2. 北京师范大学 地理科学学部, 灾害风险科学研究院, 北京 100875;
3. 清华大学 工程物理系, 公共安全研究院, 北京 100084
2. Institute of Disaster Risk Science, Faculty of Geographical Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;
3. Institute of Public Safety Research, Department of Engineering Physics, Tsinghua University, Beijing 100084, China
在中国，通常用“台风”来称呼“热带气旋”。台风的致灾机理复杂，其致灾过程往往是大风、风暴潮、暴雨及系列次生灾害(如城市内涝等)协同作用导致的。大风是风暴潮的主要驱动因素，台风风力等级在一定程度上能反映风暴潮强弱，且已有研究对两者的关系进行了探讨[1-3]。台风降雨强弱尚无法由台风风力来表达，特别是台风登陆后，其强度衰减较快，但往往降雨仍会持续，甚至可能造成城市内涝，对生命及财产构成威胁。例如，7503号台风造成河南特大暴雨及内陆洪水，导致了巨大的人员伤亡及财产损失[4-5]。在抗台应急工作中，气象部门实时监测及预报的热带气旋强度(底层中心附近最大风力等级)通常为主要参照指标。但是，热带气旋强度对降雨的指示作用不高，描述暴雨致灾能力的水平有限，因此开展台风大风与降雨相关性研究有助于理解台风综合致灾能力，且能为台风应急管理和防灾减灾等提供技术支持。
台风降雨和大风间关系复杂且呈非线性，尚缺乏确定的公式表达两者关系，但copula函数可以解决这一问题。根据Sklar理论[6]，copula函数是用来连接多个随机变量概率分布的连接函数，且对各随机变量的边缘分布没有限制，因其应用的灵活性和在维度上的可拓展性，被广泛应用于探讨水文和气象领域事件的多维属性特征，例如研究洪水流量、历时和洪峰这3个属性不同组合下的联合概率和重现期估计[7-11]，将干旱事件的烈度和持续时间进行二维联合概率分析[12-14]，以及沙尘暴灾害[15]的风险分析等。
在台风多元属性的研究中，国内外学者基于copula函数对台风大风、降雨和风暴潮3个致灾因子进行了不同的组合，如通过大风、风暴潮和降雨之间的联合概率构建[16-17]与重现期计算，为城市防洪标准设计提供参考；Bushra等[18]则基于copula函数评估了孟加拉湾地区热带气旋风暴潮和大风的综合风险。将台风大风和降雨组合时，武占科等[19]和Um等[20]分别研究了上海和济州岛地区受台风风雨影响的特征，王修勇等[21]则通过分析琼州海峡跨海大桥桥址处观测站风速和雨强的联合概率及重现期，为大桥工程设计提供了参考；陈立华等[22]建立了钦州市台风风雨联合概率分布，并证明该联合分布模型可用于预估台风影响下该地区的降雨量；侯静惟等[23]则证明了基于copula构建的台风风雨联合重现期与损失的相关性较单指标重现期更好，能够为多致灾因子损失评估提供一定的研究基础。许红师等[24]采用三维copula函数对海口开展台风的风-雨-潮联合概率分布拟合和重现期计算，该研究可为沿海城市防台设施设计标准提供支持。以上研究推进了台风多源致灾因子之间的关系刻画，进一步为台风综合危险性和风险评估提供了理论支持，但是以上研究主要是从站点尺度展开的，缺少针对整场台风事件的多维致灾因子间关系的刻画。
为了探究整场台风事件中台风大风和降雨这两个致灾因子的关系，本研究选取台风登陆点最大风速(maximum wind speed，MWS)和台风过程陆地(台湾省无数据)总降雨量(total precipitation，TP)为致灾因子的代表性指标，采用Archimedean copula构建两者的联合概率分布，通过拟合优度最小二乘法(ordinary least squares，OLS)值确定最优copula函数，并进一步分析了两者的联合概率和条件概率分布特征。
1 数据来源及处理本研究选取1951—2015年期间影响中国大陆的553场热带气旋作为数据来源，并选择登陆时的MWS和TP作为刻画大风和降雨危险性的致灾因子指标。考虑到台风登陆后风力衰减较快，内陆地区大风的破坏力总体比沿海地区弱，本研究选取台风登陆时的MWS作为大风致灾因子指标。对降雨而言，相对降雨强度，降雨累积作用造成的破坏力往往更强，台风登陆后降雨往往仍会持续，所引发的城市积涝等次生灾害也不容小觑，因此本文选取台风陆地区域的过程总降雨量TP作为致灾指标。
MWS数据来源为《CMA-STI热带气旋最佳路径数据集》[25]中“2 min平均近中心最大风速”，结合中国大陆的海岸线，分别选取登陆前后两个时次的MWS，将两者进行线性插值至台风路径与海岸线的交点，即可得到登陆时的MWS。TP数据来源于《热带气旋年鉴》中的各场热带气旋过程总降雨量等值线(≥10 mm)，再进行反距离加权插值后得到1 km×1 km网格尺度的降雨量，将各格点的降雨体积累加后得到TP。
