含分布式内热源复合平板等效导热系数模型
刘子平, 孙俊    
清华大学 核能与新能源技术研究院, 北京 100084
摘要:复合材料广泛应用于能源工业等诸多领域, 其等效导热系数是预测复合材料温度分布的关键参数。现有复合材料等效导热系数模型的分析对象大多不含内热源, 对于核反应堆燃料等含分布式内热源复合材料的等效导热系数的研究还不够深入。该文针对含分布式内热源两相复合平板的导热问题, 推导了预测其平均温度的等效导热系数理论模型, 通过与无内热源情况对比, 分析了内热源分布等因素的影响规律。将内热源随机分布对平均温度的影响分解为均匀分布加扰动的形式, 分析了内热源偏离均匀分布时对等效导热系数的影响。结果表明:在一定条件下(如内热源分布较分散), 内热源非均匀分布对平均温度的影响较小。研究结果可为今后研究核反应堆燃料的等效导热系数奠定基础。
关键词等效导热系数    复合平板    分布式内热源    平均温度    核燃料    
An effective thermal conductivity model of composite plates with distributed inner heat sources
LIU Ziping, SUN Jun    
Institute of Nuclear and New Energy Technology, Tsinghua University, Beijing 100084, China
Abstract: Composite materials are widely used in several fields, such as energy industry. Composite materials have complex geometric structures and are usually equivalent to homogeneous materials in the process of thermal design, and then use an effective thermal conductivity model to describe the heat transfer process. Traditional methods for analyzing the effective thermal conductivity of composite materials are typically based on Fourier's law by applying a constant heat flow at both sides of the material to conserve the heat flows of the real and equivalent uniform materials. For composite materials with internal heat sources, such as nuclear fuel, the value and direction of the internal heat flow are affected by the distribution of heat sources; therefore, the method based on Fourier's law will be unsuitable for analyzing the effective thermal conductivity of such materials. To explore the influence of distributed inner heat sources on the effective thermal conductivity of composite materials, this study considers an infinite two-phase composite plate as the research object. The difference between the effective thermal conductivities with and without the inner heat sources is analyzed, and the effective thermal conductivity model is established for predicting the average temperature of the composite plate with inner heat sources. The influence of the distribution of inner heat sources on the effective thermal conductivity is analyzed. Furthermore, the influence of randomly distributed inner heat sources on effective thermal conductivity is quantified. Results show that the effective thermal conductivity for predicting the average temperature of the composite plate with inner heat sources is not affected by the size of the heat sources but by the locations of each heat-generating filling plate, i.e., the distribution of the inner heat sources. Additionally, it is affected by the number and size of the filling plates. The deviation in the effective thermal conductivities when the filling plates are randomly and uniformly distributed can be approximated as a normal distribution, and that for uniformly distributed filling plates is approximately equal to the highest probability case for the randomly distributed plates. The deviation of the effective thermal conductivity for the randomly and uniformly distributed filling plates decreases with the increasing number of plates (i.e., the more dispersed heat source distribution). The effective thermal conductivity of the composite plate with inner heat sources depends on more factors than the plate with no inner heat source, including the number and size of the filling plates and the distribution of the inner heat sources. The effective thermal conductivity of composite flat plate with randomly distributed heat generating plates is approximately same as that when they are uniformly distributed. The ideas and methods present in this study lay the foundation for future research on the effective thermal conductivity of nuclear reactor fuel.
Key words: effective thermal conductivity    composite plate    distributed inner heat sources    average temperature    nuclear reactor fuel    

复合材料通常是指由多种不同性质的材料按照一定的组分优化组合而成的新材料,通过各组分性能的互补和关联可获得单一组成材料所不具备的综合性能,被广泛应用于能源工业领域[1-4]。由于复合材料几何结构复杂,在进行热设计时通常将其等效成均匀材料,采用等效导热系数来表征复合材料的综合传热性能[5]。常规复合材料由多种材料组合而成,基于Fourier导热定律,通过在复合材料两端施加恒定热流,保持复合材料在等效前后的热流守恒来分析其等效导热系数,比较经典的模型有热阻串、并联模型[6]和Maxwell模型[7]等。

