诸多先进动力装置燃烧过程发生于高压环境中，如大推力液体火箭的工作压力超过10 MPa[1]，先进GE9X航空发动机的工作压力可达6 MPa[2]，超超临界机组蒸汽压力超过25 MPa[3]，新型超临界二氧化碳纯氧燃烧Brayton循环等压吸热过程压力可达30 MPa[4], 这些工作压力远超过工作流体的临界压力，形成超临界压力环境。当工作流体喷射温度低于其临界温度时，称为跨临界流体(transcritical fluid)；反之，则为超临界流体(supercritical fluid)。相较于亚临界流体，跨/超临界流体的混合与燃烧具有更高的效率与推力[5]，因此未来先进动力装置正向着更高运行压力的方向发展[4, 6-13]。另外，超临界流体具有诸多独特的性质，如We趋于无穷大、气液两相界面不再存在、表面张力消失和射流不再形成小液滴等[13-18]，因此跨/超临界流体的喷射与混合过程以湍流扩散为主导，与亚临界流体的经典两相流动具有显著不同。
由于实验测量成本高、风险大，能得到实际温度和压力工况下的跨/超临界流体数据较少，而数值模拟能以较低成本获取跨/超临界流体详细流场结构和动力学特性信息。大涡模拟(large eddy simulation，LES)相较于直接数值模拟(direct numerical simulation，DNS)计算成本低，相较于Reynolds平均Navier-Stokes方程(Reynolds-averaged Navier-Stokes equation，RANS)计算精度更高，被广泛应用于跨/超临界流体流动的研究中。Oefelein等[19]使用LES研究了液氧-氢气射入超临界环境的混合与燃烧过程，结果表明：动量通量比对火焰动力学有重要影响，高密度梯度与较小的质量扩散速率主导了近临界流体的液相行为。Zong等[20-21]通过LES探究了液氮射入超临界环境的混合过程，发现在射流的径向上存在强密度梯度，对流动的发展具有稳定作用，这一作用类似固体壁面，将湍动能由径向转移到轴向。Masquelet等[22]采用LES模拟了氢氧同轴射流的流动与燃烧过程，评估了LES在捕获火焰动力学特性及预测壁面热通量方面的能力，指出湍动能的动态封闭可改善壁面热通量的预测结果。Schmitt等[23]使用LES计算了不同动量通量比下的液氮/氮气同轴射流行为，发现动量通量比增加，内部射流轴向长度减少，与实验结果一致。文[7-10]针对单旋流、双旋流和射流/旋流相结合等复杂喷嘴结构进行了跨/超临界流体流动不稳定性与燃烧动力学的分析，LES的分析结果表明超临界条件下中心喷嘴内陷长度(recess length)对燃烧效率和稳定性起重要作用，且混合与燃烧效率随内陷长度增加而显著提高。
LES使用模型模拟小尺度脉动以解析大尺度脉动，选取的用于表征小尺度上物理过程的亚格子模型决定着LES的精度。文[24-26]中早期的Smagorinsky模型基于涡黏假设，认为小尺度脉动处于局部平衡态，采用类似于黏性应力Stokes定律的形式对亚格子应力项建模。这一模型在各向同性的湍流计算中效果较好，但对于复杂的非平衡湍流现象，如反向散射(能量从小尺度到大尺度的局部转移)模型计算结果误差较大[27]。在此基础上Bardina等[28]提出了尺度相似模型，并认为能量转移主要由最小解析尺度产生，且滤波后的最小解析尺度与亚格子尺度相似。结合尺度相似的思想，文[29-30]提出了动态Smagorinsky模型，模型系数随着计算过程动态计算，而非先验输入。动态模型有效解决了固定系数带来的耗散过大问题，但对计算的稳定性提出了更高的要求。随着计算机技术的发展，国内外学者开始将机器学习应用于亚格子应力项的建模[31-38]。Maulik等[31-32]研究了经典的衰减二维湍流，使用全连接神经网络(fully connected neural network，FCNN)预测了亚格子应力[32]，结果表明相较于Smagorinsky模型，FCNN预测的湍动能谱精度有所提高。Yuan等[35]开发了反卷积人工神经网络(deconvolutional artificial neural network，DANN)模型对亚格子应力建模；相较于动态Smagorinsky模型和动态混合模型，DANN能更准确地描述速度统计量与流场结构。Chung等[38]研究了跨临界液氧/甲烷燃烧，针对亚格子应力项分别使用随机森林建模，发现随机森林对亚格子应力的预测合理，但与样本外数据相关性较低。
