柔索驱动并联机器人是通过柔索的收放控制实现末端执行器运动的一种典型的并联机器人，与传统的刚性连杆并联机器人相比，具有工作空间大、动惯性小、运动速度快等诸多优点^[1-3]，在天文观测^[4]、康复训练^[5]、3D打印^[6]和风洞实验^[7]等诸多领域得到了广泛应用。其中，大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人由于结构简单、可重构性强、控制较为容易，具有很大的应用潜力，可以被用于大型场所的监测和监控、码头大型货运装载、大型煤场煤质采样以及高速摄像等众多领域。大跨度柔索驱动并联机器人主要涉及柔索的自重和悬垂对柔索位形和机器人性能(定位精度、刚度、工作空间等)具有重要影响的情况。在此情况下，直线模型的柔索长度和驱动力与实际柔索存在较大差别，致使理想的直线柔索模型不再适用，因此，必须考虑柔索的“大跨度”影响效应。然而，传统的建模方法通常将柔索建模为无质量的直线模型，当涉及大跨度柔索时，忽略柔索自重的直线模型不是完全合理的，必须考虑柔索自重对柔索位形以及机器人性能的影响^[8-9]。因此，对大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人的稳定性评价模型及其稳定性灵敏度分析模型进行研究，确定机器人稳定性的敏感因素，对稳定性敏感因素优先控制其精度，能够为该类机器人运动轨迹的鲁棒设计和运动控制提供理论指导。

国内外诸多学者致力于柔索驱动并联机器人稳定性的研究。Behzadipour等^[10]提出了采用系统总刚度矩阵评价柔索驱动并联机器人的稳定性。Bosscher等^[11]研究了欠约束柔索牵引并联机器人基于斜率的稳定性衡量方法。Liu等^[12]研究了柔索驱动并联机器人最小索拉力在工作空间的分布，并定性分析了最小索拉力与机器人稳定性的联系，但是不能客观准地评价柔索驱动并联机器人的稳定性。Liu等^[13]将柔索驱动并联机器人的稳定性从非0即1的二值态拓展到区间[0, 1]，提出了力位混合稳定性评价方法。赵志刚等^[14]以多机器人协调吊运系统的运动学和动力学为基础，获得了吊运系统运动稳定性评价指标。然而对于大跨度柔索驱动并联机器人，由柔索自重引起的柔索悬垂对系统运动性能和稳定性能有很大影响^[15-16]。文[13]提出了柔索驱动摄像机器人稳定性评价方法，然而该方法是在无质量直线柔索模型的假设条件下建立的。因此，大部分研究并没有考虑柔索自重和悬垂对柔索驱动并联机器人稳定性的影响，对于大跨度柔索驱动并联机器人稳定性的研究，目前国内外鲜有报道。

稳定性灵敏度能够反映各影响因素对柔索驱动并联机器人稳定性的影响程度，进而根据其重要性对影响因素进行排序^[17]。在机器人运动轨迹和运动控制的优化设计中，应优先关注影响机器人稳定性的最敏感因素。现有文献主要集中于柔索驱动并联机器人稳定性评价方法，而对稳定性灵敏度的研究鲜见报道。柔索驱动并联机器人稳定性灵敏度分析有多种方法，如单因素灵敏度分析法、灰色关联分析法等。与其他敏感性分析方法相比，灰色关联分析由于数据需求少、计算步骤简单，近年来被广泛应用于边坡稳定性影响因素的敏感性分析^[18-19]。灰色关联分析可以在有限信息下通过数据处理消除维度的影响，进而找出各影响因素之间的相关性，克服了单因素分析方法的不足，最终通过关联度来判断影响因素的稳定性敏感度^[20]。

鉴于此，本文建立了大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性评价模型及其稳定性灵敏度分析模型，探索并分析末端执行器位置以及柔索驱动力等因素对机器人稳定性的影响程度，为机器人运动轨迹的稳健设计和稳定控制提供指导方向。

