《“十四五”现代能源体系规划》^[1]指出，实施雅鲁藏布江下游水电开发等重大工程。《“十四五”可再生能源发展规划》^[2]指出，推进前期工作，实施雅鲁藏布江下游水电开发。雅鲁藏布江下游蕴藏着丰富的水电资源，具有高水头、大容量等特点，冲击式水轮机是优选机型。

转轮是冲击式水轮机的核心过流部件和做功部件，水流冲击转轮时，流体动能转换为转轮机械能，进而转换为电能。杨康^[3]通过数值模拟发现多喷嘴射流同时进入当前水斗时出水边水流将冲击后一个水斗背面和水斗缺口处的背面打水现象，分析了不良流动产生的原因及通过改变水斗形状与数量减轻对效率的影响。Zeng等^[4]数值模拟了不同水头工况下射流在水斗内外表面扩散的轨迹，发现出水边的水流由于Coanda效应产生正扭矩，但水斗背面打水干涉造成的损失更大。蒋勇其^[5]分析了冲击式水轮机在启动过程、额定工况和飞逸过程的内部流态，讨论了对应的转轮的结构动力特性。Xiao等^[6]通过数值模拟分析了不同直径射流在斗内的扩散过程和扭矩变化，阐明了旋转水斗内自由水膜的流动机理。

水斗是冲击式水轮机转轮的组成部件，其形状对机组性能至关重要。自由水膜在水斗表面的扩散过程表现出复杂的流动特性，因此水斗形状的设计和优化一直是研究的重点。Kumashiro等^[7]通过数值模拟比较不同水斗宽度和长度下的转轮效率，分析不同流量下的扭矩变化，比较了自由水膜在不同形状水斗中的流动过程。葛新峰等^[8]通过数值模拟和试验验证，研究了水气沙三相工况下水斗分水刃高度和缺口深度对转轮外特性的影响，分析了效率损失和泥沙磨损产生的原因。Anagnostopoulos等^[9]通过起始点、中间点和终点控制水斗边线，通过截面交点连线确定水斗深度，采用神经网络对变量的各种组合进行优化并评估变量的相对重要性，结果发现转轮效率主要取决于水斗长宽等尺寸，而边缘形状对效率影响较小。Zidonis^[10]对水斗几何模型进行简化，采用拟合曲线进行半自动优化，分析了水斗不同形状和水斗数量对转轮效率的影响。

冲击式水轮机水斗三维建模需要足够的几何参数完成复杂构型，然而目前关于冲击式水轮机水斗三维建模的研究相对较少。因此，本文提出了一种基于Bézier曲线的冲击式水轮机水斗设计方法，并采用正交实验方法对水斗进行优化设计，旨在提高冲击式水轮机的水力性能。

1 水斗三维设计方法

图 1给出了典型冲击式水轮机水斗的三维几何形状，主要包括水斗缺口、分水刃和出水边。

水斗的几何参数主要包括深度、宽度、长度和角度等。图 2给出了Descartes坐标系下1/2水斗的几何造型，包括轮廓线、过流剖面线和引导线。

以y-z平面为对称面，在Descartes坐标系第一象限内完成水斗几何建模。为实现复杂几何构型，采用四次Bézier曲线定义曲线。图 3给出了四次Bézier曲线示意图，每条曲线的形状由2个端点(P₀和P₄)、2个相邻点(P₁和P₃)和1个中间点(P₂)等控制点控制，端点旁边的相邻点确保曲线在连接处曲率相等且平滑过渡，表示如下：

$ \begin{gathered} B(t)=(1-t) 4 P_0+4 t(1-t) 3 P_1+ \\ 6 t^2(1-t) 2 P_2+4 t^3(1-t) P_3+t^4 P_4, t \in[0, 1] . \end{gathered} $

(1)

其中：B(t)为曲线函数，t为等效长度变量。

中间点为2个端点在x方向上的中点，表示如下：

$ P_{2 x}=\frac{P_{0 x}+P_{4 x}}{2} . $

(2)

其中：P_2x为中间点横坐标，P_0x和P_4x为端点横坐标。

若2条曲线连接处曲率相同，则端点、相邻点和中间点共线，表示如下：

$ \frac{P_{2 x}-P_{3 x}}{P_{2 x}-P_{4 x}}=\frac{P_{2 y}-P_{3 y}}{P_{2 y}-P_{4 y}}, $

(3)

$ P_{3 x}-P_{4 x}=\varphi\left(P_{0 x}-P_{4 x}\right) . $

(4)

其中：P_2y为中间点纵坐标；P_4y为端点纵坐标；P_3x和P_3y分别为相邻点横坐标和相邻点纵坐标，相邻点坐标由端点控制；φ为长度系数。

水斗边界轮廓线由AE、FJ、JN这3条Bézier曲线，以及AN、EF这2条直线组成，主要控制水斗长度和宽度，如图 4所示。轮廓线中，A_Oy控制水斗长度，N_Oy控制分水刃长度，E_Ox控制水斗宽度，E_Oy和F_Oy控制出水边长度，B_Ox、G_Oy和M_Oy为相邻控制点。因此，可以通过以上8个参数实现轮廓线设计和优化。

