2. 北京空间机电研究所, 北京 100094;
3. 北京空间飞行器总体设计部, 北京 100094;
4. 北京卫星环境工程研究所, 北京 100094
2. Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China;
3. Beijing Institute of Spacecraft System Engineering, Beijing 100094, China;
4. Beijing Institute of Spacecraft Environment Engineering, Beijing 100094, China
月球没有全球性大气层和全球性磁场，高能的紫外辐射和太阳风直接照射在月球表面，经过长期作用使大量月尘带电[1-3]，并在月表形成局部电势较高的电场[4-6]。带电的月尘受到月表局部电场的作用被扬起，这种现象被称为月尘静电输运现象[7-10]。最早探测到移动的带电月尘的是美国Apollo 17探测器布置在月表的的LEAM(Lunar Ejecta and Meteorites)实验设备[11-13]。1969年执行Apollo任务的月尘检测仪器探测到了非人为活动引起的月尘累积[14]，2013年中国“嫦娥三号”巡视器搭载的月尘探测仪在一个月球日也检测到了传感器上有0.83 mg/cm2的月尘沉积[15]。实际上，用历次Apollo任务带回的月尘样品进行的大量地面模拟实验证明了月尘在模拟月球的等离子体以及在紫外辐射环境下是带电的[16-21]。基于此，月尘带电、月表电场和月尘静电输运问题开始被关注[13, 22-27]。Horányi[22]使用等离子体充电理论解释了月表电场的形成原理。Stubbs等[23]提出了单个月尘静电输运的喷泉模型。随着质点网格法被成功应用于月表充电以及月尘静电输运的研究，数值模拟逐渐成为主要研究手段。文[24-25]研究了在不同太阳高度角下的月表电场，计算了单个月尘的运动轨迹，重点分析了月表存在月坑时月尘的静电输运规律。Piquette等[26]研究了非对称地形对电场形成以及月尘分布的影响。Matéo等[28]研究了平坦月表存在月坑和巡视器时月尘静电输运的差异。毛子瑞[29]研究了存在月坑对大量发生静电输运的月尘的位置分布以及浮扬高度的影响。Li等[30]研究了单个月尘在月球全球性电场中的运动规律。经过近半个世纪的研究，月尘静电输运的机理开始被逐渐认识。
月尘污染对探测器和巡视器等的光学器件和机械机构存在潜在危害[31-33]，包括黏附污染光学器件、阻塞机械结构和降低热控系统效率等。“玉兔号”月球巡视器曾出现短暂的机构控制异常，这可能是月尘输运异常引起的[27]。无人活动的自然环境下，静电输运是月尘发生输运的重要因素之一[8]。静电输运的研究不仅对月球探测器着陆点以及巡视器行走路线的选取具有重要的参考价值，也对降低月尘对探测器和巡视器等造成的污染有重要意义。
特别值得关注的是，月表日出、日落时地平线出现的亮光被认为是悬浮于月表上空微米级别的月尘输运引起的，称为“辉光”现象。1968—1972年，Surveyor 7和Apollo 17号探测器都探测到了这种现象[9-10]。1972年美国Apollo 17号航天员Cernan从月球轨道器上观察到“辉光”现象并作了手绘图[10]。2015年LADEE环月卫星在月球轨道上检测月球尘埃云的结果表明，在晨昏线附近月尘数密度显著高于其他位置[34]。2016年Li等[30]采用磁流体理论建立的尺度为3×105 m的全球性模型表明，单个月尘在明暗交界附近的输运具有横向特征。2020年，Matéo等[28]提出月球的晨昏线是明暗交界的一种，明暗交界现象难以预测。综上所述，月表环境下明暗交界处存在月尘输运异常现象，然而相关的报道很少，明暗交界处月尘输运机理、运输规律以及影响因素也不甚清楚。
月球的山峰遮挡阳光在月表形成鲜明的明暗交界区域，如月球“第谷”陨石坑中央山峰形成的大面积明暗交界区域[35]；同时，驻留的巡视器和探测器等也会在月表形成局部的明暗交界区域，如“嫦娥四号”着陆器形成的明暗交界区域[36]，基于此，建立整体明暗交界模型和局部明暗交界模型，采用质点网格法与蛙跳法，分别研究月球环境下整体和局部明暗交界处月尘输运异常现象；介绍了控制方程、计算方法和计算模型参数并分析了计算结果。
1 控制方程和计算方法图 1为根据整体和局部明暗交界建立的明暗交界模型示意图，图中x轴和y轴分别表示水平和竖直方向。
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| 图 1 明暗交界模型示意图 |
1.1 月球环境下电场控制方程
在太阳风和紫外辐射的影响下离子和电子在月表附近形成了等离子体，主要包括带正电的太阳风质子和带负电的太阳风电子以及由光电效应形成的光电子等[1]。高能的紫外辐射使带负电的光电子离开月表，经过长期累积，月表逐渐累积正电荷；同时，运动的带电粒子与月表发生碰撞被月表吸收，也使月表累积正电荷或负电荷。因此，在月表的静电荷和附近空间中带电粒子的共同作用下，使月表附近形成了月表电场。因此，基于Guass定律，建立月表电场的静电等离子体模型。本文假设电场控制方程满足
| $ \nabla^2 \varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}, $ | (1) |
| $ \boldsymbol{E}=-\boldsymbol{\nabla} \varphi. $ | (2) |