1 大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人动力学模型 1.1 大跨度柔索的悬链线模型

柔索的一端连接驱动器，另一端连接机器人的末端执行器。如图 1所示，柔索局部坐标系$\left\{o_{i}^{\text{c}} X_{i}^{\text{c}} z_{i}^{\text{c}}\right\} $固结在B_i点，其z^c轴与总体坐标系的z轴同向。考虑质量的柔索会在自身重力作用下发生悬垂，可以用悬链线方程来描述柔索的形态。因此，第i根柔索在其局部坐标系o^cx^cz^c下，可以用悬链线方程进行描述^[21]：

$ z_{i}^{\text{c}}=\frac{H_{i}}{\rho g}\left[\cosh \alpha_{i}-\cosh \left(\frac{2 \beta_{i} x_{i}^{\text{c}}}{l_{i}}-\alpha_{i}\right)\right] . $

(1)

其中：x_i^c和z_i^c是$\left\{o_{i}^{\text{c}} X_{i}^{\text{c}} z_{i}^{\text{c}}\right\} $中的x和z方向坐标值; ρ是柔索的线密度; g是重力加速度，沿着z轴负方向; $ \alpha_{i}=\sinh ^{-1}\left[\frac{\beta_{i}\left(c_{i} / l_{i}\right)}{\sinh \beta_{i}}\right]+\beta_{i}, \beta_{i}=\frac{\rho g l_{i}}{2 H_{i}} ; H_{i}$和V_i分别是柔索在端点P处拉力的水平和竖直分量; l_i和c_i是柔索的在水平和竖直方向上的跨度。

悬链线在端点P处的斜率表示如下：

$ \tan \gamma_{i}=\frac{\partial z_{i}^{\mathrm{c}}}{\partial x_{i}^{\text{c}}}=-\sinh \left(\frac{2 \beta_{i} x_{i}^{\mathrm{c}}}{l_{i}}-\alpha_{i}\right) $

(2)

其中γ_i为悬链线端点处切线与水平面的夹角。

悬链线索长L_i表示如下:

$ \begin{gathered} L_{i}=\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d} z_{i}^{\text{c}}}{\mathrm{~d} x_{i}^{\text{c}}}\right)^{2}}= \\ l-\frac{H_{i} \beta}{q l}\left[\frac{l}{16 \beta}\left(\mathrm{e}^{4 \beta-2 \alpha}-\mathrm{e}^{-4 \beta+2 \alpha}\right)+\frac{1}{2}\right] . \end{gathered} $

(3)

悬链线柔索水平跨度中点处的垂度d_i表示如下：

$d_{i}=\frac{8 H_{i} \sinh \beta_{i} \sinh ^{-1}\left(\frac{\rho g c_{i} / 2 H_{i}}{\sinh \beta_{i}}\right)-c_{i} \rho g}{2 \rho g} . $

(4)

可以看出：悬链线柔索端点处的水平张力H_i决定了垂度d_i的大小。在实际应用中，柔索垂度和水平跨度的比值常用来判断柔索的张紧程度。为了确保柔索驱动机器人工作的正常稳定，在许用张力范围内，柔索拉得越紧越好，即垂跨比越小越好。在本文悬链线柔索驱动力的迭代求解过程中，以垂跨比满足一定的要求作为迭代的终止条件。

1.2 机器人动力学模型

如图 2所示，柔索一端通过定滑轮与伺服电机和卷筒相连，另一端与机器人末端执行器相连。通过控制伺服电机的正反转实现柔索的收放运动，驱动机器人末端执行器人在三维空间作大范围平动。4根柔索与机器人末端执行器的铰接点完全重合，大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人的末端执行器通常为具有一定运动自由度的二级调整平台，大范围柔索驱动系统实现机器人末端执行器的三维平动，二级调整平台实现其动平台的姿态调整，如柔索驱动摄像机器人^[22]、FAST^[23]等。该类机器人实现了末端执行器平动和转动的完全解耦，因而可以将末端执行器抽象成一个质量点。

建立固结在机架上的总体坐标系O-XYZ，O为坐标原点。P=(x, y, z)^T是机器人末端执行器在总体坐标系O-XYZ中的位置。B_i=(B_{i, x}, B_{i, y}, B_{i, z})^T是柔索与定滑轮连接点在总体坐标系中的位置，因为连接点B_i是固结在机架上的，所以B_i是常矢量。

柔索末端点P处第i根柔索索力垂直分量表示如下:

