随着大规模电力电子接口的新能源接入电网，系统惯量与一次调频能力相比传统同步系统显著减弱^[1-2]，系统的抗功率扰动能力和稳定特性下降，给系统频率安全带来了巨大挑战。

近年来，澳大利亚、英国等国家电网多次出现系统惯量和调频能力不足引发的频率问题。2016年9月28日，全南澳大利亚州大停电，原因是新能源占比过高、系统转动惯量不足使频率变化率高达6 Hz/s，低频减载尚未动作，频率已经崩溃，最终导致事故发生^[3]。2019年8月9日，英国发生大停电，原因是系统惯量和调频能力不足导致频率快速跌落至48.8 Hz触发低频减载动作^[4]。这些由于系统惯量不足引发的停电事故敲响了高比例新能源接入后电网稳定运行的警钟，引起了广泛的关注。因此，合理评估惯量需求以及在线监测系统惯量对于高比例新能源电力系统规划与安全运行具有重要的意义。

目前关于惯量评估与监测已有较多研究^[5-6]，但对计算维持系统稳定所需要的最小惯量的研究较少，主要通过系统仿真分析。而实际工程中最小惯量的取值主要通过运行经验获得。本文采用“临界惯量”这一概念来表征在发生临界故障后，满足保证系统暂态稳定的给定条件下的惯性常数的最小值。在已有研究中，最低惯量需求、惯量安全域等类似概念被提出用来描绘惯量安全边界。

在国外的研究中，系统临界惯量由系统不平衡功率和频率变化率(rate of change of frequency, RoCoF)约束计算得到。文[7-8]基于优化问题求解系统所需的最小惯量，以满足频率变化率在规定范围内，RoCoF取值范围依据电力系统稳定指导准则ENTSO-E给出。文[9]提出的惯量约束是基于RoCoF不超过分布式电源防孤岛保护设定值。这些研究均未综合考虑系统惯量对于频率极值点的影响，所得临界惯量与实际值存在较大误差。

在考虑频率极值点约束的系统临界惯量方面，文[10]通过时域仿真，求解了高风电渗透率电力系统最小惯量水平，结果表明，频率极值点约束对临界惯量的影响比RoCoF约束更大。文[11]在火电机组频率响应模型的基础上构建了高比例电力电子系统频率响应模型，提出了考虑频率极值点约束的系统临界惯量需求评估方法。文[12]考虑稳控措施并将频率安全约束线性化处理后纳入考虑范围，但许多参数在实际系统中难以准确获取。由于频率极值点既与惯量相关，又受一次调频影响，因此考虑频率极值点的临界惯量是在确定一次调频能力下计算的结果。

基于时域仿真离线分析的方法存在模型构建复杂、求解效率低等问题，现有研究并未给出实用化的频率安全约束。因此，本文通过构造频差曲线，基于平均系统开环模型，给出了频率安全约束的表达式，在保证精度的前提下可以简化临界惯量的求解。此外，本文还分析了RoCoF约束与机组调节功率约束，解决了现有临界惯量研究中考虑因素不全面的问题。本文将临界惯量的求解转化为带约束的优化问题的求解，并通过仿真算例，分析了各个约束条件在不同功率扰动和频率极值点约束下对临界惯量的影响，为提升系统惯量的措施提供了理论依据。

1 实用化的频率安全约束计算方法 1.1 频率响应特性

电力系统发生功率扰动后的频率动态响应包括频率上升动态响应与频率下降动态响应，两者的区别在于系统是发生功率缺额还是功率盈余。它们的机理相似，因此本文均以频率下降动态过程为例进行分析，频率下降过程的典型频率响应曲线^[13]如图 1所示。

当系统内发生功率缺额时，频率呈现下降的动态过程，典型的频率下降动态过程基本可分为3个阶段，分别为惯量响应阶段、一次调频响应阶段和二次调频控制阶段。图 1中t₀之前系统处于稳态，该阶段系统功率发生小幅变化。t₀时刻系统内发生大功率扰动，由于一次调频响应较慢，机械功率来不及变化，主要依靠系统内惯量提供动能来调节功率，因此称为惯量响应阶段。t₁时刻系统中的电源开始通过改变机械功率来平衡功率缺额，此时惯量与一次调频同时调节功率，一次调频结束后仍存在频率偏差。最后通过二次调频响应实现系统频率的无差调节。