其中：∇2为Laplace算子；φ为电势；ρ为电荷密度；ε0=8.854×10-12 F/m，为真空介电常数；E为电场强度；∇为梯度算子[25, 37]。
带电粒子形成电场，带电粒子在该电场中受力运动，随着带电粒子在电场中的运动，电场也随之改变，在特定的月表环境下，最终会形成一个稳定电场。带电粒子运动方程表示如下[37]：
| $ m_p \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}_p}{\mathrm{~d} t^2}=\boldsymbol{F}_p+\boldsymbol{F}_p^{\mathrm{g}} . $ | (3) |
其中：mp为带电粒子质量，质子质量为1.661×10-27 kg、电子质量为9.11×10-31 kg，p为带电粒子序号；rp为带电粒子的空间坐标矢量；t为时间；Fp为带电粒子所受电场力；Fpg是微观粒子所受重力，对于微观粒子而言，重力影响很小，可忽略不计。
微观粒子受电场力作用方程表示如下[37]：
| $ \boldsymbol{F}_p=\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}_p, t\right) q_p. $ | (4) |
其中：qp为带电粒子电荷量，质子电荷量为1.602×10-19 C，电子电荷量为-1.602×10-19 C；E(rp, t)表示电场是粒子位置和时间的函数。
空间电荷密度方程表示如下[37]：
| $\rho=\rho\left(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \cdots, \boldsymbol{r}_p, t\right) . $ | (5) |
空间电荷密度方程表示了Euler描述与Lagrange描述之间的关系。
1.2 月尘输运控制方程月球表面存在大量细小的月尘，受光电效应以及太阳风的作用，每个月尘都可能存在充电并带电现象。同时，通过量级分析，月球环境下带电月尘在电场中主要受3种力，即重力、电场力和Coulomb力[29]作用，假设月尘输运的控制方程表示如下：
| $ m \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}}{\mathrm{d} t^2}=m \boldsymbol{g}+\boldsymbol{E} q+\boldsymbol{F}_{\mathrm{C}, s}. $ | (6) |
其中：m为单个月尘的质量；rsL为月尘编号为s的坐标矢量, s=1, 2, …, N；N为计算域中发生输运的月尘个数；mg为s月尘所受重力，方向竖直向下，月球重力加速度g=1.62 m/s2[38]；Eq为s月尘所受电场力，q为月尘所带电荷量；FC, s为s月尘所受的Coulomb力。
可根据月尘等效表面电势Φ，计算其电荷量为[3]
| $q=C_{\mathrm{L}} \varPhi=2 {\rm{\mathsf{π}}} \varepsilon_0 D \varPhi. $ | (7) |
其中：CL为单个月尘的电容，D为月尘直径。
描述月尘静电输运过程中月尘两两之间的相互作用力，即s月尘所受的Coulomb力为
| $ \boldsymbol{F}_{\mathrm{C}, s}=\sum\limits_{l=1, l \neq k}^N \frac{k q^2\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}\right)}{\left[\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}\right)\right]^{\frac{3}{2}}} . $ | (8) |
其中：l为另一个月尘编号, l=1, 2, …, N；k=
综上，可得月尘输运的控制方程为
| $ \begin{gathered} m \frac{\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}}{\mathrm{d} t^2}=\boldsymbol{E} q+m \boldsymbol{g}+ \\ \sum\limits_{l=1, l \neq s}^N \frac{k q^2\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}\right)}{\left[\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}. \end{gathered} $ | (9) |
质点网格法可自洽地计算稀疏等离子体电场，本节采用质点网格法求解1.2节建立的在月球环境下的电场模型。该方法中宏观物理量电荷密度根据每个等离子体的位置计算，对粒子施加的宏观电场力基于电场的控制方程求得。质点网格方法通过对空间位置进行网格划分，将模拟粒子的电荷量分配到网格节点上。基于此，可计算出网格节点上的电荷密度，采用有限差分法求解电场控制方程。这里，一个模拟粒子被用来代表W个微观粒子，即设W为模拟粒子权重，之后可基于所处位置的电场强度获得模拟粒子所受的电场力[37]。
质点网格法计算流程如图 2所示。设置所有参数与条件后，开始循环计算。循环过程中，每个时间步的计算包括以下5个基本步骤：
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| 图 2 质点网格法计算流程 |
1) 计算电荷密度。使用线性形函数把每个模拟粒子的电荷量分配到该模拟粒子所在网格的4个节点上，并计算出网格节点电荷密度为
