当前，在我国不断深化能源改革的大背景下，水电站呈现高水头、大容量的发展趋势。当水电站处于基荷运行时，输出功率稳定，但当水电站处于峰荷和腰荷运行时，为满足电力系统电力生产的供需平衡需要进行频率和出力调节，这些调节过程会引发水道系统瞬变流；此外，当水电站出现事故甩负荷时，也会导致瞬变流发生。有压管道系统瞬变流的直接结果就是水锤现象^[1]，严重危及水道、机组乃至整个水电站安全，当电站水头越高，这种安全威胁也越大。为使实际工程中调节保证参数各项指标限定在允许的范围内，通常会采取一种或者多种调保措施，如设置调压室、设置调压阀门、增大机组转轮的转动惯量、增大管径以及优化导叶关闭规律^[2-3]等。相比其他调保措施，选用合适的导叶关闭规律是解决水电站机组运行安全及调节最经济有效的方法^[4-7]。但是目前对于不同的导叶关闭规律对水力过渡过程的影响机制、导叶关闭规律的优化策略以及导叶关闭规律的鲁棒性等问题依然在研究当中。

Vakil等^[8]、杨建东^[9]通过对多个大型水电站工程进行数值模拟，揭示了导叶关闭规律对机组水力过渡过程的影响。Wozniak等^[10]针对不同过渡过程通过数值模拟评估了对水力过渡过程产生的影响，并提出相应的优化策略，李敏等^[11]通过建立实际引水发电模型，验证了两阶段“先快后慢”关闭规律的有效性和适用性。黄伟等^[12]评估了两阶段折线导叶关闭规律和球阀的关闭规律对机组运行参数的影响，针对抽水蓄能电站处于极端甩负荷工况时，通过优化球阀和导叶协同调节规律以达到改善水击压强影响的目的。张美琴等^[13]针对超高水头大容量的抽蓄机组甩负荷过程，采用直线、延时直线及两阶段折线三种导叶关闭规律对该电站进行大波动过渡过程计算分析，发现了折点位置和折点时间的选择对平衡蜗壳进口压强和尾水管进口压强发挥了关键作用，但由于其针对的水泵水轮机具有“S”区等特性，相对水轮机而言具有一定的特殊性。白家等^[14]利用正交设计法将分段式导叶关闭规律的多个控制因素组合，并进行多方案的仿真计算，结果证明正交设计法用于导叶关闭规律参数优化具有简单、准确、直观的优点。刘晓渠^[15]通过正交试验法分析了蜗壳最大压强、尾水管最小压强2个调保参数指标，利用机组甩负荷数值仿真得到了最优导叶关闭规律，但其并未考虑机组转速上升率这一关键调保参数指标。李季寰等^[16]采用调保参数的极值图和等值线云图堆叠的方法绘制导叶关闭规律域，提出了一种从区域的角度来优化考虑鲁棒性的两阶段折线导叶关闭规律，其缺点在于未从数学的角度精准给出评价导叶关闭规律鲁棒性优劣的数学模型。

由于调速系统自身性能、引水系统和机组自身时变因素，实际的导叶动作过程与优化的导叶启闭规律之间总是存在偏差。理想的导叶关闭规律不仅需要确保各调保参数具有足够的安全裕度，还需具备良好的鲁棒性。为研究改变导叶关闭规律对中高水头水电站造成的影响，本文在运用罚函数和权函数构建导叶关闭规律鲁棒性综合评价指标的基础上，结合极差分析理论，以一座典型的中高水头大容量水电站工程为例，通过原型甩负荷试验数据和一维数值模拟分析，探明导叶关闭规律和水轮机特性对电站调保参数的影响，并在分析电站过渡过程的基础上，提出导叶关闭规律鲁棒性的综合评价方法，为类似工程的导叶关闭规律选取提供重要参考。

1 数学模型 1.1 管道水击方程

管路中水击计算的控制方程包括水流运动方程和连续性方程，由一对偏微分方程描述^[17]。

利用特征线法，可沿特征线C⁺、C^-将其转换为下列管道水锤计算的特征性相容方程：

$ C^{+}: H_{\mathrm{p} i}=C_{\mathrm{p}}-B_{\mathrm{p}} Q_{\mathrm{p} i}, $

(1)

$ C^{-}: H_{\mathrm{p} i}=C_{\mathrm{m}}+B_{\mathrm{m}} Q_{\mathrm{p} i} . $

(2)