1.2 频率安全约束计算

在实际多机电力系统的频率动态过程中，系统中各母线所测得的频率会呈现不同的时空分布特征^[14]，即位于不同空间中的母线频率的动态特性有所差别。但这种差别较小，而且多机系统的频率特性较复杂，若再考虑这种差异则问题更难分析，因此在频率安全分析中对此往往忽略不计。故在频率安全问题的研究中，常常会忽略网络结构的影响，认为全网的频率相同。基于上述假设，可建立图 2所示的平均系统频率(average system frequency, ASF)模型^[15]。

图 2中，G₁(s)，G₂(s)，…，G_n(s)表示系统内所有机组，既可指火电机组，也可指新能源机组。用一阶惯性环节对机组进行模拟，表示机组原动机与调速器的动态过程：

$ G_i(s)=\frac{K_{\mathrm{G} i}}{1+s T_{\mathrm{G} i}}, i=1, 2, \cdots, n. $

(1)

其中：K_Gi为机组i的功频特性系数，T_Gi为机组i原动机与调试器综合时间常数，K_Gi和T_Gi可通过最小二乘法拟合得到，机组i的一次调频能力体现在K_Gi和T_Gi的大小上。基于上述平均系统频率模型，系统频率动态响应可描述为

$ \Delta P_{\mathrm{L}}-\Delta P_{\mathrm{G}}+2 H \frac{\mathrm{d} \Delta f}{\mathrm{~d} t}+k_{\mathrm{D}} \Delta f=0. $

(2)

其中：ΔP_L为功率扰动，ΔP_G为扰动后所有机组调节功率之和，H为系统惯量，Δf为频率偏差，k_D为负荷频率调节效应系数。

$ \Delta {P_{\rm{G}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{K_{{\rm{G}}i}}}}{{1 + s{T_{{\rm{G}}i}}}}} \Delta f. $

(3)

在扰动瞬间频率变化率最大，RoCoF为

$ \left.\frac{\mathrm{d} \Delta f}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0}=-\frac{\Delta P_{\mathrm{L}}}{2 H} . $

(4)

在系统受到功率扰动ΔP_L后的频率动态响应过程中，当系统功率缺额为0时，Δf的变化率为0，此时频率跌落至极值点，Δf达到最大，记作Δf_m。设频率极值点时刻为t_m，则在t_m时刻，机组和负荷提供的功率增量之和等于系统初始功率缺额，也就是ΔP_L。即在t_m时刻有

$ \sum\limits_{i = 1}^n \Delta {P_{{\rm{Gm}}i}} - {k_{\rm{D}}}\Delta {f_{\rm{m}}} = \Delta {P_{\rm{L}}} $

(5)

其中ΔP_Gmi为t_m时刻机组i提供的功率增量。

如果在t_m时刻，机组与负荷提供的功率增量之和不小于系统初始功率缺额，即：

$ \sum\limits_{i = 1}^n \Delta {P_{{\rm{Gm}}i}} - {k_{\rm{D}}}\Delta {f_{\rm{m}}} \ge \Delta {P_{\rm{L}}}, $

(6)

则系统最大频率偏差将不超过Δf_m。因此式(6)可作为频率安全约束的条件，即在满足式(6)的情况下，可保证系统在功率扰动ΔP_L后最大频率偏差不超过Δf_m。

1.3 解析化频率极值点时刻机组出力

频率安全约束方程计算的难点在于t_m以及ΔP_Gmi的计算，由于t_m精确的表达式十分复杂，本文提出了一种实用化的计算方法，通过构造频差曲线，将图 2的ASF模型转换为图 3的平均系统开环模型进行计算。

机组的调节功率在经过一个由惯量与负荷频率调节效应组成的等效延时环节后对频率产生影响，因此计算频率极值点的关键在于频率动态响应初期机组的输出。由于动态频率响应特性的表达式较为复杂，本文通过构造一条频差曲线作为输入，计算机组的调节功率。在t_m之前精确描述频率动态过程是采用开环系统模型^[16]进行计算的正确率的保证，构造的频差曲线在t_m之前与实际频差曲线之间误差越小，则计算结果误差越小。

文[17]提出用初始点与频率最低点的连线来近似频差曲线，如图 4中蓝线所示，但误差较大，最大达12%以上。本文构造的频率偏差曲线如图 4中红线所示。

本文频差曲线频域表达式为

$ \Delta f=-\frac{a}{(s+b)^2}. $

(7)

