索并联机器人是在绳索的驱动下实现空间运动的并联机构，具有工作空间大、负载能力高、结构重量轻、响应速度快等优点。索并联机器人可应用于仓储货物分拣领域^[1-2]，如图 1所示。根据Ramadan等^[3]和Bruckmann等^[4]的研究，相比传统的堆垛机，索并联机器人在存取货物工作中能够有效提高效率并降低能耗。为保证存取货物的位置精度，仓库货物分拣通常要求索并联机器人的定位精度不低于2 mm。由于零件加工和装配过程中存在误差，索并联机器人运动学模型中使用的几何参数名义值不同于真实值，会影响末端动平台的定位精度。此外，索并联机器人工作时绳索中持续存在的张紧力会使绳索长度伸长，使运动学模型中的几何参数产生偏差，进而导致存取货物的精度降低^[5]。因此，与一般的机器人不同，有必要对用于仓储的索驱动机器人运动学模型几何参数进行经常性的标定。

国内外学者对并联机器人的标定方法进行了研究，根据测量方法和测量运动学量的不同，运动学参数的标定方法主要分为外标定方法和自标定方法两大类^[6]。外标定方法是通过机构外部的高精度测量设备检测末端的位置和姿态信息或关节信息，得到与运动学模型的残差数值，并结合运动学模型进行参数识别的标定方法。自标定方法则是通过机器人被动关节上的传感器或其他方法获取机器人内部的运动学量，并利用运动学模型进行参数识别^[7]。外标定方法通常需要使用三坐标测量仪或激光跟踪仪等高精度的测量设备，对设备有着较高的要求，且这些测量设备通常成本高昂。自标定方法仅需要测量机构内部被动关节等处的运动学量来进行标定。

国内外学者针对索并联机器人提出了一些外标定方法。郑亚青等^[8]参考了Besnard和Khall的方法，采用倾角计，以末端动平台的姿态偏差最小为优化目标，提出了对空间6自由度8索机构进行运动学参数标定的方法，并进行了仿真验证。Vanegas等^[9]提出了基于视觉测量的平面四索机器人外标定方法，通过外部相机获取末端动平台的位姿信息并进行标定，能够有效提高末端动平台的运动精度。但由于固定在外部的摄像机观测空间有限，无法对末端动平台在较大的工作空间内进行标定，因此该方法不适用于大型物流仓库环境下对工作空间较大的索并联机器人进行运动学参数标定。

相比外标定方法，自标定方法的测量装置集成在关节或安装在动平台上，通常不依赖于外部安装的测量设备，因而能够适用于空间较大的场合，且可以随时进行标定。对于索并联机器人，其被动关节为静平台上的出索点和动平台上的索结点，通常难以在这些关节上设置传感器进行测量^[10]，因此一般利用索驱动单元内的电机编码器和力传感器来实现索并联机器人的运动学标定^[11-13]。Yuan等^[7]基于索并联机器人的冗余驱动关节实现了一种利用电机编码器进行测量的自标定方法。Miermeister等^[14]实现了一种通过力传感器测量绳索索力进而利用索并联机器人静力学与运动学耦合的特性标定运动学参数的方法。尽管上述的标定方法通常无需引入其他的传感器或测量元件，但电机编码器和力传感器的测量精度有限，无法实现较高的几何参数标定精度。Jin等^[15]利用激光距离传感器实现了一种对空间6自由度八索机构进行运动学参数标定的自标定方法(也称内标定)，但该标定方法需要激光照射点落在反射板范围内，因此也难以应用于工作空间较大的仓库场景。

本文以平面四索并联机器人为研究对象，提出一种基于固定在末端动平台上的相机进行测量的视觉自标定方法。相比已有的索并联机器人标定方法，该方法能够适用于仓储搬运等工作空间较大的场合。同时利用成本较低的视觉相机设备实现了不低于2 mm的标定精度，比其他外标定方法具有更好的经济性。最终通过计算机数值仿真和实验验证了该标定方法的精度，满足了仓储搬运场景下末端动平台定位精度要求。

