全球导航卫星系统(global navigation satellite system, GNSS)接收机的性能与其结构相关。目前，商用接收机大多采用标量跟踪结构。标量跟踪结构利用多个信号通道独立跟踪处理信号，再联合所有信号的导航参数进行接收机的状态估计。不同于标量跟踪结构，矢量跟踪结构不对信号进行独立跟踪，而是通过Kalman滤波器联合跟踪所有信号。相对来说，矢量跟踪结构具有更好的跟踪灵敏度^[1-2]和动态特性^[3]，且在抗压制干扰^[4]和抑制多径^[5]等方面也具有性能优势。因此，矢量跟踪技术成为了当前卫星导航领域具有广阔发展和应用前景的关键技术之一^[6]。

另一方面，近十多年来兴起的欺骗干扰因为隐蔽性强、潜在危害性高，已经成为GNSS接收机面临的重要威胁^[7]。欺骗干扰通过产生与GNSS信号结构特征相同、导航参数不同的信号，并使其取代GNSS信号被接收机跟踪处理，能够误导接收机的导航状态估计^[6]。此外，对于矢量接收机，欺骗干扰还能够通过影响接收机的状态估计，对所有信号的跟踪产生影响。目前，欺骗干扰对矢量跟踪环路的影响尚未被深入讨论，本文将围绕这一问题展开研究。

本文以矢量延迟锁定环^[8](vector delay lock loop, VDLL)、矢量锁频环^[9](vector frequency lock loop, VFLL)及矢量锁频环辅助的锁相环^[10](vector frequency lock loop assisted phase lock loop, VFLL-A-PLL)为对象，研究欺骗干扰对矢量跟踪环路的影响。本文通过分析这3种矢量跟踪环路在典型欺骗干扰场景中的稳定状态公式，指出欺骗干扰能够通过破坏跟踪信号的一致性^[11]，导致信号跟踪误差非零均值，降低环路的跟踪性能，甚至引起环路失锁。此外，本文还推导了跟踪误差均值，建立了环路失锁条件的表达式。通过在基于GNSS信号源模拟器搭建的欺骗干扰场景中进行测试，验证了分析结果。

1 信号和系统模型

本文基于一种无重叠相关峰的典型欺骗干扰场景进行分析，该场景能够直观体现欺骗干扰对标量和矢量跟踪环路影响的差异。在典型欺骗干扰场景中，GNSS接收机跟踪处理的一组信号分别对应不同卫星，信号个数为N，其中部分或全部信号是欺骗信号。图 1是VDLL、VFLL和VFLL-A-PLL这3种矢量跟踪环路的示意图，它们均通过鉴别器输出更新Kalman滤波器，再由Kalman滤波器输出驱动数控振荡器(numerically controlled oscillator, NCO)生成本地信号。图中，S表示信号，C、f和φ分别表示伪码相位、载波Doppler频移和载波相位，下标n对应信号通道编号，上标t和l分别对应跟踪信号和本地信号。ΔC_n、Δf_n和Δφ_n表示信号跟踪误差，定义如下：

$ \left\{\begin{array}{l} \Delta C_{n}=C_{n}^{\mathrm{t}}-C_{n}^{\mathrm{l}}, \\ \Delta f_{n}=f_{n}^{\mathrm{t}}-f_{n}^{\mathrm{l}}, \\ \Delta \varphi_{n}=\varphi_{n}^{\mathrm{t}}-\varphi_{n}^{\mathrm{l}} . \end{array}\right. $

(1)

在欺骗干扰场景中，S_n^t的伪码相位C_n^t和载波Doppler频移f_n^t可以表示为

$ \left\{\begin{array}{l} C_{n}^{\mathrm{t}}=C_{n}^{\mathrm{r}}+C_{n}^{\mathrm{s}}, \\ f_{n}^{\mathrm{t}}=f_{n}^{\mathrm{r}}+f_{n}^{\mathrm{s}} . \end{array}\right. $

(2)

其中：C_n^r和f_n^r分别代表真实信号的伪码相位和载波Doppler频移；C_n^s和f_n^s分别代表跟踪信号和真实信号的导航参数差值，依次称为欺骗码相位和欺骗Doppler频移。若S_n^t是真实信号，C_n^s和f_n^s均等于0；若S_n^t是欺骗信号，一般情况下C_n^s和f_n^s非零。

S_n^t和S_n^l的在同相支路上的相干积分结果为I_{E, n}、I_{P, n}和I_{L, n}，在正交支路上的相干积分结果为Q_{E, n}、Q_{P, n}和Q_{L, n}，其中下标E、P和L分别表示超前、即时和滞后相关器。受噪声的影响，相干积分结果可认为服从Gauss分布^[12]。表 1总结了相干积分结果的均值和标准差，其中，f_a为采样频率，T为相干积分时间，A_n为S_n^t的信号幅度，d为相关器间距，σ²为噪声的方差。此外，S_n^t的载噪比(C/N₀)_n可以表示为

$ \left(C / N_{0}\right)_{n}=\frac{A_{n}^{2} f_{\mathrm{a}}}{4 \sigma^{2}}. $

(3)