$ V_{i}=H_{i} \tan \gamma_{i}(i=1, 2, 3, 4) $

(5)

为了保证机器人运行平稳，柔索的运动必须与机器人末端执行器的运动相协调。机器人正常工作运行阶段中通常采用匀速运动规划，因此本文假设柔索在全程中匀速收放，则柔索的惯性可以忽略不计。把柔索驱动力T_i在端点P处分解到x、y和z 3个方向，得到大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人的动力学方程：

$ \left\{\begin{array}{l} \sum\limits_{i=1}^{4} H_{i} \cos \theta_{i}+f_{\mathrm{e}, x}=0, \\ \sum\limits_{i=1}^{4} H_{i} \sin \theta_{i}+f_{\mathrm{e}, y}=0, \\ \sum\limits_{i=1}^{4} H_{i} \tan \gamma_{i}-\sum\limits_{i=1}^{4} \rho g L_{i}-m_{\mathrm{p}} g+f_{\mathrm{e}, z}=0. \end{array}\right. $

(6)

写成矩阵形式如下：

$ \boldsymbol{J} \boldsymbol{H}-\boldsymbol{f}_{\mathrm{G}}+\boldsymbol{f}_{\mathrm{e}}=\mathbf{0} . $

(7)

其中：m_p为机器人末端执行器的质量; H=(H₁, H₂, H₃, H₄)^T是柔索末端点P处索张力的水平分量; f_G=(0, 0, m_pg)^T表示机器人末端执行器的重力; f_e=(f_{e, x}, f_{e, y}, f_{e, z})^T表示作用在机器人末端执行器上的广义外力。

从式(2)、(6)和(7)可以看出：机器人结构矩阵J是柔索驱动力的水平分量H的函数，外力向量Q也是柔索驱动力的水平分量H的函数，因此，式(7)可以简写为

$ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{H}=\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{H}). $

(8)

其中：$\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{f}_{\mathrm{G}}-\boldsymbol{f}_{\mathrm{e}}, \boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{llll} J_{1} & J_{2} & J_{3} & J_{4} \end{array}\right]_{3 \times 4} $是柔索驱动并联机器人的结构矩阵，J_i=(cosθ_i, sinθ_i, tanγ_i)^T (i=1, 2, 3, 4)。

式(8)形式上似乎是一个线性方程，但是其系数矩阵J和外力向量Q均为悬链线柔索驱动力水平分量H的函数，因此，式(8)是关于悬链线柔索驱动力水平分量 H的非线性方程。本文采用直线模型求解的柔索驱动力和柔索长度作为初始迭代值，迭代求解式(8)。

1.3 冗余柔索驱动力优化求解模型^{[16, 21]}

由于柔索单向性的受力特性，大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人采用冗余驱动的方式，保证了末端执行器完全可控。因为柔索的根数(4根柔索)大于机器人末端执行器的自由度(3平动自由度)，所以式(8)中索张力的水平分量H有无穷多解。利用矩阵理论，可以求得索张力的水平分量H为^[22-23]

$ \boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}^{+} \boldsymbol{Q}+\boldsymbol{N}(\boldsymbol{J}) \lambda $

(9)

其中：J⁺Q是矢量H的特解; N(J)λ是矢量H的通解; N(J)是结构矩阵J的零空间; λ是一任意标量。

由式(5)和(9)可得，柔索末端点P处第i根柔索的驱动力为

$ T_{i}=H_{i} \sqrt{1+\tan ^{2} \gamma_{i}}(i=1, 2, 3, 4). $

(10)

为了保证机器人末端执行器正常稳定的工作，柔索驱动力矢量T必须满足如下的条件：

$\boldsymbol{T}_{s, \min } \leqslant \boldsymbol{T} \leqslant \boldsymbol{T}_{s, \max }. $

(11)

其中：T=(T₁, T₂, T₃, T₄)^T为4根柔索的索力矢量，T_{s, min}=(T_{1, min}, T_{2, min}, T_{3, min}, T_{4, min})^T是保持柔索张紧的索力下限，T_{s, max}=(T_{1, max}, T_{2, max}, T_{3, max}, T_{4, max})^T保证柔索不被拉断，由柔索材料强度和驱动电机功率决定的索力上限。

