烧结钕铁硼永磁体由于性价比高, 在永磁电机中使用非常普遍。但是, 烧结钕铁硼永磁体电导率高, 齿槽谐波和电流谐波都容易导致永磁体中产生显著的涡流损耗。涡流损耗使得永磁体温度升高, 永磁体矫顽力下降, 电机电流增加, 电机效率下降, 严重时甚至会使得永磁体热失磁[1]。因此，对电机永磁体温升进行分析非常重要。
常用的电机温升分析方法有集总参数热路法和温度场法两种, 这两种方法中电机气隙的流-固界面换热系数通过经验公式确定[2]。经验公式一般针对定转子表面光滑的情况, 对流传热主要由Taylor涡流引起[3]。流体力学的研究表明, 在定子开槽的情况下, 开槽引起的旋流对气隙传热的影响可达40%~50%[3-4]。以往的电机温升分析主要关注定子绕组端部温升, 气隙热导存在较大的误差对定子绕组端部温升计算的影响不太明显, 但对于电机永磁体温升分析而言, 气隙传热对分析精度的影响很大。
文[5]采用了流-固耦合法分析永磁电机温升, 对气隙和端部流体的流动和传热均采用计算流体动力学方法进行分析。但Boglietti等指出, 流-固耦合法的精度受以下两方面影响, 可带来20%~30%的误差：1)流体区域和固体区域的网格剖分有各自的特点, 两种网格很难连接到一起；2)流-固耦合法通常要对运动和静止区域进行分割, 交界面上插值严重影响流场计算精度[2]。
本文提出一种基于集总参数热路的永磁体温升分析方法, 采用有限元法分析定子温度场得到定子等效热路参数, 采用计算流体动力学方法分析气隙和端部的等效热阻。用集总参数热路法分析转子特别是永磁体温度, 既考虑了经验公式中未能考虑的定子开槽对气隙传热的影响, 又避免了流-固耦合法对运动和静止区域分割引起的计算精度降低。本文应用所提出的方法对一台表贴式电机的永磁体进行温升分析, 并将分析结果与实验测量结果进行比较, 从而对所提出的温升分析方法进行检验。
1 集总参数热路结合温度场和流场的永磁体温升分析方法集总参数热路结合温度场和流场的永磁体温升分析方法的总体流程如图 1所示。首先，采用有限元法分析定子温度场, 给定定子外圆边界温度、定子各部件损耗分布以及转子损耗热量通过气隙流向定子的热流密度, 从而得到定子的Thevenin等效热路参数；然后，用计算流体动力学方法分析气隙和端部流场, 得到气隙热阻以及定转子表面的对流换热系数；最后，用集总参数热路法分析转子部件的温度。
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| 图 1 集总参数热路结合温度场和流场的永磁体温升分析流程 |
1.1 定子传热方程、边界条件和等效热路参数
定子中的热传导由Poisson方程为
| $ \nabla \cdot \left( {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}\nabla T} \right) = \frac{{\partial \left( {\rho {c_p}T} \right)}}{{\partial \tau }} - {q_V}. $ | (1) |
式中：λ为热导率矩阵, T为温度, ρ为密度, cp为定压比热容。τ为时间, 在稳态温度场问题中∂/∂τ项为零。qV为单位体积生热率。
定子温度场分析的边界条件为以下3种：
1) 定子外圆表面采用Dirichlet边界条件, 即给定定子外圆表面温度。电机采用水套外冷或机座他扇强迫风冷时, 冷却剂温度和流量是可控制的, 因此在分析中认为定子外圆表面的温度是给定的。
2) 定子内圆表面采用Neumann边界条件, 定子槽楔按绝热处理，即λ·∂T/∂n=0(n为表面法向量), 定子内圆齿部的热流密度为转子损耗全部通过定子齿产生的热流密度。定子温度场分析用于得到定子的Thevenin等效热路参数。转子通过端部空气和轴承的传热在转子温升的热路法分析中再予以考虑。
3) 对于较小的间隙, 例如定子绕组和定子铁芯间的槽绝缘, 厚度通常只有0.3 mm左右, 不便进行有限元建模, 可以近似处理为混合边界条件,
| $ \mathit{\boldsymbol{\lambda }} \cdot \partial T/\partial \mathit{\boldsymbol{n}} = h\left( {T - {T_\infty }} \right). $ | (2) |
