物体表面涂层的质量至关重要^[1]，不仅影响物体表面的美观性，更关系到能否保护本体不受腐蚀和老化而影响安全性。汽车因为意外磕碰或者长期侵蚀产生物理性或者化学性损伤，需要在修理厂对不规则的涂层缺陷进行修补。然而，汽车制造厂使用的固定涂装生产线占地大、费用高、喷涂柔性低，不再适合汽车维修厂中目标车型多样、缺陷位置形状不确定的表面漆缺陷修补工作。目前，汽车修理厂主要采用人工进行喷涂，存在环境污染大、喷涂质量低等问题^[2]。面向汽车修理厂众多车型、喷涂位置不确定的表面漆修补需求，采用移动式机器人自动喷涂是一种最理想的喷涂方案。与传统的底座固定在地基或立柱上的串联喷涂机器人不同，移动式机器人会存在运动稳定性和倾翻的问题^[3]。目前，常用的移动式机器人是在移动小车上安装串联机器人，由于驱动电机安装在机器人关节处，机器人重心分布相对于中心更分散，机器人在运动中容易倾翻。

由于补漆过程中机器人运动范围大，工作空间中动态特性变化大，对其动力学进行评价非常重要。目前，比较常用的动力学评价指标有广义惯性椭球法^[4-6]和动态操作度椭球法^[7]。Asada等^[4-6]提出了广义惯性椭球法，并考虑了动力学方程中非线性项对广义惯性椭球主轴方向的影响。在此基础上，Khatib等^[8]提出了约束惯性椭球(belted inertia ellipsoid, BIE)，并将其用于研究冗余机构和多机构协调操作时的动力学性能。Yoshikawa等^[7]将关节力矩与操作加速度间映射矩阵的奇异值乘积定义为动态操作度椭球(dynamic manipulability ellipsoid, DME)，并将其用作评价机器人动力学性能的评价指标。在DME方法的基础上，Furuta等^[9]提出了一种侧重于分析动力学操作度椭球各向同性的指标。Kovecses^[10]等提出了动态操作度椭球的另一种表达形式，并将其应用于关节齿轮减速比对机构整体动态性能的研究。Chiacchio等^[11-12]证实直接求取Jacobi伪逆矩阵得到的DME往往不能真实地反映出冗余机构的动力学特性，提出了一种适用于冗余机构的改进型DME方法。Tadokoro等^[13]将随机描述引入到DME方法中，从而提出了随机动力学操作度的概念。

然而，这些动力学性能评价指标没有考虑机器人在工作空间中动力学特性的波动情况，并且大部分指标没有考虑动力学模型中重力项的影响。虽然汽车喷涂对机器人精度要求不高，但是对机器人在工作空间中运动精度一致性要求特别高。这就要求机器人在工作空间中的动力学特性一致性好，即动力学性能波动要小。动力学性能波动情况不仅可以反映机器人对伺服电机性能的需求，还可以反映控制的难易程度^[14]。动力学性能波动越小，机器人高精度控制越容易。因此，机器人动力学性能波动评价研究对提高机器人运动性能具有重要意义。

本文设计了一种面向汽车补漆应用的高刚度移动式混联机器人，建立了机器人动力学模型，考虑了动力学模型中重力项影响，构造了面向动力学性能波动评价的波动衡量惯性矩阵，提出了动力学性能波动评价的全域指标，可以用于机器人优化设计与控制。

1 机器人结构与运动学分析

通常机器人需要具有5个自由度完成车身局部喷涂，考虑喷涂空间和喷涂的灵活性，本文设计了一种移动式5自由度汽车补漆喷涂机器人，如图 1所示。该机器人由1个平面3自由度并联机构，1个可旋转底座和1个AGV小车构成。平面3自由度并联机构有3条运动学支链，其中2条运动学支链通过1个转动副连接到末端连杆，具有旋转角度大、刚度高的优点。并联机构的驱动均安装在基座上，通过运动的传递完成喷枪在平面内的2个平动和1个转动，可旋转底座使得整个并联机构可以绕着垂直于地面方向的轴旋转，而AGV小车则可以实现地面上的移动。该机器人刚度高、动态特性好，运动过程中机器人整体重心变化小，不容易倾倒，并且喷涂工作空间大，工作灵活。