利用相干积分结果，DLL、FLL和PLL鉴别器可获得ΔC_n、Δf_n和Δφ_n的估计值，分别记为$\Delta \hat{C}_{n}$、$\Delta \hat{f}_{n}$和$\Delta \hat{\varphi}_{n}$。受噪声和鉴别方法的影响，跟踪误差的估计值与真实值存在差异，分别用ε C_n、ε f_n和ε φ_n表示估计误差：

$ \left\{\begin{array}{l} \varepsilon C_{n}=\Delta \hat{C}_{n}-\Delta C_{n}, \\ \varepsilon f_{n}=\Delta \hat{f}_{n}-\Delta f_{n}, \\ \varepsilon \varphi_{n}=\Delta \hat{\varphi}_{n}-\Delta \varphi_{n} . \end{array}\right. $

(4)

矢量跟踪Kalman滤波器的系统状态α_u为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{\alpha}_{1} \\ \boldsymbol{\alpha}_{2} \end{array}\right], \\ \boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{llll} x_{\mathrm{u}} & y_{\mathrm{u}} & z_{\mathrm{u}} & \tau_{\mathrm{u}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{llll} v_{\mathrm{u}}^{x} & v_{\mathrm{u}}^{y} & v_{\mathrm{u}}^{z} & b_{\mathrm{u}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} . \end{gathered} $

(5)

其中：(x_u, y_u, z_u)为接收机的三维位置，τ_u为钟差，(v_u^x, v_u^y, v_u^z)为三维速度，b_u为钟漂。系统观测量b为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{b}_{\mathrm{D}} \\ \boldsymbol{b}_{\mathrm{F}} \end{array}\right], \\ \boldsymbol{b}_{\mathrm{D}}=\left[\begin{array}{llll} C_{1} & C_{2} & \cdots & C_{N} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \\ \boldsymbol{b}_{\mathrm{F}}=\left[\begin{array}{llll} f_{1} & f_{2} & \cdots & f_{N} \end{array}\right]^{\mathrm{T}} . \end{gathered} $

(6)

其中C_n和f_n分别代表测量的伪码相位和载波Doppler频移，定义如下：

$ \left\{\begin{array}{l} C_{n}=C_{n}^{\mathrm{l}}+\Delta \hat{C}_{n}, \\ f_{n}=f_{n}^{\mathrm{l}}+\Delta \hat{f}_{n}. \end{array}\right. $

(7)

联合式(1)、(2)、(4)和(7)，C_n和f_n又可以表示为

$ \left\{\begin{array}{l} C_{n}=C_{n}^{\mathrm{r}}+C_{n}^{\mathrm{s}}+\varepsilon C_{n}, \\ f_{n}=f_{n}^{\mathrm{r}}+f_{n}^{\mathrm{s}}+\varepsilon f_{n} . \end{array}\right. $

(8)

定义b_D和α_u及b_F和α_u之间的关系为

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{b}_{\mathrm{D}}=h_{\mathrm{D}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}\right) ,\\ \boldsymbol{b}_{\mathrm{F}}=h_{\mathrm{F}}\left(\boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}\right). \end{array}\right. $

(9)

结合式(5)和(6)，b与α_u之间的测量关系矩阵H可以表示为

$ \begin{gathered} \boldsymbol{H}=\frac{\partial \boldsymbol{b}}{\partial \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}^{\mathrm{T}}}=\left[\begin{array}{c} \partial \boldsymbol{b}_{\mathrm{D}} / \partial \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}^{\mathrm{T}} \\ \partial \boldsymbol{b}_{\mathrm{F}} / \partial \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D}} \\ \boldsymbol{H}_{\mathrm{F}} \end{array}\right]= \\ {\left[\begin{array}{cc} \partial \boldsymbol{b}_{\mathrm{D}} / \partial \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} & \partial \boldsymbol{b}_{\mathrm{D}} / \partial \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \\ \partial \boldsymbol{b}_{\mathrm{F}} / \partial \boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} & \partial \boldsymbol{b}_{\mathrm{F}} / \partial \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1} & \boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 2} \\ \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 1} & \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2} \end{array}\right] .} \end{gathered} $

(10)

其中，关系矩阵H_D和H_F分别对应关系函数h_D(·)和h_F(·)。通过对h_D(·)和h_F(·)进行分析，可以得出：b_D与α₂无关，矩阵H_D2为零矩阵；b_F对α₁的影响很小，H_F1近似为零矩阵。

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 2}={\bf{0}} ,\\ \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 1} \approx {\bf{0}}. \end{array}\right. $

(11)

另外，矩阵H_D1和H_F2主要与卫星几何分布相关。

由式(8)可知，C_n和f_n与C_n^r和f_n^r存在差异。因此，当系统稳定时，估计的接收机状态$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$会偏离真实的接收机状态$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$：

$ \hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\rm u}=\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\rm u}+\delta \boldsymbol{\alpha}_{\rm u}+\varepsilon \boldsymbol{\alpha}_{\rm u} . $

(12)

其中δ α_u为由欺骗码相位向量C^s=[C₁^s, C₂^s, …, C_N^s]^T和欺骗Doppler频移向量f^s=[f₁^s, f₂^s, …, f_N^s]^T引起的状态估计偏差。

