在很多国家和地区，城市轨道交通已经成为重要的公共交通工具，具有速度快、运力强且准时的优点。在城市轨道交通系统中，牵引用电的费用在总运营费用中占有较高的比例。据统计，地铁线路的用电费用占总运营费用的20%以上，其中列车的牵引用电费用约占总用电费用的50%。近年来，为减少列车牵引用电，储能装置(例如超级电容)被接入列车供电系统，用以回收列车产生的再生制动能量，并平抑供电网电压的波动。具体而言，当列车进站时，电机进入电磁制动状态，直流供电网电压升高，此时超级电容被接入直流网，列车电机制动产生的再生制动电能被充入超级电容中；当列车启动时，超级电容释放存储的能量为列车供电。由于供电线路存在内阻，客流的分布也不均衡，导致不同车站的列车制动功率相差较大，优化超级电容的分布位置以及每个位置上电容的容量能提高再生制动能量的吸收效率；此外，在列车启动时，牵引装置的位置与容量会影响直流网络的电压波动，进而影响超级电容的能量释放效率。因此，联合优化牵引装置与储能装置(超级电容)的配置方案(位置与容量)对提高再生制动能量的吸收和利用效率尤为重要。但因线路中的供电装置与用电装置(即列车)以复杂的方式耦合在一起，联合优化配置牵引装置与超级电容并非易事。

已有的相关研究仅考虑超级电容的优化配置，据本文作者所知，尚无综合优化配置超级电容和牵引装置的工作。文[1]基于供电系统仿真平台，分析超级电容的容量如何影响直流网电压以及再生制动能量的吸收利用效率；依据分析得到的规律，针对某条有13个车站的地铁线路，给出了超级电容的容量配置方案。然而，该文献所提方法只基于具体的线路，导致该方法难以被推广至其他线路。此外，由该方法得到的配置方案的质量难以评估。文[2]将牵引装置等效为理想电压源与等效内阻串联，将超级电容模块等效为理想电容并通过直流-直流变换器控制电容的充放电，将列车等效为一个通过理想电流源实现的功率源。基于理想元器件，该文献构建了直流网的电气仿真模型，决策变量为电容的容量，目标函数为最大化节能的同时最小化设备的安装成本。文[3]在文[2]的基础上进一步考虑超级电容的启动阈值对网压的影响，其目标函数同样为最大化节能的同时减少设备成本。文[2]和文[3]均没有对超级电容的位置进行建模。此类仿真优化问题常通过智能优化算法进行求解^[2-8]。文[2]和文[3]利用遗传算法优化配置超级电容的容量，首先将容量配置方案编码为“染色体”，在每次迭代中，基于上一次迭代获得的解(染色体)，通过“选择”“交叉”和“变异”的操作生成一组新的候选解，随后通过仿真评价候选解，以选出表现较好的候选解。该过程迭代执行，直至满足算法停止条件。该类方法的优点是易于实现，但也有较大的局限性，具体体现在3个方面：1) 所得的解的质量难以量化评估；2) 算法的收敛性难以保证；3) 若仿真程序需要运行较长时间才能获得对候选解的评估，则算法会极为耗时。

本文提出一种基于仿真的牵引装置与超级电容联合优化配置方法。首先，将直流供电网中的器件建模为理想元器件，构建直流供电网的仿真模型。然后，基于该仿真模型提出仿真优化问题，目标为线路能耗，约束为网压波动的上限。由于仿真程序较为复杂，单次评价优化问题的目标函数的值所需计算时间较长，本文基于序优化理论^[9-13]提出了一个高效求解方法，同时考虑牵引站和超级电容对列车牵引的影响。相较于仅仅优化配置超级电容，该方法能进一步提高再生制动能量的吸收利用效率，能够以高概率获得足够好的解，克服了现有方法无法评估解的质量的缺点^[9]。

1 问题建模 1.1 直流供电网络仿真模型

由于牵引装置与储能装置以复杂的方式共同影响列车的牵引与制动，难以通过建立显式表达式描述列车能耗，本节提出了一个直流供电网的电路仿真模型。由于建立的仿真模型与文[3, 14]中的仿真模型相似，因此仅简要描述该仿真模型。