然而，跨/超临界流体LES引入了一系列的挑战，包括高压、高Re、变密度、可压缩、多相流、多尺度、多组分反应和热物性参数非线性复杂变化等难题。仿真建模须使用考虑了真实气体效应的状态方程(equation of state，EOS)[39-40]，如立方体状态方程[41-45]、BWR状态方程(Benedict-Webb-Rubin equation of state)[46-47]等。不同于理想气体状态方程，真实气体状态方程滤波过程产生的亚格子未封闭项在准确获得滤波压力(或密度)方面有重要作用，因而不能忽略[48]。由于混合界面发展过程涉及流体热物性参数的非线性剧烈变化且梯度较大，热物性参数的小尺度脉动可影响LES中小尺度物理量的模型。Selle等[49]用DNS数据研究了不同组分混合层的LES亚格子建模问题，研究发现滤波后的动量与能量方程中出现2个新未封闭项，间接来自非线性的真实气体状态方程，其中亚格子压力项所占比重较大，建模时应重点考虑；同时提出了Taylor级数展开的建模方法，该方法在小滤波宽度下表现一般，在大滤波宽度下表现不佳。Taskinoglu等[50]进一步改进了Taylor展开方法，指出Taylor展开的一阶项的影响大于二阶项，因此保留一阶项忽略二阶项，可获得更好的预测结果。Borghesi等[51]类比亚格子应力，对亚格子压力项发展尺度相似模型，相较于Taylor展开模型其预测精度显著提升。Lapenna等[52]评估了状态方程的未封闭项，并提出了β-pdf分布模拟滤波后热物性参数的影响。此后研究评估了状态方程亚格子的未封闭项，发展出亚格子密度模型。文[53-54]研究发现状态方程的亚格子未封闭项对高密度梯度区域的影响高达40%，并提出了梯度模型与标量混合模型。Unnikrishnan等[55]进一步探讨了不同的亚格子密度建模方法，对比4种模型计算的滤波密度相对误差，发现动态梯度模型、尺度相似模型和概率密度函数模型在总体上对滤波密度的预测进行了改进。
综上所述，亚格子模型的选取是LES的核心问题，而跨/超临界流体流动LES相较于理想气体更为复杂，需要引入精确的真实气体状态方程与相应状态方程亚格子模型。本文对国内外关于跨/超临界流体流动LES状态方程亚格子模型进行综述，主要从理论模型、研究进展和未来研究方向等方面展开论述。
1 理论模型 1.1 LES控制方程与亚格子未封闭项跨/超临界流体的流动由针对可压缩流体的控制方程描述。LES控制方程由DNS控制方程应用Favre平均滤波导出，质量、动量、能量和组分方程分别表示为：
| $ \frac{\partial \overline{\rho(Q)}}{\partial t}+\frac{\partial\left(\overline{\rho(Q)} \widetilde{u}_j\right)}{\partial x_j}=0, $ | (1) |
| $ \begin{gathered} \frac{\partial\left(\overline{\rho(Q)} \widetilde{u}_i\right)}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left(\overline{\rho(Q)} \widetilde{u}_i \widetilde{u}_j+\bar{p} \delta_{i j}\right)= \\ \frac{\partial}{\partial x_j} \overline{\tau_{i j}(Q)}-\frac{\partial}{\partial x_j} \overline{\rho(Q)}\left(\widetilde{u_i u_j}-\widetilde{u_i} \widetilde{u_j}\right), \end{gathered} $ | (2) |
| $ \begin{gathered} \left.\frac{\partial\left(\overline{\rho(Q)} \widetilde {{e_t}\left( Q \right)}\right.}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left([\overline{\rho(Q)} \widetilde{e_{\mathrm{t}}(Q)}+\bar{p}\right] \widetilde{u}_j\right)= \\ \frac{\partial}{\partial x_j}\left[\left(\widetilde{u_j} \overline{\tau_{i j}(Q)}+\overline{q_j(Q)}-\overline{\rho(Q)}\left(\widetilde{H(Q) u_i}-\right.\right.\right. \\ \left.\left.\widetilde{H(Q)} \widetilde{u}_i\right)\right)+\left(\overline{u_i \tau_{i j}(Q)}-\widetilde{u}_i \overline{\left.\tau_{i j}(Q)\right)}\right], \end{gathered} $ | (3) |