其中a、b为构造曲线待确定的参数。时域表达式为

$ \Delta f(t)=-a t \mathrm{e}^{-b t}. $

(8)

本文频差曲线经过频差极值点(t_m, Δf_m)，并且曲线初始变化率与频差初始变化率相同，即：

$ \left.\Delta f^{\prime}\right|_{t=0}=-a=-\frac{\Delta P_{\mathrm{L}}}{2 H} . $

(9)

则有：

$ a=-\mathrm{e} \frac{\Delta f_{\mathrm{m}}}{t_{\mathrm{m}}} $

(10)

$ b=\frac{1}{t_{\mathrm{m}}}. $

(11)

$ t_{\mathrm{m}}=\frac{2 H \mathrm{e} \Delta f_{\mathrm{m}}}{\Delta P_{\mathrm{L}}}. $

(12)

从图 4可以看出，在频率极值点之前，直线近似曲线与实际频差曲线之间差别较大，而本文频差曲线则非常接近实际频差曲线，因此采用本文频差曲线求解频率极值点时刻t_m之前系统的状态是可行的。采用本文频差曲线计算时，因为在t_m之前频差曲线小于系统实际频差，则机组调节功率也将小于实际功率增量，所以可以保证结果的保守性。

根据本文频差曲线求解机组在频率极值点时刻的调节功率为

$ \Delta {P_{{\rm{Gm}}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{a{K_{{\rm{G}}i}}}}{{{T_{{\rm{G}}i}}b - 1}}} \left[ {\frac{{{T_{{\rm{G}}i}}}}{{1 - {T_{{\rm{G}}i}}b}}\left( {{{\rm{e}}^{ - 1}} - {{\rm{e}}^{ - \frac{{{t_{\rm{m}}}}}{{{T_{{\rm{G}}i}}}}}}} \right) - {{\rm{e}}^{ - 1}}{t_{\rm{m}}}} \right]. $

(13)

将式(13)代入式(6)可得频率安全约束为

$ \begin{gathered} \sum\limits_{i=1}^n \frac{a K_{\mathrm{G} i}}{T_{\mathrm{G} i} b-1}\left[\frac{T_{\mathrm{G} i}}{1-T_{\mathrm{G} i} b}\left(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-\frac{t_{\mathrm{m}}}{T_{\mathrm{G} i}}}\right)-\mathrm{e}^{-1} t_{\mathrm{m}}\right]- \\ k_{\mathrm{D}} \Delta f_{\mathrm{m}} \geqslant \Delta P_{\mathrm{L}} . \end{gathered} $

(14)

采用式(14)作为频率安全约束的计算式，可以避免依赖模型时域仿真分析方法的局限性；与简单线性化计算方法相比，可以提高计算精度，具有较强的实用性。

为了验证本文频差曲线的有效性，随机生成100个3机系统，每台机组的参数都在一定范围内^[18]随机生成，系统发生功率缺额，并设置Δf_m为－0.2 Hz。首先求出满足频率安全约束(14)时系统能承受的最大ΔP_L，然后将得到的最大ΔP_L作为功率扰动输入到实际系统内，得到实际的频差曲线，通过对比Δf_m实际值与设定值来判断本文频差曲线是否有效。

仿真得到的Δf_m实际值如图 5所示，并与设定值－0.2 Hz进行对比。

在仿真中的100个3机系统中，Δf_m实际值与设定值的最大误差为2.93%，最小误差仅为0.52%，整体误差较小。可以看出，采用本文频差曲线计算的频率安全约束具有保守性，而满足频率安全约束可以保证在最大功率扰动下的最大频差在设定值之内，与理论分析结论一致。结果表明通过本文频差曲线计算的频率安全约束准确度高，验证了本文频差曲线的有效性。

将本文频差曲线与文[17]中直线近似曲线、文[16]中抛物线近似曲线进行对比，计算结果与仿真结果的误差如图 6所示。

可以看出，本文频差曲线的计算误差小于3%；直线近似曲线平均误差高达13%；抛物线近似曲线的鲁棒性强，但计算误差也较高，平均误差达到7%。误差来源于实际频差曲线与近似的频差曲线在频率极值点之前的差别，本文频差曲线在频率极值点之前很好地近似了实际频差曲线，因此与直线近似曲线和抛物线近似曲线相比，误差大幅度减小，可以提高计算精度，具有较强的实用性。

