随着环境污染与能源短缺问题越来越受到关注，大力发展新能源汽车成为汽车行业的趋势。相比目前主流的集中电机驱动电动汽车，轮毂电机(IWM)驱动车辆由于省掉了复杂的传动机构，简化了底盘结构，提高了车辆的空间利用率和能量效率；并且整车动力学控制更加便捷^[1]，因此被认为是电动汽车最终的理想驱动形式。

然而，主流轮毂电机驱动中，电机及其动力系统与轮毂固定连接，显著增加了车辆的簧下质量，从而对平顺性产生负效应。Vos等^[2]在不同路面上开展道路试验，以分析簧下质量增加的影响。结果表明，簧下质量增加会恶化乘坐舒适性。为了揭示簧下质量增加的负效应机理，研究者们通常采用1/4车辆模型开展仿真分析。其中，Nagaya等^[3]基于计算指出，轮毂电机驱动车辆的轮胎接地力和车身加速度均在簧下质量共振频率处增大，对车辆的接地性和舒适性产生了负面影响。童炜^[4]指出轮毂电机直接受到来自路面的冲击，会造成电机定转子偏心而影响电机的寿命。笔者应用1/2车辆模型，考察不同车速时车身不同位置处的振动后发现，簧下质量增加会在中速范围内增大质心垂向加速度，并在高速范围内增大车身俯仰振动^[5]。

为了抑制簧下质量增加带来的负效应，利用弹性元件将轮毂电机悬挂起来的方案成为了研究的一个热点。普利司通公司^[6]首先应用十字滑槽组成的柔性联轴器支撑电机，提出了一种基于动力吸振器的轮毂驱动构型。受其启发，笔者团队先后提出了一种两级悬架的电动轮构型^[7]和一种基于新型联轴器的动力吸振器构型^[8]。

电机悬置构型参数的适当匹配有利于发挥构型的潜力，且通过分析阐明各种构型间的性能差异，对于指导轮毂驱动设计具有重要意义。针对吸振器构型的轮毂驱动，童炜^[4]基于1/4车辆模型，对车身加速度和车轮动载荷等主要指标的幅频特性提出了最小化面积和最小化峰值2种优化策略，并优化了电机悬架参数。Feng等^[9]采用基于博弈论的多目标优化方法，同时对电机悬置和车辆悬架的参数进行了优化。对于两级悬架构型，Meng等^[7]基于1/4车辆模型，应用遗传算法优化了悬架参数，在改善车辆舒适性的同时降低了电机的振动水平。为了比较2种含电机悬置构型的效果，Drexler等^[10]基于1/4车辆模型，应用多目标加权遗传算法对动力吸振器构型和两级悬架构型的车辆和电机悬架参数进行了优化，随后用整车模型对比了2种构型对应的车辆垂向动力学性能。

综上所述，对于抑制轮毂驱动车辆簧下质量增加引起的负效应，仍存在众多问题有待解决。一方面，在文[5]之前针对负效应的研究主要以1/4车辆模型为主，难以全面揭示簧下质量增加对车身俯仰振动和不同位置处垂向振动的影响，且不能计入轴距滤波效应。另一方面，文[7, 10]对于电机吸振或两级悬架等构型的参数优化也基于1/4车辆而未考虑俯仰性能；优化策略为单目标优化或多目标加权优化，未能充分地探索各种构型的潜力。

本文基于电机悬置构型，系统研究了簧下质量负效应的被动控制。根据文[5]揭示的负效应影响规律，针对电机吸振和两级悬架这2种含电机悬置的轮毂驱动构型，提出一种考虑车速差异的优化策略，并将NSGA-Ⅱ算法与熵权法相结合，对车辆悬架和电机悬置参数进行多目标联合优化，以改善车辆的舒适性、车轮接地性和电机振动。最后，分别开展垂向动力学仿真，对比分析2种构型对负效应的控制效果。

1 簧下质量增加的负效应

本章简述文[5]揭示的簧下质量负效应影响规律，以便于后续针对性地开展参数优化。文[5]基于半车模型，通过对比标准车辆和IWM固接车辆的动力学性能，以分析簧下质量增加的影响。图 1为在C级随机路面、车速为1~50 m/s工况下2种车辆的典型指标的均方根(RMS)结果对比。