1 模型分析 1.1 平面四索并联机器人的运动学建模

本文所研究的平面四索并联机器人的构型见图 2，具有沿x和y轴的2个平动自由度和绕z轴方向的1个转动自由度。图中A_i(i=1, 2, 3, 4)表示静平台出索点，其在世界坐标系κ₀下的坐标记作向量a_i；B_i表示动平台索结点，其在动平台固连坐标系κ_P下的坐标记作向量b_i，l_i表示由B_i指向A_i的向量，l_i表示绳索索长，α表示动平台绕z轴的转角；P表示κ_P的原点，其在κ₀下的位置即为末端动平台位置，记作向量p。

记描述末端动平台姿态的旋转矩阵为R，则索长表示为

$ l_{i}=\left\|\boldsymbol{l}_{i}\right\|_{2}=\left\|a_{i}-\boldsymbol{p}-\boldsymbol{R} \boldsymbol{b}_{i}\right\|_{2}. $

(1)

索并联机器人的正运动学问题一般无法求出解析解，通常使用数值方法求得索并联机器人的运动学正解。记机器人末端动平台的广义坐标为向量$ \tilde{\boldsymbol{p}}=[x, y, \alpha]^{\mathrm{T}}$，将机器人的逆解记为

$l=\varphi^{\mathrm{IK}}(\tilde{\boldsymbol{p}}) . $

(2)

其中上标IK表示逆运动学，l为各索的索长组成的m×1维向量。记待求位姿对应目标索长向量为$ \hat{\boldsymbol{l}}$，将优化目标表示为

$ S(\boldsymbol{p})=\left\|\hat{\boldsymbol{l}}-\varphi^{I K}(\tilde{\boldsymbol{p}})\right\|_{2} . $

(3)

通过求解优化问题

$ \underset{\widetilde{\bf{p}} \in \mathbb{R}^{3}}{\operatorname{argmin}} S(\tilde{\boldsymbol{p}}) . $

(4)

计算得到末端动平台的位姿。

1.2 误差来源分析及误差建模

索并联机器人的误差主要来自于工作过程中绳索拉力引起的索长变化、系统结构的动态特性和索力变化引起的振动所导致的动态误差，以及制造、装配精度等引起的静态误差。本文中机器人主要用于定位后静止状态下的堆垛操作，因此主要对索并联机器人的静态误差进行分析和讨论。

根据式(2)，对末端姿态有影响的几何参数主要包括κ₀坐标系下4个出索点的位置坐标和κ_P坐标系下4个索结点的位置坐标。同时，注意到由电机编码器所得到的理论索长值与实际索长值之间也会存在常值偏差，因此，下面主要讨论以上3组参数对于该索并联机器人定位精度的影响。

记该索并联机器人的正运动学问题为φ^DK，有

$\delta \tilde{\boldsymbol{p}}=\frac{\partial \varphi^{\mathrm{DK}}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{g})}{\partial(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{g})} \delta(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{g})=\boldsymbol{J}_{q} \delta \boldsymbol{q}+\boldsymbol{J}_{g} \delta \boldsymbol{g}. $

(5)

其中J_q为$\tilde{\boldsymbol{p}} $关于关节坐标q即索长的Jacobi矩阵，J_g为$\tilde{\boldsymbol{p}} $关于几何参数g的Jacobi矩阵。考虑几何参数对于末端动平台位姿的影响，与该机器人运动学相关的几何参数为A_i坐标(x_Ai, y_Ai)、B_i坐标(x_Bi, y_Bi)以及4根索的初始索长l_{0, i}，故索并联机器人共含有20个待标定的运动学参数。将待标定的几何参数记为向量

$ \boldsymbol{g}_{20 \times 1}=\left[\begin{array}{llll} g_{1} & g_{2} & \cdots & g_{20} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

(6)

考虑由机构几何参数偏差Δg_i所引起的末端位姿误差Δx、Δy和Δα，有

$ \left[\begin{array}{c} \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta \alpha \end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll} J_{1, 1} & J_{1, 2} & \cdots & J_{1, 20} \\ J_{2, 1} & J_{2, 2} & \cdots & J_{2, 20} \\ J_{3, 1} & J_{3, 2} & \cdots & J_{3, 20} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta g_{1} \\ \Delta g_{2} \\ \vdots \\ \Delta g_{20} \end{array}\right]. $

(7)

其中J_{i, j}表示J_g第i行第j列的分量。对于一组末端动平台的位姿测量结果，可以列出3个关于待标定几何参数的方程；由于需要标定的几何参数g_i共有20个，故至少需要7组测量结果，可以列出关于待标定几何参数g₁、g₂、…、g₂₀的超定方程组，从而求解出待标定的几何参数。

