密肋复合墙^[1]结构体系作为装配式建筑种类之一，因减震、节能而得到广泛应用，结构体系如图 1a所示。目前，针对密肋复合墙结构体系的研究主要关注墙板的简化计算模型、结构抗震性能及墙板刚度的影响因素等，针对火灾影响的研究很少^[2]。本文从基本组成元件——密肋复合墙体框格单元(MCWC)(见图 1b)入手，对其在按国际标准升温曲线ISO834^[3]变化的温度作用后的损伤状态及评估进行研究。

本文计算模型选用MCWC的弹塑性损伤刚架-斜杆模型，定义了模型中各子单元高温损伤变量，编制了高温损伤分析程序，得到了高温后MCWC的损伤分布状态和荷载-位移相关曲线，最后基于能量分析方法，将每一反应时刻的单元损伤值提取出来作为局部损伤变量，构造了MCWC整体损伤指标，该指标用于高温后MCWC破坏等级的划分，为高温后MCWC承载力评估提供了理论依据。

1 局部损伤指标

为了体现火灾作用后MCWC损伤状态沿厚度变化的特点, 本文借鉴文[4]提出的切片法，将MCWC沿厚度方向进行切片，每层切片的损伤程度视为均匀，然后研究每层MCWC的损伤。本文采用文[5]提出的弹塑性损伤刚架-斜杆模型研究MCWC受剪行为，采用沿对角线方向加载，计算模型如图 2所示，斜杆单元的宽度根据文[6]确定。推导了斜杆单元和刚架单元的损伤刚度矩阵，定义了损伤变量，计算了高温后MCWC的局部损伤值，得到了损伤分布。计算过程中各材料高温后的力学性能参考文[7]选取。

1.1 高温损伤变量

按照MCWC简化计算模型，分别定义了斜杆单元和刚架单元的高温损伤变量。

1.1.1 斜杆单元

对高温作用后的斜杆单元作如下假定：1) 只承受轴向的拉或压，不承受弯矩和剪力；2) 沿杆长方向的应变是均匀分布的。

砌块高温后受拉开裂应变很低，因此其开裂前未发生损伤的阶段可忽略不计，高温受拉损伤变量为

$ d^{\rm{t}}= \begin{cases}\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{\rm{y}}^{\rm{t}}}, & \varepsilon \leqslant \varepsilon_{\rm{y}}^{\rm{t}} ;\\ 1, & \varepsilon>\varepsilon_{\rm{y}}^{\rm{t}}.\end{cases} $

其中：ε为斜拉杆高温后受力产生的应变，ε_y^t为斜拉杆常温下峰值应变。

受压损伤变量为

$ d^{\mathrm{c}}= \begin{cases}0, & \varepsilon \leqslant \varepsilon_{\mathrm{cr}}^{\mathrm{c}} ; \\ \frac{\varepsilon-\varepsilon_{\mathrm{cr}}^{\mathrm{c}}}{\varepsilon_{\mathrm{y}}^{\mathrm{c}}-\varepsilon_{\mathrm{cr}}^{\mathrm{c}}}, & \varepsilon_{\mathrm{cr}}^{\mathrm{c}}<\varepsilon \leqslant \varepsilon_{\mathrm{y}}^{\mathrm{c}} ; \\ 1, & \varepsilon>\varepsilon_{\mathrm{y}}^{\mathrm{c}} .\end{cases} $

其中：ε_cr^c为斜压杆常温下开裂应变，ε_y^c为斜压杆常温下峰值应变。

斜杆高温损伤变量d^t、d^c曲线如图 3所示。图中，ε_u^t为斜拉杆常温下极限应变；ε_u^c为斜压杆常温下极限应变。

选用轻质加气混凝土砌块，文[5]对其进行了受拉、受压试验，从试验所得应力-应变曲线确定了ε_cr^c、ε_y^t、ε_y^c及ε_u^t、ε_u^c，本文根据这些参数标定了d^t、d^c。

