随着区域经济的快速发展，城市群之间的城际旅客出行需求日益增长，高速铁路成为解决跨区域大客流出行需求的重要出行方式。高铁网络作为城市群交通网的重要组成部分，已由简单网络发展成为复杂网络，现有高铁客流输送模式已无法满足复杂网络条件下旅客跨城市群出行需求。如何对城市群区域城际出行需求特征、客流特点及其现行客流输送模式进行分析，提出兼顾铁路部门运输效益的跨区域客流输送模式，是解决城市群城际旅客出行的关键问题。

客流输送模式相关研究主要包括旅客出行选择行为、列车开行方案及中转换乘方案3个方面。旅客出行选择行为研究内容包括分析旅客出行选择因素及条件，文[1]构建了半参数扩展MNL(multinational logit)模型，提升了出行选择行为影响因素分析的精确性；研究内容还包括明确各交通方式在客运市场中的分布情况，文[2]从多用户、多准则角度构建了出行方式选择的MNL模型，划分运输通道市场，王佳等^[3]基于问卷调查建立了MNL模型，分析旅客对于民航、普速铁路以及高铁的选择意愿。在列车开行方案研究方面，Ghoseiri等^[4]建立了以降低铁路运输油耗成本及缩短旅客出行总时间为目标的铁路旅客列车开行方案优化模型；Alberto等^[5]以直达列车开行频率最高和运输总费用最小为目标进行列车开行方案优化研究。近几年国内学者则更关注长距离高速铁路及网络化列车开行方案研究^[6-7]，为网络化高速铁路运营组织提供了参考。中转换乘方案选取需要明确中转换乘节点，王锰锰^[8]依据客运需求、路网属性、客运能力以及社会属性4类影响因素对高速铁路换乘节点进行聚类分析，明确了换乘节点选取依据；文[9]依据换乘出行时间及费用构建效用函数，确定客流中转换乘方案；文[10]构建以中转换乘总费用最小为目标的换乘方案选取模型，并以京津地区为案例，求解得到不同起讫点换乘方案。

综合客流输送模式相关文献发现，旅客出行选择行为研究缺少跨城市群出行下客流分布变化的量化研究。列车开行方案研究大多集中于方案优化方面，针对网络化条件下的研究仅为选取多对典型起讫点或由某一客运专线核心节点构成的网络为研究对象，没有考虑节点以及线路之间的相互影响。中转换乘方案研究多采用聚类分析或模型优化方法确定中转换乘方案，未能精确得到中转换乘方案。因此本文从高速铁路网络化角度出发，计算不同输送模式下的客流损失率并明确高速铁路网络节点间中转换乘方案，构建基于跨城市群出行的高速铁路网络化客流输送模型。

1 不同输送模式下高铁客流损失率

客流损失率为交通方式变化前后出行分担率之差，主要涉及城市群之间起讫点客流出行方式选择决策。在不同客流输送模式下，可量化跨城市群出行高速铁路客流变化情况。

1.1 基于出行链的旅客出行选择行为

旅客跨城市群出行链可描述旅客跨城市群出行全过程，由一系列出行活动按照先后顺序连接构成，能直观反映旅客出行选择过程。旅客跨城市群出行链可分为3个阶段，即2段市内交通和1段城市间交通，如图 1所示。

1.2 旅客跨城市群出行选择影响因素

旅客跨城市群出行选择影响因素较多，主要考虑以下6个因素的影响。

1) 安全性效用。

S_k^m表示选择交通方式k的第m类旅客的安全性效用，一般通过事故发生率、事故伤亡人数等指标衡量^[11]。本文用安全可信度对安全性效用值进行标定，安全可信度与事故发生率及事故伤亡人数呈反比关系，取值为0~1，当无事故发生时，安全可信度为1；当事故发生率或事故伤亡人数超过一定范围时，安全可信度取值为0。

2) 经济性效用。

E_k^m表示选择交通方式k的第m类旅客的经济性效用，指旅客在整个出行过程中支出的出行费用，根据旅客出行链理论，将E_k^m定义为

$E_k^m = P_k^m(OI) + P_k^m(IJ) + P_k^m(JD).$

(1)