式中：T和T∞为接触界面两侧的温度；界面换热系数h为间隙填充材料的热导率λ除以间隙长度b,
| $ h = \lambda /b. $ | (3) |
通过定子温度场有限元分析可以得到等效的集总热路参数, 例如绕组的Thevenin等效热阻、定子内外圆之间的热阻等。假设某部件在温度场分析中温度为T0, 若其余部件注入热流不变而该部件注入热流变化ΔQ时引起的温度变化为ΔT, 则由Thevenin定理可得到该部件的集总热路为经过热阻R′连接到恒温热库T′=T0。R′的定量表达式为
| $ R' = \Delta T/\Delta Q. $ | (4) |
气隙和端部流体的流动和传热通过质量守恒(式(5))、能量守恒(式(6))和动量守恒(式(7))描述, 在低Mach数下流体作为不可压缩流体处理。式中：u为流速, μ为动力学黏度。D/Dτ为随动坐标微分, 计算公式见式(8)。
| $ \nabla \cdot \mathit{\boldsymbol{u}} = 0. $ | (5) |
| $ \nabla \cdot \left( {\mathit{\boldsymbol{\lambda }}\nabla T} \right) = \frac{{{\rm{D}}\left( {\rho {c_p}T} \right)}}{{{\rm{D}}\tau }} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{\partial \left( {\rho {\mathit{\boldsymbol{u}}^2}} \right)}}{{\partial \tau }} - {q_V}. $ | (6) |
| $ \rho \frac{{{\rm{D}}\mathit{\boldsymbol{u}}}}{{{\rm{D}}\tau }} = \rho \mathit{\boldsymbol{g}} - \nabla p + \nabla \cdot \left( {\mu \nabla \mathit{\boldsymbol{u}}} \right). $ | (7) |
| $ {\rm{D}}/{\rm{D}}\tau = \partial /\partial \tau + \mathit{\boldsymbol{u}} \cdot \nabla . $ | (8) |
对于湍流, Reynolds提出用统计平均法(式(9))处理N-S方程(式(7)), 式(9)中u′为脉动量, 式(9)与式(7)相差的项称为Reynolds应力。Boussinesq假设Reynolds应力正比于速度梯度, 因此可以得到式(10)和(11)。式(11)中μt与动力学黏度μ相似, 称为湍流黏度, k和ε分别为湍流动能和湍流耗散率。Cμ为通过实验确定的经验系数。k和ε有各自的输运方程描述, 对于不同的建模方法, 又分为标准、可实现和重整化群(re-normalization group, RNG)等k-ε模型。
| $ \rho \frac{{{\rm{D}}\mathit{\boldsymbol{\bar u}}}}{{{\rm{D}}\tau }} = \rho \mathit{\boldsymbol{g}} - \nabla \bar p + \nabla \cdot \left( {\mu \nabla \mathit{\boldsymbol{\bar u}} - \rho \overline {\mathit{\boldsymbol{u'}} \otimes \mathit{\boldsymbol{u'}}} } \right). $ | (9) |
| $ \rho \frac{{{\rm{D}}\mathit{\boldsymbol{\bar u}}}}{{{\rm{D}}\tau }} = \rho \mathit{\boldsymbol{g}} - \nabla \bar p + \nabla \cdot \left\{ {\left. {\left( {\mu + {\mu _{\rm{t}}}} \right)\nabla \mathit{\boldsymbol{\bar u}}} \right]} \right\}, $ | (10) |