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\partial \overline{\rho(Q)} \widetilde{Y}_m}{\partial t}+\frac{\partial\left(\overline{\rho(Q)} \tilde{u}_j \widetilde{Y}_m\right)}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}}\\ {\left(\overline{\rho(Q) D_m(Q) \frac{\partial Y_m}{\partial x_j}}-\overline{\rho(Q)}\left(\widetilde{Y_m u_j}-\widetilde{Y}_m \widetilde{u}_j\right)\right)+}\\ {\overline{\dot{\omega}_m(Q)} \text {. }} \end{array} $ | (4) |
其中：ρ为密度；t为时间；ui、uj为速度分量；xj为位移分量；p为压力；δij为换标符号；τij为黏性剪切应力；et为总能；qj为热通量；H为总焓；Ym为组分参数m的质量分数，m=1, 2, …, n-1，n为总组分数目；Dm为组分质量扩散率；
| $ \tau_{i j}=\mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)-\frac{2}{3} \mu \frac{\partial u_k}{\partial x_k} \delta_{i j}, $ | (5) |
| $ q_j=-\lambda \frac{\partial T}{\partial x_j}+\sum\limits_{m=1}^n h_m J_{m j}. $ | (6) |
其中：μ为动力黏度；uk为速度分量；xk为位移分量；λ为混合物的热导率；hm为组分焓值；Jmj为组分扩散通量，假设遵循Fick定律，则Jmj表示为
| $ J_{m j}=\rho D_m \frac{\partial Y_m}{\partial x_j}. $ | (7) |
传统的亚格子未封闭项通常包括动量方程中的亚格子应力τijsgs、能量方程中的亚格子总焓通量Hisgs、亚格子黏性项σisgs和组分方程中的亚格子对流组分通量Φmjsgs，表达式分别表示为：
| $ \tau_{i j}^{\mathrm{sgs}}=\overline{\rho(Q)} \widetilde{u_i u_j}-\rho(\widetilde{Q}) \widetilde{u}_i \widetilde{u}_j, $ | (8) |
| $ H_i^{\mathrm{sgs}}=\overline{\rho(Q) H(Q) u_i}-\rho(\widetilde{Q}) H(\widetilde{Q}) \widetilde{u}_i, $ | (9) |
| $ \sigma_i^{\mathrm{sgs}}=\overline{u_j \tau_{i j}(Q)}-\widetilde{u}_j \tau_{i j}(\widetilde{Q}), $ | (10) |
| $ \mathit{\Phi }_{m j}^{\mathrm{sgs}}=\overline{\rho(Q) Y_m u_j}-\rho(\widetilde{Q}) \widetilde{Y}_m \widetilde{u}_j . $ | (11) |
这些亚格子未封闭项来源于将2个物理量乘积的滤波值近似为2个相应的滤波后物理量的乘积所产生的残差。亚格子未封闭项表征未解析尺度对解析尺度的影响[49]，对于这些项的建模包括基于涡黏假设的Smagorinsky模型、动态Smagorinsky模型、尺度相似模型和混合模型等。
由于LES中Q的瞬态值是未知的，滤波后辅助变量ϕ，如密度、内能、焓、比热容、导热系数和黏度系数等热物性参数通常由滤波后的原始变量
| $ \rho^{\mathrm{sgs}}=\overline{\rho(Q)}-\rho(\widetilde{Q}), $ | (12) |
| $ (\rho H)^{\mathrm{sgs}}=\overline{\rho(Q) H(Q)}-\rho(\widetilde{Q}) H(\widetilde{Q}), $ | (13) |
| $ \Delta \tau_{i j}=\overline{\tau_{i j}(Q)}-\tau_{i j}(\widetilde{Q}), $ | (14) |
| $ q_j^{\mathrm{sgs}}=\overline{q_j(Q)}-q_j(\widetilde{Q}), $ | (15) |
| $ j_m^{\mathrm{sgs}}=\overline{\rho(Q) D(Q) \frac{\partial Y_m}{\partial x_j}}-\rho(\widetilde{Q}) D(\widetilde{Q}) \frac{\partial \widetilde{Y}_m}{\partial x_j}. $ | (16) |