其中：P_k^m(OI)、P_k^m(IJ)和P_k^m(JD)分别为选择交通方式k的第m类旅客从O到I、I到J、J到D所需交通费用。

3) 快速性效用。

R_k^m表示选择交通方式k的第m类旅客的快速性效用，快速性以旅客从O到D全部出行过程消耗的时间为衡量标准。根据旅客出行链，将R_k^m定义为

$R_k^m = \left( {t_k^m(OI) + t_k^m(IJ) + t_k^m(JD)} \right){c_m}.$

(2)

其中：c_m为第m类旅客的时间价值；t_k^m(OI)、t_k^m(IJ)和t_k^m(JD)为选择交通方式k的第m类旅客从O到I、I到J、J到D所需出行时间。

4) 便捷性效用。

F_k^m表示选择交通方式k的第m类旅客的便捷性效用，根据旅客出行链理论，旅客出行过程包括2段市内交通和1段城市间交通，因此出行便捷性效用可通过市内及城市间交通换乘便捷性进行量化，将F_k^m定义为^[12]

$F_k^m = \alpha {f_k}.$

(3)

其中：f_k为选择交通方式k的旅客市内交通与城市间交通换乘便捷度；α为旅客的便捷性价值系数，取α=1。

5) 舒适性效用。

C_k^m表示选择交通方式k的第m类旅客的舒适性效用，舒适性指旅客对跨城市群出行硬件环境条件及服务质量的综合感知，本文利用旅客出行恢复疲劳所需时间价值对舒适性效用进行量化，将C_k^m定义为^[10]

$C_k^m = \frac{{{t_{\max }}}}{{1 + {\sigma _k} \cdot \exp \left( { - {\tau _k} \cdot t_k^m(OD)} \right)}}{c_m}.$

(4)

其中：t_max为旅客恢复疲劳极限时间，本文取15 h；σ_k为交通方式k的疲劳恢复系数；τ_k为交通方式k的单位时间疲劳恢复强度系数；t_k^m(OD)为选择交通方式k的第m类旅客从O到D所需出行时间。

6) 可靠性效用。

D_k^m表示选择交通方式k的第m类旅客的可靠性效用，可靠性指准时性，包括出发时间准时性和到达时间准时性。本文运用各种运输方式的平均延误时间价值对可靠性效用值进行量化，将D_k^m定义为

$D_k^m = {t_{k,{\rm{ del }}}}{c_m}.$

(5)

其中t_{k, del}为交通方式k的平均延误时间。

借鉴文[12-13]的研究方法，将各交通出行方式的出行特性效用值的相关参数设定如表 1所示。

1.3 客流损失率计算方法

从国内外学者相关文献可以发现Logit模型可帮助决策者科学分析并解决决策问题^[14]。MNL模型作为Logit模型演变模型，主要以随机效用理论为基础，因此本文采用MNL模型计算不同旅客选择不同出行方式的概率。首先，根据1.2节出行方式特性中的6种交通运输方式服务属性效用值量化过程，可以得到不同旅客类型不同出行方式的效用函数，计算如下：

$V_k^m = \frac{{\theta _{\rm{E}}^mE_k^m + \theta _{\rm{R}}^mR_k^m + \theta _{\rm{C}}^mC_k^m + \theta _{\rm{D}}^mD_k^m}}{{S_k^mF_k^m}},$

(6)

$\begin{array}{c} \theta _{\rm{E}}^m + \theta _{\rm{R}}^m + \theta _{\rm{C}}^m + \theta _{\rm{D}}^m = 1,\\ \theta _{\rm{E}}^m,\theta _{\rm{R}}^m,\theta _{\rm{C}}^m,\theta _{\rm{D}}^m \in [0,1]. \end{array}$

(7)

其中：V_k^m为选择交通方式k的第m类旅客的效用值；θ_E^m、θ_R^m、θ_C^m、θ_D^m为选择交通方式k的第m类旅客的经济性、快速性、舒适性和可靠性的权重。

为了降低指数函数增长对分担率结果的影响，利用改进MNL模型^[15]计算方法量化描述直达和中转2种不同输送模式下高速铁路客流变化情况，计算如下：

$P_k^m = \frac{{{{\rm{e}}^{ - V_k^m/{V_{{{\min }}}^m}}}}}{{\sum\limits_k {{{\rm{e}}^{ - V_k^m/{V_{{{\min }}}^m}}}} }}.$