| $ {\mu _{\rm{t}}} = \rho {C_\mu }{k^2}/\varepsilon . $ | (11) |
在Fluent等流场计算软件中, 辐射传热可以与对流传热同时计算, 辐射热交换的热流密度Φ遵循Stefan-Boltzmann定律，
| $ {\mathit{\Phi }_{12}} = \varepsilon \sigma {F_{12}}\left( {T_1^4 - T_2^4} \right). $ | (12) |
式中：ε为热辐射发射系数；σ为Stefan-Boltzmann常数；F12为视角因子, 视角因子由Fluent软件根据区域的几何形状计算。
在电机气隙流场和温度场计算中, 给定固壁面的运动速度, 定子齿部的边界温度由1.1节的定子温度场分析给出, 转子边界的热流密度由电机的电磁损耗分析得到, 定子槽楔作为绝热壁面处理。气隙流场分析采用周期性边界条件, 分析范围为电机周向一个极距的范围。电机端部流场的计算采用二维轴对称模型, 以给定壁面的运动速度作为边界条件。
在含有旋流或湍流的流动中, 流-固界面换热系数的计算精度与边界层关系密切。本文通过经验值估算对流换热系数, 利用式(3)估计边界层厚度, 网格剖分时在边界层内剖分10层以上。流场计算结果要通过近壁面量纲为1的数y+进行检验, 30≤y+≤100是比较合理的取值, 否则要重新进行计算网格剖分。
流体动力学计算模型主要分为层流模型和湍流模型两大类, 层流和湍流流动状态主要以Reynolds数判别。气隙的旋转Reynolds数定义为
| $ \mathit{R}{\mathit{e}_\delta } = \mathit{\Omega }R\delta /\nu . $ | (13) |
式中：Ω为转子机械角速度, R为气隙平均半径, δ为气隙径向长度, ν=μ/ρ为流体的运动黏度。转子表面线速度为气隙周向平均流速的2倍, 因此式(13)的临界Reynolds数为4 000[6]。由于电机气隙比较窄(δ≈0.7 mm), 转子表面线速度约在100 m/s以上时才能满足完全湍流条件, 一般只有高速电机才能达到如此高的转子表面线速度。
电机气隙中更常见的是Taylor涡以及定子开槽产生的旋流。在有明显旋流的场合, 理论上应采用5方程Reynolds应力模型, 但该模型方程数多、收敛慢，可实现标准k-ε模型和RNG k-ε模型都带有旋流修正, 适用于有旋流的场合。标准k-ε模型虽然久经验证, 但在有旋流的场合中存在已知缺陷。本文的气隙流场分析主要采用RNG k-ε模型, 对不存在旋流的端部流场则采用标准k-ε模型进行分析。
1.3 转子的集总参数热路转子主要包括转轴、转子铁芯和永磁体3部分, 转轴、铁芯纵向(即沿r-θ平面方向)以及永磁体的导热能力均非常好, 因此这3个部分可以分别作为集总参数热路的节点。一种表贴式永磁电机的转子热路如图 2所示, 由于电机永磁体周向间隙采用树脂填充, 因此转子铁芯和气隙之间基本没有热交换。
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| 图 2 表贴式永磁电机转子的集总参数热路 |
热路参数如式(14)-(19)所示, 式中系数1/2是由于铁芯轴向有2个端面, 系数1/4则是由于转子内质点距离端面的平均距离为转子叠厚的1/4。式(14)-(19)中：h为对流换热系数, S、A分别为表面积、截面积, λv为材料纵向热导率，λFeAxial为铁芯轴向热导率，d为间隙长度, l0为铁芯叠厚, lend为端部长度, D1和D2分别为轴承内外圈直径, w为轴承宽度。
| $ {R_{{\rm{Cu - Air}}}} = {\left( {hS} \right)^{ - 1}}/2, $ | (14) |
| $ {R_{{\rm{Air - Cap}}}} = {\left( {hA} \right)^{ - 1}}/2, $ | (15) |
| $ {R_{{\rm{Mag - Fe}}}} = d/\left( {{\lambda _{\rm{v}}}S} \right), $ | (16) |
