直线电机具有高动态响应和高控制精度,广泛应用于各种工业领域。然而,由于其零传动的特性,没有中间传动装置,任何外界干扰会直接作用于电机本体上,影响控制精度。干扰可能来源于如下几个方面^[1-3]：1) 由电机自身结构引起的推力波动,包括齿槽力和端部效应; 2) 由导轨产生的摩擦力; 3) 系统参数的不确定性和摄动; 4) 由负载变化引起的扰动; 5) 由机械系统的死区、柔性等引入的非线性环节等。在实际系统中,上述干扰往往同时存在,尤其是推力波动和摩擦力难以避免,已有研究提出了多种补偿或抑制方法。按照不同的分类方法可以分为：离线方法和在线方法^[4-5]、 前馈方法和反馈方法^[6-7]、 依赖模型方法和不依赖模型方法^[8-9]等。

基于观测器的干扰估计方法最大特点是无需改变原有控制器的结构,可以整合到成熟控制器甚至商用控制器中,改善控制性能。滑模干扰观测器(sliding mode observer,SMO)是一种结构简单、易于实现的高性能观测器,它以滑模变结构控制为理论基础,具有对参数摄动和外界干扰不敏感的优良特性^[10-12]。文^[13]利用二阶终端SMO对惯量、摩擦力、负载力矩进行有效估计。文^[14]利用超扭曲(super-twisting)二阶SMO分别对外界干扰、时不变系统参数、时变系统参数进行估计。但是,常规SMO存在的固有缺点是对时变干扰无法实现无静差跟踪,且估计信号中存在抖振^[15-16]。抖振现象是由观测器中的符号函数引起的。为了消除抖振,可以采用饱和函数或连续函数替代符号函数,但是会以牺牲系统鲁棒性为代价; 若采用低通滤波器滤除高频信号,则会产生由滤波带来的估计误差。

针对一种重复运动直线电机系统,同时存在周期性和非周期性干扰,考虑到常规SMO存在的不足,本文提出一种重复滑模观测器(repetitive SMO,R-SMO)。它将周期性干扰的动力学模型(即内模)引入到观测器中,能够渐近收敛于周期性干扰,而原有滑模切换项只需针对非周期性干扰进行设计。这样的改进既能够提高收敛精度,又能够削减抖振。本文首先建立了直线电机系统模型,给出了R-SMO的表达式,证明其渐近稳定性,最后将其应用于直线电机系统中进行实验验证,并与常规SMO进行对比。

1 直线电机系统建模

针对一种应用于放疗设备多叶准直器中的微型圆筒型直线电机系统进行建模(见图 1)。它的一种工作模式是重复运动。该系统包括多个直线电机及负载单元,本文只考虑其中一个单元。该型直线电机属于无槽电机,不存在齿槽力,但是存在由边缘效应引起的推力波动。负载是由滑动导轨而非滚动导轨支撑,摩擦力可能随接触面变化而变化,因此摩擦力呈现较明显的与位置相关的非线性。本文将推力波动和摩擦力均视为干扰。另外,系统工作环境复杂,存在不确定的未知干扰。

该系统模型表达为

$\left\{ \begin{matrix} \dot{x}\left( t \right)=v\left( t \right) \\ M\dot{v}\left( t \right)={{F}_{m}}\left( t \right)-{{D}_{f}}\left( t \right)-{{D}_{r}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right) \\ \end{matrix}. \right.$

(1)

其中：x和v分别表示位移和速度; M包括动子和负载的总质量; F_m表示电机推力; D_f、 D_r和D_u分别表示摩擦力、推力波动和其他干扰。 电流环的动态响应速度远大于机械响应速度,可以将电流环假设为理想的比例环节,则有

${{F}_{m}}\left( t \right)=Ku\left( t \right).$

(2)

其中：u为控制输入,K为推力常数。

为了更精确地描述非线性摩擦力,采用修正的“Coulomb+粘滞”模型来表示,

${{D}_{f}}\left( t \right)={{D}_{c}}\left( x \right)sign\left( \left( {\dot{v}} \right)t \right)+{{D}_{v}}\left( x \right)v\left( t \right).$