1.1.2 刚架单元

采用文[5]中的纤维杆元模型，如图 4所示。全长为L₀、截面面积为A₀、Young's模量为E的纤维杆元模型两端有2个节点i和j。长度分别为l₁和l₂的A和C区段为弹塑性损伤区，B区段为中间弹性区；节点m、n连接此3个区段。

受高温作用后的刚架单元损伤由两端的弹塑性损伤区域l₁、l₂反映。计算截面面积为A_i的纤维子单元i的高温损伤变量d_i，l₁、l₂区域内纤维单元长度l为构件破坏时的塑性铰区的长度。因为内力F₁= $ \sum\limits_{n}^i $(1-d_i)EA_i/l，所以弯矩M=$ \sum\limits_{n}^i $(1-d_i)EA_iy_i/l。令l₁、l₂区域内每个纤维子单元整体弯曲损伤变量d^M= $ 1-\frac{\sum\limits_{i}^{n}\left(1-d_{i}\right) A_{i}}{A} $，利用弯矩-曲率恢复力模型，用曲率来表示d^M，得：

$ M=\sum\limits_{i}^{n}\left(1-d_{i}\right) E A_{i} y_{i} / l=E A_{0}\left(1-d^{\mathrm{M}}\right) \frac{h}{2} / l, $

$ F_{1}=\sum\limits_{i}^{n}\left(1-d_{i}\right) E A_{i} / l=E A_{0}\left(1-d^{\mathrm{M}}\right) / l. $

由此，根据d_i与d^M间的转化关系，可以得到刚架单元高温后d^M的计算方法。将其简化为三折线形，则其表达式为

$ d^{\mathrm{M}}= \begin{cases}0 ; & \theta \leqslant \theta_{\mathrm{cr}} ; \\ \frac{\theta-\theta_{\mathrm{cr}}}{\theta_{\mathrm{y}}-\theta_{\mathrm{cr}}} ; & \theta_{\mathrm{cr}}<\theta \leqslant \theta_{\mathrm{y}} ; \\ 1 ; & \theta>\theta_{\mathrm{y}} .\end{cases} $

其中：θ为纤维单元两端节点的角位移；θ_cr为纤维单元达到开裂应变时两端节点的角位移；θ_y为纤维单元达到峰值应变时两端节点的角位移。

d^M曲线如图 5所示。

图 6中，标定d^M时，将刚架单元的弯矩-曲率关系简化为三线型。已知开裂荷载M_cr、弯曲弹性刚度K₁，可确定开裂点。屈服点可以根据屈服荷载M_y和屈服点的割线刚度K₄确定。因为K₄=α_yK₁，α_y为屈服点处割线刚度降低系数，所以当M_cr、M_y、K₁、α_y值确定后，图 6的弯矩-曲率模型即确定，详细步骤见文[5]，进一步利用该模型完成对d^M的标定。

1.2 高温损伤刚度矩阵 1.2.1 斜杆单元

斜杆单元的结构模型见图 7，杆件长度为L、截面面积为A₁、Young's模量为E₁。

局部坐标系下，斜杆单元受到轴力F的作用，该单元的刚度矩阵为

$ \boldsymbol{k}=\frac{E_{1} A_{1}}{L}(1-d)\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]. $

其中d为材料受损变量，本文为高温后MCWC的局部损伤变量。

整体坐标系下，该单元高温损伤刚度矩阵为

$ \boldsymbol{K}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{k} \boldsymbol{T}^{\mathrm{T}}. $

(1)

其中T为局部坐标系与整体坐标系的转换矩阵。

$ \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & 0 \\ \sin \theta & 0 \\ 0 & \cos \theta \\ 0 & \sin \theta \end{array}\right]. $

