近年来机器学习(machine learning, ML)等人工智能(artificial intelligence, AI)方法在图像识别、自然语言处理、推荐系统等领域取得了颠覆性的成就[1]。在自然科学领域，以ML为代表的AI方法突破了传统Newton范式的物理建模思维，被称为“科学发现的第四范式”(注：第一范式，观测和实验；第二范式，理论科学范式；第三范式，计算科学范式)，在诸多学科中表现出色。在流体力学领域《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》于2016年[2]，《Science Advances》于2017年[3]，《Nature Communications》于2018年[4]，《Science》主刊于2020年[5]，《Nature Computational Science》于2022年[6]，均刊登了基于深度学习对流体力学直接数值模拟(direct numerical simulation, DNS)或实验数据进行数据挖掘的相关理论研究，并进一步支撑相关建模工作。同时，《Annual Roview of Fluid Mechanics》也发表了文[7-8]这2篇综述，详细分析了采用ML方法的优势和特点，即ML方法可普遍适用于流体力学的相关领域，降低了建模难度，同时ML方法的适用范围和适用性也优于传统方法。
上述成果表明，ML方法在“多尺度、高维数”问题建模方面表现优异，与传统的基于物理规则所建立的模型相比，ML方法建立的模型具有高效性、跨尺度性的物理特征描述能力。高Reynolds数的湍流流动与燃烧化学反应耦合的物理过程，即湍流燃烧过程，也是时空多尺度复杂问题的典型代表之一。从湍流燃烧仿真建模的角度看，化学反应动力学模型、湍流燃烧模型等关键模型所涉及的建模时间和空间尺度均跨越了数个量级；从工程应用中的湍流燃烧性能评估和智能控制的角度看，性能评估模型、控制模型等又涉及多参数和强非线性的系统特征等问题。针对上述问题，基于传统数理方法的建模在过去40年中已有大量研究，但仍存在计算量大、计算精度较低、适用范围较窄等困难。近10年来，随着ML方法的引入，上述部分问题已有突破性进展，但也产生亟待解决的新问题，如ML方法的可解释性与适用性等。本文将对ML在湍流燃烧模拟中已有的相关进展进行综述，首先简述ML在湍流燃烧建模仿真中的应用，具体包含化学反应动力学建模和计算加速，以及ML在湍流燃烧建模中的应用；然后介绍在发动机燃烧中的智能控制与性能优化；最后展望未来ML在湍流燃烧中的应用前景。
1 湍流燃烧建模仿真中的应用对于燃烧的数值模拟主要涉及2个较为关键的数值方法，一个是化学反应计算，通过构建化学反应机理表征燃料或化学物质之间的化学反应过程，化学反应的计算决定能否准确模拟燃烧过程的组分质量分数的分布、点/熄火现象等；另一个是燃烧模型构建，其控制着化学反应和湍流相互作用的形式和程度，极大地影响燃烧进程、释热分布等宏观表现。
1.1 化学反应动力学建模和计算加速设计高效、低排放的内燃机，需要对燃烧过程的化学反应进行准确仿真，而详细的化学反应动力学机理往往包含数百组分与数千基元反应[9]，数值刚性强、计算开销大，因此大型燃烧模拟往往无法直接选用详细机理。
为解决复杂化学反应机理导致数值求解方程过多的问题, 许多研究者试图用ML方法加快化学反应的计算和方程求解速度，主要分为2类：一类是使用ML方法对化学反应机理进行构建并简化，即在燃烧模拟之前进行机理构建与简化，并进一步根据模拟工况进行优化，然后在模拟过程中直接采用简化机理，从而减少计算量；另一类是使用ML方法对求解过程进行加速，即在数值模拟中对化学反应计算进行人工神经网络(artificial neural network, ANN)建表等操作，以加速求解过程，以下进行详细阐述。
