多数航天器伞系减速系统采用弹伞筒一次性弹射开伞的方式，由弹伞筒活塞将伞包加速推出，随后通过捕获包将活塞捕获住，避免活塞撞击降落伞造成安全隐患。捕获包通过撕裂带与航天器结构相联接，在回收活塞的过程中限制捕获冲击力，调节吸收分离物的能量，保证航天器的安全。因此，保证撕裂带的性能是保护航天器和降落伞安全的关键。

撕裂带是一种吸能装置，体积小、重量轻、应用灵活，适合与降落伞一同包装在弹伞筒内。撕裂带由2根基带缝纫组成，依靠2根基带间的缝线的剥离，消耗分离能量。为了模拟航天器降落伞弹射过程中撕裂带的工作过程，设计了如图 1所示的撕裂带性能测试装置^[1]，要求该装置能够以指定速度匀速撕裂撕裂带。撕裂带测试试验采用弹性绳索传递撕裂力，绳索在绷紧瞬时承受巨大的冲击载荷，可能造成绳索断裂，撕裂过程中绳索的轴向振动也会影响撕裂带撕裂速度。因此，在测试装置的设计过程中，需要建立可靠的绳索动力学模型来预测试验过程中的索力传递状态，以便设计人员改进设计方案。

绳索系统的动力学模型主要分为2类：连续模型和离散模型^[2-3]。连续模型通过微分几何方法描述系统的动力学行为，模型参数随时间和空间连续变化，能够较为精确地计算绳索各个位置的动力学状态，例如绝对节点坐标方法^[4-7]和微分几何方法^[8-9]。离散模型将绳索离散为若干节点或刚性单元，节点或刚性单元间通过弹簧和阻尼器连接，离散模型的计算精度与离散单元数目有关，基于离散模型的方法有集中质量法^[3]、有限段法^[10]和有限元法^[11]。连续模型相较于离散模型更加接近绳索的真实物理状态，在绳索位形方面的计算具有明显优势。然而，连续模型具有一定的局限性，当绳索处于复杂载荷状况下，由于绳索的单向受力特性，绳索有可能会发生回弹而处于松弛状态，当绳索再次张紧时还伴随冲击载荷，在这种情况下，绳索的位形计算非常复杂，连续模型无法得到松弛绳索的精确求解，并且求解误差会随时间累积，因此连续模型无法适用于复杂受载情况下的松弛绳索。离散模型则不受这些限制的影响。Driscoll等^[3]建立了水下远程遥控探测系统的一维集中质量模型，该模型能够准确模拟水下缆索的张力以及运动期间的冲击载荷，并发现绳端张力和运动的预测与节点划分数量没有明确关联。Lu等^[12]研究了在波浪条件下水下悬浮隧道缆索的松弛现象以及冲击载荷，通过推导缆索松弛判据，揭示了水下悬浮隧道缆索松弛机理。对于复杂载荷下的松弛绳索索力计算，离散模型能够忽略松弛状态下绳索的复杂形态，只关注节点间的索力传递，相较于连续模型更容易建模，求解误差更小。

现阶段的绳索动力学研究大多与实际的工程应用相结合，目前尚未有学者对高速运动下的绳索冲击特性及其影响因素进行研究，在低速运动模式下，绳索阻尼往往被忽略，而在高速运动模式下，阻尼是影响索力的关键因素。本文针对撕裂带性能测试装置，研究了高速运动下的绳索索力传递规律与影响因素，首先将撕裂带测试装置简化为集中质量模型，根据Lagrange第二类方程建立动力学模型，该模型是一个带有时变系数的二阶微分方程组，将其转化为一阶微分方程组形式后，利用Runge-Kutta方法求解该微分方程组，进而得到索力曲线，并分析了绳索弹性模量、阻尼系数和两侧重物质量比等因素对索力传递的影响，最后搭建了实验测试平台，结果表明该模型能够准确计算绳索末端的索力变化趋势，为撕裂带测试装置的设计与控制提供理论指导。

1 撕裂带测试装置

如图 1所示，撕裂带性能测试装置由机械结构系统、测量系统、运动补偿系统组成，用于对航天降落伞撕裂带进行性能测试。机械结构系统包括机械支撑钢架、配重、锁绳机构、滑轮组、弹性绳索和撕裂带。在动态连续撕裂过程中，撕裂带的撕裂阻力近似恒定，首先调整配重重量与撕裂阻力近似，配重通过自由落体加速达到目标速度后，锁绳机构将绳索锁死，随后开始对撕裂带进行近似匀速撕裂，配重可从任意起始高度下落，从而获得不同的撕裂带撕裂测试速度。此外，配重下落过程中还通过激光测速传感器实时测量配重速度。