通过上面的分析可知，必须保持柔索时刻处于张紧状态，即在实际工作中要保证垂度和跨度的比值r_i满足预设的条件。

$ r_{i}=\frac{\left|d_{i}\right|}{l_{i}} \times 100 \% \leqslant 10 \%. $

(12)

综合式(8)—(12)，可得标量λ的范围:

$ \lambda \in[\underline{\lambda}, \bar{\lambda}] . $

(13)

其中：$ \underline{\lambda}$是λ的下限值，$ \bar{\lambda}$是λ的上限值。

由式(9)可知，由于λ的任意性，导致了矢量H的通解N(J)λ有无穷多个。为了得到最优解，采用最小方差作为优化求解目标，式(8)和(13)作为约束条件，可以得到求解冗余柔索驱动力水平分量大小H的数学优化模型^{[16, 24]}:

$ {\rm{Object}}~~ f(\lambda)=\min \left(\frac{1}{4}\left[\sum\limits_{i=1}^{4}\left(H_{i}-E(H)^{2}\right]\right) \right., \\ {\rm{s}}{\rm{. t}}{\rm{.}}~~ \boldsymbol{J}(\boldsymbol{H}) \boldsymbol{H}=\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{H}), \quad \underline{\lambda} \leqslant \lambda \leqslant \bar{\lambda}. $

(14)

其中$E(H)=\frac{H_{1}+H_{2}+H_{3}+H_{4}}{4} $为4根柔索驱动力的算术平均值。

由于约束条件式(8)具有高度非线性的特性，必须通过优化迭代算法，利用式(14)求得悬链线柔索驱动力的水平分量H。进一步每一根柔索的索力T_i可以由式(10)求得。将索力矢量T代入式(2)和(3)，可以求得悬链线柔索端点与水平面的夹角γ=[γ₁ γ₂ γ₃ γ₄]以及悬链线柔索的长度L=[L₁ L₂ L₃ L₄]^T。

2 大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性评价模型

本文提出的柔索驱动并联机器人稳定性类似于材料力学中压杆系统的稳定性，压杆系统的稳定性取决于压力大于临界值的最弱杆，当最弱杆的压力大于某个值时，压杆系统就会产生不稳定^[25]。本文将此概念扩展到柔索驱动并联机器人稳定性研究中，当具有最小驱动力的柔索张力小于某个临界值时该柔索会发生松弛，导致其失去控制机器人末端执行器的能力。因此，稳定性被定义为“抵抗外部干扰并保持机器人末端执行器处于当前平衡位置的能力”。本文所提出的稳定性不同于Lyapunov意义上的稳定性，该稳定性反映了系统在受到干扰后恢复其平衡状态的能力^[26]。

2.1 稳定性位置和柔索驱动力影响因子

在冗余索拉力求解模型式(14)的基础上，求得机器人末端执行器处于当前位置点处的柔索驱动力向量，进而最小索拉力表示如下：

$ T_{\min }=\min (\boldsymbol{T}). $

(15)

其中min(·)表示索拉力向量的最小分量。

基于机器人运动学模型、动力学模型以及冗余柔索驱动力优化求解模型，分别提出了2个位置和柔索驱动力影响因子，用于阐述末端执行器当前位置点在工作空间所处的位置以及约束最弱方向上的索拉力对末端执行器稳定性的影响。如图 3所示，工作空间中的任意位置用点P来表示; 工作空间竖直中线用a表示; 任意位置点P所在的水平面用绿色平面表示; 该水平面与竖直中线a的交点用Q表示; 竖直中线a最上面的点用M表示; 位置P、Q和M处的最小索力分别用T_{P, min}、T_{Q, min}和T_{M, min}表示; 位置P、Q和M处所有柔索中驱动力最小柔索与水平面的夹角分别用γ_P、γ_Q和γ_M表示。因此，2个位置影响因子$ \Re_{11}$和$ \Re_{21}$分别表示如下：

$ \begin{aligned} \Re_{11}\left(\boldsymbol{X}_{P}\right)=\frac{\tan \gamma_{P}}{\tan \gamma_{Q}}, \end{aligned} $

(16)

$ \Re_{21}\left(\boldsymbol{X}_{P}\right)=\frac{\tan \gamma_{M}}{\tan \gamma_{Q}} . $