1.2.2 刚架单元

求解刚架单元高温损伤矩阵需要建立图 4的3个区段间的关系式，并求解对应区段的刚度矩阵。将单元横截面划分成z个网格，网格中心为积分点；单元长度方向的积分点在微段中心即s=0处，各项积分得到刚度矩阵。纤维单元两端每个节点有3个自由度，即2个线位移u、v和1个角位移θ，对应的3个节点力为2个集中力N、V和1个集中力矩M_z。高温后施加外力，节点产生的力向量和位移向量分别用F和δ表示。

$ \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{lll} N & V & M \end{array}\right]^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\delta}=\left[\begin{array}{lll} u & v & \theta \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

3个区段中节点力ΔF及节点位移Δδ之间的关系表达式分别为:

$ \left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{F}_{i}^{A} \\ \Delta \boldsymbol{F}_{m}^{A} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{k}_{i i}^{A} & \boldsymbol{k}_{i m}^{A} \\ \boldsymbol{k}_{m i}^{A} & \boldsymbol{k}_{m m}^{A} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\delta}_{i}^{A} \\ \Delta \boldsymbol{\delta}_{m}^{A} \end{array}\right], $

$ \left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{F}_{m}^{B} \\ \Delta \boldsymbol{F}_{n}^{B} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{k}_{m m}^{B} & \boldsymbol{k}_{m n}^{B} \\ \boldsymbol{k}_{n m}^{B} & \boldsymbol{k}_{m n}^{B} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\delta}_{m}^{B} \\ \Delta \boldsymbol{\delta}_{n}^{B} \end{array}\right], $

$ \left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{F}_{n}^{C} \\ \Delta \boldsymbol{F}_{j}^{C} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{k}_{nn}^{C} & \boldsymbol{k}_{n j}^{C} \\ \boldsymbol{k}_{j n}^{C} & \boldsymbol{k}_{j j}^{C} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\delta}_{n}^{C} \\ \Delta \boldsymbol{\delta}_{j}^{C} \end{array}\right]. $

三区段变形协调条件为：Δδ_m^A=Δδ_m^B，Δδ_n^B=Δδ_n^C。

令柔度矩阵

$ \left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{f}_{m m} & \boldsymbol{f}_{m n} \\ \boldsymbol{f}_{n m} & \boldsymbol{f}_{n n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{k}_{m m}^{A}+\boldsymbol{k}_{m m}^{B} & \boldsymbol{k}_{m n}^{B} \\ \boldsymbol{k}_{n m}^{B} & \boldsymbol{k}_{nn}^{B}+\boldsymbol{k}_{n n}^{C} \end{array}\right]^{-1}, $

有

$ \left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\delta}_{m} \\ \Delta \boldsymbol{\delta}_{n} \end{array}\right]=-\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{f}_{m m} & \boldsymbol{f}_{m n} \\ \boldsymbol{f}_{n m} & \boldsymbol{f}_{n n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{k}_{m i}^{A} & {\bf{0}} \\ {\bf{0}} & \boldsymbol{k}_{n j}^{C} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \Delta \boldsymbol{\delta}_{i} \\ \Delta \boldsymbol{\delta}_{j} \end{array}\right], $

可得刚架单元刚度矩阵为

$ \boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{k}_{i i}^{A}-\boldsymbol{k}_{i m}^{A} \boldsymbol{f}_{m m} \boldsymbol{k}_{m i}^{A} & -\boldsymbol{k}_{i m}^{A} \boldsymbol{f}_{m n} \boldsymbol{k}_{n j}^{C} \\ -\boldsymbol{k}_{j n}^{C} \boldsymbol{f}_{n m} \boldsymbol{k}_{m i}^{A} & \boldsymbol{k}_{j j}^{C}-\boldsymbol{k}_{j n}^{C} \boldsymbol{f}_{n n} \boldsymbol{k}_{n j}^{C} \end{array}\right]. $