(3)

其中：D_c(x)和D_v(x)表示随位置变化的Coulomb摩擦系数和粘滞摩擦系数。

推力波动是位移的函数,与电机是否通电无关,采用正弦函数及其高次谐波将其模型表示为

${{D}_{r}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{D}_{ai}}\sin \left( \frac{2i\pi }{\tau }x+{{\varphi }_{i}} \right).}$

(4)

其中：D_ai表示辐值,φ_i表示相位。

当直线电机做重复运动时,有x(t)=x(t-T)和v(t)=v(t-T),从式(3)—(4)容易知道摩擦力和推力波动均是以T为周期的周期函数,有D_f(t)=D_f(t-T)和D_r(t)=D_r(t-T)。定义D_p(t)=D_f(t)+D_c(t),进而有D_p(t)=D_p(t-T)。

综合以上结果,将式(1)改写为

$\left\{ \begin{matrix} \dot{x}\left( t \right)=v\left( t \right) \\ M\dot{v}\left( t \right)=Ku\left( t \right)-{{D}_{p}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right). \\ {{D}_{p}}\left( t \right)={{D}_{p}}\left( t-T \right) \\ \end{matrix} \right.$

(5)

其中：假设K和M是已知量,D_p是周期性干扰,D_u是非周期干扰,且满足如下有界性条件：

$\left| {{D}_{p}}\left( t \right) \right|<{{\eta }_{p}},\left| {{D}_{u}}\left( t \right) \right|<{{\eta }_{u}}.$

(6)

2 重复滑模观测器R-SMO 2.1 常规SMO

对于系统模型式(5)而言,若采用常规SMO,其形式如式(7)和图 2所示。

$\left\{ \begin{matrix} M\dot{\hat{v}}\left( t \right)=Ku\left( t \right)+\xi \left( t \right) \\ \xi \left( t \right)=\left( {{\eta }_{p}}+{{\eta }_{u}} \right)sign\left( \sigma \right) \\ \end{matrix}. \right.$

(7)

其中：${\hat{v}}$(t)是v(t)的状态观测量,观测误差为σ(t)=v(t)-v${\hat{v}}$(t)。将式(5)和(7)相减,

$M\dot{\sigma }\left( t \right)=-{{D}_{p}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right)-\left( {{\eta }_{0}}+{{\eta }_{u}} \right)sign\left( \sigma \right).$

(8)

定义Lyapunov函数V(t)=Mσ²(t)/2,对其求导并结合有界性条件式(6)可得

$\dot{V}\left( t \right)=M\dot{\sigma }\left( t \right)\sigma \left( t \right)=\sigma \left( t \right)\left( -{{D}_{p}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right)-\left( {{\eta }_{_{p}}}+{{\eta }_{u}} \right)sign\left( \sigma \right) \right)<0,$

(9)

由于Lyapunov函数是负定的,σ(t)能够渐近收敛为0,此时根据式(8)有ξ(t)=-D_p(t)-D_u(t),因此ξ实现了对所有干扰的完全估计。但是,由于ξ包含了切换函数项,切换幅值为η_p+η_u,无法直接应用于补偿,需要使用低通滤波器或者使用饱和函数/连续函数代替符号函数,从而实现削减抖振的目的。

2.2 R-SMO的提出

内模原理的基本思想是在闭环反馈系统中引入一个干扰信号的动力学模型(即内模),可以实现对此干扰信号的完全跟踪或抑制^[17-18]。针对系统模型式(5)中的周期性干扰D_p,根据内模原理,在常规SMO的基础上引入D_p的内模,即一个延时环节,设计了R-SMO,如式(10)和图 3所示。

$\left\{ \begin{matrix} M\dot{\hat{v}}\left( t \right)=Ku\left( t \right)+\xi \left( t \right) \\ \xi \left( t \right)=\left( {{\eta }_{p}}+{{\eta }_{u}} \right)sign\left( \sigma \right) \\ {{\xi }_{u}}\left( t \right)={{\eta }_{u}}sign\left( \sigma \right) \\ {{\xi }_{p}}\left( t \right)=\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( t \right)+{{\overline{\xi }}_{p}}\left( t-T \right) \\ \end{matrix}. \right.$