1) 化学反应机理构建、简化与优化。
在解释复杂化学反应的过程中，发现未知的燃烧反应途径是一个具有挑战的工作。基于ML的方法有助于解决上述问题。Ji等[10]通过质量作用定律和Arrhenius公式推导了单步反应的单神经元化学反应神经网络，通过将多个神经元叠加在一个隐藏层中，形成一个包含n个反应和m种组分的多步反应的神经网络，而隐藏层神经元代表不同的反应，用实验数据对神经网络进行训练后，可由神经网络的权重和偏差导出反应途径和相关参数，这种构建方法具有良好的物理可解释性。Zeng等[11]将反应分子动力学模拟与人工神经网络相结合致力于探索新的甲烷反应途径。反应分子动力学模拟可以发现没有先验知识的新反应和新组分。首先，通过反应分子动力学模拟，记录包括数百个中间自由基在内的组分；然后，利用模拟得到数据训练神经网络，生成反应分子动力学模拟的势能面；最后，利用势能面描述甲烷燃烧的复杂化学反应。Zeng等[11]的工作为在原子水平上理解化学反应过程、发现新的反应途径提供了有效的方法。
机理简化往往能带来数倍乃至数十倍的组分数和反应数的减少，但较为激进的简化策略也会带来较大误差。通过这类“简化与优化”流程得到的既简单又准确的化学反应机理，对缩短迭代周期、降低研发成本具有重要价值；同时，基于实验数据的化学反应机理优化还能进一步提高反应动力学机理的可靠性与可用性。
Su等[12]提出了一种基于神经常微分方程(ordinary differential equation，ODE)的反应动力学系统优化方法，可用于优化动力学机理参数，其网络架构如图 1所示。其中：A、B、C分别代表 3种不同的组分；u0代表初始时刻的状态变量；ut代表t时刻的状态变量；Ai为Arrhenius常数；Eai代表反应活化能，i=1，2，3，分别对应A、B、C 3种组分。文[12]将传统的ODE系统在可微分编程下实现为单个ODE层(ODE layer)，用数据对ODE层积分后的结果进行约束，即可实现对反应系统的多目标优化。各种实例应用包括基于激波管实验数据的机理参数优化、快速活性子空间计算与不确定性传递、基于出口观测值的进口条件估计等。
2) 机理求解过程加速。
化学反应源项的求解往往会产生较大的计算成本，为解决这一问题，ML相关模型可成为计算化学反应源项的替代模型，如可以利用ANN等，以热化学状态为输入、相应化学反应源项为输出建立神经网络模型，从而实现求解加速。
20世纪末，Christo等[13-14]首次尝试在燃烧化学中应用神经网络加速化学反应的积分过程。该工作采用3步化学反应机理与联合速度标量概率密度函数(probability density function, PDF)方法模拟湍流H2/CO2火焰。结果表明，与传统方法相比，采用ANN表征湍流火焰中的化学反应机理大大减少了内存，提高了计算效率。1998年，Blasco等[15]将神经网络应用于构建13组分甲烷的化学反应机理，采用3个神经网络分别计算组分的质量分数、温度和密度的变化。2年后，Blasco等[16]开展了一项开创性的工作。首先，采用部分搅拌反应器(partially stirred reactor, PaSR)模型和9组分甲烷燃烧的化学反应机理生成样本数据。然后，利用包含自组织映射(self-organizing map, SOM)和多层感知机(multi-layer perception, MLP)的两层拓扑网络。利用SOM将生成的样本进行分类，然后每一类采用1个专门的MLP进行训练，以适应该子域的样本。结果表明该方法效果良好，能够大幅加速计算。