$ \delta \boldsymbol{\alpha}_{\rm u} \approx\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}\right)^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{C}^{\mathrm{s}} \\ \boldsymbol{f}^{\mathrm{s}} \end{array}\right]. $

(13)

ε α_u表示由估计误差向量ε C=[ε C₁, ε C₂, …, ε C_N]^T和ε f=[ε f₁, ε f₂, …, ε f_N]^T引起的状态估计误差，其均值如下：

$ E\left(\varepsilon \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}\right) \approx\left(\boldsymbol{H}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}\right)^{-1} \boldsymbol{H}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{l} E(\varepsilon \boldsymbol{C}) \\ E(\varepsilon \boldsymbol{f}) \end{array}\right]. $

(14)

结合式(10)和(11)，δ α_u和E(ε α_u)可以进一步简化为：

$ \delta \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}} \approx\left[\begin{array}{c} \left(\boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}\right)^{-1} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D1}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}^{s} \\ \left(\boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}\right)^{-1} \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{f}^{s} \end{array}\right], $

(15)

$ E\left(\varepsilon \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}\right) \approx\left[\begin{array}{c} \left(\boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}\right)^{-1} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D1}}^{\mathrm{T}} E(\varepsilon \boldsymbol{C W}) \\ \left(\boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}\right)^{-1} \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}^{\mathrm{T}} E(\varepsilon \boldsymbol{f}) \end{array}\right]. $

(16)

矢量跟踪Kalman滤波器估计的$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$将用于反馈更新环路。欺骗干扰能够影响$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$，也意味着会对矢量跟踪环路产生影响。

2 欺骗干扰的影响分析

本节将通过对3种典型矢量跟踪环路的稳定状态进行分析，得出欺骗干扰对矢量跟踪环路的影响方式和影响程度。为了简化问题，分析VDLL时，假定采用FLL或PLL进行载波跟踪^[8]；分析VFLL和VFLL-A-PLL时，假定采用DLL进行伪码跟踪。

2.1 对VDLL的影响分析 2.1.1 VDLL稳态分析

对于VDLL，Kalman滤波器估计的伪码相位差$\Delta \widetilde{C}_{n}$表示如下^[13]：

$ \left[\begin{array}{c} \Delta \widetilde{C}_{1} \\ \Delta \widetilde{C}_{2} \\ \vdots \\ \Delta \widetilde{C}_{N} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \Delta \hat{C}_{1} \\ \Delta \hat{C}_{2} \\ \vdots \\ \Delta \hat{C}_{N} \end{array}\right]+h_{\mathrm{D}}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}\right)+H_{\mathrm{D}} \Delta \dot{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}-\boldsymbol{b}_{\mathrm{D}}. $

(17)

其中：h_D($\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$)表示由估计的接收机状态$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$推算的伪码相位，Δ$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$表示每个滤波周期内对系统状态预测值的校正量。VDLL利用($\Delta \widetilde{C}_{1}$, $\Delta \widetilde{C}_{2}$, …, $\Delta \widetilde{C}_{N}$)驱动各信号通道的码NCO生成本地伪码信号。当VDLL稳定时，$\Delta \widetilde{C}_{n}$和$\Delta \hat{\boldsymbol{\alpha}}_{u}$近似为零均值。因此，对式(17)左右两边求均值，可得

$ \left[\begin{array}{c} E\left(\Delta \hat{C}_{1}\right) \\ E\left(\Delta \hat{C}_{2}\right) \\ \vdots \\ E\left(\Delta \hat{C}_{N}\right) \end{array}\right] \approx E\left(\boldsymbol{b}_{\mathrm{D}}\right)-E\left(h_{\mathrm{D}}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}\right)\right). $

(18)

GNSS信号具有一致性，包括伪码一致性和载波Doppler频移一致性^[11]。伪码一致性体现为，由估计的接收机状态$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$推算的伪码相位h_D($\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$)与测量的伪码相位b_D是一致的。因此，如果不存在欺骗干扰，(b_D-h_D($\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$))为零均值。代入式(18)，$\Delta \hat{C}_{n}$也为零均值。载波Doppler频移一致性也是类似。如果存在欺骗干扰，h_D($\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$)和b_D则可能是不一致的。

下面进一步讨论存在欺骗干扰的情况。结合式(12)，对h_D($\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$)在真实的接收机状态α_u处进行Taylor展开，保留一阶项可得

$ \begin{gathered} h_{\mathrm{D}}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}\right)=h_{\mathrm{D}}\left(\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}+\delta \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}+\varepsilon \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}\right) \approx \\ h_{\mathrm{D}}\left(\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\bf{u}}\right)+\boldsymbol{H}_{\mathrm{D}}\left(\delta \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}+\varepsilon \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}\right) . \end{gathered} $

(19)

由于卫星到地面接收机的距离足够远，当欺骗干扰引起的状态估计偏差δ α_u不是足够大时，式(19)进行的近似是合理的。

对式(19)左右两边求均值，可得

$ E\left(h_{\mathrm{D}}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}\right)\right) \approx h_{\mathrm{D}}\left(\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}\right)+\boldsymbol{H}_{\mathrm{D}} \delta \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}+\boldsymbol{H}_{\mathrm{D}} E\left(\varepsilon \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}}\right) . $