在喷涂工作时，AGV小车固定不动，因此，平面3自由度并联机构决定了喷涂时的性能波动，本文主要研究3自由度并联机构动力学性能。

1.1 运动学逆解

3自由度平面机构的运动学模型如图 2所示, 点o_i(i=1, 2, …, 7)与点C为铰链点, 连杆i的长度为l_i，所有角度均被定义为逆时针为正，顺时针为负。建立机器人固定坐标系o₁-XYZ, X轴、Z轴均在机构所在平面内，且Z轴与重力加速度方向平行且方向相反，Y轴由右手定则确定。连杆在机器人固定坐标系中的矢量为l_i。在连杆i的一端关节点处建立连杆坐标系o_i-x_iy_iz_i, x_i轴沿连杆杆长方向，y_i轴与Y轴平行且同向，z_i轴由右手定则确定。

3个主动连杆的旋转角度分别为α、β、γ。设r_*=[r_*x, r_*y, r_*z]^T代表点*(本文中为点o_i(i=1, 2, …, 7)和点C)在机器人固定坐标系的坐标。运动学逆解的任务是给定一个特定的喷枪位姿p=[θ₇ r_o7x r_o7z]^T，求解其对应的关节空间的q=[α β γ]^T。

由矢量关系可以得到下面的矢量环方程：

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol r_{o_{7}}=\boldsymbol l_{1}+\boldsymbol l_{6}, \\ \boldsymbol r_{o_{7}}=\boldsymbol b_{1}+\boldsymbol l_{2}+\boldsymbol l_{5}-\boldsymbol l_{7}, \\ \boldsymbol r_{o_{7}}=\boldsymbol b_{1}+\boldsymbol b_{2}+\boldsymbol l_{3}+\boldsymbol l_{4}-\boldsymbol l_{7}. \end{array}\right. $

(1)

其中：b₁为从o₁到o₂的矢量；b₂为从o₂到o₃的矢量。

将上面的矢量环方程可以化为关于α、β、γ的三角方程组：

$ \left\{\begin{array}{l} A_{\alpha} \sin \alpha+B_{a} \cos \alpha=C_{\alpha}, \\ A_{\beta} \sin \beta+B_{\beta} \cos \beta=C_{\beta}, \\ A_{\gamma} \sin \gamma+B_{\gamma} \cos \gamma=C_{\gamma}. \end{array}\right. $

(2)

其中A_α、B_α、C_α、A_β、B_β、C_β、A_γ、B_γ、C_γ为由喷枪位姿确定的参数，与α、β、γ无关。

根据式(2)可以得到该并联机构的逆运动学解为

$ \left\{\begin{array}{l} \alpha=\frac{\pi}{2} \pm\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{asin} \frac{C_{a}}{\sqrt{A_{a}^{2}+B_{a}^{2}}}\right)-\operatorname{atan} \frac{B_{a}}{A_{\alpha}}, \\ \beta=\frac{\pi}{2} \pm\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{asin} \frac{C_{\beta}}{\sqrt{A_{\beta}^{2}+B_{\beta}^{2}}}\right)-\operatorname{atan} \frac{B_{\beta}}{A_{\beta}}, \\ \gamma=\frac{\pi}{2} \pm\left(\frac{\pi}{2}-\operatorname{asin} \frac{C_{\gamma}}{\sqrt{A_{\gamma}^{2}+B_{\gamma}^{2}}}\right)-\operatorname{atan} \frac{B_{\gamma}}{A_{\gamma}}. \end{array}\right. $

(3)

式(3)表明机器人运动学逆解一共有8组，为了使得机器人在喷涂作业中处于同一个驱动空间，这里选择式(3)中α、β、γ均取正号的那一组解。

1.2 速度分析

根据运动学逆解，可以求出r_o4、r_o5、r_o6、r_o7、r_C。

设符号$[(s) \times]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -\boldsymbol{s}_{z} & \boldsymbol{s}_{y} \\ \boldsymbol{s}_{z} & 0 & -\boldsymbol{s}_{x} \\ -\boldsymbol{s}_{y} & \boldsymbol{s}_{x} & 0 \end{array}\right] $表示某一向量s=[s_x, s_y, s_z]^T的叉乘矩阵。定义ω_i和v_i分别为连杆i的角速度和其质心的线速度。连杆1—3的角速度、质心的线速度可以表示为：