2 RoCoF约束与可调节功率约束

除了频率偏差外，RoCoF也是表征系统频率稳定的重要指标，因此需要考虑RoCoF约束。此外，在计算频率安全约束时，并未考虑机组调节功率的约束，实际机组可调节的功率具有一定的范围限制，因此还需将机组调节功率约束纳入临界惯量计算的约束条件中。

2.1 RoCoF约束

基于1.2节分析可知，在扰动瞬间RoCoF最大，较大RoCoF可能会导致机组内部结构损坏。因此考虑机组RoCoF耐受能力，保证机组安全运行，参考文[19]的建议，设置最大RoCoF不能超过2 Hz/s。

此外，目前众多国家的电网对RoCoF做出了明确的要求。例如，欧洲电网运行商基于RoCoF，对并网电源提出并网要求^[20]，以下几种情况不允许脱网：500 ms内RoCoF为±2 Hz/s；1 s内RoCoF为±1.5 Hz/s；2 s内RoCoF为±1.25 Hz/s。澳大利亚Tasmania电网要求，电网故障发生后100 ms内最大RoCoF为±3 Hz/s。当系统频率低于49 Hz后，最大RoCoF为±1.18 Hz/s。英国RoCoF保护装置设置为±0.125 Hz/s^[20]，超过该值会导致发电机继电保护装置动作。目前美国、英国等国家安装了一种新的发电机保护装置，可使RoCoF在±0.5 Hz/s内时保护不动作。在低惯量场景下，RoCoF触发值较低会导致保护装置频繁动作，许多国家已提出修改触发值的建议。电力系统稳定指导准则ENTSO-E将RoCoF限值设置如下:

1) 扰动发生时刻0.5 s内RoCoF不超过±2 Hz/s；

2) 扰动发生后1 s内RoCoF不超过±1.5 Hz/s；

3) 扰动发生后2 s内RoCoF不超过±1.25 Hz/s。

RoCoF约束的具体取值需要根据实际电网所配置的RoCoF保护装置的触发值进行取值，设RoCoF约束的上、下限分别为RoCoF^max、RoCoF^min，由于在扰动瞬间RoCoF最大，因此RoCoF约束可写为

$ \mathrm{RoCoF}^{\min } \leqslant \frac{\Delta P_{\mathrm{L}}}{2 H} \leqslant \mathrm{RoCoF}^{\max }. $

(15)

若考虑到由于故障导致部分机组退出运行，设退出运行的机组惯量为H_loss，则式(15)应写为

$ \mathrm{RoCoF}^{\min } \leqslant \frac{\Delta P_{\mathrm{L}}}{2\left(H-H_{\text {loss }}\right)} \leqslant \mathrm{RoCoF}^{\max }. $

(16)

2.2 可调节功率约束

式(14)给出了机组调节功率的计算式，实际机组响应频率调节的功率具有一定的范围限制，需要考虑机组容量约束的影响。设机组最大上调功率为ΔP_Gmi^U，最大下调功率为Δ^PD_Gmi，则机组最大调节功率满足：

$ -\Delta P_{\mathrm{Gm} i}^{\mathrm{D}} \leqslant \Delta P_{\mathrm{Gm} i} \leqslant \Delta P_{\mathrm{Gm} i}^{\mathrm{U}} . $

(17)

式(17)表示机组有功出力限值，实际中一些机组配置了储能装置，可以增大机组调节功率范围。设储能装置最大可充电功率为ΔP_Bi^D，最大可放电功率为ΔP_Bi^U，则最大调节功率约束应写为

$ -\Delta P_{\mathrm{Gmi}}^{\mathrm{D}}-\Delta P_{\mathrm{B} i}^{\mathrm{D}} \leqslant \Delta P_{\mathrm{Gm} i} \leqslant \Delta P_{\mathrm{G} m i}^{\mathrm{U}}+\Delta P_{\mathrm{B} i}^{\mathrm{U}} . $

(18)

