在低频下的表达式，值班火焰和主火焰脉动量ξ表达式分别为式(7.1)和式(7.2)，进一步利用动量关系，可以将火焰面前后的速度脉动相关联，如式(7.3)，对火焰面积分得到整体的火焰响应。

$ \widetilde{\xi}_{\mathrm{p}}(x)=\frac{\widetilde{v}_{\mathrm{p}}}{\bar{v}_{\mathrm{p}}} \frac{a-x}{\cos \beta}, $

(7.1)

$ \widetilde{\xi}_{\mathrm{m}}(x)=B_{\mathrm{m}} \exp \left(C_{\mathrm{m}} \frac{x}{R}\right)\left[\exp \left(D_{\mathrm{m}} \frac{x}{R}\right)-1\right] , $

(7.2)

$ V^{\prime}=\sigma \exp (\varepsilon X) \exp \left(\mathrm{i} \frac{\omega}{\bar{v}_{\mathrm{m}}} X \cos \alpha\right) \exp (\mathrm{i} \omega t). $

(7.3)

其中，

$ B_{\mathrm{m}}=-\frac{\widetilde{s}_{\mathrm{m}}}{s_{\mathrm{m}}} \frac{R}{{\rm i} \omega^{*} \sin ^{2} \alpha}, $

$ C_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{i} \omega^{*}}{\cos \alpha}, $

$ D_{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{i} \omega^{*}}{\cos \alpha}\left(\cos ^{2} \alpha-1\right), $

$ \sigma=-\frac{S_{\mathrm{L}}}{S_{\mathrm{B}}}\left[\left(S_{\mathrm{B}}-S_{\mathrm{L}}\right) \tan \beta \sin (\alpha+\beta)+\frac{S_{\mathrm{L}} \sin \alpha}{\sin \beta}\right] \frac{\widetilde{v}_{\mathrm{p}}}{\bar{v}_{\mathrm{p}}}, $

$ \varepsilon=\frac{\sin \alpha}{r_{2}-r_{1}} \ln \left(\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}\right). $

其中：r₁、r₂为值班火焰与主火焰气体出口半径，α为火焰面顶角，S_B为已燃侧气体传播速率，S_L为层流火焰速度。利用简化的G方程所得出的结构没有考虑主火焰涡结构的效应，因此该结果主要可以描述小扰动下值班火焰与主火焰的火焰形态变化。如图 8所示，理论解与利用高速摄影捕捉的实验中的火焰形态一致。

实验中，对值班火焰的单路扰动将影响主火焰，但主火焰的单路扰动不会反作用于值班火焰，这可能是由两个火焰的相对尺寸决定的。值班火焰的存在可以改变火焰整体的动力学特征，增强火焰的低通特征，并减弱响应中随机信号的成分，有利于施加控制。

在大扰动下，火焰展现出非线性的特征，主要原因是涡脱落的形成将值班火焰与主火焰耦合在一起。对高速摄影拍摄的火焰形态做Abel变换可以得到火焰截面结构。火焰结构中涡脱落的数量与扰动频率相关，此时主火焰与值班火焰间的相互作用更加复杂。

$ \varLambda=1-\min (|H(f, \delta)|) /\left|H\left(f, v_{p}^{\prime}=0\right)\right| . $

(8)

其中：H(f, δ)为值班火焰传递函数，为主火焰和值班火焰相互作用耦合强度。

通过式(8)描述火焰间相互作用的耦合强度，可以分析不同工况下的耦合关系，结果如图 9所示。从图中可以看到，耦合强度与Reynolds数以及扰动频率成线性关系，即当扰动频率与钝体的涡脱落频率相吻合时，火焰间的耦合强度最大，说明涡脱落会加强值班火焰与主火焰间的耦合作用，并由此产生非线性效应。

1.4 横向扰动的影响^[18]

在环形燃烧室中，火焰受到周向传播(垂直于流动方向)的声波和轴向传播(流动方向)的声波的共同作用。O'Connor等^[22]研究了处在横向驻波的压力波节处的流场特性和火焰的横向响应，结果表明横向声波间接导致的轴向扰动是主导火焰传递函数的因素。Saurabh等^[23]研究了横向行波扰动下的火焰响应，发现其低频响应较低，与轴向响应的特征不同。Acharya等^[24]研究了非对称的火焰响应，发现非对称会影响相应强度。

研究表明当平均流动使得火焰出现左右不对称的情况时，横/轴向扰动使得火焰出现二维响应特性。用非对称的本生灯模型来描述环形燃烧室中的火焰可以用于研究火焰的二维响应特性，如图 10所示。

用简化的G方程对火焰左右分支分别建模，由于非对称条件，因此左右火焰面的方程不完全一致，如式(9)所示：

$ \xi_{\mathrm{L}}(x)=\frac{V_{\mathrm{L}}^{\prime} R}{\mathrm{i} \omega^{*}}\left[1-\exp \left(\mathrm{i} \omega^{*} \frac{x}{R} \frac{1}{B_{\mathrm{L}}}\right)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}, $

(9.1)