(17)

根据式(15)，得出2个柔索驱动力影响因子，分别表示如下：

$ \begin{aligned} \Re_{22}\left(\boldsymbol{X}_{P}\right)=\frac{T_{Q, \min }}{T_{M, \min }} , \end{aligned} $

(18)

$ \Re_{12}\left(\boldsymbol{X}_{P}\right)=\frac{T_{P, \min }}{T_{Q, \min }}. $

(19)

其中X_P为末端执行器当前位置点P处的空间三维位置向量。

2.2 稳定性评价方法

大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人采用柔索作为其驱动元件，当存在外部干扰时，机器人的平衡位置可能受到干扰。因此，机器人的稳定性是指最弱约束方向上抵抗外部干扰的能力，以及在外部扰动存在时保持机器人末端执行器处于平衡状态的能力。基于位置和柔索驱动力影响因子，提出大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性评价指标，并将稳定性指标的大小定义为稳定度，用来反映柔索驱动并联机器人末端执行器在当前位置点处的稳定程度，表示如下：

$ \varOmega\left(\boldsymbol{X}_{P}, \boldsymbol{T}\right)=\prod\limits_{i=1}^{2}\left(p_{i 1} \Re_{i 1}+p_{i 2} \Re_{i 2}\right) . $

(20)

其中：X_P为机器人末端执行器的空间三维位置; T为4根柔索的驱动力向量; p_i1和p_i2为权系数，且满足p_i1+p_i2=1，i=1, 2。

从式(20)可以看出，大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人的稳定性是机器人末端执行器位置和柔索驱动力的隐性函数，且机器人稳定度的取值范围为Ω∈[0, 1]。其中，Ω=0对应机器人末端执行器处于工作空间之外的位置点，机器人末端执行器无法到达，稳定度为0; Ω=1对应全工作空间稳定性最好的位置点，机器人末端执行器处于该位置点时的稳定度为1; 当机器人末端执行器处于工作空间其余位置点处的稳定度介于0~1。

3 大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性灵敏度评价模型

本文采用灰色关联分析方法建立大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性敏感度分析模型，首先将机器人稳定性的影响因素定义为比较列，相应的机器人稳定度作为参考列。对各序列进行数据无量纲化，使得序列具备可比性，最后求得灰关联系数矩阵与灰关联度^[27-29]。灰色关联分析方法的具体步骤如下：

步骤1   确定比较数列和参考数列。设X为机器人稳定性及其影响因素数据所构成的序列集合，X_i={X_i(j); i=0, 1, 2, …, n, j=0, 1, 2, …, m}。机器人稳定度构成参考序列向量X₀，以稳定性各影响因素(末端执行器的三维位置坐标x、y、z，以及4根柔索的驱动力T₁、T₂、T₃、T₄等)定义为比较列X_i，则机器人稳定度序列和稳定性影响因素序列构成一个m×(n+1)阶矩阵：

$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc} X_{0}(1) & X_{1}(1) & \cdots & X_{n}(1) \\ X_{0}(2) & X_{1}(2) & \cdots & X_{n}(2) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ X_{0}(m) & X_{1}(m) & \cdots & X_{n}(m) \end{array}\right]. $

(21)

其中：n为大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性影响因素的个数n=7; m为各影响因素变化值的数目。

步骤2   矩阵无量纲化。采用区间相对值化对数列集合X进行数值变换，去掉单位和量级对分析结果的影响。处理后式(21)变为

$ X_{i}^{\prime}=\frac{X_{i}-X_{\min }}{X_{\max }-X_{\min }}. $

(22)

其中：X′_i、X_i、X_max和X_min分别为某一变量的转换值、原始值、最大值和最小值。

步骤3   计算关联系数。灰关联分析的实质是数列曲线间几何形状的相似程度，曲线越近，相应数列之间的关联程度就越大。因此，以曲线间差值的大小作为关联程度的衡量尺度，关联系数表示如下：

$r_{i}(j)=\frac{\varDelta_{\min }+\xi \varDelta_{\max }}{\varDelta_{0 i}(j)+\xi \varDelta_{\max }} . $

(23)

