控制棒驱动机构是核反应堆关键的功率控制设备，其可靠性直接关系到反应堆的安全性和可靠性。200 MW核供热堆(NHR-200)采用内置式控制棒水压驱动系统^[1-2]，该驱动系统具有传动线短、驱动线内置、控制棒定位精度高等优点。电容式传感器具有结构简单、可靠性高、可连续测量、可实现非侵入测量等优点，在工业测量领域得到了广泛应用^[3-5]，电容式传感器的优势使其在内置式棒位测量领域具有极佳的应用前景。

对于电容式棒位测量传感器，Hu等^[6-7]提出了两直电极型的设计方案，通过开展静态特性实验，论证了该传感器应用于内置式棒位静态测量的可行性。Bo等^[8]将两块直电极设计为双螺旋电极，完成了双螺旋结构电容式棒位测量传感器的方案设计，通过开展静态特性实验^[9]与动态特性实验^[10]，获得了该传感器的灵敏度函数，论证了其用于落棒测量的可行性。Li等^[11]系统研究了双螺旋结构电容式棒位测量传感器各设计参数和传感器非线性误差的关系，完成了传感器的优化设计。Li等^[12]提出了绕线电容式棒位测量传感器的设计方案并进行了结构优化，结果表明该型传感器可以满足棒位测量精度要求。Hu等^[13]建立了电容式棒位测量传感器的理论模型，但该模型在实际应用过程中，存在较大误差，因而需要提出求解精度更高的解析模型。

保角变换法为一种求解数学物理方程定解问题的解析方法，该方法通过解析函数的变换或映射，可将一个复平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为另一复平面上具有简单边界形状的边值问题，且变换前、后Laplace方程、Poisson方程等方程形式保持不变。在复杂形状电容器的解析过程中，保角变换法得到了广泛应用^[14-15]。电容式棒位测量传感器的几何结构复杂，在开展静态特性研究时，涉及到多种不同材料的被测介质，利用有限元方法和实验方法进行研究将消耗大量的资源和时间，因此有必要开展理论分析，建立精度能够满足传感器静态特性定量计算要求的解析模型。

本文以有限元方法建立了两电极电容式棒位测量传感器的计算模型，开展了传感器的静态特性实验，完成了计算模型的实验验证。以保角变换法和电容器的串并联积分计算方法为基础，建立了两电极电容式棒位测量传感器的解析模型，通过添加修正因子完成了模型修正，利用计算模型对解析模型进行了分步验证。

1 传感器结构与有限元模型 1.1 传感器结构

两电极电容式棒位测量传感器的结构示意图如图 1所示。α为电极张角，被测杆半径R₁=7 mm，工作长度D₁=1 000 mm。依据不同的实际使用工况，被测杆可采用金属杆或非金属介质杆，其中金属杆由不锈钢材料制成，非金属介质杆为PAI 4203和PEEK，相对介电常数分别为ε_r1=4.2、ε_r2=3.3。陶瓷管材料为α-Al₂O₃，相对介电常数ε_r3=9.6，内、外半径分别为R₂=8 mm，R₃=11 mm，长度D₂=1 000 mm。该传感器在静态测量过程中，被测杆沿陶瓷管中心轴做步升、步降运动，通过改变电极间相对介电常数分布引起传感器电容值变化。当被测杆处于任意棒位时，通过测量该棒位下传感器的电容值，并代入灵敏度函数，即可计算出被测杆所处棒位。

1.2 有限元模型及验证

本文以传感器静态特性实验验证有限元模型，从而验证解析模型。首先给出有限元模型的建立方法与验证结果。以求解Laplace方程为基础，建立两电极电容式棒位测量传感器的有限元模型，通常假定传感器检测场内无自由分布的空间电荷，则传感器检测场的电势分布函数φ(x, y, z)满足Poisson方程，如式(1)所示：

$ \nabla \left( {{\varepsilon _0}\varepsilon (x, y, z)\nabla \varphi (x, y, z)} \right) = 0. $

(1)