(8)

其中：P_k^m为第m类旅客选择交通方式k的概率值；V_min^m为第m类旅客的各个交通方式的最小效用值。

根据改进MNL模型计算方法，结合不同类别旅客比例可以进一步计算出各个交通方式的出行分担率，计算如下：

${P_k} = \sum\limits_m {{\alpha _m}} P_k^m,$

(9)

$\sum\limits_m {{\alpha _m}} = 1.$

(10)

其中：P_k为交通方式k的出行分担率；α_m为第m类旅客所占比例。

当出行方式服务属性发生变化时，交通出行方式的分担率将会改变，进而可以计算输送模式改变前后的客流损失率，计算如下：

${\rho _k} = {P_k} - {P_{{k^\prime }}}.$

(11)

其中：ρ_k为交通方式k的客流损失率；P_k′为交通方式k变化成k′后的出行分担率。

2 基于跨城市群出行的高速铁路网络化客流输送方案优化模型 2.1 问题描述

高速铁路网络化跨城市群客流输送方案是指在高速铁路成网条件下，采用直达或者中转2种输送模式对跨城市群的城市节点间旅客进行输送。直达模式是指旅客在旅行过程中只需乘坐一趟列车便可到达目的地，而中转模式是指旅客在旅行过程换乘其他列车，经过在中途站换乘才能到达目的地。图 2为2种客流输送模式示意图，箭头方向表示旅客的旅行方向，节点OD之间的客流直接从O到D而未换乘，称为直达模式。节点IJ间的客流在换乘点K进行换乘。在中转换乘模式下，跨城市群出行全程被分为前程Q_IK和后程Q_KJ。

2.2 模型假设

高速铁路网络化跨城市群客流输送方案优化研究相比于单线路客流输送更为复杂，实际运输组织中会存在不可控制的因素，因此在构建优化模型之前，需要提前做出如下假设：1) 研究对象为高速铁路网络跨城市群节点间客流，仅考虑采用高速铁路列车进行旅客运输；2) 假设跨城市群任意节点间都具备开行始发终到直达列车的条件；3) 假设动车组车底数满足运用需求。

2.3 变量说明

本文基于旅客出行链理论构建相关变量，如表 2所示。

2.4 目标函数

目标函数1  所有旅客广义跨城市群出行成本最小，计算如下:

$\min {Y_1} = {Y_{\rm{E}}} + {Y_{\rm{T}}},$

(12)

$\begin{array}{c} {Y_{\rm{E}}} = \sum\limits_i {\sum\limits_j {{w_{ij}}} } x_{ij}^z{l_{ij}}{r_{ij}} + \\ \sum\limits_i {\sum\limits_j {{w_{ij}}} } \left( {1 - {\rho _{ij}}} \right)x_{ij}^h\left( {l_{ij}^ - r_{ij}^ - + l_{ij}^ + r_{ij}^ + } \right), \end{array}$

(13)

${Y_{\rm{T}}} = {T_{\rm{T}}} + {T_{\rm{H}}},$

(14)

$\begin{array}{c} {T_{\rm{T}}} = \sum\limits_i {\sum\limits_j {{w_{ij}}} } x_{ij}^z\frac{{{l_{ij}}}}{{{\beta _{ij}}{\upsilon_{ij}}}}{c_t} + \\ \sum\limits_i {\sum\limits_j {{w_{ij}}} } \left( {1 - {\rho _{ij}}} \right)x_{ij}^h\left( {\frac{{l_{ij}^ - }}{{\beta _{ij}^ - \upsilon_{ij}^ - }} + \frac{{l_{ij}^ + }}{{\beta _{ij}^ + \upsilon_{ij}^ + }}} \right){c_t}, \end{array}$

(15)

${T_{\rm{H}}} = \sum\limits_i {\sum\limits_j {{w_{ij}}} } \left( {1 - {\rho _{ij}}} \right)x_{ij}^h{t_h}{c_t}.$

(16)