本文将牵引装置简化为一个电压源与等效内阻串联，如图 1a所示。其中，电压源两端的电压值为无负载时牵引装置的输出电压。等效内阻用于表示牵引装置的带载能力，对于一个功率较大的牵引装置，带载时牵引装置两端电压压降较小，对应的等效内阻较小；而对于一个功率较小的牵引装置，带载时牵引装置两端电压压降较大，对应的等效内阻较大。牵引装置装置t1两端的电压电流特性可以表示为

$U_{\mathrm{t} 1}=\max \left(0, U_0-r_{\mathrm{t} 1} I_{\mathrm{t} 1}\right) $

(1)

其中：U₀为无负载电压，r_t1为等效内阻，U_t1与I_t1为牵引站两端的电压与电流。

本文将超级电容模块等效为一个电容与一个内阻串联，如图 1b所示。每个超级电容模块充放电时，满足如下的电压电流特性：

$ \begin{gathered} U_{\mathrm{e}}(t)=\frac{1}{C_{\mathrm{e}}} \int_{t_0}^t I_{\mathrm{e}}(\tau) \mathrm{d} \tau+U_{\mathrm{e}}\left(t_0\right), \\ U_{\mathrm{ec}}(t)=U_{\mathrm{e}}(t)+R_{\mathrm{er}} I_{\mathrm{e}}(t) . \end{gathered} $

(2)

其中：下标ec表示超级电容模块，e表示超级电容模块包含的电容，er表示超级电容模块包含的电阻。C_e为电容值，t₀为充电起始时刻，U_e与I_e为电容两端电压与电流，R_er为电容模块内阻，U_ec为电容模块两端电压。超级电容模块通过串联增加耐压值，通过并联增加容量以及额定功率，以形成超级电容组，如图 1c所示。超级电容通过直流-直流变压器接入直流供电网络。与文[14]相同，本文将列车等效为一个功率源。

列车启动时，列车两端的牵引装置接入电路为列车供电，供电过程的电路仿真模型如图 2所示。其中：R₁、R₂和R₃为线路内阻，R_c为列车受电弓电阻，P_c为列车功率。基于Kirchhoff电压电流定律，可以得到电压电流方程：

$ \begin{gathered} U_{\mathrm{c}}+\frac{P_{\mathrm{c}}}{I_{\mathrm{c}}}+I_{\mathrm{c}} R_{\mathrm{c}}=0, I_{\mathrm{el}} U_{\mathrm{el}}+P_{\mathrm{cl}}=0, \\ U_{\mathrm{t} 1}-U_0+I_{\mathrm{t} 1} R_{\mathrm{t} 1}=0, U_{\mathrm{t} 2}-U_0+I_{\mathrm{t} 2} R_{\mathrm{t} 2}=0, \\ I_{\mathrm{t} 1}-I_1=0, I_1+I_{\mathrm{c}}-I_2=0, \\ I_2+I_{\mathrm{el}}-I_3=0, I_{\mathrm{t} 2}+I_3=0, \\ U_{\mathrm{tl}}-I_1 R_1-U_{\mathrm{c}}=0, U_{\mathrm{c}}-I_2 R_2-U_{\mathrm{cl}}=0, \\ U_{\mathrm{cl}}-I_3 R_3-U_{\mathrm{t} 2}=0 . \end{gathered} $

(3)

列车制动时，若直流网压满足超级电容启动阈值，超级电容接入电路。该过程的电路仿真模型如图 3所示。式(4)为该过程对应的电压电流方程。

$\begin{gathered} U_{\mathrm{c}}-\frac{P_{\mathrm{c}}}{I_{\mathrm{c}}}+I_{\mathrm{c}} R_{\mathrm{c}}=0, U_{\mathrm{el}}-I_2 R_2-U_{\mathrm{b}}=0, \\ U_{\mathrm{c}}-I_1 R_1-U_{\mathrm{el}}=0, I_{\mathrm{el}} U_{\mathrm{el}}+P_{\mathrm{el}}=0, \\ U_{\mathrm{b}}+I_{\mathrm{b}} R_{\mathrm{b}}=0, I_{\mathrm{c}}-I_1=0 \\ I_2-I_1-I_{\mathrm{el}}=0, I_2+I_{\mathrm{b}}=0 . \end{gathered} $