2 视觉标定方法 2.1 位姿测量

末端动平台的位姿测量可以通过动平台上固连的相机，借助计算机视觉的方法测量世界坐标系下的固定参照物来实现。为降低视觉方法的识别难度，提高视觉相机的辨识速度，实验中所选用的靶标为AprilTag，为一种类似于二维码的平面点阵图形，在各类视觉识别和视觉标定任务中得到了广泛的应用。相比普通的二维码和其他类型的视觉靶标，AprilTag在不同光照条件以及不同位置姿态下具有更高的识别率和更强的鲁棒性，同时拥有更高的视觉定位精度^[16-17]，能够满足标定过程中视觉位姿测量的要求。

相机测量位姿的原理为求解从世界坐标系到像素坐标系的坐标变换^[18]，进而求得相机及与其固连的动平台相对于世界坐标系的位置和姿态。该视觉相机的位姿测量原理如图 3所示。对一般情况下，考虑在视觉相机坐标系下测量得到的AprilTag位置为^Ct，其姿态为^CR_t，AprilTag在世界坐标系下的位置为t，记视觉相机相对于动平台的位置和姿态分别为b_C和R_C，则得到位置和姿态关系如下：

$\boldsymbol{t}=\boldsymbol{p}+\boldsymbol{R}\left(\boldsymbol{b}_{\mathrm{C}}+{^{\mathrm{C}}} \boldsymbol{t}\right). $

(8)

且有

$ \boldsymbol{R}^{\mathrm{C}} \boldsymbol{R}_{\mathrm{t}}=\boldsymbol{I}. $

(9)

故计算得到描述动平台的姿态的旋转矩阵为

$ \boldsymbol{R}={ }^{\mathrm{C}} \boldsymbol{R}_{\mathrm{t}}^{-1}={ }^{\mathrm{C}} \boldsymbol{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{T}}, $

(10)

动平台的位置为

$ \boldsymbol{p}=\boldsymbol{t}-{ }^{\mathrm{C}} \boldsymbol{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{b}_{\mathrm{C}}+{ }{^{\mathrm{C}}} \boldsymbol{t}\right). $

(11)

2.2 参数辨识

对于每一组通过视觉方法观测得到的动平台位姿，若通过正解计算得到的理论动平台位姿与观测值完全一致，则有

$ \left\|\tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{m}}-\varphi^{\mathrm{DK}}\left(\boldsymbol{l}_{\mathrm{m}}, \boldsymbol{g}\right)\right\|_{2}=0. $

(12)

其中$ \tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{m}}$为通过外部测量装置测量得到的动平台坐标，lm为测量得到的索长值向量。该参数辨识问题可以等效为一个优化问题。求解一组几何参数g使得该机器人的理论位姿$ \tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{r}}$与实际位姿$ \tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{m}}$最小。记g的可行域为Ω，即求解优化问题

$ \begin{gathered} \underset{\boldsymbol{g} \in \varOmega}{\operatorname{argmin}} F_{1}=\underset{\boldsymbol{g} \in \varOmega}{\operatorname{argmin}}\left\|\tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{m}}-\tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{r}}\right\|_{2}= \\ \underset{{g} \in \varOmega}{\operatorname{argmin}}\left\|\tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{m}}-\varphi^{\mathrm{DK}}\left(\boldsymbol{l}_{\mathrm{m}}, \boldsymbol{g}\right)\right\|_{2}. \end{gathered} $

(13)

注意到对于一般的索并联机器人，其正运动学通常没有解析解，只能通过迭代算法数值求解其正运动学问题；而其运动学逆解则容易求解，故考虑将使各绳索的理论索长向量l_r与实际索长向量l_m的偏差最小作为优化目标，求解优化问题

$ \begin{gathered} \underset{\boldsymbol{g} \in \varOmega}{\operatorname{argmin}} F_{2}=\underset{\boldsymbol{g} \in \varOmega}{\operatorname{argmin}}\left\|\boldsymbol{l}_{\mathrm{m}}-\boldsymbol{l}_{\mathrm{r}}\right\|_{2}= \\ \underset{\boldsymbol{g} \in \varOmega}{\operatorname{argmin}}\left\|\boldsymbol{l}^{\mathrm{m}}-\varphi^{\mathrm{IK}}\left(\tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{m}}, \boldsymbol{g}\right)\right\|_{2} . \end{gathered} $