因此，求得2个子单元的高温损伤单元刚度矩阵就可以得到整个刚架的高温后损伤刚度矩阵。

1) 弹性区子单元。

图 8为弹性区子单元结构计算简图，定义该单元横截面上的应力不均匀系数为μ，剪切模量为G。

在局部坐标系x-y下，子单元e(e=1, 2, …, z)的刚度矩阵为

$ \boldsymbol{k}_{m n}^{e}=\boldsymbol{k}_{n m}^{e}{ }^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{E A_{0}}{l} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-12 E I}{(1+\beta) l^{3}} & \frac{6 E I}{(1+\beta) l^{2}} \\ 0 & \frac{-6 E I}{(1+\beta) l^{2}} & \frac{(2-\beta) E I}{(1+\beta) l} \end{array}\right] . $

其中$ \beta=\frac{12 \mu E I}{G A_{0} l^{2}} $为剪切变形影响系数。

在整体坐标系X-Y下，该单元刚度矩阵形式同式(1)，其中

$ \boldsymbol{T}=\left[\begin{array}{cccccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] . $

2) 弹塑性区纤维子单元。

文[8]详细分析了纤维杆元模型，本文以此为基础，建立了高温后MCWC的弹塑性纤维子单元刚度矩阵。利用增分理论计算纤维子单元刚度矩阵，节点i到节点j规定为x轴，y轴垂直于x轴，如图 4所示。假设单元内任意一点的坐标为(x, y)，此点在x、y轴方向的位移分别表示为U、V，假定(u，v，θ)为x轴线上任一点的位移。位移函数为

$ \left\{\begin{array}{l} U(x, y)=u(x)-y \theta(x), \\ V(x, y)=v(x) . \end{array}\right. $

(2)

形状函数采用Timoshenko理论，用单元两端增分位移表示x轴线上任何一点位移：

$ \left\{\begin{array}{l} u(x)=\frac{1}{2}(1-s) u_{1}+\frac{1}{2}(1+s) u_{2}, \\ v(x)=\frac{1}{2}(1-s) v_{1}+\frac{1}{2}(1+s) v_{2}, \\ \theta(x)=\frac{1}{2}(1-s) \theta_{1}+\frac{1}{2}(1+s) \theta_{2} . \end{array}\right. $

(3)

其中$ s=\frac{2 x}{l}-1 $。因为任一点在单元轴线上的长度x取值范围为[0, l]，所以s∈[-1, 1]。

根据弹性理论，任意一点的应变ε_x、ε_y、γ_xy为

$ \left\{\begin{array}{l} \varepsilon_{x}=\frac{\partial U}{\partial x}, \\ \varepsilon_{y}=\frac{\partial V}{\partial y}, \\ \gamma_{x y}=\frac{\partial U}{\partial y}+\frac{\partial V}{\partial x}. \end{array}\right. $

(4)

将式(3)代入式(2)和(4)，可得

$ \left\{\begin{array}{l} \varepsilon_{x}=\frac{1}{l}\left(-u_{1}+u_{2}+y \theta_{1}-y \theta_{2}\right), \\ \gamma_{x y}=-\frac{1}{2}(1-s) \theta_{1}+\frac{1}{2}(1+s) \theta_{2}+\frac{1}{l}\left(-v_{1}+v_{2}\right) . \end{array}\right. $

(5)

整理式(5)可得

$ \left[\begin{array}{c} \varepsilon_{x} \\ \gamma_{x y} \end{array}\right]=\boldsymbol{B}\left[\begin{array}{llllll} u_{1} & v_{1} & \theta_{1} & u_{2} & v_{2} & \theta_{2} \end{array}\right]^{\mathrm{T}}. $

(6)

那么，位移-应变关系矩阵为

$ \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccccc} -\frac{1}{l} & 0 & \frac{y}{l} & \frac{1}{l} & 0 & -\frac{y}{l} \\ 0 & -\frac{1}{l} & -\frac{1-s}{2} & 0 & \frac{1}{l} & -\frac{1+s}{2} \end{array}\right] . $