An等[17]为了构建通用的基于神经网络的化学反应机理，先利用Reynolds时均(Reynolds average Navier-Stockes，RANS)模拟计算生成大量样本，再将生成的样本传递到SOM中进行分类，然后输入到专门的反向传播神经网络(back propagation neural network，BPNN)中进行学习，最终获得基于SOM-BPNN化学反应机理，如图 2所示。该方法进一步通过构建甲烷的框架机理进行验证，结果表明基于SOM-BPNN的化学反应机理与原始化学反应机理的计算结果高度一致。效率方面，基于SOM-BPNN的化学反应机理的化学反应积分耗时约降低2个数量级。该方法也在火箭基组合循环燃烧室[17]的大涡模拟(large eddy simulation，LES)中进行了验证。直接求解和基于SOM-BPNN的ML方法计算获得的温度云图(见图 3a)、OH质量分数分布(见图 3b)和H2O质量分数分布(见图 3c)均宏观一致。该结果表明，在保证计算精度的前提下，最大可以获得19倍的化学反应机理计算效率增益。受卷积神经网络(convolutional neural networks, CNN)在图像识别应用的启发，Wan等[18]利用CNN将多个二维组分质量分数和温度的图像作为输入(CNN输入)预测化学反应源项(CNN输出)。训练数据由具有侧壁效应的湍流非预混含氧火焰的DNS生成。结果表明，经训练后CNN简化的化学模型在中央处理器(central processing unit, CPU)开销和组分预测方面优于Arrhenius模型。文[19]提出了1种核主成分分析方法来压缩化学状态空间维度，通过ANN对降维后的数据进行学习，从而代替直接的化学反应积分计算，大大减少了化学反应计算量。结果表明，对于正十二烷、正庚烷和正癸烷的计算加速分别为1、2和3个数量级，加速效果显著。
Zhang等[20]提出了基于Box-Cox变换(Box-Cox transformation, BCT)的预处理方法和基于燃烧物理过程的多尺度采样方法，系统地比较了多种不同预处理手段和采样方法带来的神经网络能力差异。结果表明，多尺度采样方法得到的数据集质量最高，通过离线训练就可以得到适用范围较广的单一神经网络。该神经网络适用于多种燃烧场景，具有稳定时间步长较大、准确预测化学反应源项的优点，可自然克服数值模拟中化学刚性，从而极大提高模拟效率。这项研究表明ML方法本质上是数据驱动的，数据采样策略和预处理方式直接决定了最终模型的预测精度和适用范围，需要在建模过程中重点关注。
近年来，文[21-22]致力于发展融合图形处理器(graphics processing unit, GPU)和ML方法的化学反应计算加速方法。与通常只有4或8个算术逻辑单元的CPU相比，GPU拥有数千个算术逻辑单元。因此，GPU适合执行计算密集型任务和高并行计算。文[21]研究了计算网格数量对GPU负载的影响，以及反应组分和反应方程数量对GPU加速性能的影响。计算分析发现，支持稀疏算法的矩阵方法可以实现高效的GPU性能。文[22]提出用于刚性化学动力学积分的ML混合算法，该方法用神经网络代替多项式拟合来估计所需要的特定热力学量，结果表明GPU比CPU计算快200倍。
1.2 ML在湍流燃烧建模中的应用目前，数值模拟中湍流的处理方法主要分为RANS、LES和DNS。DNS是在湍流尺度的网格内直接求解N-S(Navier-Stokes)方程组，无需引入湍流模型即可捕捉精细的湍流结构和火焰结构，可提供更丰富、更准确的流场信息，但因计算量和计算成本过于庞大，一般应用于简单条件下燃烧机理的描述和研究。RANS基于时均化理论将湍流运动分解成平均运动和脉动运动，通过引入湍流模型使方程组封闭。RANS对所有尺度的湍流均进行了建模，因此难以捕捉到精细的湍流结构与运动特征，但计算成本低，能够为工程计算提供参考。本节主要在LES框架下展开，质量、动量、能量和组分方程都会被指定特征长度的滤波器滤波，从而产生许多未封闭项，包括化学反应源项、应力张量项、扩散项和标量通量项等。面对高度非线性方程的未封闭项，学者们提出了许多湍流燃烧模型来解决，如PDF类和火焰面类模型[23]。近3年来出现了许多利用ML方法对湍流燃烧进行建模的研究[24-25]。利用ML方法对未封闭项建模是一个新兴的研究领域，可以根据数据建立这些模型，无需进行额外假设。