| $ \rho_{i, j}=\frac{1}{(\Delta h)^2} \sum\limits_n S\left(\boldsymbol{r}_{i, j}, \boldsymbol{r}_n\right) Q_n . $ | (10) |
其中：i、j为空间节点编号；Δh为空间网格长度；rn为第n个模拟粒子的坐标矢量；S(ri, j, rn)表示形函数，选取为线性形函数，ri, j为空间节点i，j的空间坐标矢量；Qn= W·qp为模拟粒子的电荷量[37]。
2) 采用有限差分法求解电场控制方程，计算当前时刻的电场。二阶差分具有二阶精度，能快速有效地计算矩形计算域问题。当前时刻的电场表示如下：
| $ \begin{gathered} \frac{\varphi_{i+1, j}+\varphi_{i-1, j}-2 \varphi_{i, j}}{(\Delta h)^2}+ \\ \frac{\varphi_{i, j+1}+\varphi_{i, j-1}-2 \varphi_{i, j}}{(\Delta h)^2}=\frac{\rho_{i, \text{j}}}{\varepsilon_0}, \end{gathered} $ | (11) |
| $\begin{aligned} E_{i, j}^x & =\frac{\varphi_{i+1, j}-\varphi_{i-1, j}}{2 \Delta h}, \\ E_{i, j}^y & =\frac{\varphi_{i, j+1}-\varphi_{i, j-1}}{2 \Delta h}, \\ \boldsymbol{E}_{i, j} & =\left(E_{i, j}^x, E_{i, j}^y\right) . \end{aligned} $ | (12) |
其中：φi, j为空间节点i、j上的电势；i-1、i+1与j-1、j+1分别为节点i和j的相邻节点；Ei, j为空间节点i、j处月尘的电场强度，Ei, jx和Ei, jy分别为Ei, j的在x轴和y轴2个方向的分量。
3) 根据每个模拟粒子所在的位置计算当前时刻所受的电场力为
| $ \boldsymbol{F}_n=Q_n \sum\limits_{i, j} S\left(\boldsymbol{r}_{i, j}, \boldsymbol{r}_n\right) \boldsymbol{E}_{i, j}. $ | (13) |
4) 采用蛙跳法求解模拟粒子的运动控制方程，求出下一个时刻的模拟粒子的位置，具体表示如下：
| $ \boldsymbol{a}_n^t=\frac{\boldsymbol{F}_n}{M_n}, $ | (14) |
| $ \boldsymbol{v}_n^{t+\Delta t /2}=\boldsymbol{v}_n^{t-\Delta t /2}+\Delta t \boldsymbol{a}_p^t, $ | (15) |
| $ \boldsymbol{r}_n^{t+\Delta t}=\boldsymbol{r}_n^t+\Delta t \boldsymbol{v}_n^{t+\Delta t /2} . $ | (16) |
其中：ant为第n个模拟粒子在t时刻的加速度；Mn= W·mp为模拟粒子的质量；vnt+Δt/2和vnt-Δt/2分别为第n个模拟粒子在t+△t/2和t-△t/2时刻的速度；△t为空间步长；rnt+Δt和rnt分别为第n个模拟粒子在t+Δt和t时刻的坐标矢量。
5) 判断边界条件与粒子源的影响。若粒子超出模型的左、右、上边界则会消失，被程序删除；若粒子碰到下边界则被吸收，下边界会累积相应的电荷量；同时，粒子源会不断射入新的模拟粒子。
1.4 月尘输运计算方法本文采用蛙跳法求解1.2节所建立的月尘输运控制方程。蛙跳法计算流程如图 3所示。蛙跳法是一种稳定的数值积分方法，每个时间步进行如下计算：
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| 图 3 蛙跳法计算流程 |
1) 根据s月尘的位置，即坐标矢量计算当前时刻t所受合力为
| $ \sum\limits_{l=1, l \neq s}^N \frac{ \boldsymbol{F}_s(t)=\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}(t)\right) q+m \boldsymbol{g}+ \\ k q^2\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}(t)-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}(t)\right) }{\left.\left[\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}(t)-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}(t)\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}(t)-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}(t)\right)-\boldsymbol{r}_l^{\mathrm{L}}(t)\right)\right]^{\frac{3}{2}}} . $ | (17) |