(4)

1.2 决策变量、目标函数与约束

仿真优化模型的决策变量为超级电容的位置与容量以及牵引装置的位置与容量。本文通过0-1决策变量表示超级电容的位置：若在位置j处放置超级电容，则y_{1, j}=1；否则等于0。超级电容并不是仅能放置在车站中，2个车站之间也可放置。如1.1节所述，超级电容组通过并联进行扩容，因此本文用并联数表示超级电容的容量。若j处的超级电容组并联数为b，则整数决策变量u_j=b。与超级电容的决策变量类似：若在位置j处放置牵引变电装置，则y_{2, j}=1；否则等于0。本文假设线路中放置的牵引变电装置具有相同的规格，并将位置j处并联的牵引变电装置的个数表示为t_j。所有的决策变量可以表示为

$ x=\left(y_{1, j}, u_j, y_{2, j}, t_j\right), j=1, \cdots, J . $

(5)

其中J为可选位置的总个数。

不失一般性，假设放置方案x中，κ个位置上放置了牵引装置。应用1.1节所提出的仿真模型，各个牵引装置在每个时刻的电压电流可以经仿真得到。记第i个牵引装置在时间t的输出电压为$\bar{U}(i, x, t) $、输出电流为$\bar{I}(i, x, t) $。目标函数为牵引能耗，通过对每个牵引装置的输出功率积分得到，

$ e(x)=\sum\limits_{i=1}^\kappa \sum\limits_{t=1}^T \bar{U}(i, x, t) \bar{I}(i, x, t) \Delta t $

(6)

其中T为总牵引时间。

由于直流供电网上的设备需要在合理的电压区间内运行，牵引站的输出电压波动应在一定的范围之内，即

$ \left|\bar{U}(i, x, t)-U_0\right| \leqslant u, \forall i=1, \cdots, \kappa . $

(7)

其中U₀为直流网无负载电压值。

为便于利用序优化方法对问题进行求解，本文将约束违反作为惩罚项加入目标函数中，以松弛电压波动约束，转换后的优化目标为

$\begin{gathered} \min _x J(x)=e(x)+ \\ \lambda \sum\limits_{i=1}^\kappa \max \left(\left|\bar{U}(i, x, t)-U_0\right|-u, 0\right) . \end{gathered} $

(8)

其中λ为非负惩罚系数。

对线路的投资规模直接限定了线路中超级电容以及牵引装置的个数，即：

$ \sum\limits_{j=1}^J y_{1, j} \leqslant Y_1, \sum\limits_{j=1}^J y_{2, j} \leqslant Y_2 . $

(9)

其中：Y₁以及Y₂的值与具体的投资额相关。此外，超级电容的容量以及牵引装置的容量不能超过某个定值，即

$ \sum\limits_{j=1}^J u_j \leqslant Y_3, \sum\limits_{j=1}^J t_j \leqslant Y_4 $

(10)

其中：Y₃以及Y₄的大小同样与具体的投资额有关。若在位置j处放置电容，则需要确定在位置j处的电容的容量，即

$ y_{1, j}=1 \Rightarrow u_j>0, j=1, \cdots, J . $

(11)

否则，对应的容量大小为0，即

$ y_{1, j}=0 \Rightarrow u_j=0, j=1, \cdots, J. $

(12)

对于牵引装置，可以得到类似的约束

$\begin{gathered} y_{2, j}=1 \Rightarrow t_j>0, j=1, \cdots, J ; \\ y_{2, j}=0 \Rightarrow t_j=0, j=1, \cdots, J . \end{gathered} $

(13)

2 基于序优化的求解方法

在优化过程中，需要经过仿真才能获得目标函数J(x) 的值，因此该问题为仿真优化问题。序优化是求解该类问题以及具有类似性质问题的高效方法^[15-17]。本章提出一个基于序优化的模型求解方法。序优化的一个重要思想是，放松优化的目标可以让困难的问题变简单。如果将优化的目标从获得最优解放松为获得“足够好”的解，则求解问题的复杂度会大大降低^[12]。因此，本文的求解目标为获得问题的足够好的解(即前5%的解)。将所有足够好的解组成的集合表示为G。