其中：$\varDelta_{0 i}=\left|X_{0}^{\prime}(j)-X_{i}^{\prime}(j)\right| $表示参考序列和对比序列的偏差序列; $\varDelta_{\min }=\min \left|X_{0}^{\prime}(j)-X_{i}^{\prime}(j)\right| $和$\varDelta_{\max }=\max \left|X_{0}^{\prime}(j)-X_{i}^{\prime}(j)\right| $分别表示偏差的最小值和最大值; ξ为分辨系数，取值0~1。

步骤4   计算关联度。由于相对于各因素的变化关联系数数目较多，常采用各相关因数的关联度对各因素的影响程度进行比较。关联度表示为

$R_{i}=\frac{1}{m} \sum\limits_{j=1}^{m} r_{i}(j). $

(24)

关联度的取值为0≤R_i≤1，关联系数越接近0，表示参考列对比较列的关联程度越小，参考列对比较列的敏感度越差。影响大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性因素的关联度值越大，说明该影响因素对机器人稳定度的影响程度越大，即敏感度越大; 反之，则越不敏感。因此，本文采用关联度式(24)评价各因素对机器人稳定性的影响程度，即稳定性影响因素的敏感度。通过各影响因素的关联度，能够得到关联度大小顺序，从而得到影响机器人稳定性的主要和次要因素，在机器人运动轨迹稳健优化设计以及运动控制中对敏感度大的因素进行精确控制，确保机器人的稳定性。

4 仿真算例与讨论

以大跨度柔索驱动摄像机器人(图 4)为例，通过仿真分析和说明柔索驱动并联机器人稳定性评价方法及其灵敏度分析模型的合理性和有效性。柔索驱动摄像机器人是一种可以大范围运动的冗余柔索驱动并联机器人，用于实现高空全景拍摄^{[13, 30]}。

选取空间螺旋轨迹说明柔索自重和垂度对柔索驱动力、大跨度柔索驱动摄像机器人稳定性以及稳定性灵敏度的影响。该轨迹方程为

$ \left\{\begin{array}{l} x=R \cos (\omega t)+50 \\ y=R \sin (\omega t)+45 \\ z=v t+10 \end{array}\right.. $

(25)

其中：空间螺旋线的半径R=10 m; ω=0.2π rad/s; v₀=0 m/s; 轨迹起始位置为(60, 45, 10)^T m，结束位置为(60, 45, 20)^T m。

本算例中选取摄像机器人相关参数如表 1所示。依据表 1中的参数，可以得到摄像机器人稳定性影响因素的变化范围，如表 2所示。

采用悬链线模型计算的柔索驱动力和直线柔索模型计算的柔索驱动力的相对差别，以及使用2种柔索模型所计算的稳定度的相对差别说明大跨度柔索自重和垂度对柔索驱动力和大跨度柔索驱动摄像机器人稳定性的影响，表示如下:

$ \varepsilon=\frac{T_{\mathrm{c}, i}-T_{\mathrm{s}, i}}{T_{\mathrm{s}, i}} \times 100 \%, \quad i=1, 2, 3, 4. $

(26)

其中：T_{c, i}为柔索悬链线模型所计算的柔索驱动力; T_{s, i}为直线柔索模型所计算的柔索驱动力。

$\chi=\frac{\Omega_{\mathrm{s}}-\Omega_{\mathrm{c}}}{\Omega_{\mathrm{c}}} \times 100 \%. $

(27)

其中Ω_c和Ω_s分别为悬链线柔索模型以及直线柔索模型情况下所计算的机器人稳定度。

4.1 稳定性评价模型数值仿真

当摄像机器人末端摄像平台沿着空间螺旋轨迹式(25)运行时，分别采用悬链线柔索模型和直线柔索模型，计算4根柔索的驱动力，如图 5所示。从图 5中可以看出，采用2种不同柔索模型计算的驱动力均连续平滑，但具有较大差别，悬链线柔索模型计算所得的柔索驱动力明显大于直线模型的计算结果，柔索驱动力的重要差异主要来自于柔索自身质量的影响，这与理论结果相符。末端摄像平台处于螺旋线终止位置的柔索驱动力明显大于起始位置的柔索驱动力，这是因为该螺旋轨迹终止位置的高度高于起始位置。末端摄像平台的高度增加会导致张力T_i和其垂直分量V_i之间的角度增加，因此需要增大柔索驱动力才能承受柔索的自重以及末端摄像平台的重力。从图 5c可以看出，2种柔索模型下的柔索驱动力最大差别达到了880%，因此，大跨度柔索自重对摄像机器人柔索驱动力具有重要影响。