其中：Y₁为旅客广义跨城市群出行成本；Y_E为网络中所有旅客跨城市群出行的经济成本，主要指票价支出，与票价率及旅行距离有关；Y_T为网络中所有旅客跨城市群出行的时间成本，包括乘车及换乘时间成本；T_T为网络中所有旅客的跨城市群乘车时间，主要指旅客在直达、中转换乘运输过程中消耗乘车时间，与列车运行速度、距离等有关；T_H为网络中所有旅客跨城市群出行的换乘时间，本文只考虑中转运输过程中在中转换乘点消耗的时间。

目标函数2  铁路企业运营效益最大，计算如下：

$\max {Y_2} = {Y_{\rm{R}}} - {Y_{\rm{C}}},$

(17)

$\begin{array}{c} {Y_{\rm{R}}} = {Y_{\rm{E}}} = \sum\limits_i {\sum\limits_j {{w_{ij}}} } x_{ij}^z{l_{ij}}{r_{ij}} + \\ \sum\limits_i {\sum\limits_i {{w_{ij}}} } \left( {1 - {\rho _{ij}}} \right)x_{ij}^h\left( {l_{ij}^ - r_{ij}^ - + l_{ij}^ + r_{ij}^ + } \right), \end{array}$

(18)

$\begin{array}{c} {Y_{\rm{C}}} = \sum\limits_i {\sum\limits_j {\frac{{{w_{ij}}x_{ij}^z}}{{{\alpha _0}{A_{ij}}}}} } {l_{ij}}{c_{ij}} + \\ \sum\limits_i {\sum\limits_j {\left( {\frac{{{w_{ij}}\left( {1 - {\rho _{ij}}} \right)x_{ij}^h}}{{{\alpha _0}A_{ij}^ - }}l_{ij}^ - c_{ij}^ - + \frac{{{w_{ij}}\left( {1 - {\rho _{ij}}} \right)x_{ij}^h}}{{{\alpha _0}A_{ij}^ + }}l_{ij}^ + c_{ij}^ + } \right)} } . \end{array}$

(19)

其中：Y₂为铁路企业运营效益；Y_R为网络中铁路运输企业运营总收入，主要指票价收入；Y_C为网络中铁路运输企业运营总成本，铁路运输企业运营成本主要包括固定成本和变动成本2类，由于本文侧重考虑列车开行产生的成本费用，因此仅计算运营成本中的变动成本，与列车运行距离有关。

建立以网络中所有旅客广义跨城市群出行成本最小和铁路企业运营收入最高为目标的双目标规划模型。但由于双目标规划问题求解方法复杂，本文采取线性加权的方法，引入平衡因子δ(0＜δ＜1)，综合反映旅客与铁路企业的共同利益，表示如下：

$\min Y = \delta {Y_1} - (1 - \delta ){Y_2}.$

(20)

2.5 约束条件

1) 约束条件1为客流量约束，表示如下：

${q_{ij}}\geqslant {\alpha _{\min }}{A_{ij}},\quad \forall i,j \in N;$

(21)

$\begin{array}{c} {q_{ij}} = {w_{ij}}x_{ij}^z + \sum\limits_{K,H(ij) = K} {{w_{ik}}} \left( {1 - {\rho _{iK}}} \right)x_{iK}^h + \\ \sum\limits_{K,H(ij) = K} {{w_{Kj}}} \left( {1 - {\rho _{Kj}}} \right)x_{Kj}^h,\quad \forall i,j,K \in N. \end{array}$

(22)

其中N为城市节点集合。

在进行网络客流输送时，每个跨城市群城市节点之间高速铁路列车运行线路实际输送的客流量需要满足最低列车开行要求，以保证铁路运输企业的运营效益。另外，若跨城市群2个节点之间的客流需求不满足最低列车开行要求，则无需考虑开行直达列车的情况，客流输送模式应为中转换乘模式，即该对节点之间的直达客流量比例为0，中转换乘客流量比例为1。

2) 约束条件2为检修条件约束，表示如下：

${l_{ij}}\leqslant 4\ 000,\quad \forall i,j \in N;$

(23)

$\frac{{{l_{ij}}}}{{{\beta _{ij}}{\upsilon_{ij}}}}\leqslant 48,\quad \forall i,j \in N.$

(24)