(20)

式(20)中，由真实的接收机状态α_u推算的伪码相位h_D(α_u)等于真实信号的伪码相位：

$ h_{\mathrm{D}}\left(\overline{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}\right)=\left[\begin{array}{llll} C_{1}^{\mathrm{r}} & C_{2}^{\mathrm{r}} & \cdots & C_{N}^{\mathrm{r}} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

(21)

δα_u和E(εα_u)已经在节1进行了分析，如式(15)和(16)所示。结合式(10)和(11)可得：

$ \boldsymbol{H}_{\mathrm{D}} \delta \boldsymbol{\alpha}_{\mathrm{u}} \approx \boldsymbol{W}_{\mathrm{D}} \boldsymbol{C}^{\mathrm{s}} . $

(22)

$ \boldsymbol{H}_{\mathrm{D}} E\left(\varepsilon \alpha_{\mathrm{u}}\right) \approx \boldsymbol{W}_{\mathrm{D}} E(\varepsilon \boldsymbol{C}). $

(23)

其中矩阵W_D的定义为

$ \boldsymbol{W}_{\mathrm{D}}=\boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}\left(\boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}\right)^{-1} \boldsymbol{H}_{\mathrm{D} 1}^{\mathrm{T}}. $

(24)

将式(20)-(23)代入式(18)，并结合式(8)，可以得到VDLL在典型欺骗干扰场景中的稳定状态公式：

$ \left[\begin{array}{c} E\left(\Delta \hat{C}_{1}\right) \\ E\left(\Delta \hat{C}_{2}\right) \\ \vdots \\ E\left(\Delta \hat{C}_{N}\right) \end{array}\right] \approx\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{W}_{\mathrm{D}}\right)\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{s}}+E(\varepsilon \boldsymbol{C})\right). $

(25)

当存在欺骗信号时，C^s是非零向量。由于式(25)中的(I-W_D)是不可逆矩阵，$\Delta \hat{C}_{n}$可能为非零均值，也可能为零均值。本质上来说，$\Delta \hat{C}_{n}$是否为非零均值取决于跟踪信号是否满足伪码一致性。通常情况下，欺骗干扰会破坏伪码一致性^[13]，此时$\Delta \hat{C}_{n}$为非零均值，ΔC_n也为非零均值。但是，也存在不会破坏伪码一致性的特殊的欺骗干扰，则$\Delta \hat{C}_{n}$和ΔC_n为零均值。综上所述，欺骗干扰能够通过破坏伪码一致性，导致VDLL伪码相位跟踪误差ΔC_n均值非零。

2.1.2 影响程度分析

本文以一种典型的非相干超前减滞后幅值DLL鉴别方法为例，进一步分析伪码相位跟踪误差均值E(ΔC_n)。所采用的DLL鉴别方法如下^[14]：

$ \Delta \hat{C}_{n}=(1-d) \frac{1-w_{n}}{1+w_{n}}. $

(26)

其中w_n是2个Rice分布的比值。

$ w_{n}=\frac{\sqrt{I_{\mathrm{L}, n}^{2}+Q_{\mathrm{L}, n}^{2}}}{\sqrt{I_{\mathrm{E}, n}^{2}+Q_{\mathrm{E}, n}^{2}}} . $

(27)

在假定ΔC_n、Δf_n和Δφ_n为常数的前提下，I_{E, n}、Q_{E, n}、I_{L, n}和Q_{L, n}的均值和标准差如表 1所示。但是，在信号跟踪过程中，ΔC_n、Δf_n和Δφ_n均存在抖动。因此，I_{E, n}可以表示为

$ \begin{gathered} I_{\mathrm{E}, n}(t)=\frac{f_{\mathrm{a}} T A_{n}}{2} \cdot \\ {\left[\left(1-d+E\left(\Delta C_{n}\right)+\delta\left(\Delta C_{n}(t)\right)\right) \cdot\right.} \\ \operatorname{sinc}\left(\left(E\left(\Delta f_{n}\right)+\delta\left(\Delta f_{n}(t)\right)\right) T\right) \cdot \\ \left.\cos \left(E\left(\Delta \varphi_{n}\right)+\delta\left(\Delta \varphi_{n}(t)\right)\right)+\kappa(t)\right] . \end{gathered} $

(28)

其中κ(t)为噪声项。结合表 1和式(3)中关于载噪比的定义，可以推导出κ(t)的标准差为

$ \sigma(\kappa)=\frac{\sqrt{f_{\mathrm{a}} T \sigma^{2} / 2}}{\left(f_{\mathrm{a}} T / 2\right) A_{n}}=\frac{1}{\sqrt{2 T\left(C / N_{0}\right)_{n}}} . $

(29)

δ (ΔC_n(t))、δ (Δf_n (t))和δ (Δφ_n(t))代表信号跟踪误差的抖动，主要由噪声引起，其标准差与信号的载噪比相关^[14]。由于经过了滤波处理，跟踪误差的抖动对I_{E, n}的影响要明显低于噪声直接对I_{E, n}的影响。因此，忽略式(28)中的跟踪误差抖动，I_{E, n}的均值和标准差可以近似为：