(7)

简化应力和应变的关系，可得

$ \left[\begin{array}{c} \sigma_{x} \\ \tau_{x y} \end{array}\right]=\boldsymbol{D}\left[\begin{array}{c} \varepsilon_{x} \\ \gamma_{x y} \end{array}\right], $

(8)

应力-应变关系矩阵D为

$ \boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{cc} (1-d) E & 0 \\ 0 & G \end{array}\right]. $

(9)

刚度矩阵K为

$ \boldsymbol{K}=\int \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D} \boldsymbol{B} \mathrm{d} \boldsymbol{A}=\frac{l}{2} \int \mathrm{d} s \int \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D} \boldsymbol{B} \mathrm{d} y. $

(10)

设每个网格横截面的弹性模量及剪切模量为常数，第p处纤维单元坐标为(x_p, y_p)，则整个截面的刚度为

$ \boldsymbol{K}=\sum\limits_{p}^{z} \left.\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{D} \boldsymbol{B}\right|_{y=y_{p}} A_{p} l \boldsymbol{.} $

(11)

将式(7)、(9)代入式(11)得：

$ \boldsymbol{K}=\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{k}_{p p} & \boldsymbol{k}_{p q} \\ \boldsymbol{k}_{q p} & \boldsymbol{k}_{q q} \end{array}\right], $

(12)

$ \boldsymbol{k}_{p p}=\boldsymbol{k}_{q q}=\left[\begin{array}{ccc} T_{1} & 0 & -T_{1} y \\ 0 & T_{2} & -T_{3} \\ -T_{1} y & -T_{3} & T_{1} y^{2}+T_{4} \end{array}\right], $

$ \boldsymbol{k}_{pq}=\boldsymbol{k}_{q p}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc} -T_{1} & 0 & T_{1} y \\ 0 & -T_{2} & T_{3} \\ T_{1} y & -T_{3} & -T_{1} y^{2}+T_{4} \end{array}\right] . $

$ \left\{\begin{array}{l} T_{1}=\sum\limits_{p}^{n} \frac{\left(1-d_{p}\right) E A_{p}}{l}, \\ T_{2}=\sum\limits_{p}^{n} \frac{G A_{p}}{l}, \\ T_{3}=\sum\limits_{p}^{n} \frac{G A_{p}}{2}, \\ T_{4}=\sum\limits_{p}^{n} G A_{p} l / 4 . \end{array}\right. $

其中d_p为纤维单元p的高温损伤变量。

1.2.3 温度荷载

1) 斜杆单元。

假设斜杆单元两端铰接于外框格，高温下其在长度方向产生内力，杆件全长温度变化一致。采用力法计算斜杆单元中由于温度变化产生的内力X₁，如图 9所示。

设斜杆单元高温作用后温度升至T，假定其截面尺寸不变，则温度产生位移为

$ \varDelta_{1}=\alpha\left(T-T_{0}\right) \omega_{N}. $

其中：α为线膨胀系数，T₀为室温，ω_N为轴力图面积。

根据结构力学理论，列出力法方程：

$ \delta_{11} X_{1}+\varDelta_{1}=0. $

由此，可计算出X₁=α(T-T₀)。

2) 刚架单元。

刚架单元计算简图如图 10a所示。

假设温度升高至T，将一端支座处的3个多余约束使用力X₂、X₃、X₄代替，得到基本结构如图 10b所示。因温度改变引起的沿力X₂、X₃、X₄方向的位移分别为Δ₂、Δ₃、Δ₄，由于沿X₃方向忽略温度引起的剪切变形，因此Δ₃=0，其他2个位移为：

