城市基础设施的持续、稳定运行是维护国家安全、发展社会经济、维持社会稳定及保障人民生活的基础。20世纪末，美国关键基础设施保护总统委员会(PCCIP)和美国关键基础设施保障办公室(CIAO)提出了基础设施系统的定义，是指一个由许多独立运行、功能互通且协同运作的为了生产和分配必需商品和服务的人造系统组成的网络，除各类实体设施外，还包括社会产业、制度、分配关系等非实体设施^[1]。随着社会经济和科学技术的发展，基础设施系统的网络结构越来越复杂，高效率、大体量的运行增加了基础设施系统组分之间的相互关联程度，同时增加了系统的脆弱程度。施加在某一个或若干个组分上的破坏会通过关联性逐级放大，最终甚至可能扩大到整个地区、国家，乃至全球范围^[2]。例如，2008年初，中国中南部遭受特大暴雪侵袭，大雪、结冰和低温对基础设施系统造成了严重的影响。暴雪直接造成电力短缺、交通阻塞，进而导致通信中断、应急系统停摆、经济受损、商业停滞，以及食物、油气、供水短缺等，整个基础设施系统出现了广泛的失效后果，造成经济损失1 111亿元^[3]。

随着城市基础设施系统规模的不断扩大，认识、理解和分析其间的关联性变得越来越重要。国内外学者开展了涉及多个维度、不同学科的研究。Rinaldi等^[2]在2001年指出了基础设施系统相互关联的类型、反馈模式和失效影响，以及建模仿真工作面临的挑战。Zimmerman^[4]、Dudenhoeffer等^[5]、Wallace等^[6]、Zhang等^[7]从不同的角度解释基础设施系统关联性，并按不同的标准进行分类。基于智能体、系统动力学、经济学和拓扑学等多种方法模型被应用到基础设施关联性分析研究中^[8-13]。

在城市关键基础设施系统中，供水和供电系统作为城市的“生命线”，影响着居民的生命安全、正常起居，以及工业部门的运转^[14]。2011年，日本东部发生里氏9.0级地震，供水和供电系统均遭受不同程度的破坏，当日造成70万户居民供水短缺、474万户停电。供水和供电系统恢复90%的供应水平分别花费了41和7 d，对居民的正常生活造成了巨大影响^[15]。供水和供电系统不但功能关键，而且关联紧密。供水系统中的水泵、阀门和控制系统均依赖于供电系统，供电系统组分的失效也会相继造成供水系统中地理位置邻近的相关联组分失效^[16]。郑艺婷等^[17]采用图论和Monte Carlo模拟的方法，定量地分析了地震灾害下供电系统对供水节点可靠性的影响。张超等^[18]对供水和供电系统建立异质网络模型，以节点间物质和能量的传输关系为基础，采用关联失效动力学的方法，分析研究了网络失效的动力学传播的特性，并基于级联失效模式给出了对应的修复策略。

基础设施关联性可以用韧性^[19]、脆弱性^[20]、可靠性^[21]等衡量，但在网络规模较大，包含上千个节点时，往往需要进行大量的计算^[22]。

本文使用某城市区域供水和供电系统的管线测绘数据，分别建立2个基础设施系统的网络模型。之后以拓扑学为基础，基于网络风险容忍度分析框架，定量分析供水和供电网络在外部随机攻击下的风险容忍度。最后，模拟一个供电网络失效导致供水网络受影响的场景，结合供水网络的连通性和风险容忍度，定量给出2个系统间的地理位置关联性。本方法可以通过分析网络的整体拓扑特性，直观地体现网络抵抗外部冲击的能力。

本文提出的关联性分析框架如图 1所示。

图 1 供水和供电网络关联性分析框架

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基础设施系统往往具有一定的地理位置和空间结构，尤其是供水管线、供电线路等网络状系统，所以拓扑学工具是直观地研究网络状基础设施系统关联性的有效手段，其中基于网络的建模方法应用广泛^[8]。该方法以图论为理论依据。可记网络状基础设施系统为网络$G(V, E)$, 其中$V$是所有$n$个节点的集合, $E$是所有$m$条边的集合。供水网络的节点包含水百站、水阀门、用户用水点等, 边指输水管线; 供电网络的节点包含变电站和用户用电点等, 边指输电线。若网络中任意节点都与至少1个其他节点间有至少1条边相连, 则称该网络为连通网络。