$ \begin{aligned} \boldsymbol{\omega}_{i} &=\boldsymbol{n}_{i} \dot{q}, i=1,2,3 ; \end{aligned} $

(4)

$ \begin{aligned} \boldsymbol{v}_{i} &=\left[-\left(\boldsymbol{R}_{i} \boldsymbol{C}_{i}^{\prime}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{i} \dot{q}. \end{aligned} $

(5)

其中：R_i为连杆i坐标系相对于机器人固定坐标系的旋转矩阵，C_i^′为表示连杆i的质心在其自身连杆坐标系中的位置矢量。

$ \boldsymbol{n}_{1}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \boldsymbol{n}_{2}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right],\\ \boldsymbol{n}_{3}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]. $

铰链点o₄和o₅处的速度可以表示为：

$ \boldsymbol{v}_{o_{4}}=\boldsymbol{\omega}_{3} \times l_{3}=-\left[\left(\boldsymbol{l}_{3}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{3} \dot{q} . $

(6)

$ \boldsymbol{v}_{o_{5}}=\boldsymbol{\omega}_{2} \times l_{2}=-\left[\left(\boldsymbol{l}_{2}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{2} \dot{q}, $

(7)

速度和角速度的关系为：

$ \boldsymbol{v}_{o_{4}}-\boldsymbol{v}_{C}=\boldsymbol{\omega}_{4} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} C}, $

(8)

$ \boldsymbol{v}_{o_{5}}-\boldsymbol{v}_{C}=\boldsymbol{\omega}_{5} \times \boldsymbol{r}_{o_{5} C} . $

(9)

其中：r_o4C=r_o4-r_C, r_o5C=r_o5-r_C，以此类推。

式(8)和(9)相减可以得到

$ \boldsymbol{v}_{o_{4}}-\boldsymbol{v}_{o_{5}}=\boldsymbol{\omega}_{4} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} c}-\boldsymbol{\omega}_{5} \times \boldsymbol{r}_{o_{5} c} . $

(10)

考虑到该3自由度并联机构只在平面内运动，式(10)两边分别同时点乘r_o4C和r_o5C，可得连杆4和5的角速度和其质心的线速度为

$ \boldsymbol{\omega}_{i}=\boldsymbol{J}_{w i} \dot{\boldsymbol{q}}, \boldsymbol{v}_{i}=\boldsymbol{J}_{z i} \dot{\boldsymbol{q}}, i=4,5 . $

(11)

其中：

$ \begin{aligned} &\boldsymbol{J}_{w 4}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{4} C}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{r}_{o_{5} C} \boldsymbol{r}_{o_{5 }C }^{\mathrm{T}}}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{5}C} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} C}\right|^{2}}\left(\left[\left(\boldsymbol{l}_{2}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{2}-\left[\left(\boldsymbol{l}_{3}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{3}\right) \text {, }\\ &\boldsymbol{J}_{w 5}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{5} C}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{r}_{o_{4} C} \boldsymbol{r}_{o_{4} C}^{\mathrm{T}}}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{5} C} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} C}\right|^{2}}\left(\left[\left(\boldsymbol{l}_{3}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{3}-\left[\left(\boldsymbol{l}_{2}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{2}\right),\\ &\boldsymbol{J}_{v 4}=-\left(\left[\left(\boldsymbol{R}_{4} \boldsymbol{C}_{4}^{\prime}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{J}_{w 4}+\left[\left(\boldsymbol{l}_{3}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{3}\right),\\ &\boldsymbol{J}_{v 5}=-\left(\left[\left(\boldsymbol{R}_{5} \boldsymbol{C}_{5}^{\prime}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{J}_{w 5}+\left[\left(\boldsymbol{l}_{2}\right) \times\right] \boldsymbol{n}_{2}\right) \text {. } \end{aligned} $

同理，可以求出ω₆、ω₇、v₆、v₇。从而，可以将7个连杆角速度和其质心的线速度写成统一形式：

$ \left[\begin{array}{l} \boldsymbol{v}_{i} \\ \boldsymbol{\omega}_{i} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{J}_{v i} \\ \boldsymbol{J}_{w i} \end{array}\right] \dot{q} . $

(12)

其中:

$ \begin{gathered} \boldsymbol{J}_{w i}=\boldsymbol{n}_{i}, i=1,2,3 ; \\ \boldsymbol{J}_{v i}=\left[-\left(\boldsymbol{R}_{i} \boldsymbol{C}_{i}^{\prime}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{i}, i=1,2,3 ; \\ \boldsymbol{J}_{w 6}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}} \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}^{\mathrm{T}}}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}} \times \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}\right|^{2}} \cdot \\ \left(\left[(\boldsymbol{l})_{2 \times}\right] \boldsymbol{n}_{2}-\left[\left(\boldsymbol{l}_{1}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{1}+\left[\left(\boldsymbol{r}_{C_{5}}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{J}_{w 5}\right) ; \\ \boldsymbol{J}_{w 7}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}} \boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}^{\mathrm{T}}}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}} \times \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}\right|^{2}} \cdot \\ \left.\left.\left(\left[(\boldsymbol{l})_{2}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{2}-\left[(\boldsymbol{l})_{1}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{1}+\left[\left(\boldsymbol{r}_{c_{o_{5}}}\right)_{\times}\right] J_{w 5}\right) ; \\ \boldsymbol{J}_{v 6}=-\left(\left[\left(\boldsymbol{R}_{6} \boldsymbol{C}_{6}^{\prime}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{J}_{w 6}+\left[\left(\boldsymbol{l}_{1}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{1}\right) ; \\ \boldsymbol{J}_{v 7}=-\left(\left[\left(\boldsymbol{R}_{7} \boldsymbol{C}_{7}^{\prime}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{J}_{w 7}+\left[\left(\boldsymbol{r}_{c_{o_{5}}}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{J}_{w 5}+\right. \\ \left.\left[\left(\boldsymbol{l}_{2}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{n}_{2}+\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{7} C}\right)_{\times}\right] \boldsymbol{J}_{w 7}\right). \end{gathered} $

2 机构动力学分析 2.1 加速度分析

对式(4)和(5)求导得到连杆1—3质心处的速度和加速度为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{\varepsilon}_{i}=\boldsymbol{n}_{i} \ddot{\boldsymbol{q}}, \\ \boldsymbol{a}_{i}=\left[-\left(\boldsymbol{R}_{i} \boldsymbol{C}_{i}^{\prime}\right) \times\right] \boldsymbol{n}_{i} \ddot{\boldsymbol{q}}-\left(\boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \dot{\boldsymbol{q}}\right)^{2}\left(\boldsymbol{R}_{i} \boldsymbol{C}_{i}^{\prime}\right), \end{gathered} $

(13)

$ i=1,2,3. $

(14)

其中: e₁=[1 0 0]^T; e₂=[0 1 0]^T; e₃=[0 0 1]^T。

基于杆2和3的角速度和角加速度得到o₄和o₅处的加速度为:

$ \boldsymbol{a}_{o_{4}}=\boldsymbol{\varepsilon}_{3} \times \boldsymbol{l}_{3}-\left|\boldsymbol{\omega}_{3}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{3}, $

(15)

$ \boldsymbol{a}_{o_{5}}=\boldsymbol{\varepsilon}_{2} \times \boldsymbol{l}_{2}-\left|\boldsymbol{\omega}_{2}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{2} . $

(16)

加速度与角加速度之间存在如下关系:

$ \boldsymbol{a}_{o_{4}}-\boldsymbol{a}_{C}=\boldsymbol{\varepsilon}_{4} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} C}-\left|\boldsymbol{\omega}_{4}\right|^{2} \boldsymbol{r}_{o_{4} C}, $

(17)

$ \boldsymbol{a}_{o_{5}}-\boldsymbol{a}_{C}=\boldsymbol{\varepsilon}_{5} \times \boldsymbol{r}_{o_{5} C}-\left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|^{2} \boldsymbol{r}_{o_{5} C} . $

(18)

式(17)和(18)相减可以得到

$ \boldsymbol{a}_{o_{4}}-\boldsymbol{a}_{o_{5}}=\boldsymbol{\varepsilon}_{4} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} C}-\boldsymbol{\varepsilon}_{5} \times \boldsymbol{r}_{o_{5} C}+ \\ \left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{o_{5} C}-\left|\boldsymbol{\omega}_{4}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{o_{4}C} . $

(19)