(14)

获得待辨识的几何参数。该近似优化目标可以简化参数辨识问题的求解难度。综上，该标定方法的几何参数辨识算法流程图如图 4所示。

2.3 误差补偿

由于实际工作环境条件下，索驱动机器人的定位精度还会受到滑轮几何形状、绳索弹性变形、绳索垂度以及其他非几何因素的影响^[19-20]。在这些因素的影响下，经过几何参数识别后末端动平台仍会存在较大的残余误差，同时残余误差的分布存在与末端动平台x和y坐标的相关性。因此可以考虑利用关于x和y坐标的二次多项式对残余误差进行补偿。即将残余误差Δx和残余误差Δy分别表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \Delta x=a_{0}+a_{1} x+a_{2} y+a_{3} x^{2}+a_{4} x y+a_{5} y^{2}, \\ \Delta y=b_{0}+b_{1} x+b_{2} y+b_{3} x^{2}+b_{4} x y+b_{5} y^{2}. \end{array}\right. $

(15)

根据参数辨识步骤中得到的几何参数结果，代入该机器人的运动学模型中，进一步测量修正几何参数后末端动平台的定位残余误差。利用关于末端动平台x和y坐标的二次多项式对测量得到的残余误差值进行拟合，求解得到残余误差表达式中的系数。通过拟合得到的残余误差表达式对末端动平台位置进行修正，即可完成误差补偿。

3 标定算法验证

针对本文所提出的标定方法，利用MATLAB软件对该标定方法中的参数识别算法进行仿真验证。首先，在不存在观测误差的理想情况下，对该算法的正确性进行验证。在该四索并联机器人的平面工作空间内，按照给定的x方向间隔和y方向间隔，将工作空间内的一系列网格点设置为位姿测量点，根据所假定的待标定几何参数的名义值g，通过运动学逆解$ \varphi^{\mathrm{IK}}(\tilde{\boldsymbol{p}}, \boldsymbol{g})$和给出的动平台位姿计算出一系列测量点上对应位姿下的绳索索长向量l_m，生成一系列的测量值。利用提出的标定算法代入包含动平台末端坐标真值和索长向量的真值的数据进行参数识别，进行仿真验证。仿真中其参数识别的结果误差量级为10^-10 mm，考虑到计算机求解优化问题中由于浮点精度导致的舍入误差，可以认为在理想情况下几何参数的标定结果$ {\mathit{\boldsymbol{\hat g}}}$收敛于几何参数的真值g，故认为该参数识别算法具有正确性。

进一步，在考虑观测误差的情况下，利用计算机数值仿真的方法对该参数识别算法的精度进行分析。与前述仿真过程类似，采用相同的方式生成一系列给定位姿$ \tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{act}}$下的索长值向量l_act。同时产生一系列服从均值为0且方差为σ_m的正态分布的随机值向量e_p和e_l，并与上述真实值$ \tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{act}}$和l_act分别相加得到$ \tilde{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{m}}$和l_m，其中随机误差的分布参数如表 1所示。对于索长参数，除观测误差外，在仿真中按给定的初始索长值向量对索长值向量进行偏置，得到电机编码器读到的索长值向量。利用上述产生的观测值，代入参数算法中对A_i、B和l_{0, i}进行参数辨识，并将辨识得到的几何参数与名义值进行对比，评估标定精度。

利用标定算法按照上述方法进行数值仿真，误差结果如图 5所示。各测量点上的平均偏差为0.41 mm，最大偏差为1.45 mm。

考虑到动平台的尺寸较小，其加工精度较高，且动平台的出索点坐标能够通过外部测量方式精确获取，因此考虑不对动平台出索点坐标进行标定，将待标定的几何参数个数减少为12个。采用与上文相同的方法进行仿真。其各点上的定位误差结果如图 6所示。各测量点上的平均偏差为0.38 mm，最大偏差为1.19 mm。

综上，经过仿真分析发现，在使用实测的动平台出索点坐标而不对末端动平台的出索点进行参数标识的情况下，标定结果的精度更高，定位误差更小。综上，在实际标定过程中使用末端动平台出索点的测量值，待辨识的几何参数为4个静平台出索点的坐标和初始索长值向量。