由图 1a可知，在整个车速范围内，簧下质量增加增大了前后车轮相对动载荷，恶化了轮胎的接地性能。从图 1b和1c可以发现，车身质心加速度和俯仰角加速度均随车速呈现交替增加和降低的特点，这主要是轴距滤波效应的影响。其中，簧下质量增加对1~10 m/s的低速范围内影响较小；在18~28 m/s的中速范围内，簧下质量增加增大了车身质心加速度，但降低了俯仰角加速度；而在28~50 m/s的高速范围时，簧下质量增加则主要增大了车身俯仰角加速度，降低了质心加速度。该负效应规律对于典型车辆均具有普适性^[11]。

2 含电机悬置的轮毂驱动车辆动力学模型

为了降低IWM固接车辆簧下质量增加带来的负效应，笔者团队提出了2种具有代表性且动力学性能较优的含电机悬置的轮毂驱动构型：1) 将电机与车轮弹性连接，可称为电机吸振构型^[8]；2) 将电机悬置与车辆悬架串联连接，可称为两级悬架构型^[7]，2种构型的半车模型分别如图 2a和2b所示。

图 2所示的2个半车模型均包含6个自由度，即车身质心垂向位移z_2c和俯仰角φ₂、前和后轮的垂向位移z_1f和z_1r及前和后电机垂向位移z_3f和z_3r。相应地，m₂和I₂分别为车身质量和俯仰转动惯量，m_1f和m_1r分别为前后车轮质量，m₃为轮毂电机质量。k_2f和k_2r分别为前和后悬架刚度，c_2f和c_2r分别为前和后悬架阻尼系数；k_3f和k_3r分别为前和后电机悬置刚度，c_3f和c_3r分别为前和后电机悬置阻尼；k_1f和k_1r分别为前和后轮胎刚度。L为轴距，a和b分别为车身质心与前和后轴的距离。z_0f和z_0r分别为前和后路面输入位移。

应用Newton第二定律，以前后车轮的垂向位移、车身质心位移和俯仰角以及前后电机的垂向位移为广义坐标Z =(z_1f z_1r z_2c φ₂ z_3f z_3r)^T，半车系统的运动方程可用矩阵形式表示如下：

$ \boldsymbol{M} \ddot{\boldsymbol{Z}}+\boldsymbol{C} \dot{\boldsymbol{Z}}+\boldsymbol{K} \boldsymbol{Z}=K_{\mathrm{t}} \boldsymbol{Z}_0. $

(1)

其中：Z₀=(z_0f z_0r)^T为路面输入位移向量，M、C、K和K_t分别为半车系统的广义质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵和激励力系数矩阵。其中，对于电机吸振构型，各矩阵分别为：

$ \boldsymbol{M}=\operatorname{Diag}\left(\begin{array}{llllll} m_{1 \mathrm{f}} & m_{1 \mathrm{r}} & m_{2 \mathrm{c}} & I_2 & m_3 & m_3 \end{array}\right), $

(2)

$ \boldsymbol{K}_{\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{cccccc} k_{1 \mathrm{f}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k_{1 \mathrm{r}} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)^{\mathrm{T}}, $

(3)

$ \boldsymbol{K}_1=\left(\begin{array}{cccccc} k_{11} & 0 & -k_{2 \mathrm{f}} & a k_{2 \mathrm{f}} & -k_{3 \mathrm{f}} & 0 \\ 0 & k_{22} & -k_{2 \mathrm{r}} & -b k_{2 \mathrm{r}} & 0 & -k_{3 \mathrm{r}} \\ -k_{2 \mathrm{f}} & -k_{2 \mathrm{r}} & k_{33} & k_{34} & 0 & 0 \\ a k_{2 \mathrm{f}} & -b k_{2 \mathrm{r}} & k_{43} & k_{44} & 0 & 0 \\ -k_{3 \mathrm{f}} & 0 & 0 & 0 & k_{3 \mathrm{f}} & 0 \\ 0 & -k_{3 \mathrm{r}} & 0 & 0 & 0 & k_{3 \mathrm{r}} \end{array}\right), $

(4)