$ \xi_{\mathrm{R}}(x)=\frac{V_{\mathrm{R}}^{\prime} R}{\mathrm{i} \omega^{*}}\left[1-\exp \left(\mathrm{i} \omega^{*} \frac{2 R-x}{R} \frac{1}{B_{\mathrm{R}}}\right)\right] \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t}. $

(9.2)

其中，B_L/R为非对称火焰左右平均分支位置相关的中间变量。通过联立式(9.1)和(9.2)可以获得火焰尖端位置，进而得到火焰面整体的脉动方程。将左右火焰分支的火焰面相加并Fourier变换将得到整体的火焰响应。通过给定扰动的速度场可以分别求得横向扰动、轴向扰动以及两者同时扰动时的火焰响应。

传递函数结果如图 11所示，该本生灯型火焰的轴向传递函数具有低通特性。随着轴向平均流速的增加，其响应增大。与之不同的是，该火焰的横向传递函数具有带通的特性，其中中频段的响应较高。且该响应随着轴向平均流动的增加而减小。相反的，当横向的平均流动增加时，横向传递函数的幅值增大。轴向和横向的平均流动决定了火焰的非对称程度，即当火焰的非对称程度越大时，其横向响应也越大。

在小扰动下内，两个方向的传递函数可以线性叠加，这种叠加关系使得横向火焰传递函数可以放入网络模型中直接应用。通过双向扰动实验台实现本生灯型火焰的二维扰动，部分结果如图 12所示。实验捕捉到了火焰对横向响应的带通效应，并验证了在线性范围内二维火焰传递函数的叠加效应。

2 热声稳定性分析

结合火焰动力学的分析与声学网络，可以分析燃烧室中热声振荡的稳定模态。针对环形燃烧室中声学多维多模态的特点，可以用准一维网络模型预测他的模态分布^[25]。建立如图 13所示的准一维网络模型，其中声波无论是在周向还是轴向均沿一维传播。

将整个系统分解为N个扇区，每个扇区包括声波沿周向一维传播部分以及喷嘴处的H形连接部分，分别如式(10.1)和式(10.2)。每个部分都可以用一个矩阵来建立压力和速度扰动的关系，最终形成环形燃烧室整体的矩阵，并求解特征值问题以获得特征频率，如式(10.3)。为简化方程以抓住主要特征，网络中采用经典的n-tau火焰响应模型。

$ \left[\begin{array}{c} p_{c, i+i+\frac{1}{2}}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho c u_{c, i+i+\frac{1}{2}}^{\prime} \\ p_{p, i+i+\frac{1}{2}}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho_{u} c_{u} u_{p, i+i+\frac{1}{2}}^{\prime} \end{array}\right]=\boldsymbol{R}\left[\begin{array}{c} p_{c, i}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho c u_{c, i}^{\prime} \\ p_{p, i}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho_{u} c_{u} u_{p, i}^{\prime} \end{array}\right], $

(10.1)

$ \left[\begin{array}{c} p_{c, i+1}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho c u_{c, i+1}^{\prime} \\ p_{p, i+1}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho_{u} c_{u} u_{p, i+1}^{\prime} \end{array}\right]=\boldsymbol{H}\left[\begin{array}{c} p_{c, i+\frac{1}{2}}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho c u_{c, i+\frac{1}{2}}^{\prime} \\ p_{p, i+\frac{1}{2}}^{\prime} \\ -\mathrm{j} \rho_{u} c_{u} u_{p, i+\frac{1}{2}}^{\prime} \end{array}\right], $

(10.2)

$ \operatorname{det}\left(\prod\limits_{i=N}^{1} \boldsymbol{H}_{i} \boldsymbol{R}-I_{\mathrm{d}}\right)=0. $

(10.3)

其中：R_i为一维声波传播矩阵，H_i为喷嘴处H形连接传递矩阵。针对该特征值问题，可以使用迭代方式求解，也可以采用Buschmann等^[26]使用的非迭代方法，其优势在于不需要选择初始的迭代点，且计算速度快。

利用该方法求解式(10.3)的结果如图 14所示。环形燃烧室的特征频率有3种。A点是Helmholtz模态的特征频率，该模态意味着燃烧室和集气室可看作两个大的腔体，而其中的压力脉动周向式完全相同的。点B₂分别代表环形燃烧室中第一个周向模态的特征频率。在复平面下半部存在火焰固有模态的特征频率，其特征取决于火焰响应模型^[27]。所有模态的特征频率均为复数，其虚部代表该模态的增长率，当其为复数时意味着该模态是稳定的。在纯声学的系统中，由于没有能量输入或耗散，因此存在的模态的增长率均为0。但当引入火焰后，模态的增长率会产生变化，其中火焰的时间延迟项τ的影响是最大的。同时，同一系统中不同类型的模态特征频率的变化不同。

对于A点的Helmholtz模态，随着τ的增加，系统特征频率变低，而其增长率存在最大值。对于B₂点的环形燃烧室周向一节模态，其特征频率和稳定性随着τ的增加成周期性变化，如图 14所示。对于火焰固有模态来说，由于其仅在火焰响应较大时才有可能出现不稳定的情况，因此一般不考虑其增长率的变化。