以上亚格子未封闭项基于压力作为Q的一部分推导而来，若选取密度作为Q的一部分直接求解，压力则为辅助变量，相应的亚格子压力项为psgs=
为保证控制方程组的封闭性，并考虑跨/超临界流体热物性的非线性变化，须引入真实气体状态方程。真实气体状态方程可分为多参数和半理论两类[59]。多参数状态方程包含一系列不具有物理意义的拟合参数，如BWR状态方程、跨界状态方程[60]，具有较高的精度，但运算效率与外推性较差，难以应用于混合物热物性的计算。半理论状态方程主要包括立方体状态方程[61]，相较于多参数状态方程具有更通用、简洁的形式和更高的运算效率。目前已应用在跨/超临界流动LES的立方体状态方程有SRK(Soave-Redlich-Kwong)[10, 40, 53]、PR (Peng-Robinson)[25, 40, 43-44, 62]和PR-VT(Peng-Robinson voume-translation)[63-68]等。
立方体状态方程可统一表示为
| $ p=\frac{R_{\mathrm{u}} T}{v-b}-\frac{a \alpha(T, \omega)}{v^2+d b v+w b^2} . $ | (17) |
其中：摩尔体积v=M/ρ，M为摩尔质量；Ru为气体常数；α是关于T和偏心因子ω的函数；d、w为常系数；系数a与b可通过临界温度Tc与临界压力pc计算。表 1列举了常见的立方体状态方程参数。其中：f1ω、f2ω均为ω的二次表达式，Tr=T/Tc, 为对比温度。
| 方程 | d | w | a | b | α(T, ω) |
| VDW(Van der Waals) | 0 | 0 | 27Ru2Tc2/64pc | RuTc/8pc | 1 |
| RK(Redlich-Kwong) | 1 | 0 | 0.427 48Ru2Tc2.5/pc | 0.086 64RuTc/pc | |
| SRK | 1 | 0 | 0.427 48Ru2Tc2/pc | 0.086 64RuTc/pc | |
| PR | 2 | -1 | 0.427 48Ru2Tc2/pc | 0.077 80RuTc/pc |
Yang[70]最早将立方体状态方程应用到液体火箭发动机的LES，计算燃料与氧化剂的跨/超临界混合与燃烧过程，将立方体状态方程计算的密度与实验数据进行对比，发现SRK与PR在超临界压力下(10和40 MPa)氧气密度预测最大误差分别为13%和17%。Oefelein[71]在研究超临界压力下剪切同轴液氧氢气火焰的热物理特性时，建议使用PR状态方程计算高温情况(Tr>1)，使用SRK状态方程计算低温情况(Tr < 1)。Ribert等[40]使用表 1中的VDW、SRK、PR立方体状态方程计算了氮气(pc=3.40 MPa)、甲烷(pc=4.60 MPa)和氧气(pc=5.04 MPa)在超临界压力(p=8.00 MPa)下的密度并与美国国家标准与技术研究院(National Institute of Standards and Technology，NIST)的数据进行比较，发现在低温区VDW状态方程误差很大，SRK和PR状态方程得出的结果较好，前者的结果最好。解茂昭等[45]使用SRK和PR状态方程研究了正庚烷喷入超临界环境中的雾化过程，结果表明PR状态方程在超临界工况下精度更高。因此，跨/超临界流体LES根据工质与工况条件主要选用SRK或PR状态方程进行热物性计算[72-76]。
有研究者将体积偏移(volume-translation)立方体状态方程应用在LES[65-68, 77]，在没有显著增加计算量的前提下提高了精度。传统的立方体状态方程的临界压缩因子为固定值(ZcPR=0.307，ZcSRK= 0.333)，然而实际的临界压缩因子与物质种类有关。临界压缩因子的偏差导致状态方程在近临界区域和低温区产生较大的误差。为改进低温区的密度预测，Martin[78]提出了体积偏移的方法，其思想是将原方程中的摩尔体积v视为未偏移体积，在恒温恒压下，沿体积轴移动未偏移体积，记为vut。目前在LES中应用的有Harstad等[79]提出的Gibbs自由能模型、Baled等[64]提出的高温高压碳氢化合物VT模型和Abudour等[63]提出的广义VT模型。Harstad模型中的Gibbs自由能函数与温度压力有关，需要确定20个组分实验常数，方程缺乏解析的形式。Baled模型中体积偏移是温度的函数，可应用到PR或SRK及混合物运算中。Abudour等提出的模型中体积偏移是未偏移体积和温度的函数，该方法没有实验常数，应用更为便捷。结果表明，在低温区，这3个方法都有效地改善了密度的预测，其中将Abudour等的模型应用到PR状态方程中的效果最好。