其中：ε₀是自由空间相对介电常数，ε(x, y, z)是随空间变化的相对介电常数，S为检测电极面积。解得空间电势分布函数φ(x, y, z)。检测电极感应出的电荷量Q如式(2)所示：

$ Q = - \int_S {{\varepsilon _0}} \varepsilon (x, y, z)\nabla \varphi (x, y, z){\rm{d}}S. $

(2)

电荷量Q与电极间电势差U的比值即为两电极间的电容值C，如式(3)所示：

$ C = \frac{Q}{U}. $

(3)

依据传感器实际工况，给定求解静电场问题的第一类边界条件，指定激发电极的激励电压为1 V，检测电极为0 V，如式(4)所示：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {激发电极:}&{\varphi (x, y, z) = 1, }\\ {测量电极:}&{\varphi (x, y, z) = 0.} \end{array}} \right. $

(4)

在进行有限元分析时，采用COMSOL Multiphysics程序。有限元分析共有5个步骤，分别为选定物理场、建立几何模型、定义材料相对介电常数、指定边界条件、网格划分与结果后处理。物理场采用程序AC/DC模块的“静电”单元，几何结构与物性参数和实验工况完全一致，在模型外建立空气域模型并指定为“无限元域”，指定激发电极和检测电极为“终端”边界，电势分别为1和0 V。

在实验室条件下，进行传感器静态特性实验，以验证有限元模型。电容式棒位测量传感器的实验台架如图 2所示。该静态特性实验台架共包含4个部分，分别为棒位测量样机、电容式棒位测量传感器及传感器固定平台、被测杆驱动及光栅位移传感器平台、数据采集处理程序。在实验过程中，光栅位移传感器游标跟随控制棒被测杆运动并提供棒位真值，该传感器的测量精度为±0.005 mm，棒位测量样机可对传感器电容值进行采集读取，并通过数据采集处理程序将结果传递至PC机。

在实验室条件下，制成了两电极电容式棒位测量传感器，传感器及被测杆实物如图 3所示。两条电极由7 mm宽的铜胶带制成，该传感器采用的是12 mm外径的陶瓷管，换算后电极张角为38.2°。被测杆材料为PAI 4203，如图 3中黄色被测杆所示。

在实验过程中，传感器有效量程设定为0~600 mm，设定被测杆步进位移为15 mm，与NHR-200控制棒步进位移间距保持一致。棒位测量样机在每个棒位处重复测量100次，以平均值作为该点的真实电容值，将0棒位电容值置零后，实验结果如图 4所示。将0棒位电容值进行置零，原因在于传感器的两电极与棒位测量样机间通过两条引线连接，引线间所形成的电容并联于传感器，并改变传感器的电容绝对值，但不会改变由被测杆步升、步降引起的电容变化量。故在建立解析模型与计算模型的过程中，均未考虑引线间杂散电容的影响，因而将0棒位电容值进行置零。通过对各棒位的电容值进行线性拟合，可得到该传感器的灵敏度值，为0.006 623 pF/mm，其中pF为电容的计量单位。

利用有限元模型对该传感器的灵敏度特性进行分析。建模参数与传感器实际参数完全一致，首先验证有限元模型的网格无关性。通过调整网格尺寸，在0棒位处，共构建出3套网格，网格无关性验证结果如表 1所示。由表 1可知，第二套与第三套网格计算结果的相对误差已小于千分之一，为保证计算精度并节约计算资源，认为采用第二套网格进行分析已能够保证计算精度。后续有限元分析皆采用表 1所示的方法验证网格无关性。

利用该计算模型对传感器的灵敏度进行分析，模型计算所设定的控制棒步进位移和有效量程与实验工况保持一致，模型计算得到的传感器灵敏度为0.006 625 pF/mm，与实验结果的相对误差仅为0.03%，表明该计算模型能够准确地分析传感器的静态特性，同时表明该模型可用于解析模型的验证与修正。