$ \boldsymbol{C}_1=\left(\begin{array}{cccccc} c_{11} & 0 & -c_{2 \mathrm{f}} & a c_{2 \mathrm{f}} & -c_{3 \mathrm{f}} & 0 \\ 0 & c_{22} & -c_{2 \mathrm{r}} & -b c_{2 \mathrm{r}} & 0 & -c_{3 \mathrm{r}} \\ -c_{2 \mathrm{f}} & -c_{2 \mathrm{r}} & c_{33} & c_{34} & 0 & 0 \\ a c_{2 \mathrm{f}} & -b c_{2 \mathrm{r}} & c_{43} & c_{44} & 0 & 0 \\ -c_{3 \mathrm{f}} & 0 & 0 & 0 & c_{3 \mathrm{f}} & 0 \\ 0 & -c_{3 \mathrm{r}} & 0 & 0 & 0 & c_{3 \mathrm{r}} \end{array}\right), $

(5)

$ \begin{gathered} k_{11}=k_{1 \mathrm{f}}+k_{2 \mathrm{f}}+k_{3 \mathrm{f}}, \\ k_{22}=k_{1 \mathrm{r}}+k_{2 \mathrm{r}}+k_{3 \mathrm{r}}, \\ k_{33}=k_{2 \mathrm{f}}+k_{2 \mathrm{r}}, \\ k_{34}=k_{43}=b k_{2 \mathrm{r}}-a k_{2 \mathrm{f}}, \\ k_{44}=a^2 k_{2 \mathrm{f}}+b^2 k_{2 \mathrm{r}} \\ c_{11}=c_{2 \mathrm{f}}+c_{3 \mathrm{f}}, \\ c_{22}=c_{2 \mathrm{r}}+c_{3 \mathrm{r}}, \\ c_{33}=c_{2 \mathrm{f}}+c_{2 \mathrm{r}}, \\ c_{34}=c_{43}=b c_{2 \mathrm{r}}-a c_{2 \mathrm{f}}, \\ c_{44}=a^2 c_{2 \mathrm{f}}+b^2 c_{2 \mathrm{r}}. \end{gathered} $

对于两级悬架构型，其刚度矩阵和阻尼矩阵与电机吸振构型不同，分别为：

$ \boldsymbol{K}_2=\left(\begin{array}{cccccc} k_{11} & 0 & 0 & 0 & -k_{3 \mathrm{f}} & 0 \\ 0 & k_{22} & 0 & 0 & 0 & -k_{3 \mathrm{r}} \\ 0 & 0 & k_{33} & k_{34} & -k_{2 \mathrm{f}} & -k_{2 \mathrm{r}} \\ 0 & 0 & k_{43} & k_{44} & a k_{2 \mathrm{f}} & -b k_{2 \mathrm{r}} \\ -k_{3 \mathrm{f}} & 0 & -k_{2 \mathrm{f}} & a k_{2 \mathrm{f}} & k_{55} & 0 \\ 0 & -k_{3 \mathrm{r}} & -k_{2 \mathrm{r}} & -b k_{2 \mathrm{r}} & 0 & k_{66} \end{array}\right), $

(6)

$ \boldsymbol{C}_2=\left(\begin{array}{cccccc} c_{3 \mathrm{f}} & 0 & 0 & 0 & -c_{3 \mathrm{f}} & 0 \\ 0 & c_{3 \mathrm{r}} & 0 & 0 & 0 & -c_{3 \mathrm{r}} \\ 0 & 0 & c_{33} & c_{34} & -c_{2 \mathrm{f}} & -c_{2 \mathrm{r}} \\ 0 & 0 & c_{43} & c_{44} & a c_{2 \mathrm{f}} & -b c_{2 \mathrm{r}} \\ -c_{3 \mathrm{f}} & 0 & -c_{2 \mathrm{f}} & a c_{2 \mathrm{f}} & c_{55} & 0 \\ 0 & -c_{3 \mathrm{r}} & -c_{2 \mathrm{r}} & -b c_{2 \mathrm{r}} & 0 & c_{66} \end{array}\right), $

(7)