其中：rsL(t)为s月尘在t时刻的坐标矢量，rlL(t)为l月尘在t时刻的坐标矢量。
2) 根据Fs(t)计算当前时刻t的s月尘加速度为
| $ \boldsymbol{a}_s^{\mathrm{L}}(t)=\boldsymbol{F}_s(t) /m \text {. } $ | (18) |
3) 根据asL(t)计算月尘速度为
| $\boldsymbol{v}_s^{\mathrm{L}}\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)=\boldsymbol{v}_s^{\mathrm{L}}\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)+\boldsymbol{a}_s^{\mathrm{L}}(t) \Delta t . $ | (19) |
其中
4) 根据速度计算下一个时间步的月尘位置，即坐标矢量为
| $ \boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}(t+\Delta t)=\boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}(t)+\boldsymbol{v}_s^{\mathrm{L}}\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right) \Delta t . $ | (20) |
5) 进行边界判断，判断月尘是否出界，如果出界则删除。
计算完成后输出以下结果：1) 模型内发生输运的月尘数N随时间的变化；2) 带电月尘从水平或竖直方向离开计算域的个数；3) 空间节点处带电月尘的数密度cL，即单位空间体积的月尘数，单位为m-3，节点i、j上的月尘数密度的计算公式为
| $ c_{i, j}^{\mathrm{L}}=\frac{1}{(\Delta h)^2} \sum\limits_{s=1}^N \mathrm{~S}\left(\boldsymbol{r}_{i, j}, \boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}\right) . $ | (21) |
4) 发生输运的月尘的流量密度矢量为fi，j，即每秒通过单位面积的尘埃数，单位为m-2/s，计算公式为
| $ \boldsymbol{f}_{i, j}=\frac{1}{(\Delta h)^2} \sum\limits_{k=1}^N S\left(\boldsymbol{r}_{i, j}, \boldsymbol{r}_s^{\mathrm{L}}\right) \boldsymbol{v}_s^{\mathrm{L}}. $ | (22) |
其中vsL为s月尘的速度。该数据可用来制作月尘数流量密度矢量图。此外，由月尘数密度的云图可直观地观察月尘输运的快慢、方向等信息。
5) 计算域内发生输运的尘埃的水平平均位移Xa，竖直平均位移Ya，单位为m。
1.5 精确性验证本文通过2个算例验证本文计算方法的精确性和可靠性。算例1是电子束形成的电场问题[37]。计算域边长为Hx=Hy=28.65 m，计算域上下边界φ分别为30 V和0 V，下边界电子均匀分布，粒子数密度n0=1.0×106个/m3，流入计算域的动能为10 eV，并假设粒子超出上边界视为出界。左右边界水平方向电场强度为0 V/m，并假设粒子运动的左右边界为周期边界。根据1.1节控制方程计算电场理论解，φ随高度变化满足下式：
| $ \varphi(y)=30\left[\left(\frac{3}{20} \sqrt{\frac{30 e n_0}{\varepsilon_0}} y+1\right)^{\frac{4}{3}}-1\right] . $ | (23) |
其中: y为高度, e为元电荷，约为1.602×10-19 C。
使用1.3节电场计算方法进行计算，取Δt=3.0×10-7 s，Δh=Hx/50。结果如图 4a所示，数值解与理论解最大绝对误差为0.08 V，最大相对误差为0.76%。同时，使用自编程序的有限差分法单独计算静电腔体问题[39]，精度达0.05%。上述结果表明：本文采用质点网格算法实现的计算方法和计算程序具有很高的精确性和可靠性。
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| 图 4 精确性验证结果 |
算例2是带电尘埃在电场中的运动问题。为了验证程序的精确性，本文采用一个有解析解的算例进行验证。D=1 μm的月尘颗粒带有正电荷，Φ=100 V，密度ρL=1 500 kg/m3。月尘颗粒在计算域边界高度Hy=50 m，Ey=2 V/m、Ex=0 V/m的电场中运动，Ex和Ey为E在x轴与y轴2个方向的分量。忽略重力可得位移解析解为
| $ y=\frac{6 E_y \varPhi \varepsilon_0}{\rho_{\mathrm{L}} D^2} t^2. $ | (24) |
当y=Hy时，得到带电月尘颗粒出界的时刻为2.656 87 s。当Δt=0.001 s时，数值解的位移相对误差为2.0×10-12%，如图 4b所示。同时，出界时间的模拟结果为2.657 s，相对误差为0.005%。综上所述，本文采用蛙跳法实现的计算方法和计算程序具有很高的精确性和可靠性。