| $ {R_{{\rm{Fe - Air}}}} = {\left( {hA} \right)^{ - 1}}/2 + {l_0}{\left( {{\lambda _{{\rm{vFeAxial}}}}A} \right)^{ - 1}}/4, $ | (17) |
| $ {R_{{\rm{Shf}}}} = {l_{{\rm{end}}}}{\left( {{\lambda _{\rm{v}}}A} \right)^{ - 1}}/2 + {l_0}{\left( {{\lambda _{\rm{v}}}A} \right)^{ - 1}}/4, $ | (18) |
| $ {R_{{\rm{Bear}}}} = d\left[ {{{\left( {{\lambda _{\rm{v}}}{\rm{ \mathsf{ π} }}{D_1}w} \right)}^{ - 1}} + {{\left( {{\lambda _{\rm{v}}}{\rm{ \mathsf{ π} }}{D_2}w} \right)}^{ - 1}}} \right]. $ | (19) |
用作分析实例的是一台30 kW 4极表贴式永磁电机, 其几何结构如图 3所示。温度场、流场及热路分析涉及的电机几何参数如表 1-3所示。由于槽及层间绝缘比较薄, 温度场有限元分析并未对其进行建模, 而是根据式(3)计算出接触界面换热系数。
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| 图 3 表贴式永磁电机的几何结构 |
| 参数 | 实际电机 | 研究范围 |
| 定子内径/mm | 143 | 143 |
| 槽口宽度/mm | 3.45 | 2.5~4.5 |
| 槽口深度/mm | 0.5 | 0~1.5 |
| 气隙径向长度/mm | 2.8 | 0.7~2.8 |
材料热导率参数如表 4所示。气隙传热分析中铁芯的热辐射发射系数参照氧化铸铁取为0.61, 永磁体表面镀镍, 热辐射发射系数为0.045。
表贴式永磁电机在正弦和两种开关频率(3 150 Hz和5 250 Hz)脉宽调制(pulse width modulation, PWM)电压激励下均以1 500 r/min的转速旋转, 3种激励的基波频率均为50 Hz, 其铁损、铜损和永磁体涡流损耗的电磁分析结果如表 5所示。PWM电压激励下电机转子永磁体涡流损耗显著大于正弦激励下的损耗。在直流母线电压以及基波频率和电压均不变的前提下, PWM开关频率升高, 电流高频谐波幅值降低, 永磁体涡流损耗反而随着PWM开关频率升高而降低[10]。电机采用双层绕组, 节距11/12, 并联支路数为4。转子永磁体为轴向15分块, 永磁体材质为N35UH, 对厂家提供的样品测试得到的电导率与材料手册中给出的值6.944×105 S/m十分接近。激励PWM波采用空间矢量调制, 直流母线电压为600 V。电机铁芯采用DW470-50无取向硅钢片, 其铁损参数可参考文[11-12]PWM激励下的铁损按Bertotti铁损分离法进行计算。3种激励下转子铁损分别为0.01、3.11、3.37 W, 因数值较小未在表 5中列出。
| 电压激励形式 | 定子铁损/W | 铜损/W | 永磁体涡流损耗/W | |
| 轭部 | 齿部 | |||
| 50 Hz正弦 | 292 | 120 | 554 | 6.3 |
| 3 150 Hz PWM | 288 | 282 | 599 | 285 |
| 5 250 Hz PWM | 285 | 280 | 621 | 223 |
2.2 定子温度场分析结果
定子温度场分析采用有限元软件JMAG实现, 给定定子外圆处边界温度分别为61.8 ℃(50 Hz正弦)、66.1 ℃(3 150 Hz PWM)和67.5 ℃(5 250 Hz PWM)。定子温度场分析结果示例如图 4所示, 在50 Hz正弦、3 150 Hz PWM、5 250 Hz PWM这3种激励下定子内外圆温度差分别为6.33、12.4和11.6 ℃, 最热点在定子绕组内部, 最热点温度分别为69.2、78.9和79.7 ℃。在3种激励下, 定子铁芯的纵向热导率若减少2.5 W/(m·K), 定子内外圆间温度差分别增加0.46、0.89和0.84 ℃, 可见准确的铁芯热导率参数对定子温度场分析是很重要的。