式(19) 两边分别同时点乘r_o4C和r_o5C得到

$ \left\{\begin{array}{c} \boldsymbol{\varepsilon}_{i}=\boldsymbol{J}_{w i} \ddot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{b}_{w i}, \\ \boldsymbol{a}_{i}=\boldsymbol{J}_{vi \dot{q}} \ddot{\boldsymbol{q}}+\boldsymbol{b}_{v i} \\ \end{array}\right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;i=4,5 $

(20)

其中:

$ \begin{aligned} &\boldsymbol{b}_{w 4}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{4} C}\right)_{\times]} \boldsymbol{r}_{o_{5} c} \boldsymbol{r}_{o_{5} C}^{\mathrm{T}}\right.}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{5} C} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} C}\right|^{2}} \cdot\\ &\left(\left|\boldsymbol{\omega}_{2}\right|{ }^{2} \boldsymbol{l}_{2}-\left|\boldsymbol{\omega}_{3}\right|{ }^{2} \boldsymbol{l}_{3}+\left|\boldsymbol{\omega}_{4}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{o_{4} C}-\left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{o_{5} C}\right),\\ &\boldsymbol{b}_{w 5}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{4} C}\right)_{\times]} \boldsymbol{r}_{o_{5} C} \boldsymbol{r}_{o_{4} C}^{\mathrm{T}}\right.}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{5} C} \times \boldsymbol{r}_{o_{4} C}\right|^{2}} \cdot\\ &\left(\left|\boldsymbol{\omega}_{3}\right|{ }^{2} \boldsymbol{l}_{3}-\left|\boldsymbol{\omega}_{2}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{2}+\left|\boldsymbol{\omega}_{4}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{o_{4}} C-\left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{o_{5}} \mathrm{C}\right) \text {, }\\ &\boldsymbol{b}_{v 4}=-\left[\left(\boldsymbol{R}_{4} \boldsymbol{C}_{4}^{\prime}\right) \times\right] \boldsymbol{b}_{w 4}-\left|\boldsymbol{\omega}_{4}\right|{ }^{2}\left(\boldsymbol{R}_{4} \boldsymbol{C}_{4}^{\prime}\right)-\left|\boldsymbol{\omega}_{3}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{3},\\ &\boldsymbol{b}_{v 5}=-\left[\left(\boldsymbol{R}_{5} \boldsymbol{C}_{5}^{\prime}\right) \times\right] \boldsymbol{b}_{w 5}-\left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|^{2}\left(\boldsymbol{R}_{5} \boldsymbol{C}_{5}^{\prime}\right)-\left|\boldsymbol{\omega}_{2}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{2} \text {. } \end{aligned} $

同理，可以求出杆6、7的角加速度和其质心的加速度ε₆、ε₇、a₆、a₇。从而，可以将7根连杆角加速度和其质心的线加速度写成统一形式：

$ \left[\begin{array}{l} \boldsymbol{a}_{i} \\ \boldsymbol{\varepsilon}_{i} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{J}_{v i} \\ \boldsymbol{J}_{w i} \end{array}\right] \ddot{\boldsymbol{q}}+\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{b}_{v i} \\ \boldsymbol{b}_{w i} \end{array}\right] . $

(21)

其中:

$ \begin{gathered} \boldsymbol{b}_{w i}=0, i=1,2,3 ; \\ \boldsymbol{b}_{v i}=-\left(\boldsymbol{e}_{i}{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\dot{q}}\right)^{2}\left(\boldsymbol{R}_{i} \boldsymbol{C}_{i}^{\prime}\right), i=1,2,3 ; \\ \boldsymbol{b}_{w 6}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}\right) \times\right] \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}} \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}^{\mathrm{T}}}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}} \times \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}\right|^{2}} \cdot \\ \left(\left|\boldsymbol{\omega}_{2}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{2}-\left|\boldsymbol{\omega}_{1}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{1}+\left|\boldsymbol{\omega}_{6}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}-\left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|^{2} \boldsymbol{r}_{o_{5} C}-\right. \\ \left.\left|\boldsymbol{\omega}_{7}\right|^{2} \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}+\left[\left(\boldsymbol{r}_{C_{o_{5}}}\right) \times\right] \boldsymbol{b}_{w 5}\right) ; \\ \boldsymbol{b}_{w 7}=\frac{\left[\left(\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}\right) \times\right] \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}} \boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}^{\mathrm{T}}}{\left|\boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}} \times \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}\right|^{2}} \cdot \\ \left(\left|\boldsymbol{\omega}_{2}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{2}-\left|\boldsymbol{\omega}_{1}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{1}+\left|\boldsymbol{\omega}_{6}\right|^{2} \boldsymbol{r}_{o_{6} o_{7}}-\left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|^{2} \boldsymbol{r}_{o_{5} C}-\right. \\ \left.\left|\boldsymbol{\omega}_{7}\right|{ }^{2} \boldsymbol{r}_{C_{o_{7}}}+\left[\left(\boldsymbol{r}_{C_{o_{5}}}\right) \times\right] \boldsymbol{b}_{w 5}\right) ; \\ \boldsymbol{b}_{v 6}=-\left[\left(\boldsymbol{R}_{6} \boldsymbol{C}_{6}^{\prime}\right) \times\right] \boldsymbol{b}_{w 6}-\left|\boldsymbol{\omega}_{6}\right|^{2}\left(\boldsymbol{R}_{6} \boldsymbol{C}_{6}^{\prime}\right)-\left|\boldsymbol{\omega}_{1}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{1} ; \\ \boldsymbol{b}_{v 7}=-\left[\left(\boldsymbol{R}_{7} \boldsymbol{C}_{7}^{\prime}\right) \times\right] \boldsymbol{b}_{\boldsymbol{w} \boldsymbol{7}}-\left|\boldsymbol{\omega}_{7}\right|^{2}\left(\boldsymbol{R}_{7} \boldsymbol{C}_{7}^{\prime}\right)- \\ \left|\boldsymbol{\omega}_{2}\right|^{2} \boldsymbol{l}_{2}+\left|\boldsymbol{\omega}_{5}\right|^{2} \boldsymbol{r}_{A C} . \end{gathered} $

2.2 动力学模型

每个连杆所受的广义力为

$ \boldsymbol{Q}_{i}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{F}_{i} \\ \boldsymbol{M}_{i} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -m_{i} g \boldsymbol{e}_{3}-m_{i} \boldsymbol{a}_{i} \\ -\boldsymbol{I}_{i} \boldsymbol{\varepsilon}_{i}-\boldsymbol{\omega}_{i} \times\left(\boldsymbol{I}_{i} \boldsymbol{\omega}_{i}\right) \end{array}\right] . $

(22)

其中：M_i是连杆i惯性力矩，m_i是连杆i质量，I_i=R_iI_ioR_i^T是连杆i在机器人固定坐标系中的转动惯量，I_io为连杆i在各自的连杆坐标系o_i-x_iy_iz_i中的转动惯量。

本小节采用虚功原理，对于该平面并联机构进行动力学分析。考虑到喷涂机器人在工作过程中不会受到外力，因此，由虚功原理可得

$ \boldsymbol{\tau}^{\mathrm{T}} \delta \boldsymbol{q}+\sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{Q}_{i}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{J}_{v i} \\ \boldsymbol{J}_{w i} \end{array}\right] \delta \boldsymbol{q}=0. $

(23)

整理上述虚功原理的方程，得到

$ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\tau}_{a}+\boldsymbol{\tau}_{v}+\boldsymbol{\tau}_{g}=\boldsymbol M \boldsymbol{\ddot{q}}+\boldsymbol{\tau}_{v}+\boldsymbol{\tau}_{g} . $

(24)

其中: $ \boldsymbol \tau_{a}=\boldsymbol{M} \ddot{q}$ 是加速度项, $\boldsymbol{M}=\sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{v i}{ }^{\mathrm{T}} m_{i} \boldsymbol{J}_{v i}+$ $\sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{v i}{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{I}_{i} \boldsymbol{J}_{v i}$ 是惯性矩阵, $\boldsymbol \tau_{v}=\sum\limits_{i=1}^{7} {\boldsymbol{J}_{vi}}^{\mathrm{T}} m_{i} \boldsymbol{b}_{v i}+$ $\sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{w i}{ }^{\mathrm{T}} \boldsymbol{I}_{i} \boldsymbol{b}_{w i}$ 是速度项, $\boldsymbol \tau_{g}=\sum\limits_{i=1}^{7} {\boldsymbol{J}_{vi}}^{\mathrm{T}} m_{i} g \boldsymbol{e}_{3}^{\mathrm{T}}$ 是重力项。