2 模型与结果 2.1 整体明暗交界的计算模型与计算参数整体明暗交界的月尘输运模型如图 1b所示。左侧为光照区，假设在此区域的月表发生光电效应；右半部分为阴影区表面，假设在此区域的月表不发生光电效应。上边界电场边界条件为第1类边界条件，φ=0 V/m。左右边界设置为第2类边界条件，Ex=0 V/m。下边界根据Guass定律设置为E=σ/ε0，其中σ是根据累积效应计算出的月表电荷的面密度。本文进一步假设模拟粒子运动出上、左、右边界，则认为离开计算域。
整体明暗交界模型的范围为100 m×50 m。各月表环境参数，如太阳风、光电效应参数等是结合天文学数据及以往模拟实验确定的[16], 这些环境参数被认为可代表月表环境[22-27]。即假设太阳风的温度为10 eV，n0=1.0×107个/m3，并以漂移速率为450 km/s从上边界入射到计算模型中[24-26]。光电子以Maxwell分布律入射到计算域，其中，光电子的电子温度为2.2 eV[16, 25-26]，太阳直射光电子电流密度为4.5 μA/m2[16]。计算电场时，单元网格设置为Δh=1.0 m，小于Debye长度[16, 24-26]，约为1.38 m；选取Δt=2.0×10-7 s，小于电子以热速度运动穿过一个网格的时间(约为1.0×10-6 s)[24-26]。以上计算参数均满足质点网格法的电场求解条件[37]。
本文选取Apollo任务带回地球样本的实测月尘个数和质量百分比作为本文的计算参数[40]。计算结果见2.2节，发现直径大于10 μm的月尘不能被扬起，因此选取72501号样本和72461号样本统计的月尘平均直径和质量分数[40-42]估算本文计算模型中直径小于3 μm的月尘总数，约为3×107个。同时，文[25-26, 28]选取特定的月尘数, 如2×104个，模拟月尘静电迁移的群体规律。因此，本文分别选取月尘颗粒总数3×107个和2×104个进行计算。为兼顾计算效率，本文采用代表性月尘颗粒进行数值模拟，选取数值如表 1所示。通过计算发现，月尘颗粒总数为3×107个，且代表性月尘颗粒数为150个的计算结果能兼顾精度与效率，因此，可作为本文的计算参数。
月尘密度(含孔隙率)选取1 500 kg/m3[38]。假设光照区月表随机分布有大量带电月尘，月尘具有等效表面电势。D取0.6、1.2、2.0和5.0 μm，Φ取50、100、200和400 V作为月尘的代表性参数。同时，为保证计算精度，月尘每个时间步位移距离不超过1个网格，因此选取计算时间步为0.001 s。计算过程中，假设月尘陆续、随机发生扬起，月尘输运过程中超出上、左、右边界，就离开了计算域，程序会删除该月尘，下边界假设为反弹边界条件。采用C++语言编制计算程序。
2.2 整体明暗交界计算模型的计算结果 2.2.1 电场结果整体明暗交界模型的电势云图如图 5所示。由图 5可知，无光照的阴影区即整体明暗交界模型右侧的电势较低，全场最低电势出现在明暗交界处右侧下方，约为-70 V。同时，光照区即左侧电势较高，全场最高电势出现在最左侧，约为20 V。月表附近长期的光电效应让月表积累正电荷，导致模型中左侧电势比较高，同时也导致明暗边界区域的电势在空间上的变化表现得最为剧烈。明暗交界处电场强度为全场最大，约30 V/m。月表附近电场强度为1~4 V/m，在更高的空间位置，电场强度则小于1 V/m。
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| 图 5 整体明暗交界模型电势云图 |
2.2.2 月尘输运计算结果
整体明暗交界模型的月尘数密度云图如图 6所示，图中t表示输运发生后的第t秒，红色箭头方向为运动方向，后文各图红色箭头意义相同。整体明暗交界模型的月尘输运主要包括4个阶段，特征如下：
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| 图 6 整体明暗交界模型的月尘数密度云图 |
1) 第1阶段为初始阶段，如图 6a所示。明暗交界处的月尘最先发生输运，并形成向右上方的长条状输运路径。长条状水平和竖直方向输运速度分别约为20 m/s和10 m/s，cL约为3.4×103个/m3。其他位置的月尘颗粒刚刚扬起，还未形成明显的输运现象，水平和竖直方向输运速度分别约为4和3 m/s，cL为1.0×104~2.0×104个/m3。
2) 第2阶段，如图 6b所示，该阶段开始形成喇叭状的月尘输运路径，整体月尘开始形成完整的输运路径，并在喇叭口处聚集。聚集区域在明暗交界线上方约10 m处，cL最高达2.67×104个/m3，输运速率为10~15 m/s。聚集区域的月尘水平输运速度是竖直方向的5~12倍，而左侧水平输运速率是竖直输运速率的1.5~2倍。此时右上方虽然月尘数密度全场最低，但输运速率大于15 m/s。在该阶段，开始有月尘离开计算模型。
3) 第3阶段，如图 6c所示，该阶段形成了几近完整的喇叭口输运路径，聚集现象仍明显存在，月尘数密度更高，最高处达4.3×104个/m3。其他特征与第2阶段基本接近。
4) 第4阶段为稳定阶段，如图 6d所示。稳定阶段形成了稳定完整的喇叭口输运路径，形状和第3阶段相似，但出现月尘被反弹现象，形成明显回弹区，并出现聚集。贴近光照区月表的部分空间cL约为2.0×104个/m3，输运速率约为3 m/s；光照区上空约5 m处cL约为1.0×104个/m3，输运速率约为5 m/s；cL最高处发生在明暗交界线上方约10 m处，约为4.3×104个/m3，此处水平方向输运速度约为竖直方向的10倍。
整体明暗交界模型月尘输运统计参数变化如图 7所示，由统计参数可知，在第12 s后，输运现象基本趋向稳定。计算模型内月尘N约为1.4×107个，ya为7.6 m，xa约为24.5 m。