开行动车组列车应满足检修条件，本文采用一级检修周期标准。另外，若网络中存在2个节点之间不满足列车检修条件的情况，则客流输送模式为中转换乘模式。

3) 约束条件3为区段能力约束，表示如下：

$\sum\limits_i {\sum\limits_j {\frac{{{q_{ij}}z_{ij}^{MS}}}{{{\alpha _0}{A_{ij}}}}} }\leqslant {B_{MS}},\quad \forall (M,S) \in G.$

(25)

其中G为高速铁路列车运行区段(M, S)集合。

在城市节点之间进行客流输送的过程中，列车输送客流总量不能超过列车运行区段的设计通过能力。

4) 约束条件4为节点能力约束，表示如下：

$\sum\limits_j {\frac{{{q_{ij}}}}{{{\alpha _0}{A_{ij}}}}}\leqslant {B_i},\quad \forall j \in N.$

(26)

在进行网络跨城市群客流输送时不仅需要满足线路通过能力约束，也需要考虑节点能力约束，保证列车正常开行。

5) 约束条件5为决策变量约束，表示如下：

$x_{ij}^z + x_{ij}^h = 1,\quad \forall i,j \in N;$

(27)

$0 \leqslant x_{ij}^z \leqslant 1,\quad \forall i,j \in N;$

(28)

$0 \leqslant x_{ij}^h \leqslant 1,\quad \forall i,j \in N.$

(29)

3 求解算法 3.1 熵权TOPSIS中心性测度算法

中国共布局了19个国家级城市群，涵盖299个城市，城市群规模大且城市节点数量多。为精准识别城市群中的核心城市节点，对城市节点中心性进行测度，本文选取度中心性、接近中心性、中介中心性和特征向量中心性4个主要的中心性指标对高速铁路客运网络跨城市群出行进行研究。各个中心性度量的计算机制不同，说明角度不同，在衡量节点重要性方面存在各自的不足。为此，本文提出融合各中心性指标的熵权TOPSIS算法，是一种将熵权法与TOPSIS算法结合起来的综合评价方法。

1) 熵权法确定评价指标权重。

熵权法是一种用来度量信息尺度的客观赋权方法，与以往传统主观评价分析方式(如AHP、Fuzzy法等)不同，熵权法的权重计算完全按照各指标间的数值离散程度计算，计算步骤如下：

步骤1  数据标准化处理。将各个指标的数据进行标准化处理，表示如下：

${y_{ij}} = \frac{{{x_{ij}} - {x_{{j_{\min }}}}}}{{{x_{{j_{\max }}}} - {x_{{j_{\min }}}}}}.$

(30)

其中：y_ij为经无量纲处理的第i个单位的第j项指标值；x_ij为第i个单位的第j项数据的原始值。

步骤2  计算各评价指标的信息熵表示如下：

${Y_{ij}} = \frac{{{y_{ij}}}}{{\sum\limits_{i = 1}^m {{y_{ij}}} }},$

(31)

$\mathit{\boldsymbol{Y}} = {\left( {{\mathit{\boldsymbol{Y}}_{ij}}} \right)_{m \times n}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Y_{11}}}& \cdots &{{Y_{1n}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\ {{Y_{m1}}}& \cdots &{{Y_{mn}}} \end{array}} \right],$

(32)

${e_j} = - \frac{1}{{\ln m}}\sum\limits_{i = 1}^m {{Y_{ij}}} \ln {Y_{ij}},\quad j = 1,2, \cdots ,n.$

(33)

其中：Y_ij为归一化处理后的第i个单位的第j项指标值；e_j为第j个指标的信息熵值，e_j≤1, ln m＞0。

步骤3  计算各评价指标的权重表示如下：

${W_j} = \frac{{{d_j}}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {{d_j}} }},$

(34)

${d_j} = 1 - {e_j}.$

(35)

其中：d_j为信息效用值；W_j为第j项评价指标的权重；指标的熵值e_j越小，权重越大，表明相应指标在总体布局中所承载的信息就越多，反之越少。

2) TOPSIS算法确定相对接近度。TOPSIS算法是一种基于系统工程中有限单位多目标决策分析的评价方法。算法的核心是求出“理想点的相对接近程度”，即各评价单位与最优解的相对接近程度，并以此作为评价依据^[16]。算法步骤为：