1) 源项建模。
对于一些火焰面类模型，如火焰面/进度变量模型(flamelet progress variable, FPV)，化学反应源项可以表示为
| $ \tilde {\dot{\omega}}=\int \dot{\omega}(Z, c) \widetilde{P}(Z, c) \mathrm{d} Z \mathrm{~d} c . $ | (1) |
其中：Z代表混合分数(mixture fraction)，c代表反应进度变量，
文[26-30]将主成分分析(principal component analysis，PCA)和多维核密度估计相结合，提出了一种数据驱动的建模方法，利用PCA从大量实验数据集中识别关键参数，在此基础上构造联合标量PDF和条件标量均值，从而实现模型封闭。该方法分别在文[26, 28-29]的框架下，基于桑迪亚(Sundia)实验室火焰进行了先验[26, 28]和后验[27, 29]研究。结果表明：新模型能够显著提高预测精度，混合分数、温度和组分的统计结果与实验数据均相符。
ML可以针对特定的燃烧配置建立数据驱动的FDF模型。Chen等[24]利用深度神经网络(deep neural networks，DNN)预测了混合分数Z和反应进度变量c的联合FDFs。其中输入包含
2) 进度变量耗散率建模。
进度变量耗散率在湍流反应流中非常重要，其可定义为χc=2Dc|▽c|2，其中Dc为反应进度变量的扩散系数。传统的进度变量耗散率模型相对简单，但可能准确性低。Yellapantula等[31]以过滤后的应变率、Lewis数以及几个过滤后的变量为DNN的输入，在LES与燃烧的条件下预测
3) 标量耗散率模型。
在喷雾燃烧中，标量耗散率是一个比较重要的参数，由于没有考虑液相的存在，传统的标量耗散率的封闭模型是不准确的。Yao等[32]以蒸发速率等液相特性为输入, 通过ANN建立LES下标量耗散率的亚网格模型，结果与整个混合分数空间的DNS数据吻合。
4) 应力张量模型。
在LES条件下，许多经典的应力张量模型都是针对不可压缩和非反应流开发和验证的。然而，在反应流中，应力张量在很大程度上受火焰前缘温度、密度、速度和黏度变化的影响，这是经典应力张量模型未能考虑的。因此，在反应流中直接使用这些模型可能不会获得很好的结果。Nikolaou等[33]通过神经网络对湍流预混V形火焰中未封闭的应力张量进行建模，其中输出为6个应力张量分量，输入为归一化的密度梯度和速度梯度。在高保真DNS数据库的细网格上对训练数据进行过滤，研究了网格粗化效果。与经典的亚网格模型(如Smagorinsky模型)相比，训练后的神经网络模型表现出更好的适应性。Schoepplein等[34]使用基因表达式编程(gene expression programming，GEP)(ML方法)对LES下预混火焰中的亚网格应力进行建模，利用GEP算法对应力方程中基本函数的标量系数进行了优化，证明GEP算法在LES建模框架中的能力。
5) 未解析的火焰表面积建模。
在湍流预混燃烧模拟中，火焰前缘的湍流会使火焰表面产生褶皱，而在小火焰假设下，湍流火焰速度与火焰表面积相关。因此，在亚网格尺度下对火焰表面积的评估显得非常重要。Lapeyre等[35]提出利用CNN对预混湍流燃烧条件下的亚网格火焰表面密度进行建模，训练CNN所需的数据通过DNS产生。结果表明：CNN能有效提取火焰的拓扑性质，预测亚网格尺度的褶皱，优于经典的代数模型。Ren等[36]采用同样的思路预测Karlovitz数较高时的亚网格尺度下的火焰表面密度。总体而言，CNN模型的表现优于大滤波器尺寸的传统模型。