在供水和供电网络中，水流和电流沿确定的方向在输水管道和输电线中流动，有向网络能很好地反映这种定向关系，但若只需要考察2个网络的拓扑关联特性且不涉及流、系统控制^[9]或模拟仿真^[23]，则使用无向网络对结果没有影响。本文将建立无向有权网络, 即网络中任意2个节点间仅有最多1条边相连, 且所有的边都没有确定的方向。设权重的集合为$W$, 其元素为边的长度, 则网络为有权网络$G(V, E, W)$^[9]。

建立网络后, 本文将检验建模的合理性。网络分为指数网络与无标度网络, 绝大多数供水和供电网络都是指数网络。对一个连通网络, 定义与节点$i(i=1, 2, \cdots, n)$相连的节点数为节点$i$的度数, 则度数的所有可能取值的集合为$\{1, 2, \cdots\}$。记离散型随机变量$K$的分布律$\mathcal{P}\{K=k\}=P(k)$ ($\mathcal{P}$为概率, $k=1, 2, \cdots)$, 则指数网络的特点为: 1) $P(k)$在$K$的期望$E(K)$处取最大值; 2) 当$k>E(K)$时, $P(k)$呈指数衰减^[24]。特点1的验证方法是显然的，特点2可用计算拟合优度统计量$R^{2}$的方法验证。

本文通过网络直径$d$、节点簇数量$c$和节点簇大小$s_{p}$三个参数来考察网络的风险容忍度。

1) $d$定义为网络中所有任意2个节点间最短路径的平均长度：

其中$l_{u v}$为节点$(u, v)$间最短路径的长度。d可以衡量网络整体的拓扑连通性, 当网络中部分节点失效时, $d$会发生变化。一般去除一定数量的节点后, 在其他条件不变的情况下, $d$变化的程度越大, 网络整体功能的完整性越差, 网络的风险容忍度越低。记从$V$中去除节点的集合为$V_{\mathrm{r}}$, 其元素数记为$\left|V_{\mathrm{r}}\right|$, 定义去除节点比例为

2) $c$和$s_{p}$是碎片化过程中的2个变量。当从$V$中去除$V_{\mathrm{r}}$后, 原本连通的网络$G(V, E, W)$可能被切断, 新网络$G^{\prime}\left(V-V_{\mathrm{r}}, E^{\prime}, W^{\prime}\right)$不再保持连通, 即

其中: $S_{p}(p=1, 2, \cdots, c)$为连通网络, 且$\forall p, q$, 没有任何边将$S_{p}$与$S_{q}$相连通。本文称$S_{p}$为节点簇, $S_{p}$包含的节点数为$s_{p}$。本文将对$c$和$s_{p}$进行以下2方面的分析: 1) 当$f$增大时, 考察$c$和$s_{p}$的变化程度, 变化程度越大, 网络的风险容忍度越低; 2) 当$f$一定时, 考察$s_{p}$的数量分布特征, 给出判断网络$G$是否可以维持一定功能的相关指标^[24]。

当供电网络某区域内的某些组分失效时，供水网络中的一些节点或边可能会因供电不足而失去部分或全部功能。供电与供水网络之间存在地理关联，即供电网络某个空间范围内组分的失效往往会导致供水网络相邻组分的失效^[2]。

为模拟供水和供电网络间地理位置的失效关联性，把城市区域在东西、南北方向划分为(H×V)个矩形网格。假设供水节点需要的电力由距其最近的供电节点提供，当供电网络在某个网格涵盖的地理空间内发生故障时，将该网格内与故障供电节点相邻的供水节点去除^{[18, 25]}(见图 2，其中空心节点表示去除的节点)，以模拟供水节点因断电而失去正常功能的情景。

图 2 按地理位置关联性移除节点的方法示意图

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之后, 计算移除网格$(h, v)(0 <h \leqslant H, 0 <v$ $\leqslant V$, 且$h 、v$均为整数) 内供电网络的所有节点后供水网络的节点簇数量$c_{h v}$和节点簇大小的平均值$\left\langle s_{h v}\right\rangle$, 定义地理位置关联性指标为

$r_{h v}$可以直观地反映供水网络对供电网络的依赖程度。移除节点后, 供水网络中的节点簇越多, 节点簇平均大小越小, 供水网络受影响的程度也就越大, $r_{h v}$也越大。因为不同网格的$\left\langle s_{h v}\right\rangle$大小悬殊, 所以为使$r_{h v}$的值差别不会过大, 分母中有一个对数项。将$r_{h v}$的空间分布按网格坐标绘制成二维灰度图, 可以清晰地判断供水网络中容易受供电网络影响的区域, 得到供水和供电网络地理位置关联性指标的空间分布特征。