图 1为2007年台风“圣帕”登陆点MWS和TP分布图。该台风登陆点MWS为31.05 m/s，过程TP约为1 270×108 m3。
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| (注：该图基于国家测绘地理信息局标准地图服务网站下载的审图号为GS(2019)1823号的标准地图制作，底图无修改) 图 1 台风登陆点最大风速MWS和陆地过程总降雨量TP(以2007年台风“圣帕”为例) |
图 2为MWS和TP的Q-Q散点分布图及各自的频次分布直方图。从图 2的频次分布直方图可以看出，MWS基本分布在10~45 m/s (504场)，仅4场台风的MWS超过50 m/s，最大为60.33 m/s(2014年超强台风“威马逊”)。MWS均值和中位数均为25 m/s，其偏态分布特征不明显。TP则较多位于0~700×108 m3之间(513场)，极值出现频次较少，仅13场台风TP超过1 000×108 m3，4场台风TP超过1 200×108 m3，最大为1 343.36×108 m3 (2013年台风“潭美”)。TP的均值为288×108 m3，中位数为221×108 m3，呈现了一定的右偏态分布特征。
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| 图 2 MWS和TP的Q-Q散点分布图及MWS和TP频次分布统计直方图 |
从图 2中MWS和TP的Q-Q散点分布图发现，MWS和TP两者的大小并不一致。若分别以45 m/s和700×108 m3作为阈值进行区域划分，则图中Ⅱ和Ⅳ区分别代表了风大雨小和雨大风小类型的台风，即代表两个致灾因子强度不一致的台风，Ⅰ和Ⅲ区则分别表示风小雨小和风大雨大的台风，即两个致灾因子强度比较一致。目前，台风的风雨之间的相关性尚没有明确的结论，若用单致灾因子指标评估台风危险性，台风的综合致灾力易被低估，可能造成灾害应急不当等问题。由于MWS和TP间的关系是非线性的，无法用线性公式对两者间的关系进行表达，考虑到copula函数可以构建相关关系未知变量间的联合概率，因此本文采用二维Archimedean copula对台风的风雨相关性开展研究。
2 copula联合概率模型根据Sklar理论[6]，copula是一种连接N(N≥2) 个随机变量概率分布的连接函数，可以用来刻画具有不同边缘分布变量间的联合概率。copula函数的优点在于能够将单随机变量的边缘分布与变量间的相关性结构分开对待，通过连接各单变量的边缘分布来形成一个高维的联合概率分布。例如，当有N个随机变量(X1, X2, …, XN)的累积概率分布函数(cumulative distribution function，CDF)为FXi(Xi), i=1, 2, …, N，这N个变量的联合概率可以用一个N维copula函数表示为
| $ \begin{gathered} F\left(X_1, X_2, \cdots, X_N\right)=C\left(F_{X_1}\left(X_1\right), \right. \\ \left.F_{X_2}\left(X_2\right), \cdots, F_{X_N}\left(X_N\right)\right) . \end{gathered} $ | (1) |
其中C表示copula函数。
2.1 Archimedean copula函数本研究选取二维Archimedean copula中的Clayton-copula、Frank-copula和Gumbel-copula函数。这3个copula函数的概率密度分布特征不同：Frank-copula的概率密度呈现上下尾部对称的分布特征，而Clayton-copula和Gumbel-copula函数的概率密度则呈现上下尾部不对称的分布特征。Clayton-copula对下尾部的厚尾特性更敏感，更适用于构建下尾部厚尾特征明显而上尾部厚尾特征不明显的联合概率，Gumbel-copula则相反。
以上3个copula函数均为单变量函数，其形式见表 1。表中：ui=FXi(Xi)，α为copula参数。
| copula函数类型 | 公式 |
| Clayton-copula | |
| Frank-copula | |
| Gumbel-copula |
2.2 边缘概率分布函数
根据MWS和TP的边缘分布特征，本文选取了4类边缘概率分布函数，分别是Gamma、Gumbel、Weibull和广义极值(generalized extreme value, GEV)。表 2列出了这4种分布的概率密度函数(probability density function，PDF)。其中：σ和k分别是尺度和形状参数，μ是位置参数。
| 函数类型 | 概率密度函数 |
| Gamma | |