综上所述，ML方法在化学反应动力学建模和计算加速与湍流燃烧建模中的应用取得了一系列代表性的成果。基于ML模型的适用范围一般高度依赖于学习数据样本的特征广度，在先验研究中一般都优于基于物理的模型，但在后验应用中仍需保持谨慎。基于ML模型的适用性和鲁棒性评估将是未来研究的难点与重点。Raissi等[37]提出了内嵌物理知识神经网络(physics informed neural network，PINN)方法，该方法将物理控制方程运用到神经网络的损失函数中，使数据与物理方程相融合，大幅减少对样本特征的依赖[38-39]，增加神经网络的可解释性与预测的鲁棒性[38-39]，值得进一步关注与研究。
2 发动机燃烧中的智能控制与性能优化 2.1 湍流燃烧流场快速预测在研究智能控制与性能优化之前，往往需要实现对湍流燃烧流场的快速预测。传统方法在复杂的计算域内模拟流体流动和燃烧需要求解N-S方程和复杂的化学反应，计算成本较高。虽然LES在一定程度上可降低计算成本，但复杂问题的巨大计算成本是不可避免的，这对智能控制与性能优化是一个重大挑战。由于通过计算流体动力学(computational fluid dynamics，CFD)仿真可以得到大量的流动与燃烧数据，利用这些数据构建基于ML的代理求解器快速求解流场和燃烧信息成为一个新趋势。
对于燃烧模拟，An等[40]建立了一个代理求解器来求解腔内湍流燃烧的物理性质和组分分布，腔内湍流燃烧在燃烧装置中通常起稳定火焰的作用。文[40]建立了名为CFDNN(computational fluid dyrarmics neural networks)的深度学习架构，训练数据集来自H2的非定常RANS模拟，包括火焰点火、火焰发展和稳定湍流火焰形成。网络的输入和输出包含速度、温度和9种组分的质量分数的分布。图 4展示了基于ML的求解器CFDNN的训练和预测过程，其中：U为速度，T为温度，YO2和YH2分别代表氧气和氢气的质量分数。由图 4a可知，对于1个时间序列的仿真数据，输入为t0时刻的信息，输出为t0+Δt时刻的信息。训练模型后，给定t0的输入，可以预测t0+Δt的信息(见图 4b)。其训练的CFDNN能够捕捉到点火过程中火焰的演化过程，与仿真结果吻合，证明基于ML的代理求解器在燃烧模拟中具有可行性。
2.2 性能预测与优化
发动机内部的燃烧直接影响发动机的性能，但是发动机的性能还受许多其他因素影响，这些因素也同时影响燃烧效率。传统的单变量研究发动机性能的方法对这种多因素耦合的情况存在明显的局限性。与传统模型相比，基于ML的模型可以处理高维输入数据，实现基于多个输入参数的发动机性能预测。通过对训练好的ML模型进行参数优化，可进一步优化发动机性能。
1) 关键因素对发动机性能的影响。
发动机的性能受多种因素的影响，如燃料类型、燃油喷射策略、燃烧方式、压比、空燃比、燃烧室几何形状和发动机转速等。然而，对所有因素进行发动机性能的多变量研究和优化，其费用是非常昂贵的。ML方法与发动机实验研究相结合，可在减少实验依赖的前提下更好地预测发动机性能，如污染物排放、燃烧效率等。
Angikath等[41]利用支持向量机(support vector machine，SVM)和K均值(K-means)聚类算法，通过考虑燃料辛烷值、燃料的灵敏性、氧气摩尔分数、进气温度和压力、压缩比等多个输入特征，成功预测了均质压燃(homogeneous charge compression ignition，HCCI)模式下的燃烧状态，如燃烧的开始阶段。还有研究者通过ML模型建立内部流场与发动机性能之间的关系。如Kodavasal等[42]采用随机森林(random forost，RF)模型分析了进/出气口压力、点火能量、油气比、Lewis数和空气流量等因素对汽油机循环变化的影响。