核反应堆中的燃料也属于复合材料,核燃料发生链式反应时发出的裂变热或链式反应终止后的衰变热使核燃料不同于普通复合材料,核燃料中含分布式内热源,因此还需考虑传热问题。在含内热源复合材料内部,热流的大小和方向受内热源分布的影响,基于Fourier导热定律的外加热流方法将不适用于分析含内热源复合材料的等效导热系数;当等效前后的守恒量不同时,等效导热系数的定义也有差别,因而不能使用Maxwell等经典模型[8]。在核反应堆热工水力学设计和安全分析中,通常会关注燃料的最高温度和平均温度,最高温度是评估核燃料不发生熔毁的重要参数,而平均温度则会影响核反应截面,是中子动力学分析的重要参数。针对具有分布式内热源的核燃料,如棱柱型或球型的颗粒弥散核燃料,文[9-11]利用数值方法开展了导热模拟和分析,计算了特定工况下的最高温度或平均温度等效导热系数,但对于颗粒燃料的分布影响等效导热系数的机理分析还不够深入。文[12]对含均匀分布内热源的复合平板等效导热系数进行了机理研究,获得了预测平均温度的等效导热系数模型,但是没有对更一般的情况,如含非均匀分布内热源的情况进行研究。

为探究分布式内热源对复合材料等效导热系数的影响规律,本文以无限大两相复合平板为研究对象,比较了在有无内热源情况下等效导热系数模型的差异,建立了有内热源情况下可预测其平均温度的等效导热系数模型,重点说明了内热源分布对等效导热系数的影响;进一步考虑内热源的空间分布特点,量化分析了内热源偏离均匀分布对温度分布的影响,获得了含分布式内热源时等效导热系数的近似表达。这些研究对于深入理解含分布式内热源复合材料的等效导热系数具有重要意义。

1 建立模型

本文研究对象为无限大两相复合平板,如图 1所示。

图 1 无限大两相复合平板

无限大两相复合平板由基体相和填充相2种材料组成,分别为图 1白色和黑色区域;填充相有n块板,宽度均为a,随机布置在宽度为δ的复合平板中,导热系数为λ1,具有功率密度ϕ相同的均匀内热源;基体相的导热系数为λ2。沿着无限大平板的宽度方向建立一维坐标,坐标原点选在平板的中心,从左至右填充相中心处的坐标分别为x1x2,…,xn

2 等效导热系数的推导

首先根据热流守恒推导无内热源时复合平板的等效导热系数,然后运用数学归纳法推导含分布式内热源复合平板的等效导热系数,最后通过比较分析,说明含分布式内热源等效导热系数的特点。

2.1 无内热源模型

图 1的复合平板中不含内热源时,可在两端施加热流,保持等效前后的热流和边界条件不变,来获得等效导热系数模型,等效过程如图 2所示。

图 2 无内热源导热系数等效示意图

假设热流q从复合平板的右侧流入,左侧流出,边界温度分别为t2t1t2>t1,等效前后热流和边界条件不变,根据Fourier导热定律和热阻串联原理可得

$ q=\frac{t_2-t_1}{\frac{n a}{\lambda_1}+\frac{\delta-n a}{\lambda_2}}=\frac{t_2-t_1}{\frac{\delta}{\lambda_{\mathrm{e}}}}. $ (1)

其中λe为等效导热系数。化简式(1)可得无内热源复合平板等效导热系数,可表示为

$ \frac{\lambda_{\mathrm{e}}}{\lambda_2}=\frac{1}{\frac{n a}{\delta} \frac{\lambda_2}{\lambda_1}+\frac{\delta-n a}{\delta}}. $ (2)

令填充相的无量纲尺寸μ

$ \mu=\frac{a}{\delta} . $ (3)

则填充相的体积填充率φ可表示为

$ \varphi=\frac{n a}{\delta}=n \mu. $ (4)

令填充相与基体相的导热系数比值,即无量纲导热系数κ

$ \kappa=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}. $ (5)

则式(2)可化简为

$ \frac{\lambda_{\mathrm{e}}}{\lambda_2}=\frac{\kappa}{\kappa+\varphi(1-\kappa)}=\frac{\kappa}{\kappa+n \mu(1-\kappa)} . $ (6)

由式(6)可知,无内热源复合平板等效导热系数与填充相的体积填充率和无量纲导热系数有关。

2.2 考虑内热源的模型

当填充相含内热源时,为保持总发热量不变,等效时可将填充相的热源均匀分布到整块平板上,等效后的平板功率密度为φ与原功率密度ϕ的乘积,含内热源的等效导热系数为λe, s,等效过程如图 3所示。