$ \begin{gathered} k_{11}=k_{1 \mathrm{f}}+k_{3 \mathrm{f}}, \\ k_{22}=k_{1 \mathrm{r}}+k_{3 \mathrm{r}}, \\ k_{33}=k_{2 \mathrm{f}}+k_{2 \mathrm{r}}, \\ k_{34}=k_{43}=b k_{2 \mathrm{r}}-a k_{2 \mathrm{f}}, \\ k_{44}=a^2 k_{2 \mathrm{f}}+b^2 k_{2 \mathrm{r}}, \\ k_{55}=k_{2 \mathrm{f}}+k_{3 \mathrm{f}}, \\ k_{66}=k_{2 \mathrm{r}}+k_{3 \mathrm{r}}, \\ c_{33}=c_{2 \mathrm{f}}+c_{2 \mathrm{r}}, \\ c_{34}=c_{43}=b c_{2 \mathrm{r}}-a c_{2 \mathrm{f}}, \\ c_{44}=a^2 c_{2 \mathrm{f}}+b^2 c_{2 \mathrm{r}}, \\ c_{55}=c_{2 \mathrm{f}}+c_{3 \mathrm{f}}, \\ c_{66}=c_{2 \mathrm{r}}+c_{3 \mathrm{r}} . \end{gathered} $

针对半车模型，定义车辆性能评价指标如下：车身质心垂向加速度$ \ddot{z}$_2c、车身俯仰角加速度$ \ddot{\varphi}_2$、前和后电机垂向加速度 $ \ddot{z}$_3f和$ \ddot{z}$_3r、前和后车轮相对动载荷F_df/G_f和F_dr/G_r、前和后悬架动挠度f_df和f_dr以及前和后电机悬置动挠度f_dmf和f_dmr。

对式(1)进行Fourier变换，计算Z相对Z₀的频率响应函数矩阵H如下：

$ \boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{Z}}{\boldsymbol{Z}_0}=\left(\boldsymbol{K}+\mathrm{j} \omega \boldsymbol{C}-\omega^2 \boldsymbol{M}\right)^{-1} \boldsymbol{K}_{\mathrm{t}} . $

(8)

在半车模型中，前、后车轮均受到路面激励。直线行驶过程中一般认为前后车轮位于同一车辙，即在频域中z_0r比z_0f仅滞后相角ωΔt，其中Δt=L/u，u为车速。这样，前后双轮路面激励可以等效为前轮激励。因此，基于式(8)，可以分别推导出上述车辆性能指标相对前轮速度激励的等效频响函数：

$ J_{\ddot{z}_{2 \mathrm{c}} \sim \dot{z}0}=\mathrm{j} \omega\left(H(3, 1)+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \Delta t} H(3, 2)\right), $

(9)

$ J_{\ddot{\varphi}_2 \sim \dot{z}0}=\mathrm{j} \omega\left(H(4, 1)+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \Delta t} H(4, 2)\right), $

(10)

$ J_{\ddot{z}_{3 \mathrm{f}} \sim \dot{z}_0}=\mathrm{j} \omega\left(H(5, 1)+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \Delta t} H(5, 2)\right), $

(11)

$ J_{F_{\mathrm{df}} / G_{\mathrm{f}} \sim \dot{z}_0}=k_{1 \mathrm{f}} \frac{H(1, 1)-1+\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \Delta t} H(1, 2)}{\mathrm{j} \omega\left(m_{1 \mathrm{f}}+m_{2 \mathrm{f}}+m_3\right) g}, $

(12)

$ \begin{gathered} J_{f_{\mathrm{df}} \sim \dot{z}_0}=\frac{1}{\mathrm{j} \omega}[H(3, 1)-a H(4, 1)-H(1, 1)+ \\ \left.\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \Delta t}(H(3, 2)-a H(4, 2)-H(1, 2))\right], \end{gathered} $

(13)

$ \begin{gathered} J_{f_{\mathrm{dmf}} \sim \dot{z}_0}=\frac{1}{\mathrm{j} \omega}[H(5, 1)-H(1, 1)+ \\ \left.\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega \Delta t}(H(5, 2)-H(1, 2))\right] . \end{gathered} $

(14)

其中$ J_{\ddot{z}_{2 \mathrm{c}} \sim \dot{z}_0}$表示从$ \dot{z}_0$到$ \ddot{z}_{2 c}$的频响函数，其他变量类似。为节约篇幅，对于电机加速度、车轮相对动载荷、悬架动挠度以及电机悬置动挠度，这里仅列出了前轴对应指标的频响函数。

从上述频响函数表达式可以看出：半车模型中车辆性能指标的幅频特性，不仅与车辆本身参数(质量、刚度、阻尼等)有关，还与前、后轮路面输入的相位差即轴距和车速有关。由于大部分汽车的悬挂质量分配系数为0.8~1.2，经验证车辆前后轴振动系统近似可看作彼此独立。依据文[5]的研究可知，车身质心加速度和俯仰角加速度对应的幅频特性与车速密切相关；而电机加速度、车轮相对动载荷以及悬架动挠度这些前后轴对应的指标，车速对它们的幅频特性影响不大。