过流剖面线用于控制水斗深度L_h、分水刃角度β和出水边角度α。本文采用5条过流剖面线实现水斗构型，过流剖面线位于x-z平面内，如图 5所示。

过流剖面线中，E_sx和E_sy控制水斗深度。出水边角度和分水刃角度分别表示如下：

$ \alpha=90+\frac{B_{\mathrm{s} y}}{A_{\mathrm{s} x}-B_{\mathrm{s} x}}, $

(5)

$ \beta=90+\frac{H_{\mathrm{s}y}}{H_{\mathrm{s}x}} . $

(6)

其中：B_sx和B_sy分别为出水边相邻点横坐标和相邻点纵坐标，A_sx为出水边端点横坐标，H_sx为分水刃相邻点横坐标，H_sy为分水刃相邻点纵坐标。

水斗宽度随截面位置变化而变化，过流剖面线的长度L_AsIs受水斗轮廓线约束，通过比例系数λ_ij建立各截面的过流剖面线长度之间的关系，从而得到不同截面的水斗深度，表示如下：

$ \lambda_{i j}=\frac{L_{A_{\mathrm{s} j} I_{\mathrm{s} j}}}{L_{A_{\mathrm{s} i} I_{\mathrm{s} i}}}=\frac{L_{\mathrm{h}_j}}{L_{\mathrm{h}_i}} . $

(7)

其中i、j表示不同截面的过流剖面线。过流剖面线的水斗深度由不同截面的引导线高度控制。

通过水斗轮廓线可以得到端点A_s和I_s的坐标，中间点C_s、G_s和相邻点D_s、F_s的坐标分别由式(2)和(3)计算得出。

确定过流剖面线需要E_sx、E_sy、B_sx、B_sy、H_sx和H_sy共6个几何参数。

引导线位于y-z平面内，由AE、EI、JN、NR这4条Bézier曲线和直线IJ组成，如图 6所示。

引导线将过流剖面平滑连接构建水斗内表面，其中：曲线交接点由过流剖面线给出，两侧端点由轮廓线给出。C_gz和P_gz控制Bézier曲线交接处曲率，B_g和Q_g给出引导线两侧曲率。因此，确定引导线需要4个几何参数。

同时，水斗缺口由位于x-y平面上的圆切削后形成。

$ \left(x-R_x\right)^2+\left(y-R_y\right)^2=\frac{R_{\mathrm{c}}^2}{4}, $

(8)

其中：R_x和R_y分别为圆心横坐标和纵坐标，R_c为缺口圆直径。

综上所述，确定水斗三维几何形状共需要21个几何参数。

2 数值计算方法 2.1 主要参数

本文冲击式水轮机的主要参数如表 1所示。

冲击式水轮机转轮及喷嘴的几何模型，如图 7所示^[11]。

2.2 网格划分

采用ICEM进行网格划分，由于转轮结构复杂，采用贴体性更好的非结构网格，在水斗表面进行局部网格加密，如图 8所示。

2.3 数值计算方法

采用ANSYS FLUENT进行非定常流动计算，多相流模型采用流体体积(volume of fluid, VOF)模型，湍流模型采用剪切应力输运(shear stress transport, SST)k-ω模型 ^[12]。将计算域分为定子域和转子域2部分，动静交界面直径为600mm，转子域通过动网格控制旋转，水斗壁面跟随转子域转动，定子域和转子域通过interface进行数据传输。壁面边界采用无滑移固体边界条件，近壁区采用标准壁面函数。入口边界条件设置为速度入口，出口边界条件设置大气压力出口。时间步长Δt为1×10^-4 s，为转轮旋转周期的1/1200^[13]，每个时间步长内迭代20次。

2.4 网格无关性验证

为验证网格数量无关性，固定定子域网格数量，增加水斗域网格数量，得到5套不同数量的网格开展数值计算。由图 9可知，随着网格数增加，转轮输出功率和转轮效率逐渐降低并趋于稳定，当网格数量超过4.26×10⁶时转轮输出功率和转轮效率变化较小，最终选取4.26×10⁶网格开展下一步计算。

3 水力性能正交优化 3.1 正交表设计

控制水斗形状的主要几何参数有深度、长度、宽度、缺口圆、分水刃角度和出水边角度。根据设计经验和优化成本，本文选取L_h、宽度增量ΔL_b、α、β和R_c 5个参数，采用正交试验方法进行优化^[14]。正交试验中各个因素的水平选取如表 2所示。

3.2 正交分析

根据正交表的5因素和4水平构建L₁₆(4⁵)正交表，并在设计工况下对转轮进行数值模拟，如表 3所示。

对正交试验结果进行极差分析，如表 4所示。表中：η_i表示各因素在某个水平时的平均效率，i= 1, 2, 3, 4，取其中的最高效率为100，其他效率为相对值；Δη为各因素对应平均效率的极差，极差代表了各因素对效率的影响程度。