其中：C_p、C_m、B_p、B_m均为时刻(t-Δt)时的已知量；C_p=H_i－1+BQ_i－1，C_m=H_i+1－BQ_i+1，B_p=B+R|Q_i－1|，B_m=B+R|Q_i+1|；B=a/(gA)，R=fΔx/(2gdA²)；a为水击波速，m/s；A为管道断面面积，m²；f为管道摩阻系数；Δx为空间步长，m；d为管道直径，m；g为重力加速度，m/s²；t为时间，s；Δt为时间步长，s；H_pi为t时刻瞬态水头，m；Q_pi为t时刻瞬态流量，m³/s；下标i代表管道计算断面序号。

1.2 水轮机边界

在甩负荷过渡过程模拟中，水轮发电机组的边界条件包括以下方程^[18]：

$ y=y(t), $

(3)

$ H_{\mathrm{u}}=C_{\mathrm{p}}-B_{\mathrm{p}} Q_{\mathrm{u}}, $

(4)

$ H_{\mathrm{d}}=C_{\mathrm{m}}+B_{\mathrm{m}} Q_{\mathrm{d}} \text {, } $

(5)

$ Q_{\mathrm{u}}=Q_{\mathrm{d}}, $

(6)

$ Q_{11}=f\left(y, n_{11}\right), $

(7)

$ M_{11}=f\left(y, n_{11}\right), $

(8)

$ Q_{\mathrm{u}}=Q_{11} D_1^2 \sqrt{H_{\mathrm{u}}-H_{\mathrm{d}}+\Delta H}, $

(9)

$n=n_{11} \sqrt{H_{\mathrm{u}}-H_{\mathrm{d}}+\Delta H} / D_1, $

(10)

$ M=M_{11} D_1^3\left(H_{\mathrm{u}}-H_{\mathrm{d}}+\Delta H\right), $

(11)

$ n=n_0+0.1875\left(M+M_0\right) \Delta t / G D^2. $

(12)

其中：y为导叶相对开度；下标0代表指标初始值；下标u和d分别为代表管道入口和出口的计算边界点；H为水头，m；Q为流量，m³/s；n₁₁、Q₁₁和M₁₁分别代表单位转速、单位流量和单位扭矩，单位分别为r/min、m³/s和N·m；ΔH为水轮机进出口之间的水头损失，m；D₁为水轮机转轮直径，m；n为转速，r/min；M为扭矩，N·m；G为机组转动部分的质量，t；D为机组转动部分的惯性直径，m。

1.3 综合评价方法

水电站在进行大波动甩负荷过渡过程中，一般会伴随着3种现象：1) 蜗壳压强上升；2) 尾水管压强下降；3) 机组转速上升。蜗壳压强上升可能导致管道产生破坏，而加厚管壁会提高造价；尾水管压强下降会导致出现真空，引发水流气化断流，产生过大反水锤压强等危害；机组转速过快会对机组机械结构产生不可逆的损伤。设计合理的导叶关闭规律是解决或改善水电站的大波动过渡过程问题最经济有效的方法之一。因此，为评价水电站导叶关闭规律优劣情况，以满足水电站安全运行的要求，可分别从蜗壳水压最大上升率ξ_max、尾水管最大真空度H_smax、机组转速最大上升率β_max3个指标进行评价。

建立导叶关闭规律优劣的评价目标函数如下：

$ \begin{gathered} S=P_1 \omega_1 \frac{\xi_{\max }^*-\xi_{\max }^{\mathrm{c}}}{\xi_{\max }^*}+P_2 \omega_2 \frac{\beta_{\max }^*-\beta_{\max }^{\mathrm{c}}}{\beta_{\max }^*}+ \\ P_3 \omega_3 \frac{H_{\mathrm{smax} }^*-H_{\mathrm{smax} }^{\mathrm{c}}}{H_{\mathrm{smax} }^*} . \end{gathered} $

(13)

其中：P_j和ω_j分别为指标j的惩罚因子和权重函数，上标*代表调保参数控制值，上标c代表调保参数的模拟值。由于H_smax^*和H_smax^c可能异号，因此为保证(H_smax^*-H_smax^c)/H_smax^*维持在[0, 1]，设定当H_smax^c＜0时取H_smax^c=0，也就是尾水管最大真空度为负即尾水管最小压强为正时，无需继续优化尾水管最小压强。实际上，S各项表征的是安全裕量，所以理论上S越大则越安全。