图 3 含内热源导热系数等效示意图

等效后平板的稳态能量守恒方程为

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)+\varphi \phi=0. $ (7)

其中:x为横坐标; t为温度分布,为简化,可假设复合平板两侧的边界温度均为t0t可表示为

$t=-\frac{\varphi \phi}{2 \lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}} x^2+\frac{\varphi \phi \delta^2}{8 \lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}}+t_0. $ (8)

沿板厚方向积分可得平板的平均温度为

$ t_{\mathrm{avg}}=\frac{\int_{-\frac{\delta}{2}}^{\frac{\delta}{2}}\left(-\frac{\varphi \phi}{2 \lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}} x^2+\frac{\varphi \phi \delta^2}{8 \lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}}+t_0\right) \mathrm{d} x}{\delta}=\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\varphi \phi \delta^2}{12 \lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}}+t_0 $ (9)

变换后的等效导热系数为

$\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}=\frac{\varphi \phi \delta^2}{12\left(t_{\mathrm{avg}}-t_0\right)}=\frac{ { na } \phi \delta}{12\left(t_{\text {avg }}-t_0\right)} $ (10)

根据式(9)可明确含内热源时等效导热系数的影响因素,并利用式(10)预测含内热源复合平板的平均温度。

对复合平板中的基体相和填充相从左至右依次建立含(2n+1)个方程的稳态能量守恒方程组,具体可表示为

$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_2 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)=0, \quad-\frac{\delta}{2} \leqslant x \leqslant x_1-\frac{a}{2};\\ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_1 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)+\phi=0, \quad x_i-\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant x_i+\frac{a}{2}; \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_2 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)=0, \quad x_i+\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant x_{i+1}-\frac{a}{2}; \end{array}\right.\\ i=1, 2, \cdots, n-1;\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_1 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)+\phi=0, \quad x_n-\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant x_n+\frac{a}{2}; \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_2 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)=0, \quad x_n+\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\delta}{2}. \end{array}\right. \end{array} \right. $ (11)

其中: xi为每块填充板中心位置的坐标,i为从左至右填充板的序号。根据复合平板边界温度以及填充相与基体相界面处的温度和热流连续条件,可得式(11)的通解为

$ \left\{\begin{array}{l} t_1=c_1 x+c_2, \quad-\frac{\delta}{2} \leqslant x \leqslant x_1-\frac{a}{2} ; \\ t_2=-\frac{\phi}{2 \lambda_1} x^2+c_3 x+c_4, \quad x_1-\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant x_1+\frac{a}{2} ; \\ i=5, 6, \cdots, 4 n-4 ; \\ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ t_{2 n-1}=c_{4 n-3} x+c_{4 n-2}, \quad x_{n-1}+\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant x_n-\frac{a}{2} ; \\ t_{2 n}=-\frac{\phi}{2 \lambda_1} x^2+c_{4 n-1} x+c_{4 n}, \quad x_n-\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant x_n+\frac{a}{2} ; \\ t_{2 n+1}=c_{4 n+1} x+c_{4 n+2}, \quad x_n+\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\delta}{2} . \end{array}\right. $ (12)

其中ci为待定系数。

当填充板的数量n有限时,可直接求解式(11)。n=1,2,3时的平均温度解析解分别为

$ t_{\text {avg }}-t_0=\frac{\phi a}{\delta}\left\{\frac{a^2}{12 \lambda_1}+\frac{\delta^2-a^2}{8 \lambda_2}-\frac{1}{2 \lambda_2} x_1^2-\frac{a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}{\lambda_2\left[\delta \lambda_1-a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right]} x_1^2\right\}, $ (13)
$ \begin{aligned} t_{\text {avg }}-t_0= & \frac{\phi a}{\delta}\left\{\frac{2 a^2}{12 \lambda_1}+\frac{2\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}-\left(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\right) \frac{a}{2}\left(-x_1+x_2\right)-\right. \\ & \left.\frac{1}{2 \lambda_2}\left(x_1^2+x_2^2\right)-\frac{a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\left(x_1+x_2\right)^2}{\lambda_2\left[\delta \lambda_1-2 a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right]}\right\}, \end{aligned} $ (14)
$t_{\text {avg }}-t_0=\frac{\phi a}{\delta}\left\{\frac{3 a^2}{12 \lambda_1}+\frac{3\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}-\left(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\right) \frac{a}{2}\left(-2 x_1+0 x_2+2 x_3\right)-\right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left.\frac{1}{2 \lambda_2}\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)-\frac{a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{\lambda_2\left[\delta \lambda_1-3 a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right]}\right\} . $ (15)