2.1 均匀采样

根据文[11]，序优化要求候选解满足均匀分布的假设。由于在1.2节中已将电压波动约束作为惩罚项加入目标函数，因此很容易对可行域进行均匀采样。将采样获得的候选解记为

$ \varTheta=\left\{x_1, x_2, \cdots, x_n\right\} . $

(14)

2.2 基于粗糙的模型选出足够好的解

实施精确的电路仿真(即评价式(8)中的目标函数的值)较为耗时，因此很难通过精确仿真选出候选解Θ中足够好的解。序优化指出，通过建立一个计算上高效的粗糙的仿真模型获得Θ中解的大致的相对顺序，即可以高概率获得Θ中足够好的解。本文通过增大仿真步长(即式(6)中的Δt)并降低电压电流方程式(3)和(4)的求解精度，来构造粗糙的模型。将粗糙的模型记为$\hat{J}(x) $，它与精确的模型之间的关系为

$J(x)=\hat{J}(x)+\varepsilon $

(15)

其中ε为误差。基于粗糙的模型，可以高效地获得候选解的近似评价，

$ \hat{J}(\varTheta)=\left\{\hat{J}\left(x_1\right), \hat{J}\left(x_2\right), \cdots, \hat{J}\left(x_n\right)\right\} . $

(16)

从$ \hat{J}(\varTheta)$中挑出表现最好的s个解构成“选中的子集S”，这里s=|S|。根据文[11]，为使S中以高概率(例如95%)包含a个足够好的解，即

$ P(|G \cap S| \geqslant a) \geqslant 95 \% $

(17)

选中的子集S的大小s需要满足

$s=\mathrm{e}^Z a^\rho g^\gamma+\eta $

(18)

其中：g=|G|；Z、ρ、γ以及η在文[11]中通过非线性回归计算，其取值与粗糙模型的顺序表现曲线(ordered performance curve, OPC)和误差等级相关，OPC和误差等级将在第3章中计算。足够好的解集G、选中的子集S和候选集Θ之间的关系如图 4所示。

式(18)中的非线性回归值与模型的OPC以及误差等级相关。序优化将OPC分为5种类型，通过将集合$ \hat{J}(\varTheta)$中的元素归一化后按升序进行排序，可以获得模型的OPC。误差等级用于衡量近似模型的误差，

$ W=\max _{x \in \varTheta}\left|\frac{J(x)-\hat{J}(x)}{J(x)}\right| . $

(19)

基于序优化的算法步骤如下：

Step 1    对解空间进行均匀采样，得到候选解集Θ。

Step 2    依据式(18)计算选中的子集的大小s。

Step 3    使用粗糙的模型对候选解集Θ中的解进行评价，并选出其中前s个表现最好的解，记为集合S。

Step 4    使用精确的仿真模型从S中选出表现最好的解，该解即为一个足够好的解。

3 数值测试

本文仿真模型与求解方法均使用MATLAB R2018a实现，测试平台的CPU为至强W-10855m@4.5 GHz，内存为64 GB。

以青岛市地铁某线路为例进行测试。该线路包含22个车站，将线路起始位置记为0 m，所有车站相对位置为：279，1 105，2 255，4 045，5 735，6 688，9 545，12 291，16 088，19 652，26 452，29 627，35 232，38 098，39 896，42 111，44 468，47 035，49 854，52 082，54 647以及58 093 m。全线被分为4个供电区间，其中车站1—6为第1个供电区间，车站7—11为第2个供电区间，车站12—19为第3个供电区间，车站20—22为第4个供电区间。由于各个供电区间互不相连，4个供电区间的储能装置与牵引装置应分别进行配置。本章首先以第1个供电区间为例，利用2.2节中的算法求出该区间的优化配置方案；然后直接给出其余3个供电区间的优化配置结果。