将S继续整理可得：

$S=\sum\limits_{i=1}^3 P_i \omega_i-\sum\limits_{i=1}^3 P_i \omega_i \frac{\varphi_{\max }^{\mathrm{c}}}{\varphi_{\max }^*} . $

(14)

本文定义综合评价指标为

$ Z=\sum\limits_{i=1}^3 U_i=\sum\limits_{i=1}^3 P_i \omega_i \frac{\varphi_{\max }^{\mathrm{c}}}{\varphi_{\max }^*} . $

(15)

其中：φ为调保参数极值；U为各调保参数分项量。Z值越小，工程安全裕量越大。

然而，理想的导叶关闭规律不仅需要确保各调保参数拥有足够的安全裕量，还需具备良好的鲁棒性。结合极差分析法，对优选的导叶关闭规律进行鲁棒性能评价：

$ r(Z)=\frac{R(Z)}{\bar{Z}}. $

(16)

其中：r为相对极差，表征的是物理量的离散程度；R为极差绝对量；Z为Z的平均值。

当r(Z)≤r(θ)时，其中θ代表导叶关闭规律中的独立因素(如导叶有效关闭时间T_s等)，表明由导叶关闭规律在一定范围内波动引起的Z的离散程度小于导叶关闭规律本身的离散程度，鲁棒性也就越强。当φ_max^c≥φ_max^*表明有至少一项指标不满足控制要求，则可将相应控制指标的P_j设为10或其他较大值；当φ_max^c＜φ_max^*则P_j设为1。对于中高水头水电站，电站安全性的考量往往高于经济性，所以可将蜗壳水压最大上升率对应权重系数ω₁设为0.5，机组转速最大上升率对应权重系数ω₂设为0.3，由于压力管道和尾水隧洞等均能承受一定的负压，因此尾水真空度对应权重系数ω₃设为0.2。

2 流量梯度的影响因素 2.1 水轮机特性

水轮机的特性与水轮机比转速直接相关，比转速的表达式如下：

$ n_{\mathrm{s}}=\frac{n \sqrt{P}}{H^{1.25}} . $

(17)

其中P为出力，kW。

以应用最为广泛的混流式水轮机为例，不同比转速的混流式水轮机的流量特性如图 1^[19]所示。可以看出，水轮机流量特性曲线的弯曲程度(即图 1中等开度线的斜率)随比转速的变化而变化。中、低比转速水轮机等开度线上的斜率dQ₁₁/dn₁₁＜0，单位流量Q₁₁随着单位转速n₁₁的增大而减小，因此，当发生机组甩负荷时，即使导叶拒动，机组过流量也会因机组转速的上升(即n₁₁值增大)而自动减小，从而抑制了转速的上升趋势，呈现一种利于系统稳定的自调节现象。高比转速水轮机的等开度线较为接近水平，单位流量Q₁₁随着单位转速n₁₁的增大而变化缓慢。而对于比转速超过300 m·kW的超高比转速混流式水轮机或轴流转桨式水轮机而言，其等开度线上的斜率dQ₁₁/dn₁₁＞0，使得机组过流量因机组转速上升而自动升高，增大的流量冲击水轮机转轮又进一步促进了转速上升，呈现一种不利于系统稳定的正反馈现象。

由式(17)可知，中高水头水轮机往往具有中低比转速，图 2为额定水头308.9和202.0 m的混流式水轮机流量特性曲线，对应的额定工况比转速分别为138.7和141.7 m·kW。利用图 2的水轮机特性分别对同一电站输水系统“甩负荷+导叶拒动”的水力过渡过程进行模拟，得到的结果如图 3所示，其中h、q、β分别代表水轮机水头、流量、转速相对值。从图 2可以看出，在额定工况点右侧的高转速区，2种混流式水轮机等开度线上的斜率均小于0，故在机组甩负荷时，即使导叶拒动，机组过流量也均因机组转速的上升而下降；由于图 2b对应的水轮机的等开度线弯曲程度更大、斜率更大，因此流量下降速率更快，引起的水击压强也就更大；另外，由于图 2a中的等开度线在大开度时飞逸工况对应的单位转速更大，因此模拟得到的机组飞逸转速也就更高。