$ \begin{gathered} E\left(I_{\mathrm{E}, n}\right) \approx\left(f_{\mathrm{a}} T / 2\right) A_{n}\left(1-d+E\left(\Delta C_{n}\right)\right) \cdot \\ \operatorname{sinc}\left(E\left(\Delta f_{n}\right) T\right) \cos \left(E\left(\Delta \varphi_{n}\right)\right), \end{gathered} $

(30)

$ \sigma\left(I_{\mathrm{E}, n}\right) \approx \sqrt{f_{\mathrm{a}} T \sigma^{2} / 2}. $

(31)

对Q_{E, n}、I_{L, n}和Q_{L, n}进行类似的分析。于是，式(27)中w_n的概率密度函数p_n(w_n)可以近似为^[15]：

$ \begin{gathered} p_{n}\left(w_{n}\right) \approx \frac{2 w_{n}}{\left(w_{n}^{2}+1\right)^{2}} \cdot \exp \left(-\frac{a_{n, 1}^{2} w_{n}^{2}+a_{n, 2}^{2}}{2\left(w_{n}^{2}+1\right)}\right) \cdot \\ \left(\left(1+\frac{a_{n, 1}^{2}+a_{n, 2}^{2} w_{n}^{2}}{2\left(w_{n}^{2}+1\right)}\right) \cdot I_{0}\left(\frac{a_{n, 1} a_{n, 2} w_{n}}{w_{n}^{2}+1}\right)+\right. \\ \left.\left(\frac{a_{n, 1} a_{n, 2} w_{n}}{w_{n}^{2}+1}\right) \cdot I_{1}\left(\frac{a_{n, 1} a_{n, 2} w_{n}}{w_{n}^{2}+1}\right)\right), \end{gathered} $

(32)

$ \begin{gathered} a_{n, 1}=\sqrt{2 T\left(C / N_{0}\right)_{n}} \cdot \\ \left(1-d+E\left(\Delta C_{n}\right)\right) \operatorname{sinc}\left(E\left(\Delta f_{n}\right) T\right), \end{gathered} $

$ \begin{gathered} a_{n, 2}=\sqrt{2 T\left(C / N_{0}\right)_{n}}\cdot \\ \left(1-d-E\left(\Delta C_{n}\right)\right) \operatorname{sinc}\left(E\left(\Delta f_{n}\right) T\right). \end{gathered} $

由于采用标量载波环FLL或PLL，载波Doppler频移跟踪误差均值E(Δf_n)=0。当T和d确定时，p_n(w_n)仅与E(ΔC_n)和载噪比相关。于是，结合式(26)和(32)，可以得出关系函数γ_DLL(·)：

$ \begin{gathered} E\left(\Delta \hat{C}_{n}\right) \approx \int\left((1-d) \frac{1-w_{n}}{1+w_{n}} p_{n}\left(w_{n}\right)\right) \mathrm{d} w_{n} \approx \\ \gamma_{\text {DLL }}\left(E\left(\Delta C_{n}\right),\left(C / N_{0}\right)_{n}\right) . \end{gathered} $

(33)

不同的DLL鉴别方法对应不同的关系函数γ_DLL(·)。

联合式(4)、(25)和(33)可得

$ \begin{gathered} \boldsymbol{W}_{\mathrm{D}}\left[\begin{array}{cc} \gamma_{\mathrm{DLL}}\left(E\left(\Delta C_{1}\right),\right. & \left.\left(C / N_{0}\right)_{1}\right)-E\left(\Delta C_{1}\right) \\ \gamma_{\mathrm{DLL}}\left(E\left(\Delta C_{2}\right),\right. & \left.\left(C / N_{0}\right)_{2}\right)-E\left(\Delta C_{2}\right) \\ \vdots & \\ \gamma_{\mathrm{DLL}}\left(E\left(\Delta C_{N}\right),\right. & \left.\left(C / N_{0}\right)_{N}\right)-E\left(\Delta C_{N}\right) \end{array}\right]+ \\ {\left[\begin{array}{c} E\left(\Delta C_{1}\right) \\ E\left(\Delta C_{2}\right) \\ \vdots \\ E\left(\Delta C_{N}\right) \end{array}\right] \approx\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{W}_{\mathrm{D}}\right) \boldsymbol{C}^{\mathrm{s}} .} \end{gathered} $

(34)

由式(34)可知，VDLL的伪码相位跟踪误差均值E(ΔC_n)主要与C^s、H_D1、DLL鉴别方法及跟踪信号的载噪比相关。

如果采用矢量载波环VFLL或VFLL-A-PLL，节2.2和2.3的分析会证明，当跟踪信号的载波Doppler频移不一致时，VFLL中的E(Δf_n)≠0，而VFLL-A-PLL中的E(Δf_n)=0。因此，对于VFLL，载波Doppler频移不一致能够通过E(Δf_n)影响p_n(w_n)，从而对γ_DLL(·)产生影响，最终影响到E(ΔC_n)。但是，从式(32)中可以得出，E(Δf_n)和载噪比对p_n(w_n)的影响是相似的。载波Doppler频移不一致能够影响E(ΔC_n)，但是不能决定E(ΔC_n)≠0。因此，在对VDLL分析时选择标量载波环，不会对分析结论产生影响。