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| 图 4 定子温度场分析结果(3 150 Hz PWM) |
在开关频率5 250 Hz、基波频率50 Hz的PWM电压激励下, 铜损为3种激励中最大, 绕组铜损若增加10%, 则绕组平均温度上升0.556 ℃, 按照式(4)算得绕组的Thevenin等效热阻R′2为8.95×10-3 K/W。在开关频率3 150 Hz、基波频率50 Hz的PWM电压激励下, 转子损耗为3种激励中最大, 转子损耗若增加10%, 定子内外圆温度差增加0.42 ℃, 可算得Thevenin等效热阻R′1为1.45×10-2 K/W。
2.3 气隙和端部流体流动和传热分析结果利用文[8]的经验图表估算转速为1 500 r/min时，定转子表面对流换热系数在110 W/(m2·K)左右, 边界厚度约为0.25 mm, 因此在气隙流场分析中设定边界层网格最薄处为0.009 mm, 递增比例1.2, 边界层剖分10层, 边界层网格总厚度约0.234 mm, 实际计算结果中近壁面的y+值最大为90左右，表明本文分析网格部分设置合理。
气隙流场分析结果示例如图 5所示, 无槽时气隙中的径向流动主要由一系列沿轴向等距分布的Taylor涡引起, 定子开槽导致的旋流的径向速度比无槽时Taylor涡的径向速度大1~3个数量级。定子开槽在气隙中引起的旋流一方面加强了定转子间的传热, 另一方面又降低了定子表面的切向流速, 从而使定子表面的对流换热系数有所降低。定子开槽时转子表面的对流换热系数与经验公式的对比如图 6所示, 其中经验公式参见文[6, 13-17]。本文分析的例子中，定子开槽大大提高了气隙传热能力, 和Gazley[3]及Bouafia等[4]的结论一致, 该结论与槽以及气隙的几何结构、Reynolds数、Taylor数等有关, 不具一般性。
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| 图 5 气隙中的径向流速分析结果 |
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| 图 6 定子开槽时转子表面对流换热系数与经验公式(无槽)的对比 |
在50 Hz正弦、3 150 Hz PWM、5 250 Hz PWM这3种激励下的气隙热阻分别为0.185、0.165和0.163 K/W。流场分析结果表明2.8 mm气隙中的风摩耗在转速1 500 r/min下只有不到2 W, 按文[8]经验公式算出的气隙风摩耗更是低至0.46 W, 在本文所分析的例子中气隙风摩耗远远小于转子的电磁损耗, 因而在转子温升分析中气隙风摩耗可以忽略。
电机端部流场采用二维轴对称模型进行分析, 结果显示靠近端盖以及绕组附近的空气流速均接近零, 端部空气到端盖的热阻RCap-Air以及绕组端部到端部空气的热阻RCu-Air比转子端面到端部空气的热阻大得多, 3个热阻各自无法以较高的精度分离出来。本文先从端部流场计算中得到表面流速, 热阻的计算参照文[7]的端部换热系数与流速关系的经验值, 端盖和绕组端部的换热系数在10~40 W/(m2·K), 端部空气相对转子端面的平均风速在1 500 r/min时为7.56 m/s, 转子铁芯端面的对流换热系数在30~70 W/(m2·K)。
2.4 永磁体温度分析结果转子热路的集总热阻参数如表 6所示。由于转子铁芯叠片的轴向热导率很低, 转子铁芯向端部空气传热的热阻RFe-Air很大。此外, 轴承间隙的热阻RBear也很大。这两个热阻都比气隙热阻RGap大10倍以上, 因此永磁体温升对端部和轴承热阻的敏感性都比较低。只要定子温度场分析得到的定子内圆温度以及气隙流体场分析得到的气隙热阻都比较准确, 就能得到比较准确的转子温升分析结果。
| 符号 | 热阻/(K·W-1) |
| R′1 | 8.95×103 |
| R′2 | 1.45×102 |
| 0.185(50 Hz正弦) | |
| RGap | 0.165(3 150 Hz PWM) |
| 0.163(5 250 Hz PWM) | |