步骤1  建立标准化决策矩阵，表示如下：

${\mathit{\boldsymbol{r}}_{ij}} = \frac{{{x_{ij}}}}{{\sqrt {{{\sum\limits_{j = 1}^m {{x_{ij}}}^2 }}} }}(1 \leqslant i \leqslant m,1 \leqslant j \leqslant n).$

(36)

其中：r_ij为归一化处理后的第i个单位的第j项指标值。

步骤2  计算加权标准化决策矩阵，表示如下：

$\mathit{\boldsymbol{V}} = {\left[ {{W_j}{Y_{ij}}} \right]_{m \times n}} = {\left[ {{\upsilon_{ij}}} \right]_{m \times n}}.$

(37)

步骤3  确定正、负理想解，表示如下：

${\mathit{\boldsymbol{A}}^ + } = \left\{ {\upsilon_1^ + , \cdots ,\upsilon_n^ + } \right\};$

(38)

${\mathit{\boldsymbol{A}}^ - } = \left\{ {\upsilon_1^ - , \cdots ,\upsilon_n^ - } \right\};$

(39)

$\upsilon_j^ + = \max \left\{ {{\upsilon_{ij}},i = 1,2, \cdots ,m} \right\};$

(40)

$\upsilon_j^ - = \min \left\{ {{\upsilon_{ij}},i = 1,2, \cdots ,m} \right\}.$

(41)

其中：A⁺为正理想解；A^-为负理想解；υ_j⁺为矩阵第j列最大值；υ_j^-为矩阵第j列最小值。

步骤4  计算每个单位到正、负理想解的距离，表示如下：

$D_i^ + = \sqrt {\sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {{\upsilon _{ij}} - \upsilon _j^ + } \right)}^2}} } ,\quad i = 1,2, \cdots ,m;$

(42)

$D_i^ - = \sqrt {\sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {{\upsilon _{ij}} - \upsilon _j^ - } \right)}^2}} } ,\quad i = 1,2, \cdots ,m.$

(43)

其中：D_i⁺为单位i到正理想解的距离；D_i^-为单位i到负理想解的距离。

步骤5  计算各单位与最优解的相对接近度，表示如下：

${D_i} = \frac{{D_i^ - }}{{D_i^ + + D_i^ - }},\quad i = 1,2, \cdots ,m.$

(44)

其中：D_i为相对接近度，D_i∈[0, 1]，D_i=1时，评价对象最好；反之，D_i=0时，评价对象最差。D_i值越大，说明该评价对象越好，排名越靠前。

3.2 基于网络中心性的中转换乘方案选取

高速铁路网络城市节点间起讫点数量众多，客流分布复杂，导致旅客换乘方案众多。对于网络节点间距离较长的起讫点客流，需要综合考虑所有节点间的换乘方案，选取网络条件下最优换乘方案。故以网络中所有需要确定中转换乘方案的客流为研究对象，以客流换乘总费用最低为目标，表示如下：

$\min Y = \sum\limits_i {\sum\limits_j {\sum\limits_{K \ne i,j} {{w_{ij}}} } } {x_{ijK}}{c_{ijK}}.$

(45)

其中：Y为所有需要中转换乘客流换乘总费用；x_ijK为节点i与节点j间的客流是否选择节点K进行中转换乘；c_ijK为节点i与节点j间的客流在节点K换乘时的换乘方案费用。

换乘方案费用主要考虑换乘舒适性费用、自由度费用、节点费用以及时间费用，计算方法表示如下：

$c_{ijK}^{\rm{c}} = \frac{{{t_{\max }}}}{{1 + \sigma \cdot \exp \left( { - \tau \cdot {t_{ijK}}} \right)}}{c_t},$

(46)

$c_{ijK}^{\rm{f}} = \frac{{18\eta }}{{\min \left\{ {{H_{iK}},{H_{Kj}}} \right\}}}{c_t},$

(47)

$c_{ijK}^{\rm{s}} = {C_D}(K),$

(48)

$c_{ijK}^{\rm{t}} = {t_{ijK}}{c_t}.$

(49)