撕裂速度通过锁绳机构和激光测速传感器精确控制。锁绳机构如图 2所示，该机构由1个槽轮与2个抱闸制动器组成，绳索的末端固定在槽轮内，并在轮槽上环绕一定长度(不超过1周)作为调整量，配重下落至一定高度后，绳索张紧，若配重未达到目标速度，则制动器处于释放状态，槽轮被配重带动随之转动，环绕在轮槽内的绳索被释放，配重继续加速，加速至目标速度后，抱闸制动器将槽轮抱死，然后开始对下方的撕裂带进行撕裂测试。通过该方式实现了撕裂速度的精确控制。

然而，由于该装置采用弹性绳索传递撕裂力，在绳索绷紧时必然会发生振动冲击，影响撕裂带的撕裂过程，因此需要进一步建立理论分析模型，分析动态索力响应特性，进而优化测试装置的参数设计。

2 撕裂带测试装置动力学建模 2.1 机械系统动力学模型

为了简化动力学模型，首先对撕裂带性能测试装置作如下假设：1) 除绳索外其余组件均为刚体，不发生变形；2) 绳索与滑轮之间没有相对滑动；3) 只考虑绳索轴向运动，忽略绳索质量和绳索横向振动。

本文主要研究配重达到目标速度后，绳索首次张紧后的绳端索力状态，不考虑松弛绳索回弹后的复杂形态变化。根据Driscoll等^[3]的研究，对于绳索的集中质量模型，绳端索力的预测与节点划分数量并没有明确关联，通过少量节点就能准确计算绳端索力。这里将撕裂带测试装置的绳索分为3段，每段绳索分别用弹簧阻尼模型表述其动力学行为，需要注意的是，绳索长度随时间变化，绳索弹簧刚度与阻尼系数是时变参数。撕裂带测试装置简化模型如图 3所示。

图 3中，m₁、m₂分别为配重和锁绳机构质量，x₁、x₂分别为绳索两端位移，k₁、k₂、k₃分别为3段绳索的等效弹簧刚度，c₁、c₂、c₃分别为3段绳索的等效阻尼，I₁、I₂分别为滑轮的转动惯量，r₁、r₂分别为2个滑轮的半径，φ₁、φ₂分别为2个滑轮的角位移，F为与锁绳机构相连接的撕裂带在撕裂过程中产生的撕裂力。

2.2 机械系统动力学建模

该系统可以用4个广义坐标来描述系统的运动状态，分别为配重位移x₁，锁绳机构位移x₂，以及2个滑轮的角位移φ₁、φ₂，广义坐标正方向如图 3所示。系统广义坐标向量表示为

$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{llll} x_1 & x_2 & \varphi_1 & \varphi_2 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

(1)

根据含耗散函数的Lagrange方程得到系统运动微分方程为

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}\right)-\frac{\partial T}{\partial x_i}+\frac{\partial V}{\partial x_i}+\frac{\partial D}{\partial \dot{x_i}}=Q_i(i=1, 2, 3, 4). $

(2)

其中：T为系统动能函数，V为系统势能函数，D为耗散函数，x_i为广义坐标，Q_i为广义力。

系统总动能为

$T=\frac{1}{2} m_1 \dot{x}_1^2+\frac{1}{2} m_2 \dot{x}_2^2+\frac{1}{2} I_1 \dot{\varphi}_1^2+\frac{1}{2} I_2 \dot{\varphi}_2^2 . $

(3)

系统总势能为

$ \begin{aligned} V= & \frac{1}{2} k_1\left(x_1-r_1 \varphi_1\right)^2+\frac{1}{2} k_2\left(r_1 \varphi_1-r_2 \varphi_2\right)^2+ \\ & \frac{1}{2} k_3\left(r_2 \varphi_2-x_2\right)^2-m_1 g x_1+m_2 g x_2 . \end{aligned} $

(4)

系统总耗散能为

$ \begin{gathered} D=\frac{1}{2} c_1\left(\dot{x}_1-r_1 \dot{\varphi}_1\right)^2+\frac{1}{2} c_2\left(r_1 \dot{\varphi}_1-r_2 \dot{\varphi}_2\right)^2+ \\ \frac{1}{2} c_3\left(r_2 \dot{\varphi}_2-\dot{x}_2\right)^2 . \end{gathered} $