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| 图 7 整体明暗交界模型月尘输运统计参数图 |
综上所述，整体明暗交界处的月尘输运异常现象具有以下特征：明暗交界处的月尘更容易发生输运，并且输运异常现象比较显著；具有明显的横向输运特征，达到稳定阶段后的水平输运速度大于竖直方向输运速度，二者最高相差约10倍；月尘输运路径可逐渐趋向稳定，月尘输运路径呈现完整喇叭口形状，明暗交界线上方的月尘数密度为全场最高，并且月尘在此处发生聚集。
2.2.3 月尘直径与等效表面电势对月尘输运的影响月尘因太阳辐射而携带电荷[14, 38]。选取D分别为0.6、1.2、2.0和5.0 μm的4种月尘；选取Φ分别为50、100、200和400 V的4种月尘，探讨月尘的直径和等效表面电势对整体明暗交界处月尘输运的影响，结果如图 8和9所示。
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| 图 8 整体明暗交界模型选取4种月尘直径的计算结果对比(Φ=100 V，t=20 s) |
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| 图 9 整体明暗交界模型选取4种月尘等效表面电势的计算结果对比(D=1.2 μm，t=20 s) |
图 8选取第20 s结果以对比稳定阶段月尘输运的特征。由图 8可知，到达稳定状态后，直径越小，月尘输运现象越显著。不同直径的月尘输运特征是：1) D=0.6 μm时月尘具有片状抛物线形整体输运路径，如图 8a所示。这是由于月尘所受的静电场力为月尘输运的主导力，重力的影响减弱。与D=1.2 μm的月尘(如图 8b所示)不同，其输运路径下方形成了部分聚集现象，是重力影响导致的。2) D=2.0 μm的月尘输运路径呈现不明显的喇叭口状的水平输运特征，如图 8c所示。但其输运路径的形状远不如D=1.2 μm的月尘明显。3) D=5.0 μm的月尘输运路径主要在下表面，如图 8d所示，且输运现象不甚明显。进一步计算发现，D=10.0 μm的月尘无明显输运现象，这时重力的影响远大于其他各力。
由图 9可知，不同等效表面电势月尘的输运特征是：1) Φ=50 V的月尘输运路径初步呈现喇叭口状，如图 9a所示，但光照区月尘输运高度较低；2) Φ=200 V的月尘输运路径呈喇叭口和抛物片状组合形状，且在较高位置出现交叉聚集，如图 9c所示；3) Φ=400 V的月尘输运呈现片状抛物线形整体路径，如图 9d所示。月尘的等效表面电势越高，重力的影响相对越小，输运路径范围越大，越接近片状抛物线形状。
整体明暗交界模型的月尘的竖直方向平均位移受直径和等效表面电势的影响如图 10所示。由图 10可知，相同条件下，月尘直径越大、等效表面电势越低，输运稳定时月尘数密度越高，越晚达到输运稳定状态，输运高度越低，输运现象越不明显。
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| 图 10 整体明暗交界模型月尘竖直方向平均位移 |
2.3 局部明暗交界计算模型的计算结果 2.3.1 局部明暗交界的计算模型和计算参数
在月球的光照面，月球探测器长时间停留会使地面形成局部阴影以及明暗交界，如图 1c所示。局部明暗交界模型如图 1d所示，其中探测器被简化为4 m×5 m矩形，停在该区域中间位置。假设探测器左侧形成局部阴影区，微观带电粒子碰到探测器则在探测器表面发生累积。该模型与整体明暗交界计算模型的环境参数和计算参数相同。同时，本文假设探测器壁面为绝缘体，没有考虑镜像力；同时，若月尘在输运过程中碰撞到探测器会发生完全弹性碰撞。
2.3.2 计算结果局部明暗交界模型的电势云图如图 11所示。由图可知，电势最高值出现在探测器右侧月表，为60 V；电势最低值出现在探测器阴影区月表，为-15 V。由于阴影区不发生光电效应，不会累积正电荷，探测器左侧电势较低。电势在空间中变化得最剧烈的位置出现在探测器两边的月表，形成的电场强度约为10 V/m；左侧距探测器约40 m的远处月表电场强度约为1 V/m，右侧距探测器远处月表电场强度约2 V/m；其余空间电场强度小于1 V/m。
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| 图 11 局部明暗交界模型电势云图 |
局部明暗交界模型的月尘数密度云图如图 12所示。由图可知，局部明暗交界模型月尘输运可分为3个阶段，特征如下：
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| 图 12 局部明暗交界模型的月尘数密度云图 |
1) 第1阶段为初始阶段，如图 12a所示。初始阶段月尘主要向右上方输运，紧挨着探测器形成向上的条状输运路径，其他位置的月尘刚刚开始被扬起。左侧离探测器较远处水平、竖直方向输运速度分别约为2 m/s和1 m/s，阴影区输运速率约为1 m/s。初始阶段，探测器左侧和上方开始出现少量月尘聚集。
2) 第2阶段，如图 12b所示，形成了整体向右的输运路径。由于探测器的遮挡，部分月尘被反弹回光照区，并在探测器左侧形成月尘涡漩。探测器附近月尘聚集现象加剧，左侧cL最高为1.0×105个/m3。同时，距探测器较远处的月尘输运速度加快，水平输运速率为4~5 m/s。