观察式(13)—(15),复合平板平均温度的表达式随填充板块数n的增大呈现一定的变化规律,运用数学归纳法可推测含n块填充板的复合平板平均温度解析解,即

$ \begin{gathered} t_{\text {avg }}-t_0=\frac{\phi a}{\delta}\left\{\frac{n a^2}{12 \lambda_1}+\frac{n\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}-\left(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\right) \frac{a}{2} \sum\limits_{i=1}^n x_i(2 i-n-1)-\right. \\ \left.\frac{1}{2 \lambda_2} \sum\limits_{i=1}^n x_i^2-\frac{a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}{\lambda_2\left[\delta \lambda_1-n a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right]}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2\right\} . \end{gathered} $ (16)

根据复合平板的边界条件和界面连续条件,整理式(12),可得复合平板各段温度分布中关于ci的方程组,并改写为矩阵形式,表示如下:

$\boldsymbol{P}_n \boldsymbol{c}_n=\boldsymbol{Q}_n \Rightarrow \boldsymbol{c}_n=\boldsymbol{P}_n^{-1} \boldsymbol{Q}_n, $ (17)
$\boldsymbol{P}_n=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}_n \\ \boldsymbol{C}_n & \boldsymbol{D}_n \end{array}\right]_{(4 n+2) \times(4 n+2)}, $ (18)
$\boldsymbol{B}_n=\left[\begin{array}{lllll} 0 & \cdots & 0 & -1 & 0 \end{array}\right]_{(4 n+1) \times 1}^{\mathrm{T}}, $ (19)
$ \boldsymbol{C}_n=\left[\begin{array}{llll} 0 & \cdots & 0 & \frac{\delta}{2} \end{array}\right]_{1 \times(4 n+1)}, $ (20)
$ \boldsymbol{D}_n=[1], $ (21)
$ \boldsymbol{c}_n=\left[\begin{array}{lll} c_1 & \cdots & c_{4 n+2} \end{array}\right]_{(4 n+2) \times 1}^{\mathrm{T}}, $ (22)
$\boldsymbol{Q}_n=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{J} \\ \boldsymbol{K}_n \end{array}\right]_{(4 n+2) \times 1}, $ (23)
$ \boldsymbol{K}_n=\left[t_0\right] \text {. } $ (24)

其中: A为(4n+1)阶方阵,J为(4n+1)阶列向量。将AJ展开,PnQn可分别表示为:

解得复合平板温度分布后,沿板宽方向对温度分布进行积分并平均后可得整块复合平板的平均温度为

$ \begin{gathered} t_{\text {avg }}= \\ \frac{\int_{-\frac{\delta}{2}}^{x_1-\frac{a}{2}} t_1 \mathrm{~d} x+\cdots+\int_{x_i-\frac{a}{2}}^{x_i+\frac{a}{2}} t_i \mathrm{~d} x+\cdots+\int_{x_n+\frac{a}{2}}^{\frac{\delta}{2}} t_{2 n+1} \mathrm{~d} x}{\delta} . \end{gathered} $ (25)

化简后可得

$ t_{\text {avg }}=\frac{1}{\delta} \boldsymbol{S}_n^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_n^{-1} \boldsymbol{Q}_n-\frac{1}{\delta} \frac{\phi a}{6 \lambda_1}\left(3 \sum\limits_{i=1}^n x_i^2+n \frac{a^2}{4}\right), $ (26)
$\boldsymbol{S}_n=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{U} \\ \boldsymbol{V}_n \end{array}\right]_{(4 n+2) \times 1}, $ (27)
$ \boldsymbol{V}_n=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\delta}{2}\right)^2-\left(x_n+\frac{a}{2}\right)^2\right] \\ \frac{\delta}{2}-x_n-\frac{a}{2} \end{array}\right]. $ (28)