| RMag-Fe | 8.63×10-4~2.16×10-3 |
| RFe-Air | 2.89~5.38 |
| RCu-Air | 0.70~2.78 |
| RCap-Air | 2.63~10.52 |
| RShf | 1.14 |
| RBear | 2.16 |
利用集总参数热路法分析得到的转子永磁体温度如表 7所示, 典型值按表 6参数取为取值范围内的中间值计算得到。表 7中同时列出了参数取最小和最大值时的转子永磁体温度分析结果, 表 7分析结果的不确定度结合温度场有限元分析中主要由铁芯热导率带来的不确定度, 就能给出本文分析方法的总不确定度。
| 电压激励 | 永磁体温度/℃ | ||
| 典型 | 最大 | 最小 | |
| 50 Hz正弦 | 68.9 | 68.9 | 68.8 |
| 3 150 Hz PWM | 121.8 | 122.2 | 121.1 |
| 5 250 Hz PWM | 112.7 | 113.0 | 112.1 |
3 永磁体温升的实验验证
实验装置见文[18], 其中永磁电机如图 7所示, 电机参数与2.1节给出的参数相同。被试永磁电机作为原动机, 与一台作为负载的异步电机构成对拖系统。永磁电机采用基波为50 Hz的正弦或PWM电压供电, 电机同步转速1 500 r/min。负载采用恒转矩控制, 负载转矩193.1 N·m, 负载功率30 kW。实验前通过测量冷态下永磁电机的空载电动势对电磁有限元分析中的永磁体剩磁进行校正。
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| 图 7 实验采用的永磁同步电机 |
在被试永磁电机的定子上事先钻出如图 7所示的直径7.5 mm测量孔, 转子永磁体温度通过红外温度传感器uIRtc进行测量, 传感器窗口与转子永磁体表面的距离约3 mm, 测量结果不确定度为±0.52 ℃[18]。相邻两次测温时间间隔为30 min, 参照GB 755-2008标准, 1 h内(连续3个测量结果)温度变化斜率小于2 ℃/h, 则认为电机达至热平衡, 结束温升测量。对定子外圆温度采用贴敷的热电偶进行测量, 同时用红外测温仪测量机座表面温度。
永磁体升温曲线如图 8所示。在实验开始270 min后达到温升实验终止条件, 1 h内温度变化斜率小于2 ℃/h。达到热稳态时的永磁体温度在50 Hz正弦、3 150 Hz PWM和5 250 Hz PWM 3种电压激励下分别为69.8、119.9和113.3 ℃, 测得的定子外圆温度分别为61.8、66.1和67.5 ℃[18]。永磁体与定子外圆温度差的分析结果与实验结果的对比见图 9。在正弦激励时误差小于1 ℃，在涡流损耗和温度差较大的PWM电压激励时误差只有3.7%和-1.3%, 分析不确定度为±2.5%。
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| 图 8 实验测得的永磁体升温曲线 |
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| 图 9 永磁体与定子外圆温度差分析与实验测量结果对比 |
4 结论
本文提出了一种基于集总参数热路的电机永磁体温升分析方法, 用有限元法分析定子温度场得到定子等效热路参数, 用计算流体动力学方法分析气隙和端部对流传热的热阻。本文用所提出的方法分析了一台30 kW 4极表贴式永磁同步电机在正弦以及开关频率为3 150和5 250 Hz的PWM电压激励下的永磁体温度, 基波频率均为50 Hz, 电机转速均为1 500 r/min。分析结果显示, 定子铁芯的纵向热导率对定子内外圆温度差的影响比较大, 定子开槽使得气隙中产生旋流, 该旋流使得定转子表面对流换热系数相对于无槽时大幅提高。永磁体与定子外圆温度差的分析结果与实验测量结果相比, 正弦激励时相差小于1 ℃, PWM电压激励时永磁体涡流损耗较大, 永磁体与定子外圆温度差较大, 在PWM激励时分析与测量结果相差小于3.7%。采用本文方法能较准确地根据电机定子外圆温度预测电机转子永磁体温度。
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