(10)

其中：ε>0,表示边界层的厚度; ξ_p(t-T)=U_p·sat(ξ_p(t-T)/U_p),其中U_p>0。ξ_p(t-T)表示内模项的上界约束,可知$\left| \overline{{{\xi }_{p}}}\left( t-T \right) \right|\le {{U}_{p}}$。

可以看到,R-SMO相比于常规SMO,切换函数项变成ξ_u,切换幅值由η_p+η_u减小到η_u,削减了切换幅值; 增加一个内模函数项ξ_p,它包含了一个延时环节和一个辅助项η_pσ/ε。这样修改的目的是使内模函数项ξ_p能够逼近周期性干扰,而切换函数项ξ_u则逼近非周期性干扰。R-SMO的收敛性证明将在2.3节给出。

2.3 R-SMO的渐近收敛性证明

首先,证明σ(t)的有界性。

将式(5)和(10)对应函数相减,

$\begin{align} & M\sigma \left( t \right)=-{{D}_{p}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right)-{{\xi }_{u}}\left( t \right)-{{\xi }_{p}}\left( t \right)=-{{D}_{p}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right)-{{\eta }_{u}}sign\left( \sigma \right) \\ & -\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( t \right)-\overline{{{\xi }_{p}}}\left( t-T \right). \\ \end{align}$

(11)

Lyapunov函数定义同2.1节,其导数为

$\dot{v}\left( t \right)=\sigma \left( t \right)\left( -{{D}_{p}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right)-{{\eta }_{_{u}}}sign\left( \sigma \right)-\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( t \right)-\overline{{{\xi }_{p}}}\left( t-T \right) \right).$

(12)

不妨先假设当t∈$t₀,∞)时,有|σ(t)|>ε,此时式(12)经过化简后满足

$\dot{V}\left( t \right)\le -\left| \sigma \left( t \right) \right|\left( \frac{\delta }{\varepsilon }\left| \sigma \left( t \right) \right|-{{U}_{p}} \right).$

(13)

其中,δ≤|η_p-D_p(t)|。式(13)右侧必然大于0,否则假设不成立,此时有|σ(t)|<εU_p/δ。综上可知,当t∈$t₀,∞)时,有|σ(t)|<max{ε,εU_p/δ},说明 σ(t) 是有界的。

其次,证明σ(t)的渐近收敛性。

定义评价函数J_i如下：

${{J}_{i}}=\int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{{{\left( {{\xi }_{p}}\left( \tau \right)+{{D}_{p}}\left( \tau \right) \right)}^{2}}d\tau .}$

(14)

它可以表征在第i个周期内ξ_p对D_p的收敛程度,则在第i-1个周期内,该评价函数满足

$\begin{align} & {{J}_{i-1}}=\int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{{{\left( {{\xi }_{p}}\left( \tau \right)+{{D}_{p}}\left( \tau \right) \right)}^{2}}d\tau \ge } \\ & \int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{{{\left( {{\overline{\xi }}_{p}}\left( \tau -T \right)+{{D}_{p}}\left( \tau \right) \right)}^{2}}d\tau .} \\ \end{align}$

(15)

将式(14)和(15)相减并结合式(10)可得

$\begin{align} & {{J}_{i}}-{{J}_{i-1}}\le \int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( \tau \right)} \\ & \left( \frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( \tau \right)+2{{\left( {{\overline{\xi }}_{p}}\left( \tau -T \right)+{{D}_{p}}\left( \tau \right) \right)}^{2}}d\tau \right) \\ \end{align}$

(16)

当i从2变化到∞时,将式(16)进行叠加有

$\int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( \tau \right)}\left( \frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( \tau \right)+2\left( {{\overline{\xi }}_{p}}\left( \tau -T \right)+{{D}_{p}}\left( \tau \right) \right) \right)d\tau .$

(17)