2 传感器的解析模型

对于充满相对介电常数ε_r的无限大平行板电容器，其电容值C的解析模型如式(5)所示。S为单位长度电容器的极板面积，d为两极板的间隙，N为极板长度。

$ C = \frac{{{\varepsilon _0}{\varepsilon _{\rm{r}}}S}}{d} \cdot N. $

(5)

该传感器在静态测量过程中，被测杆与控制棒刚性连接。当控制棒处于某一棒位时，被测杆将在陶瓷管内部处于相应棒位X，控制棒未进入的陶瓷管(空管)长度为D₂-X。依据电容器的并联关系，传感器总电容值C₀为被测杆步进部分的电容值和空管的电容值之和，如式(6)所示。其中C₁为被测杆步进部分的单位长度电容值，C₂为空管单位长度的电容值。

$ {C_0} = {C_1} \cdot X + {C_2} \cdot \left( {{D_2} - X} \right). $

(6)

由式(6)可知，电容式棒位测量传感器的解析模型应由2个子模型构成，如图 5所示。分别为单位长度空管和单位长度有被测杆的模型，分别为式(6)中的C₂和C₁。

2.1 模型建立方法

利用保角变换法建立电容式棒位测量传感器解析模型的过程分为以下5个步骤：1) 利用等效介质定理，完成不同种被测杆半径间的转换，统一解析模型的几何形状；2) 利用对数变换，将传感器两块弧形电极变为两块直电极；3) 忽略电极外介质的影响，利用电容器的串并联积分计算方法建立理想电容器的解析模型；4) 考虑电容器边缘效应和电极外介质影响，提出修正因子；5) 建立并修正空管模型。

首先进行解析模型几何形状的统一。运用等效介质定理^[16]，可以实现非金属介质杆和金属介质杆半径间的转换。建立模型如式(7)所示。其中，不同半径、不同材料的非金属介质被测杆可以完成半径的互换，且非金属介质被测杆可以转换成相应半径的金属被测杆，转换前、后传感器电容值不发生变化。式(7)中R_i、R_p与ε_ri、ε_rp分别为转换前、后被测杆的半径与相对介电常数，R_metal为转换后金属介质杆的半径。

$ {R_{\rm{i}}}g\frac{{{\varepsilon _{{\rm{ri}}}} - 1}}{{{\varepsilon _{{\rm{ri}}}}}} = {R_{\rm{p}}}g\frac{{{\varepsilon _{{\rm{rp}}}} - 1}}{{{\varepsilon _{{\rm{rp}}}}}} = {R_{{\rm{metal }}}}. $

(7)

由式(7)可知，对于R₁=7 mm，ε_r1=4.2的PAI 4203非金属介质被测杆，其与半径为5.33 mm的金属被测杆，在传感器中所处棒位X一致时，传感器电容值相等。利用计算模型对该转换关系进行验证，在20°~140°张角范围内，以20°为计算单位，设定棒位深度为1 000 mm，分析上述两种被测杆工况下传感器的电容值，完成对式(7)的验证。模型计算结果如表 2所示。

由表 2可知，对于该转换关系，整体误差小于2.5%，可以认为能够应用于解析模型中。由式(7)可知，对于任意尺寸与材料的圆柱体被测杆，都可以转换成半径为8 mm，具有对应相对介电常数的圆柱体。进行该转换的目的在于，如图 5a和5b所示的2个子模型，陶瓷管内半径为8 mm，空管模型内为8 mm半径的空气柱，由被测杆模型通过式(7)转换后，可将任意半径、任意相对介电常数的圆柱体被测杆转换为8 mm半径的介质，并完整填充于陶瓷管内的环形腔，可以完成2个子模型以及其他半径被测杆几何形状的统一。PAI 4203、PEEK、金属被测杆变换后的相对介电常数分别为3、2.56、8，并均匀分布在陶瓷管内壁8 mm半径的环形腔内。