3) 第3阶段为稳定阶段，如图 12c所示，形成了稳定的整体向右输运路径，月尘在探测器左侧阴影区形成了运动剧烈的大涡漩。同时在探测器上方，月尘出现明显聚集，并在探测器左上方形成明显的反射区域。稳定阶段的探测器上方聚集了约5.0×104个月尘，其cL约为3.5×104个/m3。探测器左侧cL达到1.2×105~1.3×105个/m3，该聚集区输运速率约1~2 m/s，速度方向呈顺时针分布。探测器左上方反射区输运速率较大，约7 m/s。从第2阶段到稳定阶段的过程中，探测器左侧会持续聚集月尘，且聚集范围逐渐变大，cL保持在1.2×105~1.3×105个/m3。
局部明暗交界模型月尘输运统计参数图如图 13所示。由图可知，发生输运的月尘总数处于一直增加状态，这是由探测器的遮挡作用和低电势区的“陷阱”作用引起的。第10 s后水平方向平均位移降低，是因为月尘向左运动逐渐显著；竖直方向平均位移一直增加，但增加速率降低，同时输运路径趋于稳定，其原因为随着聚集现象加剧，Coulomb力成为主导力。
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| 图 13 局部明暗交界模型月尘输运统计参数图 |
综上所述，局部明暗交界模型月尘输运异常现象具有以下特征：1) 探测器左、上侧会出现非常显著的聚集现象，其中左侧阴影区聚集现象最显著。2) 月尘整体向右输运路径特征明显，并在探测器左侧形成运动剧烈的顺时针大涡旋。3) 发生聚集的区域，月尘输运速率较慢，若于探测器左上方被反弹则输运速率较快，若被聚集区反弹则向左上方输运离开计算模型。
2.3.3 月尘直径与等效表面电势对月尘输运的影响同时，本文也针对局部明暗交界模型探讨了月尘直径和等效表面电势对月尘输运的影响。选取4种月尘，D分别为0.6、1.2、2.0和5.0 μm；另外4种月尘，Φ分别为50、100、200和400 V，结果如图 14和15所示。
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| 图 14 局部明暗交界模型选取4种月尘直径的计算结果对比(Φ=100 V，t=20 s) |
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| 图 15 局部明暗交界模型选取4种等效表面电势的计算结果对比(D=1.2 μm，t=20 s) |
由图 14可知，不同直径月尘的输运特征是：1) D= 0.6 μm的月尘输运路径呈扇形，总体输运方向为右上方，月尘数密度较高的区域在探测器左上方且呈三角形。同时，聚集区域也会出现月尘涡旋。2) D=2.0 μm月尘与D=1.2 μm月尘的输运路径相似，阴影区也存在月尘涡旋以及月尘聚集现象；不同之处在于，D=2.0 μm月尘的聚集区月尘数密度较高，月尘在探测器上方聚集程度略低。3) D=5.0 μm的月尘输运路径几乎全部分布在月表附近，月尘输运高度未超过探测器，只有极少数的月尘会被向上扬起，其原因为对于直径较大的月尘，重力的影响占据主导地位，而当月尘数密度较大时Coulomb力大于重力。
由图 15可知，不同等效表面电势月尘的输运特征是：1) Φ=50 V的月尘的输运路径贴近月表，如图 15a所示，与Φ=100 V的月尘的输运路径(如图 15b所示)相似，阴影区聚集的月尘数密度更高，探测器左侧也存在月尘涡旋和聚集现象。2) Φ=200 V的月尘输运路径呈半扇形，主要输运方向为左上方，探测器左侧出现非常剧烈的月尘涡旋以及显著的聚集现象，并且探测器上侧的聚集现象更显著。3) Φ=400 V的月尘输运路径为扇形，总体输运方向为右上方，探测器附近月尘数密度比较均匀，上侧的聚集现象更显著。
综上所述，局部明暗交界模型月尘输运特征是：直径越小、等效表面电势越高，静电输运现象越明显，输运路径越宽，月尘数密度越低，在探测器上方月尘聚集现象越显著，探测器左侧聚集的月尘越少，形成的月尘涡旋越剧烈。
3 讨论 3.1 Coulomb力的影响Coulomb力影响较大，本文月尘输运控制方程考虑了月尘两两之间相互作用的Coulomb力。之前大部分研究忽略了Coulomb力的影响，仅认为是外部静电场力主导了月尘的输运[13, 25-26]。因此，本文通过整体明暗交界模型将是否考虑Coulomb力的计算结果进行了对比(图 8b和16a)，不考虑Coulomb力的稳定月尘数密度云图呈现一条条线状，整体分布非常不均匀，聚集处最大月尘数密度是考虑Coulomb力结果的1.7倍，说明不考虑月尘之间两两互相作用的Coulomb力的输运结果与实际相差较大。图 16b为Surveyor 7月球探测器拍摄的“辉光”现象照片[9]，可知“辉光”现象中的月尘分布呈现相对均匀的特征，因此，考虑Coulomb力的计算结果与观测结果比较接近，更符合真实物理现象。综上可知月尘两两之间的Coulomb力不可忽略。
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| 图 16 不考虑Coulomb力计算结果与“辉光”现象对比 |
3.2 月尘初始位置的影响
实际上，局部明暗交界模型中探测器右侧月尘也会受到紫外辐射，也存在局部明暗交界月尘输运异常现象。因此，本文进一步模拟了相同条件下探测器右侧月尘的输运异常现象。图 17为局部明暗交界模型探测器右侧月尘数密度云图，图 17b的灰色曲线描述了5条具代表性的月尘输运路线的方向。结果表明，局部明暗交界模型中探测器右侧月尘输运包括2个阶段，特征为：
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| 图 17 局部明暗交界模型探测器右侧月尘数密度云图 |
1) 第1阶段为初始阶段，如图 17a所示，探测器右侧月尘主要向左上方输运，输运速率小于3 m/s，月尘在探测器右侧不断聚集，第6.25 s已经达到了4.0×104~1.1×105个/m3。同时，初始阶段聚集的月尘开始向左翻越探测器。