| Gumbel | |
| Weibull | |
| GEV |
2.3 参数拟合及拟合优度评价
在拟合copula函数的参数时，采用边缘推断函数(inference function for margins，IFM)法[26]。该方法分两步：先估计边缘概率分布CDF的参数，再估计copula函数的参数。这两步均采用极大似然法进行参数估计。
在选取最优拟合函数时，本研究先进行置信度为5%的Kolmogorov-Smirov(K-S)检验，对通过置信度检验的函数模型进一步采用OLS来选取最优的拟合函数。OLS的计算方法为
| $ \mathrm{OLS}=\sqrt{\frac{1}{N} \sum\limits_{i=1}^N\left(p_i^{\prime}-p_i\right)^2}. $ | (2) |
其中：p′i和p分别表示概率经验值和拟合值，N则代表了参与拟合的随机变量的样本数。
3 结果分析 3.1 边缘概率分布根据copula联合概率模型，首先拟合了MWS和TP这两个致灾因子的边缘概率分布CDF，结果见表 3。通过对比OLS值发现，对于MWS，最优的分布类型为Weibull，拟合的参数k=2.783 7，σ= 29.531 5；TP则最符合Gamma分布，k= 1.334 5，σ=2.160 4×1010。
| 致灾因子 | OLS值 | |||
| Gamma | Gumbel | Weibull | GEV | |
| MWS | 0.027 9 | 0.021 7 | 0.015 6 | 0.031 8 |
| TP | 0.005 8 | 0.037 7 | 0.008 7 | 0.021 8 |
MWS和TP的拟合效果见图 3。两者PDF曲线均较好地体现出了图 2中MWS和TP频次分布直方图的特征。图 2所示的553场台风中，MWS处于20~30 m/s区间的台风占比约为34%，而图 3a拟合的Weibull PDF中，位于该区间的台风占比37%，两者较为接近，且拟合的Weibull PDF曲线峰值位于25 m/s附近，MWS≤25 m/s和MWS>25 m/s的台风分别占55%和45%，均与图 2数据较接近。对于TP而言，图 3b中拟合的Gamma PDF峰值约出现在TP为80×108 m3处，约90%台风的TP < 600×108 m3，而TP>1 200×108 m3的台风仅占0.6%左右，均较好地体现了TP频次分布直方图中(见图 2)薄尾及右偏态特征。
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| 图 3 MWS和TP的经验CDF以及拟合最优PDF、CDF曲线 |
3.2 联合概率分布
通过对比3个Archimedean copula函数的OLS值发现(表 4)，连接MWS和TP边缘分布最优的copula函数为Gumbel，其拟合的PDF和CDF见图 4。在copula PDF中，上下尾部分别存在两个较明显的峰值，分别对应图 2中Ⅰ和Ⅲ区，即风小雨小和风大雨大的台风。这也说明，虽然存在图 2中Ⅱ和Ⅳ区的风大雨小和雨大风小类型的台风，但总体而言，风雨致灾危险性同时强(弱)的台风发生概率要高于仅单个致灾因子强的台风。另外，图 4上尾部的峰值出现在MWS约为55 m/s处，当MWS进一步增大时，copula PDF随之减小，将在图 6中对该特征进一步进行讨论。
| Clayton | Frank | Gumbel | |
| copula参数α | 0.534 8 | 2.374 3 | 1.285 5 |
| OLS值 | 0.629 9 | 0.630 7 | 0.629 4 |
|
| 图 4 Gumbel copula拟合的PDF和CDF图 |
3.3 条件概率
在台风灾害应急中，气象部门监测及预报的热带气旋强度(风速)往往先被获取。若已知各风速下TP的条件概率密度，则可以预判该台风可能造成的TP，进一步为台风灾前的应急管理提供有效的支持。以MWS为某一固定值MWS0对图 4的PDF曲面作切割，即为TP发生的条件概率密度PTP(TP|MWS=MWS0), PTP的大小可直观反映已知MWS时，不同强度TP发生概率的高低。图 5以2013年超强台风“天兔”为例，基于登陆时的MWS(45.69 m/s)计算得到TP的条件概率密度PTP(TP|MWS=45.69 m/s)曲线。该曲线中概率密度最大值所对应的TP为1 111×108 m3，该值即为最大可能发生的TP，而“天兔”实际引发的TP为885.6×108 m3，两者较为接近。另外，若要获得任意TP的发生概率，只需要计算相应TP区间内该条件概率PDF曲线与横坐标轴围成的面积。
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| 图 5 2013年超强台风“天兔”的TP条件概率密度曲线 |