利用对数变换，将两块弧形电极转换为两块直电极，该转换过程的示意图如图 6所示。其中β为电极半角，ε_rp为转换前、后充满陶瓷管内壁介质的相对介电常数。

以极坐标形式，在复平面Z上建立陶瓷管内、外圆的函数表达式，其中内、外圆半径分别为R₂、R₃，如式(8)所示。复平面Z与复平面W在图 6中标出，坐标原点为陶瓷管圆心。

$ \begin{array}{l} {Z_2} = {R_2}\cos \varphi + {\rm{i}}{R_2}\sin \varphi , \\ {Z_3} = {R_3}\cos \varphi + {\rm{i}}{R_3}\sin \varphi . \end{array} $

(8)

利用式(9)所示的对数变换，可完成图 6所示的转换过程。

$ W = \ln \left( {{\rm{i}}\frac{{{R_3} - Z}}{{{R_3} + Z}}} \right). $

(9)

联立式(8)—(9)，可求得转换后W平面上的各坐标点。依据电容式棒位测量传感器的实际使用工况，选定该解析模型的适用范围。设定陶瓷管内、外径为R₂=8 mm，R₃=11 mm，相对介电常数为ε_r3=9.6，电极张角取值范围为20°~140°，经式(7)转换后，图 6所示的ε_rp的取值范围选定为2~10，对应图 5b模型有被测杆的情况，选定的模型使用范围已能够满足电容式棒位测量传感器所利用的3种被测杆的实际使用情况。变换后两电极间的间隙为π，在张角取值范围内，联立式(8)—(9)，给出变换后的电极宽度，如表 3所示。

陶瓷管内壁半径为R₂的圆，保角变换后用椭圆函数近似拟合，该函数如式(10)所示。需要指出的是，陶瓷管内壁变换后并不是一个完整椭圆，为方便有限元模型的参数建模，采用椭圆方程近似替代。

$ \frac{{{x^2}}}{{{{1.8458}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{1.2576}^2}}} = 1. $

(10)

利用上述参数，对式(9)变换前、后的解析模型进行保角变换正确性验证。模型计算工况为电极张角20°~140°，以20°为计算单位，分别验证了空管、被测杆为PAI 4203和金属材料的3种工况，建模参数与保角变换前、后模型参数完全一致，模型验证结果如图 7所示。

由图 7可知，保角变换前、后的解析解与数值解趋势符合良好，相对误差随电极张角扩大而扩大，这是由于式(10)所采用的椭圆函数近似拟合，随电极张角扩大导致变换误差不断积累。在电极张角为140°时，空管、PAI 4203、金属杆变换前、后的相对误差分别为4.49%、4.69%、3.32%，都小于5%。表明利用式(9)所示的对数变换能够完成将弧形电极转变为直电极的目标。

得到直电极的几何结构后，利用无限大平行板电容器的基本计算公式和电容器的串并联积分计算方法提出解析解，首先给出第一个假设条件，忽略电极外介质对电极间电容值的影响，如图 8所示，其中m为电极宽度，a与b分别为陶瓷管内圆变换后，近似拟合的椭圆函数的长、短轴。

对于图 8所示的B模型，将两电极间单位长度电容C_total视为3个电容C_a、C_b、C_c的等效串联。其中C_a、C_c分别为相同颜色实线与虚线间的电容值，C_b为两虚线间的电容值。

按照电容器的串联计算方法，由式(11)对C_total进行计算。

$ {C_{{\rm{total}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{C_a}}} + \frac{1}{{{C_b}}} + \frac{1}{{{C_c}}}}}. $

(11)

其中C_a与C_c可由无限大平行板电容器的公式直接求取，如式(12)所示：

$ {C_a} = {C_c} = \frac{{{\varepsilon _{{\rm{r}}3}} \cdot m}}{{\frac{{\pi - 2b}}{2}}}. $

(12)

对于C_b，利用电容器的串并联积分计算方法，建立其积分表达式，如式(13)所示：

$ {C_a} = \int_0^{\frac{m}{2}} {\frac{{{\varepsilon _{{\rm{r}}3}}{\varepsilon _{{\rm{rp}}}}{\varepsilon _0}}}{{{\varepsilon _{{\rm{r}}3}} \cdot b \cdot \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} + {\varepsilon _{{\rm{rp}}}} \cdot \left( {b - b \cdot \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} } \right)}}} {\rm{d}}x. $