根据式(11)可知,

${{\overline{\xi }}_{p}}\left( \tau -T \right)+{{D}_{p}}\left( t \right)=-\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( \tau \right)-M\dot{\sigma }\left( \tau \right)-{{D}_{u}}\left( t \right)-{{\eta }_{u}}sign\left( \sigma \right).$

(18)

将式(18)带入式(17)并化简可得

$\begin{align} & {{J}_{\infty }}-{{J}_{1}}\le \int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( \tau \right)}\left( -\frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\sigma \left( \tau \right)-2M\dot{\sigma }\left( \tau \right) \right)d\tau \\ & \le -{{\left( \frac{{{\eta }_{p}}}{\varepsilon } \right)}^{2}}\int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{{{\sigma }^{2}}\left( \tau \right)d\tau +\frac{M{{\eta }_{p}}}{\varepsilon }\left( {{\sigma }^{2}}\left( {{t}_{0}}+\infty \right) \right)}. \\ \end{align}$

(19)

对式(19)进行化简,

$\int_{{{t}_{0}}+\left( i-1 \right)T}^{{{t}_{0}}+iT}{{{\sigma }^{2}}\left( \tau \right)}d\tau \le {{\left( \frac{\varepsilon }{{{\eta }_{p}}} \right)}^{2}}{{J}_{1}}+\frac{M\varepsilon }{{{\eta }_{p}}}{{\sigma }^{2}}\left( {{t}_{o}}+T \right).$

(20)

根据J_i的定义可知,J₁是有界的。另外,本节已证明σ(t₀+T)亦是有界的,

$\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( t \right)=0.$

(21)

当σ(t)=0时,根据式(11)可知,

$\varepsilon \left( t \right)={{\varepsilon }_{p}}\left( t \right)+{{\varepsilon }_{u}}\left( t \right)=-{{D}_{p}}\left( t \right)-{{D}_{u}}\left( t \right).$

(22)

因此,ξ实现了对所有干扰的完全估计。再根据式(10)可知,

${{\varepsilon }_{p}}\left( t \right)={{\varepsilon }_{p}}\left( t-T \right).$

(23)

即ξ_p是以T为周期的周期性函数,与周期性干扰D_p相同。从频域的角度分析,式(22)左边ξ_p和右边D_p均包含了1/T的频率,因此可以利用ξ_p估计D_p的大小,进而可以利用ξ_u估计D_u 的大小。综上,应用R-SMO不但可以估计出总干扰的大小,还能够分别估计周期性和非周期性干扰。

3 实 验

在如图 1所示的微型圆筒型直线电机系统上进行实验,只选取其中一个直线电机单元开展实验。该直线电机的推力常数为K=15 N/A,动子及负载总质量为M=0.58 kg。在直线电机内部安装有两个Hall元件提供位置反馈,分辨率为2.5 μm。驱动器是基于TMS320F28335的浮点型数字信号处理器(digital signal processor,DSP),控制器采用三环比例积分(proportional integral,PI)算法,电流环视为理想环节,如图 4所示。将R-SMO引入到控制环路中,将干扰估计值ξ经过低通滤波器C后引入到控制输入端进行前馈补偿。同时,也引入常规SMO作为对比,但不用于前馈补偿。R-SMO中的参数设定为：η_p=15,ε=0.2,U_p=20,η_u根据σ的大小在线进行调整。常规SMO中的η_p和η_u同R-SMO。为了进一步提高观测器效果,二者均采用连续函数σ/(|σ|+δ)替代符号函数sign(σ)削减抖振。

给定指令位置r如图 5a所示,则直线电机以 T=0.6 s 的周期往复匀速运动,行程18 mm,速度为60 mm/s。在补偿前,实际位置x和实际速度v分别如图 5b和5c所示,跟踪误差e的均方值约为61 μm。此时,应用R-SMO和常规SMO同时进行干扰估计。

图 6对比了R-SMO和常规SMO的速度观测值${\hat{v}}$,R-SMO实现了对实际速度v的高精度收敛,观测误差σ保持在 5 mm/s 以下; 而常规SMO无法精确收敛于速度v,观测误差σ的最大值约为13 mm/s,且呈现明显的周期性。由此可以说明,R-SMO收敛精度更高,进而后续的干扰估计精度也更高。