其中:Pn-1Pn的逆矩阵,U为4n阶列向量。将U展开,Sn可表示为

其中:xj为填充板i左侧填充板的中心位置坐标,j=i-1。

根据分块矩阵求逆矩阵的公式[13]Pn-1可表示为

$ \boldsymbol{P}_n^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}_n\left(\boldsymbol{D}_n-\boldsymbol{C}_n \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}_n\right)^{-1} \boldsymbol{C}_n \boldsymbol{A}^{-1} & -\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}_n\left(\boldsymbol{D}_n-\boldsymbol{C}_n \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}_n\right)^{-1} \\ -\left(\boldsymbol{D}_n-\boldsymbol{C}_n \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}_n\right)^{-1} \boldsymbol{C}_n \boldsymbol{A}^{-1} & \left(\boldsymbol{D}_n-\boldsymbol{C}_n \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}_n\right)^{-1} \end{array}\right] . $ (29)

将式(16)代入式(26)化简后为

$ \begin{gathered} \frac{1}{\delta} \boldsymbol{S}_n^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_n^{-1} \boldsymbol{Q}_n-t_0=\frac{\phi a}{\delta}\left\{\frac{n a^2}{8 \lambda_1}+\frac{n\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}-\left(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\right) \frac{a}{2} \sum\limits_{i=1}^n x_i(2 i-n-1)+\right. \\ \left.\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right) \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^n x_i^2-\frac{2 a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}{2 \lambda_2\left[\delta \lambda_1-n a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right]}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2\right\}. \end{gathered} $ (30)

若可利用式(29)和(30)证明含n+1块填充板的复合平板平均温度为

$ \begin{gathered} t_{\mathrm{avg}}-t_0=\frac{\phi a}{\delta}\left\{\frac{(n+1) a^2}{12 \lambda_1}+\frac{(n+1)\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}-\left(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\right) \frac{a}{2} \sum\limits_{i=1}^{n+1} x_i(2 i-n-2)-\right. \\ \left.\frac{1}{2 \lambda_2} \sum\limits_{i=1}^{n+1} x_i^2-\frac{2 a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}{2 \lambda_2\left[\delta \lambda_1-(n+1) a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right]}\left(\sum\limits_{i=1}^{n+1} x_i\right)^2\right\} . \end{gathered} $ (31)

则可说明含n块填充板的复合平板平均温度的解析解为式(16)。对于含(n+1)块填充板的复合平板,平均温度表示如下:

$\begin{gathered} t_{\mathrm{avg}}=\frac{1}{\delta} \boldsymbol{S}_{n+1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{P}_{n+1}^{-1} \boldsymbol{Q}_{n+1}- \\ \frac{1}{\delta} \frac{\phi a}{6 \lambda_1}\left[3 \sum\limits_{i=1}^{n+1} x_i^2+(n+1) \frac{a^2}{4}\right], \end{gathered} $ (32)
$\boldsymbol{P}_{n+1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{B}_{n+1} \\ \boldsymbol{C}_{n+1} & \boldsymbol{D}_{n+1} \end{array}\right]_{(4 n+6) \times(4 n+6)}, $ (33)
$ \boldsymbol{B}_{n+1}=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]_{(4 n+1) \times 5}, $ (34)
$ \boldsymbol{C}_{n+1}=\left[\begin{array}{cccc} 0 & \cdots & 0 & x_{n+1}-\frac{a}{2} \\ 0 & \cdots & 0 & \lambda_2 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right]_{5 \times(4 n+1)}, $ (35)
$ \begin{gathered} \boldsymbol{D}_{n+1}= \\ {\left[\begin{array}{ccccc} 1 & -\left(x_{n+1}-\frac{a}{2}\right) & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x_{n+1}+\frac{a}{2} & 1 & -\left(x_{n+1}+\frac{a}{2}\right) & -1 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & -\lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\delta}{2} & 1 \end{array}\right]_{5 \times 5}, } \end{gathered} $ (36)
$\boldsymbol{Q}_{n+1}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{J} \\ \boldsymbol{K}_{n+1} \end{array}\right]_{(4 n+6) \times 1}, $ (37)
$ \begin{gathered} \boldsymbol{K}_{n+1}=\left[-\frac{\phi}{2 \lambda_1}\left(x_{n+1}-\frac{a}{2}\right)^2-\right. \\ \left.\phi\left(x_{n+1}-\frac{a}{2}\right) \frac{\phi}{2 \lambda_1}\left(x_{n+1}+\frac{a}{2}\right)^2 \phi\left(x_{n+1}+\frac{a}{2}\right) t_0\right], \end{gathered} $ (38)
$ \boldsymbol{S}_{n+1}=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{U} \\ \boldsymbol{V}_{n+1} \end{array}\right]_{(4 n+6) \times 1}, $ (39)
$ \boldsymbol{V}_{n+1}=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{2}\left[\left(x_{n+1}-\frac{a}{2}\right)^2-\left(x_n+\frac{a}{2}\right)^2\right] \\ x_{n+1}-x_n-a \\ x_{n+1} a \\ a \\ \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\delta}{2}\right)^2-\left(x_{n+1}+\frac{a}{2}\right)^2\right] \\ \frac{\delta}{2}-x_{n+1}-\frac{a}{2} \end{array}\right]_{6 \times 1}. $ (40)