图 6为2种柔索模型下，摄像平台沿空间螺旋轨迹式(25)运行时，计算获得的摄像机器人稳定度。从图 6a可以看出，当摄像平台处于螺旋线起始位置的稳定度小于处于终止位置的稳定度，这是因为随着摄像平台在工作空间位置点的升高，4根柔索中驱动力最小柔索的力也随之增大，导致柔索驱动力影响因素增大，这与文[13]结果一致。从图 6b可以看出：与柔索自重对驱动力的重要影响程度不同，2种柔索模型下机器人稳定度最大相对差异为21%，最小差异为10%。由此可以得出：机器人稳定性与末端执行器所处工作空间的位置和柔索驱动力密切相关，机器人自身尺寸对其稳定性具有一定的影响，但影响程度不大。

表 3为末端摄像平台与柔索质量比值对柔索驱动力以及机器人稳定性的影响。可以看出：随着末端摄像平台质量以及质量比的增大，柔索驱动力的最小值和最大值均有所增加，但2种柔索模型假设条件下的驱动力差别大为减小，稳定性差别也随之减小，这与理论结果相符。

综上所述，大跨度柔索的质量和悬垂对柔索驱动摄像机器人的柔索驱动力和稳定性具有重要影响，对柔索驱动力的影响程度更大。因此，对于大跨度柔索驱动并联机器人的设计、分析和建模，将柔索考虑为悬链线模型是十分必要的，尤其适用于对机器人运动精度和稳定性要求较高的场合。

4.2 稳定性灵敏度数值仿真

通过灰色关联法和MATLAB编程，得出摄像平台位置、柔索驱动力等影响因素与稳定性的关联度。根据灰色关联分析法，将仿真分析得到摄像机平台位置和4根柔索驱动力选作影响因素X_i(k)，从仿真分析得到的摄像机机器人稳定度确定为X₀(k)。采用等步长法，通过仿真获得了101组将柔索建模为悬链线模型情况下摄像机器人稳定性影响因素和稳定度数据，其中选取了11组数据进行稳定性灵敏度分析，如表 4所示。

从表 4的数据可以看出，对于每一列而言，摄像机器人的稳定度为0~1，与稳定性评价指标的定义范围一致; 随着摄像平台在工作空间位置的升高，稳定性随之增强。并且随着摄像平台位置的升高，柔索驱动力逐渐增大，这与5.1节的结论吻合。而对于表格中的每一行，当摄像机平台处于同一位置时，4根柔索的驱动力差异不大，这是因为在冗余柔索驱动力优化求解部分，为了保证机器人的稳定性，所采用的优化指标是在4根柔索的驱动力差异最小。从表 3数据可以看出，摄像机平台位置和4根柔索驱动力等影响因素序列矩阵和稳定性序列矩阵的单位和数值差异较大。因此，在进行灰色关联分析之前，使用式(22)对影响因素序列和稳定性参考序列进行无量纲化。

基于摄像机平台位置和4根柔索驱动力等影响因素序列和稳定性参考序列的偏差序列矩阵，相关系数矩阵r可以根据式(23)计算得到：

$\boldsymbol{r}=\left[\begin{array}{cccccccccc} 0.333811 & 0.505316 & 0.963588 & 0.984946 & 0.952991 & 0.963588 & 0.963588 \\ 0.352314 & 0.382638 & 0.98097 & 0.999661 & 0.961293 & 0.966119 & 0.945781 \\ 0.432888 & 0.337512 & 0.942979 & 0.989927 & 0.985329 & 0.969549 & 0.893658 \\ 0.603214 & 0.340256 & 0.878544 & 0.982181 & 0.960291 & 0.99959 & 0.856717 \\ 0.892462 & 0.393594 & 0.798931 & 0.914033 & 0.964086 & 0.952164 & 0.84278 \\ 0.847511 & 0.544419 & 0.752759 & 0.886613 & 0.932754 & 0.863347 & 0.902057 \\ 0.987147 & 0.82514 & 0.6558 & 0.797404 & 0.970805 & 0.873591 & 0.908762 \\ 0.734532 & 0.774366 & 0.604132 & 0.774911 & 0.913103 & 0.850163 & 0.980646 \\ 0.560541 & 0.667921 & 0.569967 & 0.776175 & 0.861693 & 0.861753 & 0.97885 \\ 0.518765 & 0.670001 & 0.576211 & 0.799477 & 0.825478 & 0.955802 & 0.985238 \\ 1.000000 & 0.495848 & 1.000000 & 1.000000 & 1.000000 & 1.000000 & 1.000000 \end{array}\right] $