其中：c_ijK^c、c_ijK^f、c_ijK^s、c_ijK^t为节点i与节点j间的客流在节点K换乘时的舒适性费用、自由度费用、节点费用以及时间费用；t_max为旅客恢复疲劳极限时间，本文取15 h；σ为疲劳恢复系数；τ为单位时间疲劳恢复强度系数；η为出行选择自由度的时间价值折算系数；H_iK、H_Kj为节点i与节点K之间、节点K与节点j之间满足接续条件的高速铁路列车发车频率(列/d)；C_D(K)为节点K的熵权TOPSIS中心性值；t_ijK为节点i与节点j间的客流在节点K换乘时所需总出行时间。

由于本文主要从网络角度进行研究，考虑的换乘费用涉及运输节点和运输线路等不同方面，计算结果存在不同的量纲及量纲单位，为消除影响，本文将不同换乘费用除以最大值进行处理，换乘方案费用表示如下：

${c_{ijK}} = \frac{{{\alpha _1}c_{ijK}^{\rm{c}}}}{{c_{\max }^{\rm{c}}}} + \frac{{{\alpha _2}c_{ijK}^{\rm{f}}}}{{c_{\max }^{\rm{f}}}} + \frac{{{\alpha _3}c_{ijK}^{\rm{s}}}}{{c_{\max }^{\rm{s}}}} + \frac{{{\alpha _4}c_{ijK}^{\rm{t}}}}{{c_{\max }^{\rm{t}}}},$

(50)

${\alpha _1} + {\alpha _2} + {\alpha _3} + {\alpha _4} = 1.$

(51)

其中：c_max^c、c_max^f、c_max^s、c_max^t为换乘舒适性费用、自由度费用、节点费用以及时间费用的最大值；α₁、α₂、α₃、α₄为换乘舒适性费用、自由度费用、节点费用以及时间费用占换乘方案费用的比例。

中转换乘方案约束条件如下：

1) 换乘次数约束，节点间客流通过a次中转完成出行，表示如下：

$\sum\limits_K {{x_{ijK}}} = a,\quad \forall i,j \in n.$

(52)

其中n为节点总个数。

2) 节点换乘条件约束，节点是否具备换乘能力，表示如下：

${x_{ijK}} \leqslant {z_{ijK}},\quad \forall i,j,K \in n.$

(53)

其中：z_ijK为节点i与节点j间的客流在节点K是否具备换乘条件，若可以在节点K换乘，则取值为1，否则取值为0。

3) 换乘节点能力约束，节点通过的换乘客流不能超过自身能力限制，表示如下：

$\sum\limits_i {\sum\limits_j {{w_{ij}}} } {x_{ijK}} \leqslant B{H_K}.$

(54)

其中BH_K为节点K日均最大换乘能力。

4) 节点间客流是否需要换乘约束，节点间距离较小时不需要考虑换乘，表示如下：

${c_{ijk}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{c_{ijK}},}&{{l_{ij}} > {l_0};}\\ {M,}&{{l_{ij}} \leqslant {l_0}.} \end{array}} \right.$

(55)

其中：M为极大值数；l₀为节点间换乘方案考虑临界距离。

5) 其他约束，该部分约束表示变量的取值约束，表示如下：

${x_{ijK}} \in \{ 0,1\} ,\;\forall i,j,K \in n.$

(56)

计算步骤如下：

步骤1  在高速铁路客运网络中使用熵权TOPSIS中心性测度算法精准识别城市群中的核心节点城市，确定网络的研究范围。

步骤2  对于网络节点间距离较长的起讫点客流，以换乘总费用最小为目标选取最优换乘方案，确定较长距离下不同起讫点旅客的中转换乘方案。

步骤3  基于旅客跨城市群出行理论，利用改进MNL模型计算高速铁路客流损失率，得到不同客流输送模式下的客流变化情况。

步骤4  以旅客广义出行费用最小和铁路企业收益最大为目标构建基于跨城市群出行的高速铁路网络客流输送方案优化模型，确定客流最优输送模式。

4 算例分析

为合理确定跨城市群出行网络研究范围，利用MATLAB软件实现熵权TOPSIS算法测度城市群的核心城市节点。结果表明，前5名城市节点中心性相对较高，测度值在0.4之上；第5名之后城市节点测度值下降较快，排序22名以后的城市节点测度值均小于0.15。排序前22名的城市节点覆盖15个城市群，覆盖率高达78.95%，足够代表目前规划的城市群。故本文选取中心性测度值在0.15以上的前22名城市群中的核心城市节点，构成网络研究对象，具体节点和所属城市群如表 3所示。