$ \varDelta_{2}=\alpha\left(T-T_{0}\right) \omega_{N}, $

$ \varDelta_{3}=\alpha \frac{\Delta T}{h} \omega_{M} . $

其中：ΔT为刚架单元两侧温度差，ω_M为弯矩图面积，h为刚架厚度。由刚架单元整体温度为T可知ΔT=0，因此Δ₄=0，根据力法方程，进而求得：

$ X_{3}=X_{4}=0, \quad X_{2}=\alpha\left(T-T_{0}\right). $

将上述方法得到的各单元温度荷载和外荷载同时作用于MCWC，计算得到高温后损伤分布值。

1.3 高温损伤分析程序

本节以MATLAB为平台，编制了高温后针对不特定尺寸MCWC的损伤分析程序MRCS-T。相比有限元软件需要对不同MCWC重新建模，该程序可反复使用，更高效快捷。该程序的主要内容是求解高温后竖向荷载作用下MCWC的受力状态、变形及损伤值，可得高温后MCWC宏观损伤分布情况，程序流程如图 11所示。

选用通用有限元软件ABAQUS，验证MRCS-T的准确性，模拟按标准升温曲线ISO834变化的温度作用下，MCWC的温度场及其高温后受力全过程。选用图 12的MCWC，填充砌块尺寸为400 mm ×400 mm×100 mm，外刚肋梁和肋柱的尺寸均为50 mm×500 mm×100 mm，框格纵筋、箍筋配筋分别为2ø4，ø2@60。建立该MCWC有限元模型，计算受火60 min后的温度场，绘制荷载-位移曲线图，将有限元结果与本文编制的MRCS-T结果进行对比。

在ABAQUS中建立填充砌块耦合于肋梁肋柱的接触面模型，钢筋采用Embedded命令嵌入混凝土框格中。对角加载下MCWC固定端为RF1、RF2(见图 12b)，其余各边为自由边界。

用MRCS-T进行MCWC试件的损伤过程分析，得到加载点处荷载-位移曲线，并与ABAQUS结果对比分析，如图 13所示。结果表明，无论单面还是双面受火，MRCS-T计算结果都与有限元结果吻合较好，验证了MRCS-T的正确性。

2 整体损伤结果与评估 2.1 整体损伤指标

本文利用能量分析方法^[9-11]，以高温受载后MCWC各子单元的局部损伤值d构造高温后整体损伤指标，据此给出高温后MCWC的5个损伤状态和每个阶段损伤限值。

文[5]定义了材料Helmholtz自由能势，可以表示材料受损与材料未受损的情况：

$ \begin{gathered} \psi(\varepsilon, d)=(1-d) \psi_{0}(\varepsilon)= \\ (1-d)\left(\frac{1}{2 \rho} \varepsilon^{T} \sigma^{0}\right)=(1-d)\left(\frac{1}{2 \rho} \varepsilon^{T} C^{0} \varepsilon\right). \end{gathered} $

其中：ε为应变张量，ρ为质量密度，ψ₀和C⁰分别为材料未受损时的Helmholtz自由能势和弹性刚度张量，ψ为材料受损后的Helmholtz自由能势。

则整体MCWC应变产生的自由能为

$ W_{\mathrm{p}}=\int_{V} \rho \psi \mathrm{d} V=\int_{V}(1-d) \rho \psi_{0} \mathrm{~d} V=(1-D) W_{\mathrm{p}}^{0}. $

其中：W_p⁰为材料未受损时的自由能，D为MCWC整体损伤值。

高温后D与d之间关系为

$ D=1-\frac{W_{\mathrm{p}}}{W_{\mathrm{p}}^{0}}=1-\frac{\int_{V}(1-d) \rho \psi_{0} \mathrm{~d} V}{\int_{V} \rho \psi_{0} \mathrm{~d} V}=\frac{\int_{V} d \rho \psi_{0} \mathrm{~d} V}{\int_{V} \rho \psi_{0} \mathrm{~d} V}. $