4 实验验证 4.1 标定实验

为验证在工作环境中该基于视觉相机的标定算法的标定精度，在实验室搭建相同结构的索并联机器人进行实验验证。实验中所使用的平面四索并联机器人如图 8所示。该平面索并联机器人的末端动平台通过4组平行索分别与4个索驱动单元连接。使用Beckhoff CX5130控制器实现末端动平台的姿态控制。在末端动平台上固连一台双目视觉相机用于测量末端动平台的位姿。在与世界坐标系固连的货架上贴有AprilTag。双目视觉相机通过检测AprilTag在相机坐标系下的位置和姿态，反算出动平台的位置和姿态，实现动平台位姿的测量。可以通过在不同位置粘贴内容不同的AprilTag来增加双目视觉相机的测量范围，实现大工作空间标定的要求。标定完成后，通过外部的激光跟踪仪测量动平台的实际位置，评估标定后末端的定位误差。

由于该平面四索并联机器人的应用背景为物流仓库的货物堆垛工作，主要交互对象为具有网格化特点的货架，因此按照网格节点等间距均匀选取测量点是一种简单易行的方式。在平面四索并联机器人的工作空间内，选取合适的测量间距，测量28组位姿数据进行几何参数标定实验。将几何参数的名义值代入控制系统，控制末端动平台粗略运动至测量位置。利用双目视觉相机测量此时末端动平台的位姿，并通过电机编码器换算得到各索的相对索长，根据测量结果进行几何参数辨识。在进行几何参数辨识后，由于末端动平台的定位精度受到滑轮效应，绳索弹性以及其他非几何参数的影响，其仍会存在一定的定位误差。为进一步提高定位精度，采用关于末端动平台x和y坐标的二次多项式对末端动平台的残余误差拟合，并进行误差补偿。

为了验证标定后平面四索并联机器人实际工作时的定位精度，利用激光跟踪仪对标定后末端动平台的定位精度进行测量，并与给定的定位坐标进行比较，计算得到末端动平台的定位误差。

4.2 实验结果

利用缩比模型装置进行实验，在指定网格节点上利用视觉相机测量末端动平台的位姿并读取电机编码器对应的索长向量，进行几何参数辨识。实验中几何参数识别结果如表 2所示。使用激光跟踪仪采集测量点的实际位置对参数辨识后的定位误差进行评估，分别计算得到参数辨识后末端动平台的定位误差如图 9和10所示。经过几何参数辨识后，末端动平台的x方向定位的最大正偏差为+1.94 mm，最大负偏差为-4.71 mm，x方向定位精度为6.65 mm；y方向定位的最大正偏差为+11.84 mm，最大负偏差为-1.97 mm，y方向的定位精度为13.81 mm。

为进一步减小末端动平台的定位误差，采用关于动平台x和y坐标的二次多项式对几何参数识别后双目视觉相机测量得到的末端动平台的定位残余误差进行拟合，并进行误差补偿，得到补偿后的末端动平台定位误差如图 11和12所示。经几何参数识别和误差补偿后，再次用激光跟踪仪测量末端动平台的定位精度。测量得到末端动平台的x方向定位的最大正偏差为+0.41 mm，最大负偏差为-0.42 mm，x方向定位精度为0.83 mm；y方向定位的最大正偏差为+0.45 mm，最大负偏差为-0.45 mm，y方向的定位精度为0.90 mm。根据标定实验结果，平面四索并联机器人末端动平台的x方向定位误差和y方向定位误差均小于1 mm。按偏差距离$\Delta p_{i}=\sqrt{\Delta x_{i}^{2}+\Delta y_{i}^{2}} $计算各测量点对应的定位误差，得到定位误差的结果如图 13所示，最大定位误差为0.58 mm。综上，标定后平面四索机器人满足工作中所要求的2 mm定位精度。

5 结论

针对物流仓储用索驱动机器人需要多次进行精度标定的特点，本文提出了一种基于双目视觉的平面四索机器人运动学参数自标定方法，通过在货架上粘贴的二维码，并采用安装在动平台上的双目相机进行测量，利用非线性最小二乘算法进行参数识别，并利用关于末端动平台位置坐标的二次多项式进行误差补偿，可以不借助外部昂贵的测量设备，完成机器人的自标定；在实验室搭建的4 m尺度索机器人模型中，本文标定方法的最大定位误差为0.58 mm。