2.2 导叶运动规律

除了水轮机自身机械特性可导致机组过流量的改变，导叶的启闭动作对机组过流量的影响往往更大。当机组甩负荷时，为避免机组转速急剧上升，需要调速器迅速动作关闭导叶。当导叶关闭较快时，虽有利于减小机组的最大转速，但系统压力管道内会产生很大的水击压强；而当导叶关闭较慢时，系统水击压强虽有所缓解，但机组瞬态最大转速较大。为了协调水击压强和机组转速之间的矛盾，常需要优化导叶关闭规律，这也是电站水力过渡过程计算中的重要内容之一。

目前，最为常用的水电站导叶关闭规律为直线关闭和两阶段折线关闭规律，后者分为“先快后慢”式和“先慢后快”式。对于“先快后慢”式的两阶段折线导叶关闭规律，第1阶段导叶快关，短时间内降低导叶开度，可有效减小水轮机的最大转速；第2阶段导叶慢关可以有效降低导叶关闭引起的水击压强，以达到水击压强和最大转速相协调的目的。表 1统计了9座不同水头和比转速的水电站的导叶关闭规律情况。可以发现实际工程中对于中高水头混流式水轮机，较多地采用了“先快后慢”的两阶段折线导叶关闭规律，因此，下面将主要针对该规律进行实例验证和鲁棒性评价分析。

3 实例分析 3.1 原型甩负荷试验验证

某中高水头水电站输水系统共有8个水力单元，左右岸各4个水力单元，其中左岸每个水力单元装有两台型号为D545A-F15的混流式水轮机机组。机组额定转速为111.1 r/min，单机额定出力为1 015 MW，额定水头、最大水头和最小水头分别为202.0、243.1和163.9 m。右岸每个水力单元装有两台型号为A1181a混流式水轮机机组，机组额定转速为107.1 r/min，单机额定出力、额定水头、最大水头、最小水头均与左岸机组相同。引水系统均为单洞单机布置，尾水系统为一洞两机布置。以右岸8#水力单元为例，输水系统布置如图 4所示，其中引水系统总长471.6 m，采用圆形断面，主洞洞径为10.2 m；尾水系统总长2 004.62 m，采用城门洞形断面，主洞水力半径为4.16 m。输水系统中还设有尾水管检修闸门井、尾水调压室、尾水隧洞闸门井等，其中尾水调压室采用阻抗式，大井直径40 m，高75.56 m。

为验证评估数值模拟的准确性，对实测数据及数值模拟结果进行对比分析。若数值计算结果与实测数据吻合良好，则采用数值模拟方法对大波动极端控制性工况进行预测模拟，为机组导叶关闭规律的鲁棒性评价提供依据。

现对该电站15#机组进行单机甩870 MW负荷(即90%全负荷)试验，测得上、下游水位分别为771.45、593.5 m。利用1节中的数学模型以及实测导叶关闭规律，对15#机组进行单机甩负荷过渡过程数值模拟，各调保参数的实测过程线和模拟过程线对比如图 5所示，调保参数的实测极值和模拟极值如表 2所示。可以看出，数值模拟得到的15#机组的蜗壳、尾水管进口的压强及转速变化过程与实测甩负荷试验结果的变化趋势基本一致，验证了数值模拟的准确性。其中：机组转速最大上升率和蜗壳最大压强的相对偏差很小；尾水管最小压强的相对偏差虽然较大，但如果考虑绝对偏差量，则仅相差20~30 kPa，对于尾水管最小压强来说，这样的模拟精度是令人满意的。

3.2 导叶关闭规律的鲁棒性综合评价

“先快后慢”两阶段折线导叶关闭规律如图 6所示，其优化整定的关键在于确定最优的拐点位置和最优的T_s。

水电站T_s的取值一般为5~15 s，对于抽水蓄能电站机组一般为20~40 s，有特殊要求还可延长^[20]。由于实际的导叶关闭规律与优化的导叶关闭规律之间总是存在些许偏差，为验证关闭规律的鲁棒性，需针对上述3个独立变量对调保参数的影响开展敏感性分析。该电站调节保证的控制条件为：1) ξ_max^*≤28%，即蜗壳允许最大压强小于3 360 kPa；2) H_smax^*＜60 kPa；3) β_max^*≤50%。T₁、y₁、T_s的基准值分别取3.50 s、0.40和20.00 s，作为各自的水平2，并上下各浮动10%分别作为水平3和1(即T₁、y₁、T_s的相对极差均为20%)，如表 3所示。为了评估先快后慢的导叶关闭规律在机组甩负荷过渡过程中的鲁棒性，采取正交实验法，将T₁、y₁、T_s按照表 4中的L₉正交表来安排实验，得到的模拟值和利用式(15)得到的Z如表 4所示。如果上述3个独立变量所有水平下模拟得到的尾水管进口最大真空度均为负，即尾水管进口最小压强均大于0，此时针对尾水管真空度指标可无须优化，取H_smax^c=0。因此，尾水管最大真空度对应的计算项实际取值U₃均为0。