(13)

联立式(8)—(9)与式(11)—(13)，即可获得B模型的解析解。

2.2 模型修正

对于无限大平行板电容器，其电场线处处垂直于电极板，但是在电容器的边缘，电场线不再与电极板垂直而是向外发散。由上述分析可知，对于图 8中B模型，由式(11)—(13)，基于理想电容器的计算方法得到了其解析解，但未考虑真实电容器的边缘效应。模型考虑的第一个修正因子为基于图 8中B模型，将理想电容器的解析解修正为真实电容器的情况。

以C_real为图 8中B模型单位长度真实电容值，其和C_total间的关系可用式(14)计算。

$ {C_{{\rm{real }}}} = {\beta _1} \cdot {C_{{\rm{total }}}} $

(14)

其中β₁为考虑边缘效应存在时理想电容器的修正因子，由于电极全长为1 000 mm，电极宽度m的最大取值为3.470 8 mm，对应模型适用范围内的140°电极张角，因此认为可忽略电极长度方向的边缘效应，只对电极宽度方向的边缘效应进行修正。

对于图 9所示的平行板电容器模型，认为其在垂直于纸面方向无限长，则在该方向的边缘效应可忽略，则β₁为一个与极板横截面形状因子T和极板间相对介电常数ε_rq有关的函数，其中T为极板间距d与极板宽度m的比值。

以幂函数为基础，利用有限元模型对β₁进行计算与拟合。依据传感器实际使用工况，ε_rq的计算区间为1~10，计算单位为1。T的计算区间为0.1~10，在0.1~1范围内以0.1为计算单位，在1~10范围内以1为计算单位。分析结果如表 4所示。

依据表 4，将T分为0.1~1、1~10两个区间，在2个区间内分别对β₁进行拟合，拟合结果如下：

$ {\beta _1} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.77943 \times \varepsilon _{{\rm{rq}}}^{( - 0.96084)} \cdot \frac{d}{m} + 1.53010 \times }\\ {\varepsilon _{{\rm{rq}}}^{( - 0.17910)}\frac{d}{m}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\sim10, }\\ {1.25844 \times \varepsilon _{{\rm{rq}}}^{( - 1.00034)} \cdot \frac{d}{m} + 1.06550 \times }\\ {\varepsilon _{{\rm{rq}}}^{( - 0.02602)}\frac{d}{m}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.1\sim1.} \end{array}} \right. $

(15)

式(15)中所含有的ε_rq，理想情况下为单相均匀介质。对于图 8中B模型的C_b，其由2种具有不同相对介电常数的材料构成，应用式(15)对边缘效应进行修正时，ε_rq考虑采用两相材料的平均相对介电常数。针对两相非均匀介质的平均介电常数，为合理简化计算，本文采用面积平均法求取C_b的平均相对介电常数。面积平均法如式(16)所示。

$ {\varepsilon _{{\rm{rk}}}} = \frac{{{\varepsilon _{{\rm{rh}}}} \cdot {S_1} + {\varepsilon _{{\rm{rj}}}} \cdot {S_2}}}{{{S_1} + {S_2}}}. $

(16)

其中: ε_rh与ε_rj分别为两相各自的相对介电常数，S₁与S₂分别为两相介质各自所占的横截面积，ε_rk为混合后均匀相的平均相对介电常数。

利用式(15)—(16)，按照变换后参数，分别对C_a、C_b、C_c进行修正，再代入式(11)，可得到图 8中B模型的解析解，该解析解考虑了电容器的边缘效应。以有限元模型对该解析解进行验证，模型验证范围取电极张角为20°~140°，以20°为计算单位，ε_rp的取值范围为2~10，模型验证结果如图 10所示。