汽车实际行驶的随机路面通常采用功率谱密度描述其统计特性。一般认为随机路面的速度功率谱密度$ G_{\dot{z}_0}(n)$为限带白噪声，可以表示为

$ G_{\dot{z}_0}(n)=4 \mathtt{π}^2 n_0^2 G_{z_0}\left(n_0\right) . $

(15)

其中：n为路面空间频率，范围为0.011~2.83 m^-1；n₀=0.1 m^-1为参考空间频率；G_z0(n₀)为路面不平度系数。

随机路面响应通常采用均方根(RMS)进行量化分析。根据车辆系统的频响函数及路面输入的功率谱后，可得到性能指标$ x\left(x \in \left\{\ddot{z}_{2 \mathrm{c}}, \quad \ddot{\varphi}_2, \quad \ddot{z}_3, \right.\right.$$ \left.\left.F_{\mathrm{d}} / G, f_{\mathrm{d}}, f_{\mathrm{dm}}\right\}\right)$的功率谱密度。指标的均方根σ_x可由功率谱密度对频率积分得到，即

$ \sigma_x^2=\int_{f_1}^{f_u}\left|J_{x \sim \dot{z}_0}\right|^2 G_{\dot{z}_0}(f) \mathrm{d} f . $

(16)

其中：f=un为路面输入的时间频率；f_l和f_u分别为对应的下和上截止频率，由u和n共同决定。鉴于人体对于不同频带振动的敏感程度不同，车身垂向加速度可依据ISO 2631振动标准进行频率加权。

3 车辆悬架与电机悬置参数联合多目标优化

对于IWM车辆，普遍关注的主要是车辆的舒适性、安全性和电机的振动，需要降低文[5]给出的簧下质量负效应。

因此，本文通过多目标优化，对2种含电机悬置的轮毂驱动构型的车辆悬架和电机悬置参数进行联合优化，优化的流程图如图 3所示。首先，提出了中速以降低质心加速度为主，高速以降低俯仰角加速度为主的多目标优化策略；其次，以悬架偏频、阻尼比和悬架动挠度为约束条件；最后，分别通过NSGA-Ⅱ多目标进化算法和熵权法得到Pareto解集和最优参数。

3.1 优化目标

本节采用考虑车速差异的优化策略。对于中速范围，以车身质心加速度、车轮相对动载荷和电机加速度3个性能指标构建目标函数J₁。对于高速范围，以车身俯仰角加速度、车轮相对动载荷和电机加速度3个指标构建目标函数J₂。优化变量X分别为前后悬架的刚度和阻尼及电机悬置的刚度和阻尼。目标函数和优化变量的定义如下：

$ J_1=\min _X\left\{\sigma_{\ddot{z}_{2 \mathrm{c}}}, \sigma_{F_{\mathrm{d}} / G}, \sigma_{\ddot{z}_3}\right\}, $

(17)

$ J_2=\min _X\left\{\sigma_{\ddot{\varphi}_2}, \sigma_{F_{\mathrm{d}} / G}, \sigma_{\ddot{z}_3}\right\}, $

(18)

$ X=\left\{k_{2 \mathrm{f}}, c_{2 \mathrm{f}}, k_{2 \mathrm{r}}, c_{2 \mathrm{r}}, k_{3 \mathrm{f}}, c_{3 \mathrm{f}}, k_{3 \mathrm{r}}, c_{3 \mathrm{r}}\right\} . $

(19)

其中σ_Fd/G和$ \sigma_{\ddot{z}_3}$均取前、后轴目标的平均值，即$ \sigma_{F_{\mathrm{d}} / G}=0.5\left(\sigma_{F_{\mathrm{df}} / G_{\mathrm{f}}}+\sigma_{F_{\mathrm{dr}} / G_{\mathrm{r}}}\right), \sigma_{\ddot{z}_3}=0.5\left(\sigma_{\ddot{z}_{3 f}}+\right.$$ \left.\sigma_{\ddot{z}_{3 \mathrm{r}}}\right)$。