τ_a可以写为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{\tau}_{a}=\sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{v i}{ }^{\mathrm{T}} m_{i} \boldsymbol{J}_{u i} \ddot{\boldsymbol{q}}+ \\ \sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{w i}{ }^{\mathrm{T}} I_{i} \boldsymbol{J}_{w i} \ddot{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{\tau}_{a 1}+\boldsymbol{\tau}_{a 2} . \end{gathered} $

(25)

其中τ_a1和τ_a2分别为惯性力和惯性力矩相关的驱动力矩。

2.3 动力学模型仿真验证

给定某一个特定的位姿，分别使用本文提出的动力学模型和ADAMS商用仿真软件对关节驱动力矩与关节角加速度的关系进行求解，验证动力学模型的正确性。

本节使用表 1的第1组参数，机器人位姿是α=90°，β=85°，γ=63.73°。图 3给出了动力学模型验证的结果。可以看出，3条实线和3条虚线基本是重合的，从而验证了本文提出的动力学模型正确性。

3 动力学性能波动 3.1 波动衡量惯性矩阵

机器人动力学性能波动可以用来衡量动力学性能优劣, 驱动力矩波动小不仅可以说明对电机的驱动能力需求小，而且也在一定程度上说明动力学模型的线性程度更高，从而更方便机器人高精度控制。喷涂过程中，机器人运动速度低，因此τ_v在机器人总驱动力矩中的占比较低，在动力学评价中往往忽略τ_v。

由于τ_a随着驱动关节的加速度变化而变化，而重力项τ_g与驱动关节的加速度无关，不能直接将τ_a和τ_g放在一起来考虑动力学性能波动。由于本文的目的是评价波动的变化范围，而不是驱动力矩数值的大小，这里采用惯性力在重力方向分量引起的驱动力矩来代替重力引起的驱动力矩进行性能波动评价。惯性力引起的驱动力矩τ_a1可以表示为

$ \boldsymbol{\tau}_{a 1}=\sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{v i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{F}_{I i}. $

(26)

其中 $\boldsymbol{F}_{I i}=m_{i} \boldsymbol{J}_{v i} \ddot{\boldsymbol{q}}$是连杆i的惯性力。将F_Ii的c倍称为假想重力, 假想重力引起的驱动力矩为

$ \hat{\boldsymbol{\tau}}_{g}=c \sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{v i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{G}_{4} \boldsymbol{F}_{I i}=c \sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{v i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{G}_{4} m_{i} \boldsymbol{J}_{v i} \ddot{\boldsymbol{q}}. $

(27)

其中: G₄=[0 _3×1 0 _3×1 e₃]为权重因子, 在本文的计算分析中，取c=1；0 _3×1=[000]^T为零列向量。

用$\mathit{\boldsymbol{\hat \tau_g}}$代替τ_g，并忽略τ_v，则总驱动力矩近似写为

$ \boldsymbol{\tau} \approx \boldsymbol{\tau}_{a}+\boldsymbol{\hat{\tau}}_{g}=\boldsymbol{M}_{\rm I} \boldsymbol{\ddot{q}} . $

(28)

其中$ \boldsymbol{M}_{\rm I}=\boldsymbol{M}+c \sum\limits_{i=1}^{7} \boldsymbol{J}_{v i}{ }^{\mathrm{T}} m_{i} \boldsymbol{G}_{4} \boldsymbol{J}_{v i}$ 为波动衡量惯性矩阵。

M_I也可以从以下角度进行理解：在原有的惯性矩阵M的基础上，M_I放大了惯性力中重力方向的分量带来的影响，其放大的倍数就是c，放大的原因是在重力方向除了惯性力以外还存在重力，因此，放大这一部分来代替重力，作为对重力产生的影响的近似。

3.2 波动衡量指标

设某一面喷涂过程，喷枪的运动轨迹曲线u=(u_x, u_y, u_z)为如下参数方程的形式：

$ \left\{\begin{array}{l} u_{x}=x(t),\\ u_{y}=y(t),\\ u_{z}=z(t). \end{array}\right. $

(29)

其中t为参数，规定在运动开始端取值为0，运动结束端取值为1。x(t)、y(t)和z(t)是由实际的喷涂轨迹决定的函数，在3.4节的计算中，将其简化为直线。具体来说，在计算喷涂顶面时，取u=(900+400t, 0, 200)；在计算喷涂侧面时，取u=(900, 0, 200-700t)。上述坐标均是在机器人固定坐标系下的数值。