由表 4可知，L_h、ΔL_b、α、β和R_c的最优水平分别为1、3、1、2和1，表 3对应的数值分别为25.95mm、1.00mm、174.70°、172.66°和9.00mm，根据各因素的最优水平得到最优水斗，如图 10所示。

由极差分析可知，宽度增量对转轮效率影响最大，出水边角度、缺口圆直径和水斗深度的影响程度依次降低，分水刃角度对转轮效率的影响最小。

4 结果与分析 4.1 水斗扭矩

图 11给出了原型水斗和优化水斗的单个扭矩和总扭矩。流体经喷嘴流出形成射流，然后被水斗切割在水斗表面形成水膜流，推动转轮做功。水斗靠近喷嘴时受射流作用影响产生正扭矩，远离喷嘴后受空气阻力影响产生负扭矩。转轮的总扭矩是所有水斗扭矩之和。在相同额度工况下，优化转轮的扭矩大于原型转轮，额定工况下转轮扭矩经过优化有了显著提升，比原型转轮提升了6.71%。

图 12给出了原型水斗和优化水斗的3个相邻水斗扭矩。A₁—A₅和B₁—B₅分别对应原型水斗和优化水斗的不同时刻。相比于原型水斗，优化水斗的扭矩曲线更加平滑。扭矩上升过程中，原型水斗和优化水斗的扭矩变化基本相同，优化水斗的峰值更大。扭矩下降过程中，优化水斗的扭矩始终大于原型水斗，且变化更加平缓，尤其是扭矩减少至0的阶段。因此，优化水斗的总扭矩更大，在扭矩减小至0的过程中平缓过渡，有利于提高机组的水力效率和运行稳定性。

4.2 流动特性

图 13给出了原型水斗和优化水斗不同时刻的压力云图。

时刻1和时刻2位于扭矩上升阶段，原型水斗和优化水斗的扭矩几乎一致，二者的压力云图也基本相同。从时刻1到时刻2，射流冲击逐渐增强，水斗内压力逐渐增大，高压区也逐渐增大，压力最大区域分布在中间位置。在时刻1，水斗刚接触射流，产生的高压区很小；在时刻2，水斗中部和根部出现2个高压区，沿分水刃分布不均匀，这主要受到相邻水斗的影响。

时刻3对应扭矩最大值，此时射流对水斗冲击最大，水斗内高压区也相应达到最大。此时，优化水斗的扭矩大于原型水斗的扭矩，与此对应，优化水斗的高压区域大于原型水斗的高压区域。

时刻4和时刻5位于扭矩下降阶段，原型水斗和优化水斗的扭矩存在差别，二者的压力云图也略有不同。从时刻4到时刻5，射流冲击逐渐减弱，水斗内压力逐渐减小，高压区也逐渐减小。优化水斗的扭矩大于原型水斗，与此对应，优化水斗高压区域大于原型水斗。

因此，水斗形状优化主要影响扭矩下降阶段的压力分布，进而影响水轮机的水力效率。

图 14为冲击式水轮机转轮总压云图，2个转轮对应同一时刻，此时水斗2的扭矩为最大值，水斗正背面的压差达到最大。水斗3的扭矩处于上升阶段。与原型水斗2相比，此时优化水斗2正面的压力更大，因此扭矩也更大。

5 结论

本文提出一种可控参数的冲击式水轮机水斗三维设计方法，并基于该方法对水轮机水斗进行设计和优化，通过数值模拟对比原型水轮机和优化水轮机的水力特性和流动特性，得出结论如下：

1) 将水斗三维几何形状的构造线划分为轮廓线、过流剖面线和引导线3类，轮廓线包括8个特征参数，过流剖面线包括6个特征参数，引导线包括4个特征参数，水斗缺口包括3个特征参数，共计21个特征参数。

2) 选择水斗深度、宽度增量、出水边角度、分水刃角度和缺口圆直径等5个参数，对冲击式水轮机水斗进行5因素4水平的正交优化，确定了各参数的最优水平，即水斗深度为25.95mm，宽度增量为1.00mm，出水边角度为174.70°，分水刃角度为172.66°，缺口圆直径为9.00mm。由极差分析可知，宽度增量对转轮效率的影响最大，对出水边角度、缺口圆直径和水斗深度的影响程度依次降低，分水刃角度对转轮效率的影响最小。优化后，冲击式水轮机的水力效率增加6.71%。

3) 与原型水斗相比，优化水斗的总扭矩更大，在扭矩减少至0的过程中平缓过渡，有利于提高机组的水力效率和运行稳定性。从水斗接近喷嘴到远离喷嘴的过程中，水斗内压力逐渐增大至最大值，然后逐渐减小。同一时刻，优化水斗正面的压力大于原型水斗。