3.2 约束条件

首先，定义优化变量的上下界，为覆盖可用的参数范围，悬架刚度上下界定义为0~100 000 N/m，悬架阻尼上下界定义为0~5 000 N·s/m。需要指出的是，下限定义为0是为了方便。显然实际上刚度和阻尼不可能取0，后续约束条件对此提供了保障。

对于悬架参数的优化，约束条件主要从悬架的偏频、阻尼比和动挠度等进行考虑。对于乘用车，参考文[12]，前后悬架偏频的取值范围一般为0.9~1.5 Hz，悬架阻尼比的范围为0.2~0.45。即：

$ 0.9 \leqslant f_{\text {of }} \leqslant 1.5 \mathrm{~Hz}, 0.9 \leqslant f_{\text {0r }} \leqslant 1.5 \mathrm{~Hz}; $

(20)

$ 0.2 \leqslant \zeta_{\mathrm{f}} \leqslant 0.45, 0.2 \leqslant \zeta_{\mathrm{r}} \leqslant 0.45. $

(21)

其中：f_0f和f_0r分别为前和后悬架的偏频，ζ_f和ζ_r分别为前和后悬架阻尼比。

对于电机吸振构型，以前轴悬架为例，其悬架的偏频和阻尼比可以表示为：

$ f_{\text {of }}=\frac{1}{2 \mathtt{π}} \sqrt{\frac{k_{2 \mathrm{f}}}{m_{2 \mathrm{f}}}}, \quad \zeta_{\mathrm{f}}=\frac{c_{2 \mathrm{f}}}{2 \sqrt{m_{2 \mathrm{f}} k_{2 \mathrm{f}}}} . $

(22)

其中m_2f为前悬架上方的簧上质量。

对于两级悬架构型，存在两级弹簧阻尼减振，可以看成车辆悬架和电机悬置彼此串联。以前轴悬架为例，两级悬架的等效刚度与等效阻尼可以表示为：

$ k_{\mathrm{eqf}}=\frac{k_{2 \mathrm{f}} k_{3 \mathrm{f}}}{k_{2 \mathrm{f}}+k_{3 \mathrm{f}}}, \quad c_{\mathrm{eqf}}=\frac{c_{2 \mathrm{f}} c_{3 \mathrm{f}}}{c_{2 \mathrm{f}}+c_{3 \mathrm{f}}} . $

(23)

因此，其悬架偏频和阻尼比可以表示为：

$ f_{\text {of }}=\frac{1}{2 \mathtt{π}} \sqrt{\frac{k_{\mathrm{eqf}}}{m_{2 \mathrm{f}}}}, \quad \zeta_{\mathrm{f}}=\frac{c_{\mathrm{eqf}}}{2 \sqrt{m_{2 \mathrm{f}} k_{\mathrm{eqf}}}} . $

(24)

为防止前后车辆悬架动挠度和电机悬置动挠度过大，分别为对应RMS值设定上限，即：

$ \sigma_{\mathrm{fdf}} \leqslant \frac{1}{3}\left[f_{\mathrm{d}}\right], \quad \sigma_{\mathrm{fdr}} \leqslant \frac{1}{3}\left[f_{\mathrm{d}}\right] ; $

(25)

$ \sigma_{\mathrm{fdmf}} \leqslant \frac{1}{3}\left[f_{\mathrm{dm}}\right], \quad \sigma_{\mathrm{fdmr}} \leqslant \frac{1}{3}\left[f_{\mathrm{dm}}\right] . $

(26)

其中：σ_fdf和σ_fdr分别为前和后车辆悬架动挠度的RMS，σ_fdmf和σ_fdmr分别为前和后电机悬置动挠度的RMS，[f_d]和[f_dm]分别为车辆悬架和电机悬置动挠度的限位振幅。

3.3 NSGA-Ⅱ算法与熵权法

本文优化算法选用NSGA-Ⅱ多目标遗传优化算法^[13]，该算法的核心是在利用选择、交叉和变异操作生成子代种群后，通过非支配排序，聚集距离比较以及精英保留策略挑选下一代种群。通过一定的迭代次数，最终得到Pareto最优解集。