真实气体状态方程在LES中应用还需考虑计算成本。研究发现，在火箭燃烧室的跨临界流动计算中，真实气体热力学与输运性质的计算可达总CPU时间的50%[53]。国内外研究人员就提高跨/超临界流体物性运算效率展开了研究，包括机器学习、GPU加速[80]、建表和相关动态评估[81]等方法。Kutz[82]指出深度学习在湍流建模或高维、复杂的动力系统建模中相较于传统的立方体方程具有节省计算费用、运算效率高的特点。Milan等[83]在超临界状态下气相射流、液相旋流同轴(gas-centered liquid-swirl coaxial，GCLSC)喷射器的LES计算中，使用SRK状态方程的数据作为数据库构建神经网络模型，直接计算热物性参数，运算速度相较于SRK状态方程提高了2.43倍。Wang等[53]发现建表法与相关动态评估都能提高热物性的计算速度，但建表法的计算速度受制于数据量的维度，相关动态评估方法具有更好的性能。
1.3 状态方程亚格子未封闭项1.2节提到的不同真实气体状态方程可统一表示为
| $ p=Z \rho R T. $ | (18) |
其中：压缩因子Z表征了流体偏离理想气体的程度，当Z=1时，状态方程为理想气体状态方程；R为摩尔气体常数，定义为气体常数与混合物摩尔质量M的比值，对于n种组分的多元混合物，R的计算公式表示为
| $ R=\frac{R_{\mathrm{u}}}{M}=R_{\text {u }} \sum\limits_{m=1}^n \frac{Y_m}{M_m}. $ | (19) |
考虑真实气体热物性非线性的特点，有必要在状态方程上研究滤波运算的影响。在以压力、温度作为原始变量的预处理方法中，对密度滤波得到：
| $ \bar{\rho}=\frac{\bar{p}}{Z(\widetilde{Q}) R(\widetilde{Q}) \widetilde{T}}+\left(\frac{\bar{p}}{\widetilde{Z R T}}-\frac{\bar{p}}{Z(\widetilde{Q}) R(\widetilde{Q}) \widetilde{T}}\right) . $ | (20) |
展开的第2项为三阶不封闭项，其重要性需通过滤波尺度以下压力、压缩因子、气体常数和温度的统计特性来评估；而跨/超临界混合剪切层热物性参数值的变化幅度大，直接忽略该不封闭项将对滤波后密度计算带来显著误差。密度的未封闭项，即亚格子密度可表示为
| $ \rho^{\mathrm{sgs}}=\frac{\bar{p}}{\widetilde{Z R T}}-\frac{\bar{p}}{Z(\widetilde{Q}) R(\widetilde{Q}) \widetilde{T}} . $ | (21) |
同理，在以密度为原始变量的计算中，对压力滤波会产生相应的亚格子压力项。
2 状态方程亚格子模型的研究进展真实气体状态方程的非线性使滤波后产生未封闭的状态方程亚格子项，其表征了未解析尺度对解析尺度的影响；尤其在密度梯度大的区域，状态方程亚格子未封闭项的影响显著，发展模拟状态方程亚格子模型对跨/超临界流体流动尤为必要。由于DNS能反映流场的完整信息，常被用来发展新的亚格子模型和评估亚格子模型的性能[84]。本章首先对亚格子密度的大小进行分析，阐述跨/超临界流体流动状态方程亚格子未封闭项的重要性；其次介绍4类亚格子密度模型，并评估每一类模型的性能；最后简述密度基LES计算中亚格子压力模型的发展。
2.1 亚格子密度影响分析研究亚格子密度数值与统计分布情况是发展状态方程亚格子密度模型的前提。Huo等[85]首先对二维的液氧/甲烷火焰进行了冷态与燃烧DNS，通过DNS数据库先验计算得到亚格子密度的数值，即传统LES中未考虑的状态方程亚格子未封闭项为滤波密度准确值与LES求解的滤波密度之差。该研究采用的Re达1.5×105，具有较高的实际参考性。结果表明: 无论是冷态还是燃烧情况下，亚格子密度的影响都很显著。Unnikrishnan等[86]进一步分析二维液氧/甲烷火焰冷态与燃烧情况下亚格子密度的数值与空间分布。图 1展示了二维液氧/甲烷喷射混合算例的结果，其中δ为分隔板厚度。定义相对误差εϕ为亚格子项与DNS结果直接滤波辅助变量的比值，表示为
| $ \varepsilon_\phi=\frac{\overline{\phi(Q)}-\phi(\widetilde{Q})}{\overline{\phi(Q)}} \text {. } $ | (22) |
冷态的结果如图 2和3所示，二者分别展示了滤波宽度为10ΔDNS和20ΔDNS的亚格子密度相对误差与误差空间分布。由图 2a可知对滤波密度的估计普遍过大，最大误差可超过0.4。图 2b所示的相对误差空间分布表明误差主要出现在液氧和甲烷之间的跨临界界面(尺度在10-5 m以内)。由于Favre平均的本质是密度加权平均，密度的计算值偏向密度大的液氧，尤其在跨/超临界条件下，由于热物性变化关系的强非线性，误差会更大。由图 3可知，随着滤波宽度的增加，滤波尺度以下的信息量增加，因此相对误差更大，最大可超过0.6，说明亚格子未封闭项的重要性随滤波宽度的增大而增大。量级分析表明，控制方程中亚格子密度相关项值只比对流项小一个量级，比传统的亚格子应力大一个量级。因此，在流场中出现热物性剧烈变化的近临界和跨临界区域时，亚格子密度带来的偏差不能忽略，需要发展合适的封闭模型以表征其对大于滤波尺度物理过程的影响。