Pn+1Pn中的(4n+1)阶方阵A相同,Qn+1Qn中的(4n+1)阶列向量J相同,Sn+1Sn中的4n阶列向量U相同。将式(33)—(40)代入式(32)进行整理,并利用式(30)的结论,推导即可得式(31)。因此,式(16)即含n块填充板的复合平板平均温度的解析解。

将式(16)改写为

$t_{\text {avg }}-t_0=f_1+f_2+f_3+f_4, $ (41)
$ f_1=\frac{\phi a}{\delta}\left[\frac{n a^2}{12 \lambda_1}+\frac{n\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}\right], $ (42)
$f_2=-\frac{\phi a}{2 \delta}\left(\frac{1}{\lambda_2}-\frac{1}{\lambda_1}\right) \sum\limits_{i=1}^n a x_i(2 i-n-1), $ (43)
$ f_3=-\frac{\phi a}{\delta} \frac{1}{2 \lambda_2} \sum\limits_{i=1}^n x_i^2, $ (44)
$f_4=-\frac{\phi a}{\delta} \frac{a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)}{\lambda_2\left[\delta \lambda_1-n a\left(\lambda_1-\lambda_2\right)\right]}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2 . $ (45)

结合图 1和式(41),可从物理、几何上依次对式(41)中的f1f2f3f4进行解释。对于f1,首先分析一种特殊情况,当n=1且x1=0时,即只有1块填充板位于复合平板中心时,复合平板温度分布控制方程可表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_2 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)=0, \quad-\frac{\delta}{2} \leqslant x \leqslant-\frac{a}{2} ; \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_1 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)+\phi=0, \quad-\frac{a}{2} \leqslant x \leqslant \frac{a}{2} ; \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\lambda_2 \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}\right)=0, \quad \frac{a}{2} \leqslant x \leqslant \frac{\delta}{2} . \end{array}\right. $ (46)

根据定温边界条件以及不同材料界面处的温度和热流连续条件,可解得复合平板的温度分布,然后对温度分布沿板宽方向进行积分并取平均值,即得到1块填充板布置在中心的复合平板平均温度为

$ t_{\mathrm{avg}}-t_0=\frac{\phi a}{\delta}\left[\frac{a^2}{12 \lambda_1}+\frac{\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}\right] . $ (47)

观察式(42)可知,等于式(47)的n倍,即含n块填充板的复合平板平均温度表达式中的f1项可由1块填充板布置在复合平板中心位置时的平均温度累计求和n次得到。

观察式(43)可知,从材料差异的角度来看,若填充材料和基体材料的导热系数相同,则这一项为0。从填充材料的分布情况来看,每块填充板中心位置坐标对f2项的影响都因其位置的不同而不同,越靠近复合平板中心的填充板,其中心位置坐标对f2项的影响越小。同时,f2中的求和项也可理解为关于复合平板中心对称的2块填充板的间距乘以该距离内的所有填充板宽度的求和。

观察式(44)可知,f3中对发热板中心位置坐标的平方从i=1到n求和,是指对每块发热板偏离复合平板中心位置距离的平方的求和。

观察式(45)可知,f4中对所有发热板位置坐标的求和表示所有发热板的几何中心偏离整块板中心位置的距离。

综上所述,式(41)即为含n块填充板的复合平板平均温度等于所有填充板放置在复合平板中心位置时的平均温度,减去与基体材料不一致的填充材料由分布位置不同导致的影响,再减去由所有填充板偏离复合平板中心位置导致的影响,最后减去由所有填充板整体的几何中心偏离复合平板中心对平均温度带来的影响。