(5)

将撕裂带测试装置的系统动能、势能、耗散能代入Lagrange第二类方程后整理得到机械系统运动微分方程

$ \boldsymbol{M} \ddot{\boldsymbol{X}}+\boldsymbol{C} \dot{\boldsymbol{X}}+\boldsymbol{K} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{Q}. $

(6)

其中：

$ \begin{aligned} & \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{llll} x_1 & x_2 & \varphi_1 & \varphi_2 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \\ & \boldsymbol{M}=\operatorname{diag}\left(m_1 \quad m_2 \quad I_1 \quad I_2\right), \\ & \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cccc} c_1 & 0 & -c_1 r_1 & 0 \\ 0 & c_3 & 0 & -c_3 r_2 \\ -c_1 r_1 & 0 & \left(c_1+c_2\right) r_1^2 & -c_2 r_1 r_2 \\ 0 & -c_3 r_2 & -c_2 r_1 r_2 & \left(c_2+c_3\right) r_2^2 \end{array}\right] \text {, } \\ & \boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{cccc} k_1 & 0 & -k_1 r_1 & 0 \\ 0 & k_3 & 0 & -k_3 r_2 \\ -k_1 r_1 & 0 & \left(k_1+k_2\right) r_1^2 & -k_2 r_1 r_2 \\ 0 & -k_3 r_2 & -k_2 r_1 r_2 & \left(k_2+k_3\right) r_2^2 \end{array}\right], \\ & \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{c} m_1 g \\ -m_2 g-F \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]. \end{aligned} $

3 数值仿真 3.1 动力学方程求解

在撕裂带开始撕裂前，右侧配重m₁在重力作用下加速下落，并带动右侧滑轮转动，达到目标速度后，绳索绷紧带动左侧锁绳机构m₂一起运动并开始对撕裂带进行撕裂，这里主要研究配重m₁达到目标运动速度后绳索的力学特性。假设配重目标运动速度为6 m/s，即$\dot{x}_1(0)=6, \quad \dot{\varphi}_1=6 / r_1 $，那么式(5)的初始条件为

$\begin{gathered} \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \\ \dot{\boldsymbol{X}}=\left[\begin{array}{llll} 6 & 6 / r_1 & 0 & 0 \end{array}\right]^{\mathrm{T}} . \end{gathered} $

需要注意的是，绳索的长度随时间发生变化，其弹簧刚度和阻尼也随之变化，并且由于绳索的单向受力特性，当绳索处于松弛状态时，弹簧刚度和阻尼均近似为0。综合考虑上述因素，变长绳索的弹簧刚度k₁、k₂、k₃表示如下：

$ k_1=\left\{\begin{array}{cc} \frac{E A}{L_1+r_1 \varphi_1}, & r_1 \varphi_1<x_1 ; \\ 0, & r_1 \varphi_1>x_1 . \end{array}\right. $

(7)

$ k_2=\left\{\begin{array}{cc} \frac{E A}{L_2+r_2 \varphi_2-r_1 \varphi_1}, & r_2 \varphi_2<r_1 \varphi_1 ; \\ 0, & r_2 \varphi_2>r_1 \varphi_1 . \end{array}\right. $

(8)

$ k_3=\left\{\begin{array}{cc} \frac{E A}{L_3+r_2 \varphi_2}, & r_2 \varphi_2<x_2 ; \\ 0, & r_2 \varphi_2>x_2 . \end{array}\right. $

(9)

其中：r₁=r₂=0.05；L₁=L₂=L₃=5 m，表示对应绳段的初始长度为5 m；E为绳索弹性模量；A为绳索横截面积。

出于数学处理的方便性考虑，本系统中的阻尼考虑为Rayleigh阻尼^[13]，即

$\boldsymbol{C}=\alpha \boldsymbol{K}+\beta \boldsymbol{M} . $

(10)

这里取α=0.005 s，β=0。

为了使动力学方程组能够通过MATLAB求解，需要将二阶微分方程组化作一阶微分方程组的形式。令

$ \boldsymbol{Y}=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} & \dot{\boldsymbol{X}}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} . $

则式(6)可写为状态方程形式：

$\dot{\boldsymbol{Y}}=\boldsymbol{A} \bf{Y}+\boldsymbol{BQ} . $

(11)

其中：

$ \begin{gathered} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} \bf{0} & \boldsymbol{I} \\ -\boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{K} & -\boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{C} \end{array}\right], \\ \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c} \bf{0} \\ \boldsymbol{M}^{-1} \end{array}\right] . \end{gathered} $