图 7和8对比了R-SMO和常规SMO的干扰估计值,其中R-SMO包含了ξ_p和ξ_u两项,分别估计周期性干扰D_p和非周期性干扰D_u。在图 7a中,ξ_p曲线光滑无明显抖振,能够反映出周期性干扰的大小; ξ_u由于切换项的存在仍有抖振,但是平均幅值基本维持在零附近,说明此时系统未受到明显的非周期干扰。与之对比,在图 7b中,常规SMO的ξ由于较大切换项的存在,抖振相比于ξ_u更加明显,需要经过进一步处理才能提取其低频成分用于干扰估计。由此可以说明,R-SMO在削减抖振方面效果更加理想。

当给系统额外施加一个较大的突变干扰时,图 8对比了R-SMO和常规SMO的响应情况(图 8中箭头处施加突变干扰)。在图 8a中,R-SMO的ξ_u能够及时响应该干扰,说明其对非周期干扰估计的有效性; 而ξ_p则基本保持不变,保证对周期性干扰估计的准确性。在图 8b中,常规SMO的ξ只能够反映出总干扰的大小。

将R-SMO的干扰估计值ξ用于前馈补偿,由于低通滤波器的作用,其中包含的高频信号会滤掉。将R-SMO和图 5b在同等条件下测试(无明显非周期性干扰),跟踪误差e的均方值约为34 μm(见图 9),相比于图 5b减小了约45%。结果表明,在不改变三环PI控制器结构和参数的条件下,R-SMO有效地提高了控制精度。

4 讨 论

本文只探讨系统存在一个周期性干扰的情况,当系统存在多个周期性干扰且不存在倍频关系时,比如电机中的齿槽效应、端部效应和负载波动等可能引入多个周期性干扰,本文方法经过扩展后仍能够有效。具体步骤为：分别对每个周期性干扰构建内模模型^[19],即多个延时环节,并联到图 3中的观测器中,配置合适的参数保证其收敛性,实现对多周期干扰的估计和补偿。如果实际系统的干扰力周期发生变化,虽然内模函数项无法作用,但切换函数项仍然能够对其进行有效估计。

本文只针对重复运动系统设计,下面探讨如何将其扩展到非重复运动系统：1) 首先将电机设置为重复运动模式,则摩擦力和推力波动的总和D_p呈现周期性,而其他未知干扰D_u呈现非周期性。2) 利用R-SMO中的ξ_p估计出D_p的大小,利用ξ_u估计出D_u的大小。由于摩擦力和推力波动分别符合式(3)和(4),因此可以通过获取不同速度下D_p的值拟合出模型参数D_c、 D_v、 D_r的值。由于其他干扰模型未知,此处只获取其上界估计值η_u。3) 根据D_c、 D_v、 D_r设计前馈控制器,用于直接补偿摩擦力和推力波动,根据η_u重新调整观测器的切换项幅值,用于抑制其他未知干扰。通过上述步骤,当电机进行任意轨迹跟踪时,仍然能够对干扰进行有效补偿。

5 结 论

对于一种重复运动直线电机系统,既包含由摩擦力和推力波动引起的周期性干扰,又包含其他非周期性干扰,本文提出了一种重复滑模观测器R-SMO对干扰进行估计和补偿。它引入了周期性干扰的内模,即一个延时环节,使其能够渐近收敛于周期性干扰; 滑模切换项只需针对非周期性干扰进行设计,可以大幅度削减抖振。基于Lyapunov理论证明了R-SMO的渐近收敛性。将R-SMO整合到直线电机的三环PI控制器中进行实验,将干扰估计值用于前馈补偿,跟踪误差的均方值减小了约45%。实验还对比了R-SMO和常规SMO,R-SMO在干扰估计精度方面和抑制抖振方面均优于常规SMO。此外,R-SMO可以扩展到多周期干扰系统和非重复运动领域。