根据式(24)计算摄像机平台位置和4根柔索驱动力等影响因素与机器人稳定性的灰色关联度，当分辨系数分别取0.5和0.6时，摄像机器人稳定性与上述7个影响因素的关联度如表 5所示。可以看出，对于不同的分辨系数，稳定性灵敏度的变化规律是相同的。根据表 5的计算结果和上述灰色关联理论的计算步骤，柔索驱动力T₂与摄像机器人的稳定性关联度最高，而摄像平台y方向位移与摄像机器人的稳定性的关联度最小。值得注意的是：虽然柔索驱动摄像机器人4根柔索在空间结构上对称分布，但4根柔索驱动力对机器人稳定性的灵敏度略有不同。这是因为机器人稳定度及其7个影响因素的数据是当机器人摄像平台处于空间螺旋轨迹上获取的，因此，4根柔索及其驱动力对机器人稳定性的影响并非完全相同。

图 7为悬链线柔索与无质量直线柔索2种模型在不同分辨系数情况下摄像机器人各影响因素的稳定性灵敏度。可以看出：对于不同的分辨系数，稳定性各影响因素重要性的规律相同，按降序排列为：T₂、T₃、T₄、T₁、z向位移、x向位移、y向位移。对比图 7a和7b可以看出，2种柔索模型下摄像机器人稳定性对7个影响因素的影响规律是一致的。与悬链线柔索模型对摄像机器人柔索驱动力和稳定性的重要影响不同，大跨度柔索的自重和悬垂对摄像机器人的稳定性灵敏度影响很小。从图中可以看出，位置影响因素和索张力影响因素的相关度都大于0.5，说明上述影响因素对机器人的稳定性均有很大的影响。与位置影响因素相比，稳定性对柔索驱动力影响因素更为敏感，这就要求在机器人运动控制策略制定和运动控制器的设计时优先考虑鲁棒的力控制策略，进而保证柔索驱动力的精确控制; 而在位置控制器的设计中，必须优先保证z方向的控制精度。当设计满足预定稳定性要求的末端摄像平台的运动轨迹，但由于控制器性能的影响，机器人实际运动可能会偏离设计的运动规划。因此，在运动控制过程中，注意这些偏差是非常重要的，否则机器人的稳定性可能会发生很大的变化。本文摄像机器人稳定性灵敏度分析方法和结果可以应用于机器人运动轨迹设计和运动控制的鲁棒设计。根据机器人稳定性灵敏度分析结果，可以完成摄像机器人运动轨迹的稳健设计，为提高运动控制精度和稳定性提供理论和方向指导。因此，对大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人进行稳定性灵敏度分析具有一定的理论意义和工程实用价值。

5 结论

本文基于柔索悬链线模型推导了大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人的动力学方程，求解了冗余柔索驱动力。基于机器人运动学与动力学模型，提出了机器人稳定性位置影响因子和柔索驱动力影响因子，建立了机器人稳定性评价模型。基于灰色关联分析方法，提出了大跨度完全约束空间3-DOF柔索驱动并联机器人稳定性敏感度分析模型，以柔索驱动摄像机器人为例，计算得到了机器人稳定性对末端执行器位置以及柔索驱动力等影响因素的敏感度。机器人稳定性灵敏度分析与计算模型和结论能够为末端执行器运动轨迹稳健优化设计与运动控制提供理论依据，在轨迹规划和运动控制等环节，应对柔索驱动力加以精确控制，同时可适当放宽机器人末端执行器x与y方向的控制精度。