为方便综合分析并简化对比过程，以蜗壳水压最大上升率为例，在T₁的水平1(T₁=3.15 s)下，对指标1(ξ_max^c)求和并取其均值，可得均值$ \overline{\xi_{\max }^\text{c}} $=(14.73%+12.96%+10.35%)/3=12.68%；以此类推列出表 5。可以发现T₁、y₁比作为水平2，T_s对ξ_max的影响更大，而影响β_max的因素按敏感性从大到小排列分别是y₁、T₁、T_s；影响H_smax的因素按敏感性从大到小排列，分别是T₁、y₁、T_s。综合来看，两阶段折线导叶关闭规律中决定一阶段变化情况的折点位置(T₁，y₁)是影响机组转速最大上升率和压强波动第1峰的一个关键指标；当T₁增大时，机组转速上最大升率增大，而压强波动第1峰值降低，当第1阶段导叶关闭速度较快时，机组转速最大上升率将降低，第2阶段导叶关闭速度较慢，从而限制了水电站引水系统压强快速上升，上述结论与表 5的模拟结果完全吻合。

根据1.3节的鲁棒性综合评价方法，导叶关闭规律引发的大波动过渡过程对应的调保参数极值计算的Z越小代表该规律下调保参数的安全裕度越大，同时Z值极差越小代表该规律的鲁棒性越好，如表 5所示，改变T_s导致的Z值极差仅为0.009，小于改变T₁、y₁分别导致的0.031、0.051。可以发现与正交设计表结果一致的规律，即：相比改变T_s，改变T₁、y₁对导叶关闭规律的鲁棒性影响更大，T₁、y₁仍然是影响水轮机调节系统大波动过渡过程各项调保参数指标的关键因素。T₁和T_s不同水平下的r(Z)分别为8.18%和2.37%，均远小于T₁和T_s的相对极差(均为20%)；y₁不同水平下Z值的相对极差虽然达到了13.46%，但仍然小于y₁的相对极差20%。因此，T₁、y₁和T_s分别取为3.50 s、0.40和20.00 s的两阶段折线导叶关闭规律不仅可使各调保参数具有足够的安全裕度，而且具备了良好的鲁棒性。另外，当y₁减少到0.20，T₁、T_s分别取3.50 s、20 s时，模拟得到的蜗壳压强上升到3 372 kPa，超过了控制值3 360 kPa，因此相应P₁取为10；机组转速最大上升率为23.09%；尾水管最小压强为-51.3 kPa，接近H_smax^*＜60 kPa的控制要求，计算得到该导叶关闭规律的Z为5.252，可在后续分析中将该方案淘汰。利用本文构建的鲁棒性评价方法，在多目标、多因素的情况下，可以较为准确地对比分析水电站机组导叶关闭规律鲁棒性的优劣性，并结合水轮机转轮的过流特性有助于选取合适的导叶关闭规律优化整定方案。

4 结论

本文通过对某中高水头水电站工程两阶段折线导叶关闭规律的3个独立变量开展正交实验，运用极差分析法，提出了一种导叶关闭规律鲁棒性的综合评价方法，可为中高水头水电站导叶关闭规律的鲁棒性能分析提供参考；同时利用电站甩负荷实测数据进行了模型验证，分析了导叶关闭规律对中高水头水轮机甩负荷过程的影响，得到以下结论：

1) 对于中高水头水电站来说，两阶段折线导叶关闭规律中的y₁和T₁对机组甩负荷过程影响较大，其中ξ_max和β_max对y₁最为敏感，而H_smax对T₁最为敏感。因此，需要重点关注y₁和T₁对导叶关闭规律鲁棒性能的影响。

2) T_s对调保参数影响相对较小。按3个水平改变T_s影响尾水管最小压强的极差仅为3.7 kPa，远小于改变T₁、y₁分别对应的极差54.7、39.3 kPa。