叶片泵是将机械能向流体能量转换的流体机械，广泛应用于工农业生产、航空航天以及海洋工程等领域^[1-5]。混流泵兼具离心泵和轴流泵2种泵型的优点，可在较宽的流量区间内高效稳定运行^[6-9]。因此，开展混流泵设计理论及优化方法研究，对提升其综合性能至关重要。

泵叶轮的设计理论主要有一元理论、二元理论和三元理论^[10-13]。一元理论和二元理论均假定叶轮由厚度无限薄的无穷多叶片组成，基于简化的假设求解叶轮内部流动。随着计算机技术的快速发展，三元理论设计方法在泵叶轮设计中得到了广泛应用。Zangeneh^[14-15]提出了叶片载荷理论，并进一步与Goto等^[16]共同提出了基于叶片载荷理论的三维反问题设计方法，将其应用于离心泵叶轮的设计。在此基础上，杨魏等^[17]基于三维反问题设计方法对离心叶轮进行了设计，得到的叶轮性能与三维湍流数值模拟结果具有较好的一致性。Tan等^[18]提出了一种给定环量分布的三维有势流动设计方法，根据叶片边界条件导出叶片骨线方程，通过求解叶片骨线得出所设计的叶片形状，应用谱方法求解上述流动控制方程，设计了轴流叶轮。罗兴锜等^[19]在该方法的基础上，考虑叶片厚度的影响，对有旋流动的混流式水轮机转轮进行了全三维反问题设计。Tan等^[20]提出了离心泵叶轮正反迭代设计方法，将正问题计算得到的轴面流场应用于反问题设计，对反问题设计得到的叶轮进行正问题计算，正反问题迭代收敛得到最终设计的叶轮。曹树良等^[6]提出了基于四阶多项式速度矩分布函数的高比转速混流泵二元理论设计方法，该方法具有设计计算精度高、叶片表面光滑等特点。邴浩等^[21-22]进一步分析了速度矩分布规律的关键参数，并对速度矩分布规律进行了参数化描述，给出了关键参数的选取准则。

目前，关于离心泵和轴流泵叶轮设计及优化的研究较多，而混流泵相关研究工作较少，叶轮正问题流场计算和反问题设计基本采用“设计-预估-校正”模式，需进一步完善叶轮设计理论及方法。本文采用正反问题迭代设计方法开展混流泵叶轮设计，分析速度矩分布规律对叶轮性能的影响，在清华大学流体机械综合试验台试验并测量混流泵的能量特性和空化特性。

1 混流泵叶轮设计方法 1.1 设计方法

采用正反问题迭代设计方法开展混流泵叶轮设计^[22]。首先，基于流体的连续方程和运动方程，建立混流泵叶轮内S₁流面速度势函数方程和S₂流面速度梯度方程，采用流线曲率法，通过2类相对流面的迭代求解完成叶轮内部流场的正问题计算。基于正问题计算得到轴面流场，采用逐点积分法进行叶片绘型，在轴面上加厚叶片，在保角变换平面上修圆叶片头部，完成叶轮的反问题设计。将上述正问题计算和反问题设计进行迭代求解直至收敛，得到最终设计的叶轮。正反问题迭代设计方法流程图如图 1所示。本文通过给定叶片安放角沿轴面流线的分布规律开展混流泵导叶设计^[23]。

1.2 四次速度矩分布规律

在反问题设计中，叶片骨线绘形通过对叶片骨线微分方程进行逐点积分完成，积分方程可表示为

$ \varphi=\int_0^l \frac{\omega r^2-C_u r}{C_{\mathrm{m}} r^2} \mathrm{d} l. $

(1)

其中：φ为叶片包角，ω为叶轮旋转角速度，r为径向坐标，C_m为流体轴向速度，C_u为流体绝对速度的周向分量，l为轴面流线长度。

由式(1)可知，给定速度矩C_ur沿轴面流线的分布规律，即可确定叶片骨线形状。速度矩沿轴面流线的分布规律可由进、出口速度矩和无量纲分布函数表示为

$ C_{\mathrm{u}} r=C_{\mathrm{u} 1} r_1+f(x) \cdot\left(C_{\mathrm{u} 2} r_2-C_{\mathrm{u} 1} r_1\right). $

(2)

其中：下标1和2分别为叶片进口和出口。无量纲速度矩分布函数f(x)采用四次函数，可表示为

$ f(x)=a x^4+b x^3+c x^2+d x+e. $

(3)

其中：x=l/l₀，为叶片区轴面流线的相对长度，且0≤x≤1；l₀为叶片出口点对应的轴面流线总长度；a、b、c、d和e为四次函数系数。函数f(x)的系数可由以下条件确定：