机组可调节功率越大，即机组的备用容量越大，则在频率动态响应过程中机组能提供的功率支撑越大，可在一定程度上减小临界惯量。

3 临界惯量计算

临界惯量的求解可转化为带约束的优化问题的求解，优化问题的目标函数为电网惯量需求最小，约束条件包括频率安全约束、RoCoF约束与机组可调节功率约束。

$ \begin{aligned} &\min H \\ &\text { s. t. } \\ &\sum\limits_{i=1}^n \frac{a K_{\mathrm{G} i}}{T_{\mathrm{G} i} b-1}\left[\frac{T_{\mathrm{G} i}}{1-T_{\mathrm{Gi} i} b}\left(\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-t_{\mathrm{m}}^{T_{\mathrm{G} i}}}\right)-\mathrm{e}^{-1} t_{\mathrm{m}}\right]- \\ &k_{\mathrm{D}} \Delta f_{\mathrm{m}} \geqslant \Delta P_{\mathrm{L}} ; \\ &\operatorname{RoCoF}^{\min } \leqslant \frac{\Delta P_{\mathrm{L}}}{2\left(H-H_{\text {loss }}\right)} \leqslant \operatorname{RoCoF^{\operatorname {max}}} ; \\ &-\Delta P_{\mathrm{Gm} i}^{\mathrm{D}}-\Delta P_{\mathrm{B} i}^{\mathrm{D}} \leqslant \Delta P_{\mathrm{Gm} i} \leqslant \Delta P_{\mathrm{Gm}i}^{\mathrm{U}}+\Delta P_{\mathrm{B}i}^{\mathrm{U}}, \\ &i=1, 2, \cdots, n . \end{aligned} $

(19)

由于构建的优化模型含有非线性约束，本文采用粒子群算法求解全局最优解，流程如图 7所示。

首先，设置各机组的功频特性系数K_Gi、机组原动机与调试器综合时间常数T_Gi、负荷频率调节效应系数K_D，并输入各机组的出力约束、系统能承受的最大频率偏差以及系统能承受的最大功率扰动，其中最大功率扰动根据极限预想故障求解，最大频率偏差由系统安全运行条件给定，其中极限预想故障与系统运行模式相关。接着对粒子群进行初始化，然后定义适应度函数，个体极值为每个粒子找到的最优解，从这些最优解找到一个全局值，称为本次全局最优解，将其与历史全局最优比较，若满足迭代终止条件则输出临界惯量，若不满足则种群进行更新并继续迭代求解。

4 算例分析

在图 8的仿真系统上对本文所提临界惯量计算方法进行验证。扰动为发电机G4跳闸(机组惯量为3 s)。

4.1 考虑频率极值点约束与RoCoF约束

若考虑频率极值点约束与RoCoF约束，其中RoCoF约束只考虑考虑机组RoCoF耐受能力，设置RoCoF^min=－0.2 Hz/s，RoCoF^max=0.2 Hz/s，求解系统在不同功率扰动和频率极值点约束下的临界惯量H_min，结果与只考虑频率安全约束时的临界惯量结果完全相同，表明此时RoCoF约束没有起作用，在满足频率安全约束的前提下RoCoF约束自动满足。

若考虑RoCoF保护装置动作，设置RoCoF^min=－0.5 Hz/s，RoCoF^max=0.5 Hz/s，求解系统在不同最大频差约束和功率扰动下的H_min如图 9所示。

由图 9可以看出，当频率极值点约束的绝对值较大时，影响临界惯量的是RoCoF约束，RoCoF约束使系统临界惯量增大，此时在满足RoCoF约束的前提下频率安全约束自动满足；当频率极值点约束的绝对值较小时，影响临界惯量的是频率安全约束。

若将约束修改为RoCoF^min=－0.2 Hz/s，RoCoF^max=0.2 Hz/s，则系统在不同功率扰动和频率极值点约束下的临界惯量如图 10所示。

对比图 9和10可知，RoCoF约束范围越小，在不同频率极值点约束下RoCoF约束对临界惯量的影响区间越大，且临界惯量越大。从图 10右图的最大频差约束为Δf_m=0.2 Hz曲线可以看出，扰动功率小于0.036 p.u.时，临界惯量只受RoCoF约束影响，且临界惯量与扰动功率成正比；扰动功率大于0.036 p.u.时，临界惯量随扰动功率的变化的斜率变大，此时RoCoF约束与频率安全约束共同决定临界惯量。

4.2 可调节功率对临界惯量的影响

在4.1节中加入机组可调节功率约束，给定RoCoF^min=－0.5 Hz/s，RoCoF^max=0.5 Hz/s，在不同功率扰动和频率极值点约束下，求解系统满足频率安全约束的临界惯量如图 11所示。