考虑放置的牵引装置额定功率为1 600 kVA，其他参数如表 1所示。第1个供电区间最多在3个位置上放置牵引装置，且最多放置4套1 600 kVA变电装置，即式(9)中的Y₂=3，式(10)中的Y₄=4。此外，考虑第1个供电区间最多在3个位置上放置超级电容，且最多放置50组超级电容，每组由25个Maxwell 48-V/165-F电容(具体参数见表 1)串联形成，即式(9)中的Y₁=3，式(10)中的Y₃=50。

本文用Gauss-Newton法求解电压电流方程。该方法为经典方法，具体步骤参见文[18]。当线性方程组误差小于某一阈值时，即

$ \|\boldsymbol{F}(x)\|_2=\left\|\begin{array}{c} f_1(x) \\ \vdots \\ f_n(x) \end{array}\right\|_2 <\varphi, $

(20)

求解停止，其中f(x)为电压电流方程。对于精确的仿真模型，φ=0.000 01，仿真步长为0.001 s。对于粗糙的仿真模型，φ=0.01，仿真步长为1 s。本文将候选解的个数设置为1 000，即|Θ|=1 000，用粗糙的仿真模型对候选解进行评价后可得到OPC^[11]。为得到模型的误差等级，本文用精确的仿真模型评估Θ中前10个解的表现，随后由式(19)计算可得W=0.035 6，因此粗糙模型的误差等级为[-0.5, 0.5]。依据OPC和误差等级，可得式(18)中回归参数为Z=8.137 8，ρ=0.897 4，γ=-1.205 8以及η=6；进而依据式(18)可得，s=37。再使用精确模型从选中的集合中选出足够好的解，可得到一个表现位于前5%水平的配置方案，如表 2所示(其他供电区间的配置方案见表 4)。在该配置下，列车单次运行耗电166.8 kW·h，直流网压波动最大值为285 V，满足最大网压波动约束。

表 3为第1个供电区间在不同配置下的性能。其中：第1项“联合优化牵引装置与超级电容”为表 2中配置下的性能，第2项“均匀配置”是指在站1、站3与站6分别配置1套、2套和1套牵引装置以及16组、18组和16组超级电容，第3项“仅优化配置超级电容”是在固定牵引装置(在站1、站3、站6分别放置1套、2套和1套)的情况下优化超级电容配置。由表 3可见，在这3种配置中，联合优化牵引装置与超级电容配置的能耗最小且电压波动的最大值也最小。这一结果说明了本文提出的方法的有效性。此外，第1个位置上配置的电容容量大于其他位置上的电容容量，这是因为列车的制动功率曲线与启动功率曲线在不同站是不同的。本文考虑列车在前3站的峰值制动功率较大，需要具有较大容量的电容来吸收再生制动能量，因而电容配置容量较大。

制动和启动功率曲线受多种因素影响: 1) 列车时刻表与线路客流量。当线路客流量较大或发车间隔较大时，单辆列车上的人数可能会较多^[19-20]，此时车体较重，制动功率与启动功率通常较大；反之，通常较小。2) 线路条件。例如，线路坡度。3) 列车开行方案影响。例如，当列车运行时速较快且制动时间较短时，制动峰值功率较大。上述因素的变动都会对优化结果产生影响。本文中，以上因素均考虑线路运营中的一般情况。由于列车时刻表也能够显著影响再生制动能量的吸收利用效率，列车时刻表与超级电容配置的联合优化值得进一步研究。此外，结合人工神经网络等学习方法也是下一步的研究方向^[21]。

4 结论

针对城市轨道交通系统中列车牵引能耗问题，本文开发了一个联合优化配置牵引装置与储能装置的方法。具体而言，首先开发了一个地铁直流供电网的仿真模型，并基于仿真模型提出了一个综合配置储能装置与牵引装置的仿真优化问题。为高效获得问题足够好的解，本文基于序优化开发了求解方法。该方法能以高概率获得问题足够好的解。在青岛地铁某线路上的数值测试结果表明，本文提出的方法能够限定牵引装置的电压波动并显著降低线路牵引能耗。本文提出的模型与方法将对新型轨道交通系统中的供电装置配置问题产生重要影响。此外，该方法还可以用于优化地铁系统中的其他问题，例如超级电容充放策略。