1) 在叶片进、出口，应分别满足f(0)=0和f(1)=1；

2) 在叶片进口，为提高空化性能，需降低叶片负荷，应满足df(x)/dx|_x=0=0；

3) 在叶中位置，给定f(0.5)=m；

4) 在叶片出口，给定df(x)/dx|_x=1=p。

根据以上约束条件，求解得到各系数，表示如下：

$ \left\{\begin{array}{l} a=16 m+2 p-8, \\ b=-3 p-32 m+14, \\ c=16 m+p-5, \\ d=0, \\ e=0 . \end{array}\right. $

(4)

其中：四次函数中的系数a、b和c均可由速度矩中点参数m和出口斜率p来表示，给定m和p的值即可确定分布规律。为进一步确定参数m和p的取值范围，根据叶片任意位置对流体做的有效功均≥0，即df(x)/dx≥0，可得

$ \begin{gathered} 32 m(2 x-1)(x-1) \geqslant-p\left(8 x^2-9 x+2\right)+ \\ 2\left(16 x^2-21 x+5\right). \end{gathered} $

(5)

对式(5)进行求解，可得

$ \left\{\begin{array}{l} m \geqslant \frac{-p\left(8 x^2-9 x+2\right)+2\left(16 x^2-21 x+5\right)}{(2 x-1)(x-1)}, \\ 0 \leqslant x<0.5 ; p \leqslant 6, x=0.5; \\ m \leqslant \frac{-p\left(8 x^2-9 x+2\right)+2\left(16 x^2-21 x+5\right)}{(2 x-1)(x-1)}, \\ 0.5<x<1 ; p \geqslant 0, x=1 . \end{array}\right. $

(6)

因此，p的取值范围为[0, 6]，进一步令

$ g(x)=\frac{-p\left(8 x^2-9 x+2\right)+2\left(16 x^2-21 x+5\right)}{(2 x-1)(x-1)}. $

(7)

若g(x)在[0, 0.5)和(0.5, 1]区间的最大值和最小值分别为g₁和g₂，则可确定m的取值范围为[g₁, g₂]。

2 数值计算方法 2.1 数值计算方法

本文采用ANSYS CFX 2020R1对混流泵开展数值计算。进出口边界分别设置为总压和质量流量，壁面设置为无滑移边界条件。湍流模型为SST(shear stress transport) k-ω，静止和转动计算域之间采用冻结转子法，对流项和湍流的数值求解均采用High Resolution格式。

2.2 网格划分及无关性验证

混流泵的计算域如图 2所示，采用ANSYS Turbogrid软件对叶轮和导叶进行结构化网格划分，叶片周围采用O型拓扑结构，对叶片、轮毂和轮缘等壁面附近网格进行加密。采用ANSYS ICEM软件对混流泵进出口管道划分结构化网格。

为满足网格无关性要求，划分4套网格进行验证，具体数量如表 1所示，网格划分如图 3所示。验证结果表明：当网格数量接近500万时，泵的扬程和效率基本不变，满足网格无关性要求，在该网格下，第一层网格的无量纲壁面距离y⁺＜10。因此，后文采用网格3开展计算。

3 速度矩分布规律的影响

混流泵设计参数如下：设计流量为35 kg/s，设计扬程为2.5 m，转速为1 450 r/min，比转速为498，叶轮叶为5片，叶轮的进出口直径分别为150和180 mm，导叶直径为180 mm，在数值计算中未考虑叶顶间隙。为满足叶片旋转的需要，叶片区流道采用半球形。给定速度矩出口斜率p=0.15，通过改变速度矩中点参数控制速度矩分布规律，选取中点参数m为0.6、0.7和0.8，对应的速度矩分布规律如图 4所示。

对设计得到的混流泵开展数值模拟，3个叶轮在95%叶高的压力分布如图 5所示。由图 5可知，叶轮进口到出口压力逐渐增大，压力梯度分布均匀，流动状态稳定。随着中点参数m增大，叶轮出口压力逐渐升高，叶轮做功能力增强。

3台混流泵叶轮在95%叶高处的叶片表面压力系数分布如图 6所示。压力系数C_p=(p-p_in)/(0.5 ρv_in²)，其中：p_in为泵入口静压，ρ为流体密度，v_in为泵入口速度。由图 6可知，95%叶高处叶片表面压力从进口到出口逐渐增大；叶片压力面压力在约70%相对弦长处达到最大值，随后基本保持稳定；叶片吸力面压力在5%~40%相对弦长位置基本保持稳定，随后逐渐增大。对比3个叶轮可知，速度矩中点参数变化导致叶片表面压力变化，增大中点参数使叶片压力面压力上升，叶片吸力面压力先下降后上升。根据叶片压力面和吸力面压差计算得到叶片载荷分布，如图 7所示。总体而言，3个叶轮的叶片载荷都呈先上升后下降的趋势，在约50%相对弦长处达到最大值，并在叶轮出口处迅速下降。对比3个叶轮可知，增大中点参数将使叶片前半部分载荷增加，而后半部分载荷略有下降，但整体载荷增加，提升了叶轮做功能力。