系统所受外力包括重力和撕裂阻力，撕裂阻力是撕裂带在撕裂过程中对锁绳机构造成的反作用力，根据实验测定，撕裂带产生的阻力大约为30 kN，撕裂长度约为2 m，在撕裂过程中撕裂力会有小幅度的波动，这里在30 kN的恒定力的基础上叠加幅值为500 N，频率为50 Hz的正弦波动力，以模拟真实的撕裂力。需要注意的是，过大的载荷突变会导致动力学方程无法求解，因此在模型求解过程中撕裂阻力的加载需要从0开始连续加载，这种加载方式也更加符合真实情况。本次求解中使用的撕裂力加载曲线如图 4所示。

其他系统参数如表 1所示。

将上述条件代入式(11)，即可求解系统运动微分方程。通过MATLAB求解器，使用Runge-Kutta方法对微分方程组进行离散求解，即可得到节点位移。根据位移求解结果，可以进一步计算绳索两端的受力状态，绳索两端索力由弹簧力与阻尼力组成，表示如下：

$ \begin{aligned} F_1=k_1\left(x_1-r_1 \varphi_1\right)+c_1\left(\dot{x}_1-r_1 \dot{\varphi}_1\right), \end{aligned} $

(12)

$ F_2=k_3\left(r_2 \varphi_2-x_2\right)+c_3\left(r_2 \dot{\varphi}_2-\dot{x}_2\right). $

(13)

3.2 计算结果

求解动力学模型得到配重m₁与锁绳机构m₂速度变化情况如图 5所示，从计算结果可以看出，由于m₁的质量远大于m₂，m₂在绳索绷紧后受到巨大的冲击力并产生极高的加速度，速度迅速超越m₁，随后由于索力减小，m₂速度回落，在振荡过程中，由于绳索阻尼的作用，配重与锁绳机构的速度逐渐趋于一致。

根据式(12)，绳端索力由弹簧力和阻尼力组成，为了更直观地体现二者在运动过程中的作用，图 6展示了配重m₁处绳端索力以及分解力的变化。根据计算结果，发现在高速冲击模式下，阻尼力在冲击初期起主要作用，随着绳索两端速度差减小，绳索伸长量增大，弹簧力随之增大，阻尼力随之减小。在达到稳定状态前，绳索会发生多次冲击，冲击幅值越来越小，达到稳定状态后的索力与撕裂力接近。

进一步分析发现，撕裂力开始施加时间对于索力的响应也有一定影响，将不同的撕裂力开始施加时间代入模型中，求解得到拉力响应如图 7所示。

随着撕裂力施加时间改变，索力出现了负值，这是由于模型中采用恒定阻尼系数，实际绳索的阻尼机制非常复杂，由于计算中出现的负值对本研究的定性分析造成的影响可以忽略，因此这里对阻尼不进行深入研究。可以看出，随着撕裂力开始施加时间增加，索力趋于稳定所需时间增长，并且绳索在第2次冲击时索力最大值也随之增大。在撕裂力开始施加时间达到0.02 s后，部分索力值为0，说明此时绳索出现了松弛现象，绳索松弛后对能量的耗散很小，使得索力的波动加剧，不利于索力的稳定。根据以上分析，撕裂力开始施加时间越小，系统越快趋于稳定。

3.3 索力影响因素

在撕裂带测试装置的初期设计中，必须合理选择各个系统参数，使绳索的索力能够尽快趋于稳定，并保证绳索不发生断裂。其中涉及绳索参数的选用和锁绳机构的结构设计等内容。这里将不同的绳索参数与绳索两端质量比代入模型中求解，对比各组结果，以索力达到稳定状态所需时间与索力的最大值作为评价指标对各组结果进行比较。由于m₁与m₂的索力变化趋势相近，在以下分析中均采用m₁处索力响应作为分析对象。

1) 弹性模量。

绳索的弹性模量变化会改变绳索的等效弹簧刚度和阻尼，使得绳索两端的索力状态发生变化。图 8为不同弹性模量下配重m₁处绳端索力曲线。工程中使用的绳索弹性模量约100~200 GPa，从图中可以看出，在该范围内，随着弹性模量增大，绳索在受冲击时的最大索力增大，系统达到稳定状态的时间减少。