从图 11中可以看出，当系统允许的最大频率偏差较大时，影响临界惯量的约束主要为RoCoF约束；当扰动较小时，机组调节功率未达到其限值，临界惯量不受机组出力影响，因此临界惯量不变。当扰动较大时，机组调节功率达到其限值，临界惯量相比显著增大。当频率极值点的绝对值较小时，临界惯量主要受频率安全约束与可调节功率影响，频率极值点的绝对值越小，临界惯量越大，即系统允许的频率偏差越小，在一定调频能力下，系统所需的惯量越大。在相同频率极值点约束下，扰动功率越大，系统临界惯量越大。

基于上述分析，机组可调节功率即调频备用容量会影响临界惯量的取值，设置|Δf_m|≤0.2 Hz，RoCoF^min=－0.5 Hz/s，RoCoF^max=0.5 Hz/s，改变机组可调节功率范围，临界惯量计算结果如图 12所示。

可以看出，在一定最大频差约束与RoCoF约束下，当机组调频备用充足时，即机组调节功率未超出其限值时，随着扰动功率的增大，临界惯量缓慢增大；当机组调节功率达到其限值后，临界惯量随着扰动功率增大而增大的速度显著加快，表明机组调频备用越小，系统所需的临界惯量越大。

表 1列出了考虑不同约束时4种不同扰动功率和频率安全约束工况下的临界惯量。频率安全约束记作A，可调节功率约束记作B，RoCoF约束记作C。工况1为ΔP_L=0.03 p.u.、|Δf_m|≤0.2 Hz，工况2为ΔP_L=0.03 p.u.、|Δf_m|≤0.3 Hz，工况3为ΔP_L=0.04 p.u.、|Δf_m|≤0.2 Hz，工况4为ΔP_L=0.04 p.u.、|Δf_m|≤0.3 Hz。

工况1和2中考虑和不考虑可调节功率约束时计算的临界惯量结果相同，这表明：当扰动功率较小时，机组可调节功率能为系统提供足够的支撑，可调节功率约束不影响临界惯量；当扰动功率较大时，由于机组调节功率达到其限值，系统需要更大的惯量为频率提供支撑。考虑RoCoF约束时，工况1和2临界惯量相同，此时功率扰动较小，系统所允许的最大频差较大，在满足RoCoF约束的前提下频率安全约束自动满足。

综上所述，频率安全约束、RoCoF约束、可调节功率约束共同影响临界惯量，其中可以通过增加备用放松机组可调节功率约束，从而减小系统所需的最小惯量；机组采用触发值较大的RoCoF保护装置也能减小临界惯量。

4.3 临界惯量验证

考虑频率安全约束、RoCoF约束、可调节功率约束时，在ΔP_L为0.03 p.u.，|Δf_m|≤0.2 Hz下，计算系统临界惯量为6.75 s，计算时间仅为0.280 7 s，远小于采用时域仿真分析所需时间。设置系统惯量为6.75 s后进行仿真，扰动为发电机G4跳闸，得到频差曲线如图 13所示。

可以看出，最大频差的绝对值小于0.2 Hz；频差曲线的最大频差变化率满足RoCoF约束，但RoCoF达到临界值，说明这种情况下影响临界惯量的为RoCoF约束。仿真结果表明在临界惯量下系统发生扰动后能维持系统频率稳定，且具有一定的保守性，验证了本文方法的正确性。

5 结论

本文提出了一种考虑频率安全约束的电力系统临界惯量计算方法，基于解析化的频率安全约束、RoCoF约束与机组调节功率约束，将系统临界惯量计算转化为优化问题的求解。首先，通过本文构造的频差曲线，将ASF模型转换为平均系统开环模型进行计算，给出了频率安全约束计算表达式。仿真结果表明，采用本文频差曲线计算的误差很小，验证了本文频差曲线的工程适用性。然后，综合考虑频率安全约束、RoCoF约束与机组可调节功率约束，将临界惯量的求解转化为带约束的优化问题的求解，采用粒子群算法进行求解优化问题。主要结论如下：

1) 扰动功率越大、系统允许的最大频差越小，系统临界惯量越大。RoCoF约束选取不同的边界条件对临界惯量的影响不同，RoCoF约束范围越小，在不同频率极值点约束下RoCoF约束对临界惯量的影响区间越大，且临界惯量越大。

2) 机组可调节功率约束对系统临界惯量影响较大，可调节功率范围越大，临界惯量越小，通过增大机组备用容量可以一定程度上减小系统临界惯量。