2.2 Reynolds平均模型(Reynolds-filtered
model，RFM) 状态方程亚格子密度的产生可能源于对原始变量的Favre平均，因此可尝试采取Reynolds平均替代Favre平均来减小亚格子密度。Ribert等[87]在通过理想气体状态方程计算压力时提出了对质量分数采用Reynolds平均代替Favre平均的方案，计算公式表示为
| $ \bar{p}=R_{\mathrm{u}}\left(\frac{\bar{\rho} \widetilde{T} \bar{Y}_1}{M_1}+\cdots+\frac{\bar{\rho} \widetilde{T} \bar{Y}_n}{M_n}\right) . $ | (23) |
结果表明采用Reynolds平均替代Favre平均后改进效果明显。
Unnikrishnan等[55]将Ribert等的方法拓展到了真实气体的多组分混合物。相较于理想气体，真实气体单个物质与混合物热力学行为的非线性是不同的。同时，理想气体只有2个滤波变量(T, Ym)，而状态方程中有3个需要滤波的变量(Z, T, Ym)(见式(20))，方程形式更为复杂。为此，采用的方法是将所有原始变量均进行Reynolds平均，即：
| $ \overline{\rho(Q)} \approx \rho(\bar{Q}) . $ | (24) |
其中，Q=(p, ui, T, Ym)。计算图 1的算例，通过DNS的数据库计算出亚格子密度。利用原模型的滤波密度与采用Reynolds平均计算的滤波密度之差可得新的亚格子密度。结果表明二者相差约2倍，由于原模型采用Favre平均计算的滤波密度结果偏高，因此RFM低估了滤波密度。
2.3 梯度模型(gradient model，GM)相较于状态方程亚格子模型，亚格子应力模型发展更为成熟。Unnikrishnan等[54]类比Smago-rinsky涡黏模型提出3种亚格子密度的线性模型，分别表示如下：
| $ \rho_{\mathrm{sgs}}=C \mathit{\Delta }(\nabla \bar{\rho}), $ | (25) |
| $ \rho_{\mathrm{sgs}}=C_1 \mathit{\Delta }(\nabla \bar{\rho})+C_2 \mathit{\Delta } \frac{\bar{\rho}}{\widetilde{T}}, $ | (26) |
| $ \rho_{\mathrm{sgs}}=C_1 \mathit{\Delta }(\nabla \bar{\rho})+C_2 \mathit{\Delta } \frac{\bar{\rho}}{\widetilde{T}}(\nabla \widetilde{T})+C_3 \mathit{\Delta }(\nabla \widetilde{Y}). $ | (27) |
其中C、C1、C2、C3为模型系数。模型第一项使用密度梯度代替了Smagorinsky模型的应变率。3个模型的系数通过DNS数据利用最小二乘法计算获得，将其用于二维液氧/甲烷的跨/超临界混合模拟。采用2.1节的定义计算不同模型亚格子密度的相对误差，其不同混合分数处的相对误差均方根结果如图 4所示，图中无模型表示不考虑亚格子密度的结果。对比3个模型曲线与无模型曲线可知，尽管模型高估了混合区域(当量比附近，即混合分数约为0.2区域)以外的亚格子密度大小，但在混合区域相对误差明显减小。
由于GM在远离混合区域高估了亚格子未封闭项的值，类比动态Smagorinsky模型，Unnikrishnan等[55]进一步提出了亚格子密度的动态梯度模型(dynamic gradient model，DGM)，表示为
| $ \begin{gathered} \rho^{\mathrm{sgs}}=\rho(\widetilde{Q})-\overline{\rho(Q)} \approx C_{\mathrm{ds}} \mathit{\bar \Delta } \rho_{\mathrm{g}}(\widetilde{Q}) ,\\ \rho_{\mathrm{g}}(Q)=|\nabla \rho(Q)|. \end{gathered} $ | (28) |
其中：Cds为动态系数；ρg为密度梯度。
对亚格子密度进行测试滤波，选取更大的滤波宽度，上标记为顶帽。定义Leonard项为
| $ \begin{array}{*{20}{c}} {{L_\rho } = \left( {\rho \left( {\widehat {\widetilde Q}} \right) - \widehat {\overline {\rho \left( Q \right)} } - \widehat {\rho \left( {\widetilde Q} \right)} - \widehat {\overline {\rho \left( Q \right)} }} \right)}=\\ {\rho \left( {\widehat {\widetilde Q}} \right) - \widehat {\rho \left( {\widetilde Q} \right)}.} \end{array} $ | (29) |