ML还可以用来研究某些特定场景下的发动机性能。例如，基于ANN和SVM，根据曲柄角、蒸发液滴质量等燃油喷雾参数，预测制动平均有效压力、NOx和碳烟形成[43]。基于CNN模型，通过提供点火早期的火核图像，对火花点火汽油机的2种不同燃烧阶段——CA10和CA50 (曲柄角分别为10%、50%的阶段，代表点火开始阶段、关键燃烧阶段)进行了预测[44]。Chen等[45]为了有效减少所需实验数据，提高预测精度，将多张子网络的人工神经网络系统(见图 5)与遗传算法(genetic algorithm，GA)/PCA相结合，建立了虚拟发动机模型，利用该模型对增压直喷汽油机的燃烧相位、排气温度、有效燃油消耗率、未燃烃(unburned hydrocarbons，UBHC)(见图 6)、NOx和CO排放进行了预测，在耗时与误差方面都获得了较好的结果。
2) 性能优化。
文[46-47]针对传统神经网络存在局部极小值多、训练数据量大、学习速度慢等缺点，采用ML耦合GA对发动机性能进行优化。Wong[48]训练最小二乘支持向量机(least square support vector machine, LS-SVM)模型，将发动机控制参数映射至发动机性能，然后利用粒子群优化(particle swarm optimization, PSO)、GA等多种优化方法对发动机控制参数进行优化，结果优于单一的优化算法。
Bendu等[49]也做了类似的工作，通过训练神经网络模型，将输入参数回归到乙醇燃料HCCI发动机的输出性能，然后基于广义回归神经网络与PSO算法对发动机性能进行优化。
总体而言，基于ML的方法为发动机性能优化提供了强大的辅助工具。
2.3 燃烧不稳定性预测与控制燃烧不稳定性是一般工业热力设施(如燃气轮机、工业熔炉等)面临的最棘手的问题之一。振荡燃烧是燃烧室内非定常放热频率接近几何结构特征频率时相互激励的循环振荡过程[50]。在燃烧室中，系统的固有扰动通过与燃烧过程的相互作用而自我激励，形成压力、速度和热释放的大幅度波动。而在工业高炉废气的燃烧利用中，上游产线波动会造成燃烧室入口的流量波动和燃料成分波动，是燃烧不稳定的重要原因之一。快速准确地预测振荡燃烧特性与开发有效的主动控制手段是缓解燃烧不稳定性的2个关键环节。神经网络模型由于对非线性函数预测具有较强的鲁棒性，在燃烧不稳定性预测和主动控制方面显示出很大的潜力。
Sharifi等[51]应用神经网络对小型生物质燃烧锅炉的不稳定燃烧过程进行了预测，并开发了比例-积分(proportional-integral，PI)控制器以提高燃烧稳定性，降低有害排放。Su等[52]通过ODE，实现了通过监测下游出口的温度及少量组分波动，以及对上游入口流量及成分波动的良好估计，有助于燃烧室的实时控制与故障诊断。Zhang等[53]利用广义的非线性自回归滑动平均(nonlinear auto regressive moving average，NARMAX)函数形式和神经网络方法，在大的系统参数范围内建立短期和长期预测模型。短期预测模型旨在预测短期局部物理信息，长期预测模型采用聚类预测方法，旨在满足现有燃烧不稳定控制器对复杂动态现象的要求。这些预测模型充分利用了神经网络对非线性函数的鲁棒性，为控制器和执行器的设计提供了验证和数据支持。