为简化跨城市群客流输送方案优化研究复杂程度，本算例只考虑旅客一次换乘的情况。根据高速铁路网络化客流中转换乘方案选取模型，对节点距离在800 km以上的客流进行中转换乘研究，得到网络条件下节点间最优换乘方案，部分结果如表 4所示。

节点间日均客流量采用人类移动行为的介入机会类模型，选取Simini等^[17]提出的辐射模型对城市节点间的日均客流量进行预测，依据2020年城市节点的总人口数量获得城市节点间的交通客流量。依据高速铁路客流损失率计算方法，结合得到的网络化中转换乘方案，对需要考虑中转换乘的192对起讫点城市间客流损失率进行计算，具体结果如图 3所示。

根据基于跨城市群出行的高速铁路网络客流输送方案优化模型，求解网络化最优客流输送模式。本文网络优化案例中共有22个节点，可形成231条边，但根据目前高速铁路运营情况，其中有26条边不连通，即不存在直达列车。依据高速铁路线网实际情况对未连通区段经由关键节点以及列车运行距离进行梳理，结果如表 5所示。

高速铁路网络化跨城市群客流输送方案优化模型构建前提为假设网络中任意2个节点间都可以开行始发终到直达列车，研究网络节点间全部可连通情况下的最优客流输送模式。但实际网络中存在26个区段内无直达列车，依据我国高速铁路实际线网情况对案例进行优化求解。为方便区分，依据节点间连通情况将上述2种情况定义为：网络节点间全连通情景和网络节点间部分连通情景，分析和对比不同情景优化结果说明优化模型的可行性，并为高速铁路网络化运输组织提供指导方向，进一步明确未来网络发展方向。

求解2种情景下高速铁路网络客流输送方案优化模型，得到网络任意节点之间最优客流输送模式比例，由于直达客流比例与中转客流比例之和为1，本文仅呈现直达客流比例结果。部分结果如表 6和7所示。

根据表 6和7得到的网络任意节点间最优客流输送模式比例，结合已确定的中转换乘方案以及不同输送模式下的客流损失率，可得到最优客流输送模式对应的网络任意区段实际输送的客流总量，结合高速铁路列车定员及平均客座率取值情况，进一步计算得到高速铁路网络优化案例列车开行数量。由于结果数据结构过大，部分结果如表 8和9所示。

客流直达率是反映列车开行方案与客流需求质量适应性指标^[18]，可以应用旅客直达率作为不同客流输送方案的评价指标。旅客直达率的定义为，在客流输送过程中，通过直达模式输送的客流量占全部客流量的比例。现依据直达率以及优化模型涉及的目标函数值和列车开行数量情况对2种情景求得的最优输送方案进行对比分析，结果见表 10。

表 10表明全连通情景下的目标函数值明显下降，列车开行数量较部分连通情景低，旅客直达率更高，说明本文建立的基于跨城市出行的高速铁路网络化客流输送方案优化模型具有可行性和有效性。

5 结论

本文主要考虑高速铁路逐渐成网条件下，客流变化对旅客跨城市群出行的影响，以铁路运营企业收益最大和旅客广义出行成本最小为研究目标，构建了基于跨城市群出行的高速铁路网络客流输送方案优化模型，合理设置网络不同节点间的客流输送模式，得到高速铁路网络化最优客流输送模式，可为未来我国高速铁路网络化运营提供指导方向。算例结果表明本文建立的客流输送方案优化模型行之有效，2种路网联通情境下的对比表明应考虑开通广州—沈阳、兰州—厦门、青岛—深圳等21个区段间的直达列车，可为目前我国高速铁路网络化运营提供参考，也可为未来扩大高速铁路成网规划提供指导方向。未来研究需进一步提出高效算法，以解决大规模网络客流输送方案问题，同时针对不同旅客规模条件下优化模型，建立不同客流量条件下的输送方案。