由图 10可知，考虑边缘效应修正因子后，解析解与数值解的变化趋势一致且符合良好。在电极张角为140°，ε_rp=2时，出现最大相对误差，为10%，其余计算工况的最大相对误差均小于7%，表明该解析解在不考虑电极外介质时，与数值解符合较好。且两相材料相对介电常数越接近，采用式(16)的面积平均法计算平均相的平均介电常数引入的误差越小。

电极外介质存在时，添加修正因子β₂修正解析模型，电极内、外部介质的示意图如图 11所示。认为修正因子β₂和电极内、外介质的相对介电常数都有关，定义ε_rz为由式(16)求取的紫色虚线框内的平均相对介电常数，ε_rx为绿色虚线框内的平均相对介电常数，α为图 1所示的电极张角。β₂如式(17)所示。

$ \begin{array}{c} {\beta _2} = \left( {7.670967 \times \ln {\varepsilon _{{\rm{rz}}}} - 3.894839} \right) \times \\ {\alpha ^{ - \left( {0.121413\ln {\varepsilon _{{\rm{rz}}}} + 0.186335} \right)}} \cdot \\ \left( { - 0.00000427 \times {\alpha ^2} - 0.00000462 \times \alpha + 1.022181} \right) \times \\ {\left( {\frac{{{\varepsilon _{{\rm{rz}}}}}}{{{\varepsilon _{{\rm{rx}}}}}}} \right)^{(0.003626 \cdot \alpha + 0.002673)}}. \end{array} $

(17)

考虑电极外介质的修正系数后，对于任意形状、任意相对介电常数的被测杆，如果经过式(7)转换成半径为8 mm，相对介电常数ε_rp在2~10之间，则单位长度电容值C_rod的解析解形式如下：

$ {C_{{\rm{rod}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{C_a}}} + \frac{1}{{{C_b}}} + \frac{1}{{{C_c}}}}} \cdot {\beta _1}{\beta _2}. $

(18)

对该解析模型进行有限元验证，模型验证范围取电极张角为20°~140°，以20°为计算单位，ε_rp的取值范围为2~10，模型验证结果如图 12所示。其中解析解与数值解的最大相对误差为7.71%，出现在在电极张角为140°，ε_rp=2时。

对图 5中所示的空管模型进行分析，在空管模型中，ε_rp=1，代入式(18)中，该解析模型与计算模型相对误差较大。因此考虑对于空管模型，提出修正项β₃，单位长度空管电容值C_empty由式(19)计算。

$ {C_{{\rm{empty }}}} = {C_{{\rm{rod }}}} \cdot {\beta _3}. $

(19)

β₃如式(20)所示，α为图 1所示的电极张角。

$ {\beta _3} = 0.000041 \times {\alpha ^2} - 0.002511 \times \alpha + 0.982922. $

(20)

对于空管模型，添加修正因子β₃后，在20°~140°张角范围内，解析解与数值解的最大相对误差为4.76%。由此，电容式棒位测量传感器的2个子模型，即图 5所示的空管模型和陶瓷管内有被测杆的模型，完成了模型建立、修正与验证。

3 结论

针对两电极电容式棒位测量传感器，利用有限元方法建立了该传感器的计算模型，进行了静态特性实验与模型验证。利用保角变换法和电容器的串并联积分计算方法建立了该传感器的解析模型，通过添加修正因子完成了模型边缘效应和电极外介质影响的修正，对空管模型进行了修正，利用计算模型对该模型进行了验证。通过上述工作，主要得到了以下结论：

1) 计算模型与实验结果得到的传感器灵敏度分别为0.006 623和0.006 625 pF/mm，相对误差为0.03%，计算模型与实验结果符合良好，利用计算模型对解析模型进行了分步验证。

2) 利用保角变换法建立了传感器的解析模型，针对解析模型中空管与有被测杆的2个子模型，经过修正后，在模型适用范围内与计算模型的相对误差最大为8%，表明该解析模型与计算模型符合良好。

3) 该解析模型可以对被测杆半径、相对介电常数等参数对传感器电容值的影响给出机理解释。