将式(16)代入式(10)并进行化简,即可得预测含n块发热填充板的复合平板平均温度的无量纲等效导热系数,表示如下:

$ \begin{gathered} \frac{\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}}{\lambda_2}=1 /\left[\frac{\mu^2}{\kappa}+\frac{3}{2}\left(1-\mu^2\right)-\right. \\ \frac{6(\kappa-1) \mu}{n \delta \kappa} \sum\limits_{i=1}^n x_i(2 i-n-1)- \\ \left.\frac{6}{n \delta^2} \sum\limits_{i=1}^n x_i^2-\frac{12 \mu(\kappa-1)}{[\kappa-n \mu(\kappa-1)] n \delta^2}\left(\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)^2\right]. \end{gathered} $ (48)
2.3 有无内热源模型对比分析

由式(48)可知,预测含分布式内热源复合平板平均温度的等效导热系数模型与内热源的大小无关,但与每块发热填充板的中心位置坐标有关,即与内热源的分布有关。与常规的不含内热源时复合平板无量纲等效导热系数模型(式(6))相比,除了两相材料的导热系数,含内热源等效导热系数模型还与填充板的数量和尺寸有关。需要说明的是,热阻串联模型式(6)与填充板的数量和尺寸的乘积有关,即与填充板的填充率有关,而考虑内热源的模型,即式(48)则与数量和尺寸独立相关。

此外,当κ=1时,即填充板的导热系数等于基体导热系数时,不考虑内热源的等效导热系数式(6)等于1,此时该模型无法体现内热源分布的影响。而考虑分布式内热源影响的等效导热系数,即式(48)变为

$ \frac{\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}}{\lambda_2}=1 /\left[\frac{3-\mu^2}{2}-\frac{6}{n \delta^2} \sum\limits_{i=1}^n x_i^2\right] . $ (49)

式(49)说明含分布式内热源的等效导热系数模型需要考虑内热源分布的影响。

3 填充板随机分布对等效导热系数的影响

第2节推导了预测含n块发热填充板的复合平板平均温度的无量纲等效导热系数模型,如式(48)所示,等效导热系数与每块填充板的中心位置坐标都有关,若使用式(48)确定复合材料内部所有填充材料的准确位置则较为困难。因此本节先研究填充板均匀分布的复合平板等效导热系数λe, u;再考虑填充材料随机分布时的等效导热系数λe, s,偏离均匀分布时的影响λσ可表示为

$ \lambda_\sigma=\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{s}}-\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{u}} \text {. } $ (50)
3.1 填充板均匀分布的模型

图 1模型的基础上,定义一种均匀分布填充板模型:相邻填充板的中心间距均相等,相邻填充板间基体板的宽度相等,以复合板中只有2块填充板为例说明,如图 4所示。

图 4 填充板均匀分布的复合平板

相邻2块填充板间基体板的宽度Δ可表示为

$ \varDelta=\frac{\delta-n a}{n+1}. $ (51)

相邻2块填充板的中心间距(Δ+a)可表示为

$ \varDelta+a=\frac{\delta-n a}{n+1}+a=\frac{\delta+a}{n+1} . $ (52)

由于复合平板的中心坐标为0,因此所有填充板的中心位置坐标的代数和为0,即

$ \sum\limits_{i=1}^n x_i=x_1+x_2+\cdots+x_n=0 . $ (53)

所有填充板的几何中心就在复合平板的中心上,此时f4为0。

根据填充板均匀分布的定义,f3中所有填充板中心位置坐标平方的求和为

$\begin{gathered} \sum\limits_{i=1}^n x_i^2=2\left[\frac{\delta+a}{2(n+1)}\right]^2 \\ {\left[1^2+3^2+5^2+\cdots+\left(2 \frac{n}{2}-1\right)^2\right]=} \\ 2\left[\frac{\delta+a}{2(n+1)}\right]^2 \cdot \frac{n(n+1)(n-1)}{6}= \\ (\delta+a)^2 \frac{n(n-1)}{12(n+1)} . \end{gathered} $ (54)

f2中的求和项可化简为

$ \begin{gathered} \sum\limits_{i=1}^n x_i(2 i-n-1)= \\ \frac{\delta+a}{n+1}\left[1^2+3^2+5^2+\cdots+\left(2 \frac{n}{2}-1\right)^2\right]= \\ (\delta+a) \frac{n(n-1)}{6} . \end{gathered} $ (55)