本文研究的供水网络(见图 3a)和供电网络(见图 3b)包含的节点和边的数量如表 1所示。本文使用的计算工具是Python，其中与网络有关的计算用NetworkX库来处理。

图 3 某城市区域的供水和供电网络示意图

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本文用角标“w”和“e”分别表示供水和供电网络，以示区分。

对图 3的供水和供电网络分别建立网络$G_{\mathrm{w}}$和$G_{\mathrm{e}}$, 图 4画出了两者节点度数的$P(k)$和插值曲线, 可见$P(k)$在$E(K)$的邻域内取得最大值, 验证了1.1节中指数网络的特征1。此外, 图 4比较了$k>1$时$P(k)$与衰减的指数型函数$F(k)=\alpha \mathrm{e}^{-\beta k}(\alpha>0$, $\beta>0)$的符合程度, 可见两者比较接近, 拟合优度统计量$R^{2}$均接近1, 验证了1.1节中指数网络的特征2。综上, 建立的网络符合指数网络的特点。

图 4 供水和供电网络类型检验

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如1.2节所述, 随着$f$的增大, $d 、c$和$s_{p}$会呈现一定的变化规律。图 5展示了当$f$在[0, 0.9]的范围内取值时, 供水网络和供电网络随机去除节点后, $d 、c 、\left\langle s_{p}\right\rangle$和$s_{p}$的最大值$s_{p}^{\max }$的变化趋势。可见, 随着$f$增大, 各反映风险容忍度的参数均快速减小, 其中$d$的减小幅度最明显, $s_{p}^{\max }$的减小速度最慢。该图表明, 对供水和供电网络而言, 当$f$增大到0.2时, $d$和$\left\langle s_{p}\right\rangle$就已经减小到了一个较低的水平, 此时网络已受到较严重的破坏, 最大的节点簇规模仅为网络总节点数的$1 \%$量级。图 5还展示了$c$的变化趋势。当$f$约小于0.5时, $c$单调增加, 增速逐渐放缓, 并在$f \approx 0.5$处取得最大值; 当$f$约大于0.5后, $c$单调减小, 且减小的速度与增大的速度大致对称。这是因为随着去除节点数的增加, 网络的总节点数减少, 网络规模变小, 当网络规模变小的速度大于因去除节点产生新的节点簇的速度时, 总的节点簇数量就会减少。

图 5 $c 、d 、\left\langle s_{p}\right\rangle 、s_{p}^{\max }$随$f$的变化曲线(模拟1 000次)

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比较而言, 随着$f$的增大, $c_{\mathrm{w}}$和$c_{\mathrm{e}}$的变化程度基本一致, 反映节点簇大小的指标$\left\langle s_{p}\right\rangle 、s_{p}^{\max }$呈现了细微的差别。$\left\langle s_{p}, \mathrm{e}\right\rangle$几乎恒大于$\left\langle s_{p}, \mathrm{w}\right\rangle$; 而$s_{p}^{\max }$在一开始减小较快, 随后降速放缓, $s_{p}^{\max }$在$f$约大于0.25区间内始终大于$s_{p, {\mathrm{w}}}^{\max }$。$d_{\mathrm{w}}$的变化幅度显著小于$d_{\mathrm{e}}$。综上，在承受随机冲击时，从反映节点簇大小特征的指标看，供电网络的风险容忍度略好于供水网络；从反映网络连通程度的指标看，供水网络的风险容忍度显著优于供电网络。当反映节点簇大小特征的指标与反映网络连通程度的指标的权重相当时，供水网络的风险容忍度优于供电网络。

本节讨论当$f$一定时, 各个节点簇大小的分布特征, 如图 6所示。其中, 纵轴为$S_{p}$的相对大小$L_{p}$, 定义为:

图 6 f一定时Lp的分布情况(模拟200次)

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记区间系列$D_{t}=\left[D_{t, 1}, D_{t, 2}\right)(t=1, 2, \cdots, 50)$为$[0, 1)$上均匀的50个区间, 且$D_{1, 1}=0, D_{50, 2}=$ $50, D_{t, 1}=D_{t-1, 2}(2 \leqslant t \leqslant 50)$, 则横轴代表的频数$F_{t}$定义为