2.2 对VFLL的影响分析

对于VFLL，Kalman滤波器估计的载波Doppler频移差$\Delta \widetilde{f}_{n}$可以表示为^[14]

$ \left[\begin{array}{c} \Delta \widetilde{f}_{1} \\ \Delta \widetilde{f}_{2} \\ \vdots \\ \Delta \widetilde{f}_{N} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \Delta \hat{f}_{1} \\ \Delta \hat{f}_{2} \\ \vdots \\ \Delta \hat{f}_{N} \end{array}\right]+h_{\mathrm{F}}\left(\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{u}\right)+\boldsymbol{H}_{\mathrm{F}} \Delta \hat{\boldsymbol{\alpha}}_{u}-\boldsymbol{b}_{\mathrm{F}} . $

(35)

其中h_F($\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$)表示由$\hat{\boldsymbol{\alpha}}_{\mathrm{u}}$推算的载波Doppler频移。VFLL利用$\left(\Delta \widetilde{f}_{1}, \Delta \widetilde{f}_{2}, \cdots, \Delta \widetilde{f}_{N}\right)$驱动各信号通道的载波NCO生成本地载波信号。

与节2.1.1分析类似，可以得到典型欺骗干扰场景中VFLL的稳定状态公式：

$ \left[\begin{array}{c} E\left(\Delta \hat{f}_{1}\right) \\ E\left(\Delta \hat{f}_{2}\right) \\ \vdots \\ E\left(\Delta \hat{f}_{N}\right) \end{array}\right] \approx\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{W}_{\mathrm{F}}\right)\left(\boldsymbol{f}^{\mathrm{s}}+E(\varepsilon \boldsymbol{f})\right). $

(36)

其中矩阵W_F的定义为

$ \boldsymbol{W}_{\mathrm{F}}=\boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}\left(\boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}\right)^{-1} \boldsymbol{H}_{\mathrm{F} 2}^{\mathrm{T}} . $

(37)

当欺骗干扰破坏了跟踪信号的载波Doppler频移一致性时，$\Delta \widetilde{f}_{n}$均值非零，因此Δf_n均值非零。此外，Δf_n均值非零将导致Δφ_n随时间显著变化。

进一步，通过类似节2.1.2的分析可得

$ \begin{gathered} \boldsymbol{W}_{\mathrm{F}}\left[\begin{array}{c} \gamma_{\mathrm{FLL}}\left(E\left(\Delta f_{1}\right),\left(C / N_{0}\right)_{1}\right)-E\left(\Delta f_{1}\right) \\ \gamma_{\mathrm{FLL}}\left(E\left(\Delta f_{2}\right),\left(C / N_{0}\right)_{2}\right)-E\left(\Delta f_{2}\right) \\ \vdots \\ \gamma_{\mathrm{FLL}}\left(E\left(\Delta f_{N}\right),\left(C / N_{0}\right)_{N}\right)-E\left(\Delta f_{N}\right) \end{array}\right]+ \\ {\left[\begin{array}{c} E\left(\Delta f_{1}\right) \\ E\left(\Delta f_{2}\right) \\ \vdots \\ E\left(\Delta f_{N}\right) \end{array}\right] \approx\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{W}_{F}\right) \boldsymbol{f}^{\rm s} .} \end{gathered} $

(38)

其中γ_FLL(·)是E($\Delta \widetilde{f}_{n}$)与E(Δf_n)的关系函数。由式(38)可知，VFLL的载波Doppler频移跟踪误差均值E(Δf_n)主要与f^s、H_F2、FLL鉴别方法及跟踪信号的载噪比相关。

2.3 对VFLL-A-PLL的影响分析

VFLL不能锁定载波相位，而VFLL-A-PLL能够同时锁定信号的载波频率和载波相位^[10]。图 1中，VFLL-A-PLL和VFLL的主要区别是：$\Delta \widetilde{f}_{n}$不直接用于更新载波NCO，而是与PLL鉴别器输出的载波相位差的估计值$\Delta \hat{\varphi}_{n}$一同进入PLL，由PLL驱动载波NCO生成本地载波。PLL的输入Δφ_{n, PLL}可以表示为

$ \Delta \varphi_{n, \mathrm{PLL}}={\rm{ \mathsf{ π} }} T \cdot \Delta \widetilde{f}_{n}+\Delta \hat{\varphi}_{n}. $

(39)

当VFLL-A-PLL稳定时，Δφ_{n, PLL}均值为0，这也意味着E(Δf_n)不变。如果E(Δf_n)≠0，E(Δφ_n)将不断变化，此时环路仍然未达到稳定状态。因此，当VFLL-A-PLL稳定时，E(Δf_n)必然等于0，$\Delta \widetilde{f}_{n}$和ε f_n也为零均值。可以得到典型欺骗干扰场景中VFLL-A-PLL的稳定状态公式为