用有限元法化解积分计算为

$ \begin{gathered} D=1-\frac{\sum\nolimits_{e} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \int_{V^{(e)}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} {\mathit{\pmb{σ}}} \mathrm{d} V}{\sum\nolimits_{e} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \int_{V^{(e)}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} {{\mathit{\pmb{σ}}}}^{0} \mathrm{d} V}= \\ 1-\frac{\sum\nolimits_{e} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \int_{V^{(e)}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} C \cdot \boldsymbol{B} \boldsymbol{a} \mathrm{d} V}{\sum\nolimits_{e} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \int_{V^{(e)}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} C^{0} \cdot \boldsymbol{B} \boldsymbol{a} \mathrm{d} V}=1-\frac{\sum\nolimits_{e} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{k}^{(e)} \boldsymbol{a}}{\sum\nolimits_{e} \boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{k}^{0(e)} \boldsymbol{a}} . \end{gathered} $

其中：Σ_e为对MCWC中所有子单元e求和；V^(e)为子单元e的体积；a为节点位移向量；B为位移应变矩阵；σ为实际应力矢量；σ⁰为假定材料保持为初始弹性矩阵时，实际应变对应的应力矢量；k^0(e)和k^(e)分别为子单元e初始刚度矩阵和实际刚度矩阵。

2.2 损伤评估

采用图 12的模型，受火60 min。根据D的定义，计算MCWC在竖向荷载下D与控制阶段弹塑性变形即控制位移Δ_y的关系，参照钢筋混凝土构件受损状态的划分方法^[12-13]，对高温后MCWC的损伤状态进行划分，确定D界限值。不同受火方式下MCWC受力性能不同，本文研究了单面受火和双面受火下MCWC的损伤状态和D界限值。

2.2.1 单面受火

单面受火情况下，D与Δ/Δ_y关系曲线如图 14所示，Δ为MCWC顶点位移。

可以看出：

1) Δ较小(Δ/Δ_y < 0.3)时，D接近0，此时MCWC处于弹性阶段；

2) Δ达到屈服位移(Δ/Δ_y=1)时，D为0.45左右，MCWC发生轻微损伤；

3) Δ为最大荷载对应的位移(Δ/Δ_y=1.8)时，D上升到0.7附近，MCWC发生中等损伤；

4) Δ为极限位移(Δ/Δ_y=3.5)时，D为0.95左右，MCWC发生严重损伤；

5) Δ超过极限位移(Δ/Δ_y>3.5)时，D大于0.95，MCWC被破坏。

2.2.2 双面受火

双面受火情况下，D与Δ/Δ_y关系曲线如图 15所示。

可以看出：

1) Δ较小(Δ/Δ_y < 0.23)时，D基本为0，说明MCWC仍处于弹性阶段；

2) Δ为屈服位移(Δ/Δ_y=1)时，D为0.45左右，MCWC发生轻微损伤；

3) Δ为最大荷载对应的位移(Δ/Δ_y=3.35)时，D达到0.7，MCWC发生中等损伤；

4) Δ为极限位移(Δ/Δ_y=5.64)时，D为0.95左右，MCWC发生严重损伤；

5) Δ超过极限位移点(Δ/Δ_y>5.64)后，D大于0.95，MCWC被破坏。

从图 14、15可知，高温后D与Δ/Δ_y有对应关系，MCWC受火后的损伤状态及对应的D界限值如表 1所示。

3 结论

本文基于能量分析分法研究了高温后MCWC损伤评估问题。利用局部损伤值d，构造了高温后MCWC整体损伤值D。给出了高温后MCWC的损伤状态描述及对应的D界限值，为MCWC受火后的评估提供了理论依据，也为密肋复合墙受火后的研究奠定了基础。

本文在已有的MCWC相关研究成果基础上进行了必要的假定和简化，忽略了MCWC实际应用中的情况，后续将开展MCWC在密肋复合墙板中各种不同边界条件下的相关研究。同时，填充砌块作为整体在经历高温和回温作用过程中的热胀冷缩变形性能，如何在简化成斜杆后合理地体现，也是下一步的研究课题。