根据Lilly的最小二乘法[30]，最终得到DGM的亚格子密度表达式为
| $ \rho^{\mathrm{sgs}}=\frac{\left\langle L_\rho M_\rho\right\rangle}{\left\langle M_\rho M_\rho\right\rangle}|\nabla \rho(\widetilde{Q})| \text {. } $ | (30) |
其中：尖括号表示平均运算，Mρ=
SSM是亚格子应力中的经典模型。Unnikrishnan等[55]提出了基于SSM的亚格子密度模型，表示为
| $ \rho^{\mathrm{sgs}} \approx C_{\mathrm{s}}(\rho\widehat{(\widetilde{Q})}-\widehat{\rho(\widetilde{Q})}). $ | (31) |
其中常系数Cs取1。
结合动态Smagorinsky模型，得出动态SSM，表示为
| $ \rho^{\mathrm{sgs}}=C_{\mathrm{ds}}(\rho \widetilde{(\widetilde{Q})}-\overline{\rho(\widetilde{Q})}), \quad C_{\mathrm{ds}}=\frac{\left\langle L_\rho M_\rho^{\mathrm{s}}\right\rangle}{\left\langle M_\rho^{\mathrm{s}} M_\rho^{\mathrm{s}}\right\rangle}. $ | (32) |
| $ M_\rho ^{\rm{s}} = {C_{{\rm{ds}}}}\left\{ {\left( {\rho \left( {\widehat {\widetilde {\widehat {\widetilde Q}}}} \right)} \right) - \widehat {\overline {\rho \left( {\widehat {\widetilde Q}} \right)} } - \widehat {\overbrace {\left( {\rho \left( {\mathop Q\limits^ \approx } \right) - \overline {\rho \left( {\widetilde Q} \right)} } \right)}}} \right\}. $ | (33) |
结果表明2个模型的性能差异较小。使用图 1算例计算常系数SSM的亚格子密度，结果与DGM的类似。SSM对亚格子密度的预测结果较好，但在局部空间(主要为混合区域)预测结果偏小。
2.5 滤波密度函数(filtered density function，FDF)模型滤波密度函数是类比的概率密度函数(probability density function，PDF)，在LES中代表亚格子尺度的波动。Unnikrishnan等[54]在观察亚格子密度的分布时发现FDF与标量耗散率有很高的相关性，因此提出用beta函数对亚格子密度进行修正，表达式为
| $ \rho^{\text {sgs }} / \bar{\rho} \approx C \operatorname{beta}(z, \beta, \gamma) . $ | (34) |
其中，C、β、γ从DNS数据中对每个范围的滤波标量耗散率使用最小二乘近似获得，z为混合分数。使用该方法在一定程度上改进了文中算例得出的结果，但仍需验证模型的普适性。
同一时期，Lepenna等[52]发展了跨/超临界条件下评估滤波密度与比热的β-pdf模型，研究了氮气/液氮的时间混合层，发现假定的β-pdf与DNS提取的PDF吻合程度较高，但其研究局限于低Re和单个物质，密度仅根据温度即可计算。此后在Lepenna等[88]对火焰面模型的研究中，提出了预测混合物密度的β-pdf模型，密度由质量分数与标量耗散率计算。在这些研究的基础上，Unnikrishnan等[55]研究了液氧/甲烷的混合过程，对Lepenna的模型进行了2点改进：1)滤波密度函数采用温度和混合分数的联合分布；2) 将假定的β-pdf模型应用于滤波密度函数的Favre平均，最终得到：