$ \left[\begin{array}{c} E\left(\Delta \hat{\varphi}_{1}\right) \\ E\left(\Delta \hat{\varphi}_{2}\right) \\ \vdots \\ E\left(\Delta \hat{\varphi}_{\mathrm{N}}\right) \end{array}\right] \approx {\rm{ \mathsf{ π} }} T \cdot\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{W}_{\mathrm{F}}\right) \boldsymbol{f}^{\rm s} . $

(40)

当欺骗干扰破坏了跟踪信号的载波Doppler频移一致性时，$\Delta \hat{\varphi}_{n}$均值非零，因此Δφ_n均值非零。

进一步，通过类似节2.1.2的分析可得

$ \left[\begin{array}{cc} \gamma_{\mathrm{PLL}}\left(E\left(\Delta \varphi_{1}\right),\ \left(C / N_{0}\right)_{1}\right) \\ \gamma_{\mathrm{PLL}}\left(E\left(\Delta \varphi_{2}\right),\ \left(C / N_{0}\right)_{2}\right) \\ \vdots \\ \gamma_{\mathrm{PLL}}\left(E\left(\Delta \varphi_{N}\right),\ \left(C / N_{0}\right)_{N}\right) \end{array}\right] \approx {\rm{ \mathsf{ π} }} T \cdot\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{W}_{\mathrm{F}}\right) \boldsymbol{f}^{\mathrm{s}} . $

(41)

其中γ_PLL(·)是$E(\Delta \hat{\varphi} n)$与E(Δφ_n)的关系函数。由式(41)可知，VFLL-A-PLL的载波相位跟踪误差均值E(Δφ_n)主要与f^s、H_F2、PLL鉴别方法及跟踪信号的载噪比相关。

综上所述，欺骗干扰导致的跟踪信号伪码不一致主要影响VDLL，载波Doppler频移不一致主要影响VFLL和VFLL-A-PLL，如表 2所示。

典型欺骗干扰场景中不存在重叠相关峰，各信号通道仅跟踪处理一个信号。而在诱导式欺骗场景中^[16]，对应同一卫星的真实信号和欺骗信号的相关峰可能重叠，这时它们将共同影响跟踪环路。对于诱导式欺骗场景中的矢量跟踪环路，跟踪误差均值会同时受到跟踪信号不一致及相关峰重叠的影响，因此与典型欺骗干扰场景中的结果存在差异。但是，表 2中的结论可以推广到任意欺骗干扰场景中。

3 矢量跟踪环路失锁条件分析

当跟踪误差超过门限值时，环路将失去对信号的锁定^[16]。节2的分析表明，欺骗干扰能够增加环路跟踪误差均值，从而引起矢量跟踪环路失锁。本节将进一步对矢量跟踪环路失锁条件进行分析。

标量码环DLL的跟踪门限为^[14]

$ 3 \sigma_{\mathrm{e}, \text { DLL}, n}+R_{\mathrm{e}, \text { DLL}, n} \leqslant d . $

(42)

其中，σ_e为环路热噪声标准差，R_e为动态应力误差。对于DLL，无论跟踪信号的伪码是否具有一致性，ΔC_n的均值均为0。而对于VDLL，由于欺骗干扰可能导致ΔC_n均值非零，增加额外的跟踪误差，VDLL的跟踪门限可以表示为

$ \left|E\left(\Delta C_{n}\right)\right|+3 \sigma_{\mathrm{e}, \text { VDLL }, n}+R_{\mathrm{e}, \text { VDLL }, n} \leqslant d. $

(43)

由式(43)可知，ΔC_n非零均值的特性减小了跟踪环路可容忍的热噪声标准差和动态应力误差，降低了环路的跟踪性能。进一步，可以得到欺骗干扰引起VDLL失锁的条件为

$ \left|E\left(\Delta C_{n}\right)\right|>d-3 \sigma_{\mathrm{e}, \mathrm{VDLL}, n}-R_{\mathrm{e}, \mathrm{VDLL}, n}. $

(44)

典型欺骗干扰场景中的E(ΔC_n)如式(34)所示。

类似地，欺骗干扰引起VFLL和VFLL-A-PLL失锁的条件，可以分别表示为：

$ \left|E\left(\Delta f_{n}\right)\right|>f_{\mathrm{lm}}-3 \sigma_{\mathrm{e}, \text { VFLL }, n}-R_{\mathrm{e}, \text { VFLL, } n .} $

(45)

$ {\left|E\left(\Delta \varphi_{n}\right)\right|>\varphi_{\mathrm{lm}}-3 \sigma_{\mathrm{e}, \text { VFLL-A-PLL }, n}-R_{\mathrm{e}, \text { VFLL-A-PLL }, n} .} $

(46)

其中f_lm和φ_lm分别是与FLL鉴别方法的鉴频范围及PLL鉴别方法的鉴相范围相关的边界值^[14]。典型欺骗干扰场景中的E(Δf_n)和E(Δφ_n)分别如式(38)和(41)所示。由式(45)和(46)可知，欺骗干扰导致Δf_n和Δφ_n非零均值，减小了VFLL和VFLL-A-PLL可容忍的热噪声标准差和动态应力误差，降低了跟踪性能。