将式(53)—(55)代入式(16), 可得填充板均匀分布时的复合平板平均温度为

$ \begin{gathered} t_{\text {avg, u }}-t_0=\frac{\phi a}{\delta}\left[\frac{n a^2}{12 \lambda_1}+\frac{n\left(\delta^2-a^2\right)}{8 \lambda_2}-\right. \\ \frac{1}{2 \lambda_2}(\delta+a)^2 \frac{n(n-1)}{12(n+1)}+ \\ \left.\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right) \frac{a}{2}(\delta+a) \frac{n(n-1)}{6}\right] . \end{gathered} $ (56)

将式(56)代入式(10), 可得预测的含n块均匀分布发热填充板的复合平板平均温度的无量纲等效导热系数为

$ \begin{array}{r} \frac{\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{u}}}{\lambda_2}=1 /\left[\frac{\mu^2}{\kappa}+\frac{3}{2}\left(1-\mu^2\right)-(\mu+1)^2 \frac{(n-1)}{2(n+1)}+\right. \\ \left.\mu(\mu+1)\left(\frac{1}{\kappa}-1\right)(n-1)\right] . \end{array} $ (57)

由式(57)可知,填充板均匀分布时的复合平板等效导热系数仍与内热源大小无关,只与无量纲导热系数、填充板数量和无量纲尺寸有关。

3.2 填充板随机分布对等效导热系数的影响

在发热填充板均匀分布的基础上,令填充板偏离均匀分布,发热填充板随机分布时与均匀分布时的等效导热系数相对误差表示如下:

$ \varepsilon_\lambda=\frac{\lambda_\sigma}{\lambda_{\mathrm{e}, \mathrm{u}}} \times 100 \%. $ (58)

本文通过数值计算的方式分析填充板偏离均匀分布对等效导热系数的影响。利用MATLAB中的rand函数实现填充板在复合平板内的随机分布,获取每块填充板的位置坐标,并计算等效导热系数。选取3组代表性算例,如表 1所示,从算例1至算例3,其中发热填充板的数量越多,内热源分布越分散。每组算例计算1 000次,每次计算填充板都随机分布于复合平板中,根据式(48)和(57)分别计算填充板随机分布和均匀分布时的等效导热系数,然后根据式(50)和(58)计算随机分布和均匀分布时等效导热系数的相对误差。根据算例1—3的计算结果分析发热材料的分布情况对等效导热系数误差的影响,即nελ的影响,如图 5所示。

表 1 计算算例
参数 算例
1 2 3
φ 0.5 0.5 0.5
δ/m 2 2 2
n 10 100 500
λ2/(W·(m·K)-1) 10 10 10
κ 10 10 10
ϕ/(W·m-1) 105 105 105
t0/K 0 0 0

图 5 nελ的影响

图 5中任意一组算例的计算结果可知,填充板随机分布时的等效导热系数与均匀分布时的等效导热系数偏差可近似为正态分布(normal distribution),相关系数均在0.97以上,且填充板均匀分布时的结果约等于随机分布时出现频率最高的情况。

图 5的结果可知,填充板随机分布时的等效导热系数偏离均匀分布时对等效导热系数的影响随着填充板数量的增加而减小,即内热源分布越分散,填充板随机分布时的等效导热系数对偏离均匀分布时的影响越小,此时填充板均匀分布的复合平板等效导热系数模型,即式(57)近似等于填充板随机分布时的等效导热系数。

4 结论

传统的等效导热系数模型均是针对不含内热源的复合材料通过外加热流的方式推导得到的,缺少对含分布式内热源复合材料的等效导热系数的研究。本文通过理论推导得到预测含分布式内热源复合平板平均温度的等效导热系数模型,通过对模型进行分析,得出如下结论:

1) 含分布式内热源复合平板等效导热系数比常规复合平板等效导热系数受更多因素影响,例如填充板的数量和尺寸以及内热源的分布情况等。

2) 对于发热填充板分布较分散的复合平板,通常可用发热板均匀分布时的等效导热系数估计发热板随机分布时的等效导热系数。

本文为研究含内热源且内热源分布对称,发热材料弥散分布的类似结构的复合材料,如弥散型燃料球的等效导热系数奠定了理论基础。

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