由于经过NSGA-Ⅱ多目标优化后，得到的是n个Pareto最优解集，还需要设计一定的权重系数，据此挑选最优解。为了消除主观因素的影响，采用熵权法来确定各项指标的权重系数。熵权法^[14]是一种客观的赋权法：对于n个评价对象(Pareto解)和m个评价指标，定义x_ij为第i个评价对象的第j个指标。首先，采用极值法对x_ij进行标准化处理，得到归一化后的数据y_ij；其次，计算第i个评价对象在第j项指标上所占的比重P_ij，进而计算第j项指标的熵值e_j；最后通过熵值计算第j项指标的权重系数w_j。根据各指标的权重系数得到每个评价对象的综合得分s_i。具体公式如下：

$ y_{i j}=\frac{\max x_{i j}-x_{i j}}{\max x_{i j}-\min x_{i j}}, $

(27)

$ P_{i j}=\frac{y_{i j}}{\sum\limits_{i=1}^n y_{i j}}, $

(28)

$ e_j=-\frac{1}{\ln n} \sum\limits_{i=1}^n P_{i j} \ln \left(P_{i j}\right), $

(29)

$ w_j=\frac{1-e_j}{\sum\limits_{j=1}^m\left(1-e_j\right)}, $

(30)

$ \begin{gathered} s_i=\sum\limits_{j=1}^m w_j y_{i j}, \\ i=1, 2, \cdots, n , \\ j=1, 2, \cdots, m. \end{gathered} $

(31)

4 算例分析

本节使用文[5]所采用的轮毂驱动车辆的半车模型参数，如表 1所示。该车辆是基于某福特汽车的参数，在车轮上固定连接30 kg电机质量而构建的。为简便起见，该模型对应的轮毂驱动构型简称为IWM固接构型。对于电机吸振构型和两级悬架构型，需要通过优化重新设计前后轴车辆悬架和电机悬置的刚度阻尼参数，而其他参数与IWM固接构型相同。

在C级随机路面上，结合第3章中的优化策略，分别在中速和高速2种工况下进行优化。参考图 1b和1c的车速范围，对于中速工况，选择车速22 m/s，以车身质心加速度、车轮相对动载荷和电机加速度为优化目标；对于高速工况，选择车速40 m/s，以车身俯仰角加速度、车轮相对动载荷和电机加速度为优化目标。利用NSGA-Ⅱ多目标进化算法，其中种群数量选择为150，迭代次数为100，遗传进化算法中的选择算法为二元锦标赛选择，交叉概率为0.5，变异概率为0.05。

分别在上述2个车速下，对车辆悬架和电机悬置参数进行优化，最终得到2种构型的150个Pareto最优解集，结果如图 4和5所示。其中，*对应根据表 1原始悬架参数得到的IWM固接构型的性能指标，红色点集为电机吸振构型的Pareto最优解集，橙色点集为两级悬架构型的Pareto最优解集。

从图 4和5中可以看出，与IWM固接车辆相比，经过多目标优化后，2种含电机悬置构型的各个指标性能均有很大的改善。同时，通过对比观察电机吸振构型和两级悬架构型的Pareto解集的分布，可以看出不论是中速22 m/s还是高速40 m/s下，电机吸振构型的车身质心加速度(或俯仰角加速度)和车轮相对动载荷RMS相对较小，即电机吸振构型对乘坐舒适性和轮胎接地安全性的改善较大；而两级悬架构型的电机加速度RMS较小，即两级悬架构型在改善电机振动方面具有更大的优势。

还可以看出，车身质心加速度(或俯仰角加速度)、车轮相对动载荷与电机加速度之间存在明显的折中关系。因此需要设计一定的权重系数，从而从150个Pareto解集中得到最优解。利用熵权法分别对上述得到的电机吸振和两级悬架构型中的3个优化目标进行权重系数计算，最终得到车速22和40 m/s下2种构型各目标的权重系数如表 2所示。

根据熵权法得到的权重系数，分别计算2种车速下，电机吸振和两级悬架构型中150个Pareto解的综合得分，从而得到中速和高速下2种含电机悬置构型的最优参数分别如表 3和4所示。2种车速下的最优目标如表 5所示。

根据表 3和4可知，对于2种含电机悬置的构型，优化后的两级悬架构型的悬架刚度及阻尼要更大一些。而中速和高速2种车速下，优化后的悬架参数差异并不是很明显，仅高速时车辆前悬架刚度略大于后悬架刚度。从表 5可以看出，2种含电机悬置构型对各个指标性能都有明显的改善。在车速22 m/s时，与IWM固接构型相比，电机吸振构型对车身质心加速度、车轮相对动载荷和电机加速度的降低程度分别为36.9%、18.42%和45.45%，而两级悬架构型的降低程度分别为30.38%、9.94%和67.48%。在车速40 m/s时，优化后的电机吸振构型对俯仰角加速度、车轮相对动载荷和电机加速度的降低程度分别为33.09%、18.55%和52.03%，而两级悬架构型的降低程度分别为25.51%、12.72%和65.43%。