| $ \begin{gathered} \bar{\rho}(\widetilde{T}, \widetilde{z})=\frac{1}{\widetilde{{\rho}^{-1}}}= \\ {\left[\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{\rho\left(T^*, z\right)} \widetilde{P}\left(\widetilde{T}^*, \widetilde{z}\right) \mathrm{d} T^* \mathrm{~d} z\right]^{-1} .} \end{gathered} $ | (35) |
其中，归一化滤波温度
为进一步定量对比，Unnikrishnan等[55]计算3种不同滤波宽度下(Δ=5ΔDNS、10ΔDNS、20ΔDNS)4种亚格子密度模型滤波密度相对误差的二阶范数。结果表明：RFM的误差与无模型的量级一样，滤波密度的计算没有明显改善。另外相较于无模型情况，3种模型均不同程度提高了亚格子密度的预测精度，其中FDF效果最好。随滤波宽度的增大，3种模型的相对误差均增大，DGM、SSM和无模型的相对误差显著增大，FDF表现出对滤波宽度的低敏感性。滤波宽度为5ΔDNS和10ΔDNS时，FDF的相对误差均小于10.00%，滤波宽度增大到20ΔDNS时，相对误差增大到23.47%，此时另外3种亚格子模型相对误差均超过了150.00%，有待进一步优化。因此，实际应用中应根据滤波宽度选择亚格子密度模型。RFM目前无法改善滤波密度的结果，较小滤波宽度下另外3种模型的相对误差差别不大；滤波宽度较大时，FDF表现最好。
2.6 亚格子压力模型在以密度为原始变量的数值模拟中，发展了亚格子压力模型。Selle等[49]提出基于Taylor展开的亚格子模型，忽略展开的一阶项，保留二阶项。该方法在较小的滤波宽度下(Δ=4ΔDNS)有一定效果，但在较大的滤波宽度下(Δ=8ΔDNS)效果很差。在此基础上，Taskinoglu等[50]指出Selle等提到的
综上所述，此前研究已对状态方程在跨/超临界流体LES中的应用进行了大量探索，并发展了一系列状态方程亚格子模型。现有的状态方程亚格子模型存在以下问题。1) RFM虽然在实际应用中表现出部分改善效果，但Reynolds平均变量的选取规则尚不明晰，并且滤波密度、压力修正后是否会影响其他热物性计算精度以及RFM是否适用于其他热物性均有待研究。2) DGM、SSM和部分亚格子压力模型均存在预测精度对滤波宽度敏感的问题，较大的滤波宽度下模型预测效果显著下降。3) 现有的部分亚格子模型中系数(如FDF)需要使用DNS数据计算获得，模型的外延性有待考量；二维算例或三维低Re算例发展出的亚格子模型在实际复杂流场中的适用性也需要验证。
跨/超临界流体LES的发展关注于两方面：一是发展更高精度的封闭模型，二是提高运算速度和稳定性。从亚临界到跨/超临界，从混合到燃烧，从低Re到高Re，应用场景的复杂化给数值计算带来了更严峻的挑战，真实气体状态方程与状态方程亚格子模型是跨/超临界流体LES的核心因素。未来，这一领域仍有很多可探索的研究方向。
在状态方程的发展方面：发展计算结果更准确、更实用的真实气体状态方程。目前研究已经提出了很多精度更高、适用于超临界工况的立方体状态方程[61, 90-96]，但这些方程在LES中的应用性能还有待研究。此外，发展状态方程需要考虑模型的复杂程度与求解速度，如构建热物性数据库，利用机器学习对状态方程与热物性数据库进行建模，在保证运算速度的前提下提高了密度预测的精度[96]。
在跨/超临界流体LES的发展方面：发展更普适、更高效的状态方程亚格子模型。完善复杂工况下的DNS数据库，基于现有的状态方程亚格子模型，进一步加深对亚格子未封闭项物理本质的理解，提高状态方程亚格子模型的普适性。在现有状态方程亚格子模型基础上，发展多热物性的亚格子模型。建模方法类比亚格子应力模型的进展[36-37]，可采用学科交叉的方式，建立神经网络、随机森林等模型，发展快速预测状态方程亚格子未封闭项的模型。此外，利用新兴的数据驱动方法，如结合代理模型[97-98]，以LES的数据为基础，可对工况进行快速预测，有效缩减计算时间。
4 结论本文基于高运行压力下的先进动力装置高效混合燃烧的背景，总结了跨/超临界流体流动LES状态方程亚格子模型的研究进展。跨/超临界流体流动不同于亚临界流体，热物性的非线性变化更剧烈，热力学场与湍流场存在强耦合，须采用真实气体状态方程并发展新的亚格子模型，以提升LES的精确性。本文首先归纳了目前在跨/超临界流体LES中广泛采用的各类立方体状态方程，并分析了状态方程非线性引起的新亚格子未封闭项。随后，总结了状态方程亚格子模型的研究进展，重点介绍了亚格子密度方面的研究成果，包括亚格子密度的影响分析，4种亚格子密度模型的原理、性能和潜在的问题等；简要概括了亚格子压力模型的发展。针对当前研究现状，提出了未来研究需要深入的方面及可能实现的新方向。考虑到未来先进动力装置中趋于复杂化的流动工况，高精度状态方程、亚格子未封闭项的物理本质和高精度亚格子模型都是值得研究的重点方向。运用学科交叉的方式可更好地推动研究工作，具有很好的发展前景。
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