4 仿真验证

仿真装置包括GNSS信号源模拟器、信号存储器和GNSS软件接收机。其中，信号源模拟器能够根据星历信息及预设的接收机状态和时间来模拟信号，并能够人为调节信号的传播时延(伪码相位)和载波Doppler频移等导航参数。信号源模拟器产生的信号经信号存储器采样存储后，再由软件接收机进行处理。在本文的仿真测试中，N=7，信号通道1到7分别跟踪处理PRN 2、PRN 12、PRN 13、PRN 17、PRN 20、PRN 23和PRN 28信号。此外，d设为0.5码片，T设为1 ms。

为了更灵活地配置欺骗干扰场景，本文仿真测试所采用的信号均由信号源模拟器产生，并根据导航参数是否经过篡改分为欺骗信号和真实信号。尽管仿真测试中的真实信号并非来自实际卫星，但由于其导航参数与GNSS信号一致，这种仿真方式是合理的。另外，在实际场景中由于卫星的俯仰角不同，各信号的载噪比之间存在差异。但是，因为载噪比是否相等对本文所验证的结论不会产生影响，所以在后续仿真测试中将所有信号设置为相同载噪比。

4.1 欺骗干扰的影响测试

本节对标量和矢量跟踪环路在典型欺骗干扰场景中的跟踪误差进行对比。PRN 2、PRN 12和PRN 23是欺骗信号，其余是真实信号，所有信号的载噪比均为50 dB·Hz，3个欺骗信号的欺骗码相位分别为0.3、-0.5和0.4码片，欺骗Doppler频移分别为200、100和-250 Hz。软件接收机对这组信号进行了3次独立的测试，每次测试所采用的跟踪环路设置如表 3所示，测试结果如图 2到4所示。

测试结果显示，在典型欺骗干扰场景中，标量跟踪环路对应的伪码相位跟踪误差ΔC_n、载波Doppler频移跟踪误差Δf_n及载波相位跟踪误差Δφ_n均在0附近波动，表明欺骗干扰未影响标量跟踪环路运行。矢量跟踪环路对应的跟踪误差均在常值附近波动，产生了常值跟踪偏差，说明欺骗干扰影响了矢量跟踪过程，实验结果与节2的理论分析结果一致。

此外，在信号载噪比相同的条件下，不同信号对应的跟踪误差均值存在明显差异。从式(34)、(38)和(41)可知，这主要与受卫星几何分布影响的矩阵H_D1和H_F2相关。测试结果也进一步证明了卫星几何分布对矢量跟踪环路中的跟踪误差均值存在影响。

4.2 欺骗干扰对跟踪性能的影响测试

本节对矢量跟踪环路在无欺骗干扰和典型欺骗干扰场景中的相干积分结果进行对比。3组测试对应的跟踪环路设置如表 4所示，所有信号的载噪比均等于40 dB·Hz。在典型欺骗干扰场景中，PRN 12和PRN 28信号是欺骗信号，其欺骗码相位均等于1码片，欺骗Doppler频移均等于600 Hz。2种场景中PRN 2信号的相干积分结果I_{P, 1}如图 5所示。

测试结果显示，在无欺骗干扰场景中，矢量跟踪环路是锁定的，根据I_{P, 1}可以解调出信号的导航电文数据码；在典型欺骗干扰场景中，I_{P, 1}呈现噪声特性，说明发生了环路失锁。相同的载噪比条件下，3种矢量跟踪环路在无欺骗干扰场景中能够跟踪信号，在欺骗干扰场景中则出现环路失锁，证明了欺骗干扰能够降低矢量跟踪环路的性能，引起环路失锁。实验结果与节3的分析结果一致。

4.3 矢量跟踪环路失锁条件测试

本节针对仅1个欺骗信号的情况，测试了引起VDLL失锁的C_n^s临界值及引起VFLL和VFLL-A-PLL失锁的f_n^s临界值，并将测试结果与由式(44)、(45)和(46)得到的分析结果进行比较。3组测试对应的跟踪环路设置与节4.2相同，所有信号的载噪比均为40 dB·Hz。图 6a中，当只有S_n^t为欺骗信号，其余为真实信号时，如果|C_n^s|小于对应临界值，VDLL能够跟踪信号；如果|C_n^s|大于或等于对应临界值，VDLL则会出现环路失锁。图 6b和6c也是类似。实验结果显示，测试结果与分析结果吻合，证明了所推导的矢量跟踪环路失锁条件表达式是正确的。

5 结论

本文通过分析3种矢量跟踪环路在典型欺骗干扰场景中的稳定状态公式，证明了欺骗干扰能够通过破坏跟踪信号的一致性，使VDLL、VFLL和VFLL-A-PLL分别产生非零均值的伪码相位跟踪误差、载波Doppler频移跟踪误差和载波相位跟踪误差。跟踪误差非零均值会减小环路可容忍的热噪声标准差和动态应力误差，降低环路的跟踪性能，甚至引起环路失锁。本文还推导了跟踪误差均值和环路失锁条件，并通过一系列的仿真测试进行了验证。

非零均值的跟踪误差可以作为欺骗干扰的检测依据，降低了欺骗干扰的隐蔽性，反映出矢量跟踪环路具备抗欺骗干扰的潜力，这是标量跟踪环路所不具备的。本文为基于矢量跟踪结构的抗欺骗干扰技术提供了理论基础。