M_I在机构处于不同的位姿时大小也不同，表示为t的函数即M_I(t)。由于矩阵的F-范数的波动可以反映矩阵的波动，矩阵的波动又可以反映驱动力矩的波动。因此本文基于M_I(t)的F-范数||M_I(t)||_F来定义机器人动力学性能波动。这里以M_I(t)和M_I(t)平均值之间F-范数意义下的标准差来衡量动力学性能波动情况：

$ \sigma_{M}=\sqrt{\frac{\int\left\|\left(\boldsymbol{M}_{\mathrm{I}}(t)-\overline{\boldsymbol{M}}_{\mathrm{I}}\right)\right\|_{\mathrm{F}}^{2} \mathrm{~d} t}{\int \mathrm{d} t}}. $

(30)

其中$\overline{\boldsymbol{M}}_{\mathrm{I}}=\frac{\int \boldsymbol{M}_{\mathrm{I}}(t) \mathrm{d} t}{\int \mathrm{d} t}$为M_I(t)的平均值。||M_I(t)||_F是一个局部指标，随着t的变化而变化。σ_M为全局波动指标，反映了波动衡量惯性矩阵在整体上与平均矩阵的偏离程度，也反映了性能波动中的低频分量。σ_M越小，则机构动力学性能的整体波动越小，机构的性能越好。

3.3 指标值计算

采用表 1中第4组惯性几何参数，进行指标值和波动衡量惯性矩阵的F-范数分布的计算。波动衡量惯性矩阵的F-范数分布如图 4所示。其中x_max、y_max分别表示机器人工作空间内的x、y坐标的最大值；M_{I, -90}是喷涂顶面时的M_I，M_{I, 0}是喷涂侧面时的M_I，它们是M_I的2个不同实例，都符合M_I的定义。该图可以直观地反映工作空间中动态特性波动情况。可以看出，M_{I, 0}矩阵F-范数的变化范围比M_{I, -90}更小，而其σ_M也更小。

3.4 指标合理性说明

为了说明指标的合理性，本文对表 1中4组不同的惯性几何参数分别计算对应的波动指标的值，计算结果如表 2所示；除此以外，还计算了3个驱动轴上的总驱动力矩的在给定轨迹下的变化曲线，如图 5所示。其中，σ_{M, -90}是喷涂顶面时的σ_M，σ_{M, 0}是喷涂侧面时的σ_M，它们是σ_M的2个不同实例，都符合σ_M的定义。

由于驱动力矩的大小是与机构的实际运动速度和加速度有关的，因此，在计算总驱动力矩时，选择了相同的运动速度和加速度曲线以保证比较的公平性。从表 2和图 5可以看出，所提的指标值与驱动力矩的变化范围有一致的变化关系。以喷涂顶面为例，在这4组惯性几何参数中，第2组惯性几何参数对应的指标值最小，其α、β、γ轴的驱动力矩变化范围也最小，分别为0.484~0.602 N·m、0.851 ~2.140 N·m、0.399~1.079 N·m；第1组惯性几何参数对应的指标值最大，其α、β、γ轴的驱动力矩变化范围也最大，分别为0.483~0.864 N·m、0.002~2.652 N·m、-0.032~1.866 N·m。因此，所提出的波动衡量指标可以很好地反映机构驱动力矩的实际性能波动。

虽然在3.1节的定义中忽略了速度项，但从结果来看这种近似是合理的。使用近似后的波动衡量指标值确实能反映机构的性能波动。

4 结论

本文提出了一种面向汽车补漆的新型移动式混联喷涂机器人，机器人由3自由度并联机构、旋转关节和移动小车组成，具有刚度高、运动灵活、不容易倾翻等优点。建立了3自由度并联机构的动力学模型，采用惯性力引起的驱动力矩τ_a1在重力方向的分量来代替重力，构造了面向动力学性能波动评价的波动衡量惯性矩阵M_I，利用M_I矩阵的F-范数和标准差来评价动力学性能波动，可以直观地看出机器人在工作空间中动力学性能波动情况。通过机器人在4组几何参数和惯性参数时的总驱动力矩和M_I矩阵的标准差比较说明了评价指标的有效性。这些指标可以应用于机器人优化设计与控制。