2) 阻尼比例系数。

根据前面分析可知，阻尼大小决定了绳索在冲击发生初期的索力大小，且索力峰值出现在第一次冲击过程，阻尼的大小对于绳索的安全至关重要。为了研究阻尼对索力的影响，在模型计算中取弹性模量E=100 GPa，改变阻尼比例系数α，分别求解不同阻尼比例系数下的索力，结果如图 9所示。从图中可以看出，随着阻尼减小，索力波动加剧，阻尼过小还会导致绳索出现松弛，而增大阻尼使系统能量耗散加剧，索力更快趋于稳定。索力峰值与阻尼的关系更加复杂，阻尼过大或者过小都有可能导致索力峰值增大，可以推测，对于固定刚度下的绳索，绳索阻尼存在一个或多个“最优值”，使得索力峰值在该“最优值”下局部最小。

3) 绳索两端质量比。

这里取配重质量m₁=3 000 kg，绳索弹性模量E=100 GPa，比例阻尼系数α=0.005，改变模型中m₂大小，得到m₁处索力结果如图 10所示。通过计算结果可以看出，随着锁绳机构质量增大，索力峰值明显增大，索力达到稳定状态所需时间增长，锁绳机构质量达到300 kg后，绳索出现了松弛现象。因此，在对撕裂带测试装置进行设计时，在满足使用要求的前提下，应该尽可能减小锁绳机构质量。

4 实验验证

为了验证集中质量模型对于本问题的适用性，搭建了简化实验装置进行模拟实验，实验装置图如图 11所示。

实验采用的钢丝绳索公称直径为1.5 mm，撕裂带标称撕裂力为300 N，左侧质量块质量为2.3 kg，右侧质量块质量为26 kg，力传感器1和3分别测量左右侧质量块的绳端索力，力传感器2测量撕裂带撕裂过程中的撕裂力，并通过速度传感器测量右侧重物速度变化，绳索绷紧时的速度作为初始条件代入动力学方程进行求解，传感器数值通过数据采集器读取，采样频率为10 kHz。

本文所用模型中绳索弹性模量和阻尼系数对索力响应有重要影响，绳索弹性模量通过静拉实验测定得到E=27 GPa。针对阻尼系数，线性系统中一般采用自由振动实验测定绳索的模态阻尼比或者常值阻尼比再反算得到Rayleigh阻尼系数，由于本文所建立模型中，绳索长度是时变的，其刚度矩阵也是时变的，无法通过自由振动实验测定Rayleigh阻尼系数，且在已有的文献中，并没有找到相关的Rayleigh阻尼测定方法研究。故本文根据多组无撕裂带实验结果对Rayleigh阻尼系数进行标定，根据标定结果取Rayleigh阻尼系数α=0.005。

确定绳索参数后，分别进行了甲乙2组对照实验，甲组实验不安装撕裂带，乙组实验安装撕裂带，并通过上述绳索动力学模型分别计算2组实验条件下的绳端索力，与实验测量得到的索力进行对比验证模型的有效性，结果如图 12所示。

对比模型计算结果与实验测量数据，可以看出该模型能够较为准确地预测绳端索力的变化趋势。在甲组实验无撕裂力施加的情况下，绳端索力的计算值与实际值吻合度较好，验证了弹簧阻尼模型在该载荷条件下的适用性。乙组施加撕裂力的情况下，在第2次冲击发生时索力的预测值偏小，第2次冲击发生时，恰好是撕裂力施加的时间，由此分析认为撕裂带对系统的结构特性产生了影响，本文所建立模型由于其局限性无法充分表征撕裂带对系统的影响。虽然第二次冲击时的索力预测存在较大偏差，但模型对于索力的波动趋势仍然具有较准确的预测，对于索力的稳定性设计具有一定参考价值。

5 结论

本文提出了一种航天降落伞撕裂带测试装置，并对该装置进行了理论分析。研究了绳索在冲击载荷下的高速动态索力传递特性，建立了相应的动力学模型，采用Runge-Kutta方法对模型进行离散求解，分析了不同参数对索力响应的影响。数值结果表明：在本文计算范围内，绳索弹性模量和阻尼比例系数越大，索力和速度越快趋于稳定，但是索力峰值也会随之改变，在实际选用绳索时，在保证安全的前提下可以适当提高绳索弹性模量；冲击发生后，撕裂力开始施加的时间越早，索力和速度越快趋于稳定，且第2次冲击的索力最大值越小；锁绳机构质量增大会导致绳索冲击力增大，系统稳定时间增加。通过对比实验证明了本文所建立的绳索动力学模型能够比较准确地计算冲击载荷下绳索的动态索力响应，为撕裂带测试装置的设计与控制提供了理论指导。