随着$f$的增加, 散点有向下、向右移动的趋势, 即节点簇大小减小、节点簇数量增加。这在供水网络中则代表着随着失效组分的增多, 网络整体被分割成越来越多的分立区域，且分立区域的规模整体越来越小, 也就是网络的功能被破坏得越严重。散点也越来越稀疏, 这是指数网络的特性之一, 与3.1节的验证结论相符, 因为无标度网络的散点会随$f$在一定上界内的增加越来越密集^[24]。当$f=0.2$时, 大小为总节点数$1 \%$量级的节点簇占据主要地位, 数量已达到10³量级。这与3.2.1节中的现象均表明, 为维持灾害或事故下供水和供电网络的基本正常运转, 可通过扩大管线规模、管道延性改造^[26]、加入支线环线^[27]等降低网络脆弱性的方式避免$f$或其等效参数不大于某个小于0.2的临界值。

另外，随着f的增加，散点的分布越来越接近一个指数函数，设其表达式为

其中$a$和$b$为待定系数。两待定系数随$f$的变化趋势如图 7所示, $a, b$均在$f$的一个小邻域中波动, $a$总体呈下降趋势, $b$则是先减小, 而后缓慢增大。图 6显示, 当$f$很小时, 用式(7) 拟合的结果并不好, 所以可认为从散点分布开始有指数函数的特征后$(f$约大于0.08, 见图 7), $a$减小, $b$增大。供水和供电网络两参数值的大小也呈现出较显著的差别, 当$f <0.04$时, $a_{\mathrm{w}}$和$b_{\mathrm{w}}$均分别大于$a_{\mathrm{e}}$和$b_{\mathrm{e}}$; 随着$f$的继续增大, 两网络的2个拟合参数逐渐趋于一致, 其中$a_{\mathrm{w}}$和$a_{\mathrm{e}}$的值几乎相等, $b_{\mathrm{e}}$则是略大于$b_{\mathrm{w}}$。待定系数$a$和$b$的变化特点说明, 当$f>$ 0.04时, $a$和$b$可用作评估两网络的风险容忍度差别, $a$更大、$b$更小的网络风险容忍度更好。

图 7 待定系数a和b随f的变化趋势

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用式(7)拟合的结果可以在f不太小时反映供水和供电网络遭受外界随机冲击后被破坏的程度，对灾后基础设施的功能评估有一定的参考价值。

图 8展示了$10 \times 6 、15 \times 10 、20 \times 15$三种不同网格数下$r_{h v}$的空间分布。对比可知, 图中右下角范围$(1000 \mathrm{~m}<x <1750 \mathrm{~m}, 250 \mathrm{~m}<y <750 \mathrm{~m}$) 内的$r_{h v}$最大, 而此处节点分布密集, 有多个输水管线交叉, 若受到破坏则会对整个供水网络造成最大的影响。此外, 该城市区域的西北部分和中部偏西的$r_{h v}$也较大。但并不是所有供水系统组分分布密集处的$r_{h v}$都较大, 如该城市区域的中部、东部和东北部, 虽然管线分布密集, 但$r_{h v}$较小, 说明这些区域电力中断对供水的影响可能仅限于邻近的小部区域内, 而系统内的其他区域则不会出现广泛的失效现象; 尤其在西南区域，此处同向管线间的间隔相对较短, $r_{h v}$却较小。

图 8 不同网格数下rhv在网络中的空间分布

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因此, 对该城市区域而言, $r_{h v}$分布, 即供水对供电网络的依赖程度相关性的分布与网络的拓扑结构间的相关性体现在，供水网络中$r_{h v}$较大的区域均沿输水管线分布, 且在某些管线交叉点处有明显增大，但大部分管线交叉处的$r_{h v}$为相对低的水平。这说明直觉地通过观察供水系统组分的密集程度来判断某区域供水系统的正常运行是否很大程度上依赖于供电系统保持正常功能是不准确的, 本文提出的基于风险容忍度的关联性度量模型在识别关联基础设施系统关键组分方面在应用层面有很好的参考价值。

本文在风险容忍度框架下定量研究了某城市区域的供水和供电网络的关联性。以供水和供电网络的网络模型为基础，基于该框架有关概念和若干参数如网络直径、节点簇数量、节点簇大小等，研究了供水和供电网络在外界随机冲击下的风险容忍度表现，并分析了节点簇大小的分布。以风险容忍度分析为基础，本文研究了供水与供电两基础设施网络间的地理位置关联性，指出了地理关联下供水网络易受断电影响的关键区域。本文的研究结果为有关部门进行基础设施防护、规划、应急处置和韧性提升等提供了支撑和参考。