3台混流泵叶轮在50%叶高处的相对速度云图和流线图如图 8所示，叶片吸力面附近的相对速度较大，从吸力面到压力面，相对速度变化较为均匀，压力面附近的相对速度较低。从相对速度的流线来看，叶轮内流动状态稳定，水流方向与叶片弯曲方向一致，未出现明显的流动分离，说明采用可控载荷方法设计的叶片对流体具有较强的控制能力。

3台混流泵叶轮出口处的相对速度和轴向速度分布如图 9所示。在不同速度矩中点参数下，叶根至70%叶高范围内的相对速度大小基本不变，随着速度矩中点参数增大，叶顶附近的相对速度减小。由轴向速度分布可知，靠近叶根处的轴向速度受速度矩中点参数影响较小。当速度矩中点参数增大时，主流区的轴向速度随之增大，这与叶轮做功能力提升相关。

4 混流泵性能试验研究 4.1 混流泵试验台

清华大学流体机械综合试验台位于水沙科学与水利水电工程国家重点实验室，主要由测试泵段、闭式管路、主循环泵、加压减压系统、稳流罐、蓄水罐、阀门和测量系统等组成，如图 10所示，在该试验台开展混流泵能量特性和空化特性测量。主循环泵通过变频调速电机控制，稳流罐通过内部稳流栅控制来流均匀性，稳压罐通过压缩机或水环泵控制测试泵段进口压力。采用数据采集卡实现流量、进出口压力、扭矩等参数的同步在线采集。测量设备参数如下：电磁流量计型号为KEFA，量程为0~300 m³/h，测量精度为±0.2%；压力传感器型号为3 051 G，量程为－100~100 kPa，测量精度为±0.065%；扭矩仪型号为ZH07-100，量程为0~30 N·m，测量精度为±0.2%FS。采用精密机械加工方法对速度矩中点参数为0.7的叶轮进行加工，叶轮实物如图 11所示。

4.2 能量特性测量

通过调节阀门开度，逐渐减小流量，测量不同流量下混流泵的扬程和效率。图 12给出了混流泵的扬程和效率特性曲线。结果表明：该混流泵高效运行区平坦宽广，混流泵的最高效率达82.17%，最高效率点(best efficiency point, BEP)对应的流量Q_BEP为34.5 kg/s，扬程H_BEP为2.57 m。

同时，将混流泵能量特性的数值计算结果与试验结果进行对比，两者吻合较好，扬程和效率的误差均在4%以内，验证了数值计算方法的可靠性和准确性。

4.3 空化特性测量

通过调压系统逐渐降低混流泵进口压力，测量混流泵空化特性。图 13给出了不同流量下混流泵空化曲线，随着装置空化余量(net positive suction head, NPSH)的减小，混流泵扬程逐渐降低，并在临界点出现陡降。本文选取扬程下降3%时对应的装置空化余量为临界空化余量(NPSHc)。结果表明：随流量减小混流泵临界空化余量逐渐降低，在流量为1.0Q_BEP、0.9Q_BEP和0.8Q_BEP时，临界空化余量分别为1.24、1.14和0.83 m。

对混流泵的空化比转速进行计算，空化比转速C可定义为

$ C=\frac{5.62 n \sqrt{Q}}{\sqrt[4]{\mathrm{NPSHc}^3}}. $

(8)

其中: n为转速，r/min；Q为流量，m³/s。在最高效率工况下，混流泵的空化比转速为1 289。

5 结论

本文基于理论分析、数值模拟和试验测量对混流泵叶轮设计开展了研究，主要结论如下：

1) 正反问题迭代设计方法中叶片形状和叶轮内部流动相互耦合，使叶片形状更符合叶轮内部真实流动，提升叶轮水力性能。

2) 依据给定速度矩分布规律设计的叶轮具有良好的性能。速度矩中点值主要影响叶片进口至叶中位置的载荷分布，增大速度矩中点值可以提升叶轮做功能力。速度矩中点值对叶顶附近的相对速度分布和主流区的轴向速度分布影响较大。

3) 试验测量结果表明，混流泵高效运行区平坦宽广，满足设计要求。