为进一步验证2种含电机悬置构型对各指标幅频特性的影响，根据表 3和4中优化后的车辆悬架和电机悬置参数，分别计算2种车速下，电机吸振和两级悬架构型的各指标幅频特性，并仍以IWM固接构型的幅频特性作为对比，结果分别如图 6和7所示。对于车轮相对动载荷和电机加速度，由于前、后轴对应的幅频特性相似，因此图中仅展示了前轴的相应指标。为方便分析，将整个频带分为车身偏频附近的低频区(0.1~4.0 Hz)、车身偏频与车轮偏频之间的中频区(4.0~10 Hz)及车轮偏频之后的高频区(10~30 Hz)。

从图 6和7可以看出，相比IWM固接车辆，电机吸振构型和两级悬架构型对各指标的幅频特性都有明显的改善。由图 6a和7a可以发现，车身质心加速度和俯仰角加速度的幅频特性呈现为花环曲线，且花瓣的宽度与车速有关，这主要是轴距滤波效应造成的。相比IWM固接构型，含电机悬置的构型显著降低了低频和中频附近的幅值。其中，电机吸振构型由于将电机作为车轮的吸振器，中频范围内幅值下降更多，从而有效地抑制了簧下质量增加对中频范围的负效应，因此对舒适性有明显的改善效果。从图 6b、6c和7b、7c可以发现，车轮相对动载荷和电机加速度的幅频特性为双峰曲线，与车速几乎无关。其中，电机吸振构型对车轮相对动载荷有明显的改善效果。对于电机垂向加速度，电机吸振构型会在5 Hz左右引入一个峰值，而两级悬架构型显著降低了整个中高频范围内电机振动的幅频特性，因此两级悬架构型在改善电机振动方面具有明显优势。

接下来，进一步验证电机吸振构型和两级悬架构型在整个车速区间内对车辆性能的改善作用。由于中速和高速下车辆悬架和电机悬置的最优参数差异不大，这里选取车速22 m/s下得到的最优悬架参数，分别在1~50 m/s的每个车速下计算2种含电机悬置构型的各个指标的RMS，结果如图 8所示。

从图 8a和8b中可以看出，相比IWM固接构型，电机吸振构型的车身质心加速度和俯仰角加速度在1~50 m/s的车速范围内均有明显的降低；而两级悬架构型的车身质心加速度在高速时没有明显降低，俯仰角加速度在中速时降低较少。此外，根据图 8c和8d可知，电机吸振构型和两级悬架构型在整个车速范围内，前后车轮相对动载荷和前后电机加速度都有明显的降低。其中，电机吸振构型的车轮动载荷降低更多，轮胎接地性能更好；而两级悬架构型的电机加速度降低更明显，能够很好地保护轮毂电机的性能安全，延长轮毂电机的使用寿命。

5 结论

针对电机吸振和两级悬架2种含电机悬置的轮毂驱动构型，本文开展了基于多目标优化的簧下质量负效应被动控制研究。鉴于簧下质量负效应与车速相关，且舒适性、安全性和电机振动性能之间相互制约，提出了中速以降低质心加速度、车轮动载荷与电机加速度而高速以降低俯仰加速度、车轮动载荷与电机加速度为目标，以悬架偏频和动挠度为约束条件的多目标优化策略；将多目标遗传算法和熵权法相结合，对车辆悬架和电机悬置参数进行联合优化。最后，针对优化后的2种含电机悬置构型，基于半车模型和随机路面开展仿真计算，对比分析两者的垂向动力学特性。结果表明，相比IWM固接构型，电机吸振构型和两级悬架构型均能够显著改善车辆的舒适性和安全性，并有效降低电机振动。其中，电机吸振构型可以在全车速范围内明显改善的车辆的垂向动力学性能指标。两级悬架构型对车身加速度和车轮动载荷方面的降低作用不及电机吸振构型，但能够更显著地降低电机垂向振动。