对于A点的Helmholtz模态，当火焰响应幅值n较小时，可以通过近似展开的方式将原有复杂的矩阵行列式简化为式(11)，仅对该式求解即可求得Helmholtz模态。

$ \begin{gathered} \mathrm{j} \omega \rho_{u}\left(L_{i}+2 \delta\right)+\sum\limits_{i=1}^{N_{\text {burner }}} S_{i} \rho_{c} \frac{1+n_{i} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \tau_{i}}}{\mathrm{j} \omega \frac{V_{c}}{c^{2}}+\sum \frac{S_{H R}}{c Z_{c, H R}}}+ \\ \sum\limits_{i=1}^{N_{\text {burner }}} S_{i} \rho_{u} \frac{1}{\mathrm{j} \omega \frac{V_{p}}{c_{u}^{2}}+\sum \frac{S_{H R}}{c_{u} Z_{p, H R}}}=0 . \end{gathered} $

(11)

其中：S_i为燃烧喷嘴截面积，L_i为燃烧喷嘴长度，V_c为燃烧室体积，V_p为集气室体积，S_HR为共振腔颈部截面积，Z_c，HR为燃烧室上的共振腔声阻抗，Z_p，HR为集气室上的共振腔声阻抗，c为已燃气体声速，ρ为已燃气体密度，c_u为未燃气体声速，ρ_u为未燃气体密度，n_i为第i个火焰的响应幅值，τ_i为第i个火焰的响应延迟。

对于B₂点的模态，同样可以通过Taylor展开近似求得一阶周向模态的解^[25]。

在实际环形燃烧室中，根据实际需要，往往不能保证环形燃烧室是理想的旋转对称结构。在非对称条件下，原有的一阶周向模态的频率分成了两个，成为模态分离。Bauerheim等^[28]推导了火焰非对称分布和周向平均流动两类非对称结构导致的模态分离。此时，模态频率会对应唯一的周向模态结构，即顺时针和逆时针传播的声波幅值比值固定，如式(12)，将其定义为模态的旋转率，旋转率等于1为旋转模态，等于0为驻波模态，其余为混合模态。

$ \operatorname{spr}=\frac{\left|q_{+}\right|-\left|q_{-}\right|}{\left|q_{+}\right|+\left|q_{-}\right|}. $

(12)

在此基础上，可以将火焰的横向响应考虑到模型中讨论由火焰引入的非对称。重新推导包含火焰横向响应的传递矩阵，针对周向一阶模态，可以解析求得两个相近的特征频率及其旋转率。

$ \delta f_{-,+}=-\frac{c_{0}}{4 {\rm{ \mathsf{ π} }} L_{c}}\left(\varSigma_{0} \mp \sqrt{S^{2}+4\left({\rm{ \mathsf{ π} }} M_{\theta}+Z_{-}\right)\left({\rm{ \mathsf{ π} }} M_{\theta}+Z_{+}\right)}\right) \text {, } $

(13.1)

$ f_{1}=f_{0}+\delta f_{-,+}, $

(13.2)

$ \frac{q_{1+}}{q_{1-}}=\frac{-\left(S-Z_{-}\right)}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} M_{\theta}+S_{M}+Z_{+}}, $

(13.3)

$ \frac{q_{2+}}{q_{2-}}=\frac{S-Z_{-}}{2 {\rm{ \mathsf{ π} }} M_{\theta}+S_{M}+Z_{+}} . $

(13.4)

其中: q_±为环形燃烧室内向两个方向传播的周向声波变量，M_θ为周向平均流动Mach数。从式(13.1)和(13.2)可以看出横向响应的引入(Z_-, Z₊)使模态频率分离现象更明显，Z_±为环形燃烧室中火焰响应带来的等效声阻抗。从旋转率来看，如图 15所示，无论是以对称或非对称的方式引入横向响应，其都会使模态更趋近于旋转模态。

3 总结

本文介绍了非预混火焰、钝体火焰、值班火焰以及二维扰动下的本生灯火焰等火焰的动力学特征，通过热声网络模型进行热声模态预测，主要结果包括：非预混火焰由于存在贫燃区域与富燃区域，因此分布式火焰传递函数存在双峰特征，并在两个区域交界处有相位π的转变；结合G方程与离散涡模型，得到M和V形钝体火焰涡结构与火焰面相互作用机理；分析值班火焰与主火焰间的耦合关系表明值班火焰的存在会改变主火焰的动力学特征，其两者之间的耦合受到涡脱落频率的影响；横向传递函数分析得到了其带通特性以及叠加效应的影响机制。通过研究理想二维火焰，对把握不同类型的火焰特征，理解更为复杂的三维真实火焰提供指导。结合火焰动力学模型，即FTF，通过热声网络模型对燃烧室进行建模，可以分析火焰响应对热声振荡模态的影响，也对热声振荡的抑制和控制方法的研发提供指导。