2) 第2阶段为稳定阶段，如图 17b所示，整体向左的月尘输运路径趋于稳定。在探测器右侧，距离探测器20 m内的月尘主要翻越探测器并向左上方输运，距离探测器20~30 m的月尘主要向上输运，距离探测器超过30 m的月尘向右上方输运。探测器左侧的cL较小，约为6.0×103个/m3，但输运速度全场最快，水平输运速度约为10 m/s，此时竖直方向的输运速度仅为1~2 m/s；探测器上方cL约为2.0×104个/m3，月尘向左输运速率约为10 m/s；在探测器右侧，月尘主要分布在15 m以下的空间，输运速率小于2 m/s，cL最高为1.3×105个/m3。
综上可知，局部明暗交界模型中探测器左右两侧月尘输运特征各有不同。从输运路径来看，左侧月尘在阴影区形成漩涡以及聚集现象，探测器左上方形成明显的反射区域；右侧月尘输运较为复杂，主要路线为翻越探测器向左运动。从月尘数密度分布来看，左侧月尘在探测器左、上侧聚集，探测器右侧月尘几乎只在右侧聚集。从输运速度来看，两侧聚集区域输运速率都比较慢，为1~2 m/s，右侧月尘越过探测器向左输运的速率较快。
探测器左侧和右侧均出现非常显著的月尘输运异常现象，形成双向水平输运特征，并存在或大或小的双月尘涡旋，导致探测器周围的月尘数量远远大于其他位置，cL达到约1.4×105个/m3。
3.3 不同模型的结果对比本文分别研究了整体明暗交界模型和局部明暗交界模型中月尘输运异常现象的影响机理和因素，2个模型的结果显示完全不同的特征。从输运路径来看，整体明暗交界模型中月尘静电输运有显著的横向输运特征，且输运路径呈喇叭口状或片状抛物线形状，水平方向速度大于竖直方向速度，月尘主要从水平方向离开计算模型。在局部明暗交界模型中，探测器左侧月尘最终主要向右上方向输运后折返向左上方向输运，路径未越过探测器；探测器右侧月尘输运路径分布在整个计算域，主要路径是翻越探测器向左输运。从月尘输运路径形成的过程来看，整体明暗交界模型中月尘输运路径很快趋向稳定；局部明暗交界模型中月尘在阴影区持续累积，月尘输运路径逐渐趋近稳定。从月尘数密度等来看，局部明暗交界模型的最大月尘数密度比整体明暗交界模型的高约10倍。在输运流量密度上，局部明暗交界模型低于整体明暗交界模型，最大相差约5倍。
“辉光”现象出现在月球日落时刻，被认为是昼夜明暗交界横向电场差异导致的月尘输运异常现象[9-10]。这种现象和月球半径同尺度的现象虽然能被观测到，但环境复杂，被认为难以直接进行数值模拟[35, 43]。本文整体明暗交界模型的结果显示，月尘能形成较为均匀的稳定的喇叭口(D=1.2 μm)或片状抛物线形状(D=0.6 μm)的输运路径。该结果给出了合理的对山脉遮挡而形成的明暗交界处输运异常现象的预测或模拟，可从某一侧面验证“辉光”现象的影响机理和影响因素，从而间接地验证该现象。
1969—1976年Apollo任务的月尘检测仪器探测到了由非人为活动引起月尘的累积[14]，2013年中国“嫦娥三号”巡视器搭载的月尘探测仪在一个月球日检测到了传感器上0.83 mg/cm2的月尘沉积[15]。但是这些测量并非直接的光学测量，是通过太阳能电池输出电压间接测量的，所以月尘在探测器上沉积的原因不确定。本文局部明暗交界模型计算结果显示，探测器两侧的月尘在输运过程中会在探测器两侧以及上方出现大量聚集，并在探测器两侧形成剧烈的月尘涡旋，导致探测器周围出现异常高数密度的局部“月尘暴”。研究结果表明，月尘静电输运异常现象对探测器存在较大的潜在污染风险，也可能是月表探测器上沉积大量月尘的主要原因之一。
本文假设月尘与探测器壁面以及月表的碰撞模型为完全弹性碰撞模型，碰撞力的大小远大于黏附力的大小，忽略了月尘与月表发生碰撞时黏附力的影响，没有考虑镜像力，这些问题可作为今后研究的方向。
4 结论本文采用质点网格法和蛙跳法分别模拟了整体明暗交界和局部明暗交界的月尘输运异常现象。计算结果表明，山峰遮挡而形成的整体明暗交界处，微米级的带电月尘会出现非常显著的月尘输运异常现象，月尘输运路径呈现喇叭口形状或片状抛物线形状，明暗交界线上方会发生月尘聚集。明暗交界处月尘更容易发生输运，并且输运现象比较剧烈。在明暗交界区域月尘输运现象具有明显的横向特征，水平输运速度大于竖直方向，最高相差10倍，并且月尘输运会趋向稳定。该模型能从某一侧面验证“辉光”现象。同时，通过对参数的讨论可知，月尘直径越大、等效表面电势越低，稳定时数密度越高，达到稳定规律越慢，输运高度越低，输运路径越不明显。
本文进一步模拟了月球探测器遮挡形成的阴影区附近微米级月尘输运异常现象。结果表明，探测器左侧和右侧都会发生月尘输运异常现象，2种输运现象都非常显著。同时存在大量的月尘从左侧向右侧以及从右侧向左侧的双向水平输运异常现象，并在探测器的左右两侧形成或大或小的月尘涡旋。因此，本文研究结果不仅对月球探测器着陆点以及巡视器行走路线的选取具有重要参考价值，也对减少月尘对探测器和巡视器等的污染有重要意义。
月尘输运异常现象不但对现役的月球车和探测器等有潜在危害，也是未来人类探月活动无法回避的关键问题之一。迄今为止，对月表月尘静电输运定量的精确原位测量还未能实施。美国Apollo系列任务与中国“玉兔二号”曾进行过月尘沉积的原位测量，其原理都是基于太阳能电池输出电压受覆盖尘埃的影响。这些都是对月尘沉积导致的结果进行的测量，为间接测量手段。要实施对月尘输运现象原位测量，并得到可靠数据，需要在今后登月计划中布置能基于光学直接定量测量运动带电月尘的仪器。
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