Zhang等[53-55]提出并演示的一种神经网络PID (NN-PID) 控制器如图 7所示，可用于抑制圆柱形Rijke管中的振荡压力，其燃烧不稳定性通过一维声学网络模型以及线性和非线性火焰模型进行建模。其中，Kp、Ki、Kd分别代表PID控制器的参数，r、e、u、y分别代表系统输入、误差、PID控制器输出、受控对象输出。NN-PID控制器不受燃油阀或扬声器噪声的影响，可有效抑制和消除不同燃烧模型下不同振荡阶段的系统压力振荡，但在被控对象的适应性方面表现较差。之后Zhang等[54]提出并证明了一种多重神经网络控制器，如图 8所示，可以抑制Rijke管声学网络的压力振荡。其中uc、p0、p1分别表示控制器神经网络输出、Rijke管受控对象的模型输出、受控对象的神经网络输出。该控制器由3个模块组成，包括2个独立的神经网络，即控制前预训练的被控对象神经网络和控制过程中实时训练的控制器神经网络。图 9为使用扬声器噪声干扰的多神经网络控制器的主动控制结果，其中：p是标准化压力，Wh是控制器输出，uc是控制器神经网络中隐含层权值，Wy是控制器神经网络的输出层权值。当控制器启动之后(红色虚线)，控制器输出突然变化，并随着压力振荡幅度的减小而减小，控制器神经网络的隐含层和输出层权重随时间变化在绿色虚线处达到最优并稳定。该控制器能够识别振荡燃烧特性(见图 9)，实现自适应输出，提高了控制器的适用性和可扩展性。
3 结论
本文总结了近年机器学习在湍流燃烧建模方面的相关研究进展，可以发现，机器学习为湍流燃烧的发展提供了新的研究范式，湍流燃烧为机器学习提供了新的较为复杂的应用对象，两者互相促进，有广阔的应用前景和发展潜力。但与此同时，研究过程中也同样存在大量问题与挑战：
1) 样本集的选取。由于机器学习方法本质上是数据驱动，因此，模型的性能在本质上取决于所选取的训练数据，而湍流燃烧的高维多尺度的非线性甚至混沌易造成样本构建和选取上的困难。研究者不仅要对湍流燃烧本身的特征有深刻的物理见解，还要根据该特征选取适当的机器学习算法。
2) 网络结构与训练方法的选取。受数据集的分布、训练方法和损失函数等的影响，模型对整个数据集不同分布位置上的预测性能也不尽相同。对位于模型预测性能较差部分的数据，计算结果往往难以保证精度，继而影响模型的平滑性和稳定性，因此需要研究者对模型进行反复训练和校验以保证模型性能。
3) 模型的适用范围和精度也难以定量评估。受机器学习模型的特性限制，对模型所获结果的误差范围及稳定性、收敛性难以准确量化，只能采用大量的后验计算进行评估。
在现有工作经验基础上，机器学习在未来的湍流燃烧模型化中必将扮演更加重要的角色。研究者在未来的工作中需要关注以下几点：
1) 面向物理问题机器学习的样本构建方法与特征提取准则。对于湍流燃烧领域，依靠未经处理的大量输入作为样本，通过简单地增加神经网络模型的神经元或复杂度建立复杂映射关系并不是一种有效的建模方式，尤其是对于湍流燃烧问题，大样本的获取成本较高。如何发展基于小样本的特征提取方法，特别是结合前人在湍流燃烧理论中已经获得的物理规律和经验对样本进行清洗和提取，形成面向物理问题机器学习的样本构建方法和特征提取准则，从而实现样本的紧凑性，提升模型的泛化能力。
2) 面向物理问题机器学习的建模方法。以神经网络为代表的黑箱模型和统计机器学习方法暴露出解释性缺乏、稳定性差等不足，特别是近年在面向物理问题的机器学习研究中已成为该方法和模型应用的瓶颈。如何将现有的湍流燃烧知识和大数据有机结合，建立数据驱动的机器学习、推理与知识融入的新型机器学习理论和方法，成为亟待研究的方向。
3) 面向物理问题机器学习的误差控制与鲁棒性。需要深入研究面向物理问题机器学习的计算误差产生、传播与控制机理，量化新方法的不确定性分布，最终建立面向物理问题机器学习方法的鲁棒性分析方法与鲁棒性评估理论。
综上所述，基于机器学习的湍流燃烧模型化的未来发展不仅要紧密借鉴机器学习新理论和新方法，建立面向物理问题的机器学习理论和方法，还要紧密结合工程问题的实际需求攻克湍流燃烧领域悬而未决的科学问题和工程设计上的卡脖子难题。
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