本研究进一步绘制了MWS0分别为20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70 m/s时的条件概率PTP曲线(见图 6)。当MWS≤55 m/s时，图 6a—6h中PTP曲线随着TP增大呈现先增后减的特征，且随着MWS增大，PTP曲线最大值所对应的TP也逐渐增加。例如，PTP(TP|MWS=40 m/s) 最大值处对应的TP约为1 000×108 m3，PTP(TP|MWS=30 m/s)最大值处对应的TP则约为400×108 m3，即在MWS=40 m/s的前提下，最大可能发生的TP为1 000×108 m3，而当MWS=30 m/s时，最大可能发生的TP为400×108 m3。显然，MWS=40 m/s时最可能发生的TP大于MWS=30 m/s时最可能发生的TP。当60 m/s≤MWS≤70 m/s时，图 6i—6k中PTP随着TP增加而增大，不存在峰值，且值大于图 6a—6h中的PTP。以上规律可总结为，在MWS已知的条件下，随着MWS0增加，条件概率曲线PTP(TP|MWS=MWS0)最大值对应的TP也越大，即最可能发生的TP也越大。
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| 图 6 不同MWS0下TP的条件概率密度PTP(TP|MWS=MWS0)曲线 |
由图 6a—6k发现：当TP∈[1 000, 2 000]×108 m3时，相应的条件概率密度PTP自图 6a到图 6j增幅较明显。考虑到该区间的台风降雨致灾力较强，对该区间内TP条件概率密度PTP(TP∈[1 000, 2 000]×108 m3|MWS=MWS0)的特征进行讨论，且暂定义该范围内的TP为台风强降雨。结果发现：当40 m/s≤MWS≤60 m/s时(图 6e—6i)，台风强降雨的条件概率密度随着MWS增加而增加，但当MWS＞60 m/s时(图 6j—6k)，强降雨条件概率密度反而随着MWS增加而减小，例如，PTP(TP|MWS=65, 70 m/s)均小于PTP(TP|MWS=60 m/s)。这说明当MWS超过一定阈值时，强降雨发生的概率反而减小。这也解释了图 4 copula PDF上尾部出现下降的原因。进一步发现，对于任意TP，均存在MWS阈值，且TP越大，该MWS的阈值越大。例如，当TP为700×108 m3和1 000×108 m3时，该阈值分别约为47 m/s和53 m/s。
4 结论与讨论本研究基于二维Archimedean copula函数，对1951—2015年间影响中国大陆的553场热带气旋的大风和降雨致灾因子指标(MWS和TP)进行联合概率分布的构建，通过K-S检验和OLS拟合优度评价，确定了最优的MWS和TP边缘分布以及连接两者最优的copula函数，并进一步分析了MWS已知条件下TP的条件概率特征。本文主要的结论如下：
1) 台风登陆点最大风速MWS符合Weibull分布，台风过程陆地过程总降雨量TP则符合Gamma分布；在3个Archimedean copula函数中，最佳的连接MWS和TP的函数为Gumbel copula，且拟合的Gumbel copula PDF的上下尾部均为相对大值区，即风雨致灾危险性同时强(弱)的台风发生概率高于仅单个致灾因子强的台风。
2) 条件概率密度PTP(TP|MWS=MWS0)表示当MWS=MWS0时TP发生的概率，PTP曲线最大值即为最可能发生的TP。研究发现：随着MWS增加，最可能发生的TP量值也越大。在灾前，基于气象部门观测及预报的热带气旋风速，通过该风速下的PTP曲线预测该台风可能带来的TP概率分布，即不同TP量级可能发生的概率，并基于曲线的最大值识别最大可能的TP，可为台风暴雨灾害预评估、灾害应急以及防汛减灾等提供支持。
3) 本文中将TP∈[1 000, 2 000]×108 m3暂定义为台风强降雨，位于该区间的台风降雨致灾力较强，需要重点关注。当MWS≤60 m/s时，强降雨的条件概率密度PTP(TP|MWS=MWS0)随着MWS增大而增加，即风速越大，强降雨发生概率越大；但是当MWS＞60 m/s时，强降雨的发生概率反而减小。进一步发现，对于任意TP，均存在相应的MWS阈值，在该阈值前，风越大强降雨发生概率越大，在该阈值后，风越大强降雨的发生概率越小，且该阈值随着TP增加而增加。
除了本文选取的MWS和TP两个致灾因子之外，风暴潮、台风影响时间等也是影响台风灾害严重程度的重要因素，在后续的研究中，可以将风暴潮、台风影响时间等因子纳入copula模型，开展高维度的台风致灾因子联合概率分析，更全面地探索台风致灾因子之间的关系。另外，基于copula函数构建的联合概率，还可进一步探究台风多维致灾因子重现期的规律与特征，为台风灾害管理和应急管理等工作提供参考和支持。
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