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清华大学学报（自然科学版） >

2025 , Vol. 65 >Issue 10: 2000 - 2016

DOI: https://doi.org/10.16511/j.cnki.qhdxxb.2025.27.040

航空航天与工程力学

旋流预混火焰仿真主控模型参数分析及优化

  • 陈璠 1, 2 ,
  • 张曼玉 1 ,
  • 杨志鹏 2 ,
  • 朱旭 2 ,
  • 莫毅 1 ,
  • 周华 2 ,
  • 任祝寅 , 2, *
展开
  • 1. 中国航空发动机研究院, 北京 101304
  • 2. 清华大学 航空发动机研究院, 北京 100084
任祝寅，教授，E-mail:

陈璠(1991－)，男，博士研究生

收稿日期: 2024-11-25

  网络出版日期: 2025-09-11

基金资助

国家自然科学基金国家杰出青年科学项目(52025062)

先进航空动力创新工作站项目(HKCX2024-01-026)

版权

版权所有，未经授权，不得转载。
收起

Analysis and optimization of key model parameters in turbulent swirling premixed flame simulations

  • Fan CHEN 1, 2 ,
  • Manyu ZHANG 1 ,
  • Zhipeng YANG 2 ,
  • Xu ZHU 2 ,
  • Yi MO 1 ,
  • Hua ZHOU 2 ,
  • Zhuyin REN , 2, *
Expand
  • 1. Aero Engine Academy of China, Aero Engine Corporation of China, Beijing 101304, China
  • 2. Institute for Aero Engine, Tsinghua University, Beijing 100084, China

Received date: 2024-11-25

  Online published: 2025-09-11

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摘要

目前燃烧仿真软件中的湍流燃烧模型能够对多种典型燃烧室开展仿真计算，但其预测精度受模型参数影响较大，工程实践中往往需要进行多次的模型参数的调整才能实现仿真结果的优化。如何在湍流燃烧多模型耦合计算中准确量化各模型参数对仿真结果的影响，进而实现对模型参数的校准优化，成为燃烧仿真软件研制面临的瓶颈问题。基于此，该研究选取具有预混燃烧典型特征的非受限强旋流贫油预混火焰，基于活性子空间方法对现有湍流燃烧模型的仿真误差进行了分析，结果表明火焰加厚因子最大值是该旋流预混火焰温度和轴向速度误差的主控模型参数。进而根据活性子空间方法的降维结果，构建了多维参数输入空间的低维响应面，并提出一套基于活性子空间方法的多模型参数优化流程，基于该优化流程对湍流燃烧模型关键参数进行校准，使用简单遗传算法单独对温度或速度进行优化时，关键截面温度平均误差和轴向速度平均误差分别降低7.58%、42.60%；采用带精英策略的非支配排序遗传算法同时对温度和速度进行优化时，关键截面温度平均误差和轴向速度平均误差同时降低1.08%和2.96%，这实现了预混火焰温度和轴向速度仿真精度的大幅提升。

关键词： 湍流燃烧仿真; 旋流预混火焰; 活性子空间方法; 模型参数优化; 低维响应面

本文引用格式

陈璠 , 张曼玉 , 杨志鹏 , 朱旭 , 莫毅 , 周华 , 任祝寅 . 旋流预混火焰仿真主控模型参数分析及优化[J]. 清华大学学报（自然科学版）, 2025 , 65(10) : 2000 -2016 . DOI: 10.16511/j.cnki.qhdxxb.2025.27.040

Abstract

Objective: Turbulent combustion models embedded in current combustion simulation software have successfully predicted performance across various combustor configurations. However, their accuracy is highly sensitive to model parameters, which must be iteratively adjusted and optimized in engineering practice to accommodate diverse combustor geometries, fuel types, and operating conditions. Thus, analyzing the main control mechanisms of turbulent combustion and establishing effective model parameter calibration and optimization processes are crucial for enhancing the prediction accuracy and reliability of combustion simulation software. Methods: This study selects an unconfined, strongly swirling lean premixed flame as the research object. It uses the active subspace method to analyze the effects of the key model parameters of the delayed detached eddy simulation turbulence model and dynamically thickened flame combustion model on the simulation errors of flame temperature and axial velocity. By identifying the high-dimensional mapping direction with the maximum gradient and retaining the main influencing directions in the parameter space, this method reduces dimensionality, based on which a low-dimensional response surface can be constructed for the multidimensional parameter input space. Furthermore, this study proposes a multimodel parameter optimization method that combines the active subspace method, a simple genetic algorithm, and the nondominated sorting genetic algorithm Ⅱ (NSGA-Ⅱ). Specifically, in the analysis of the main control mechanisms, the active subspace method is applied to the TECFLAM flame with the typical swirling premixed characteristics of combustors. Simulation calculations are performed to obtain parameters such as the turbulent dissipation coefficient and maximum flame thickening factor under different values. This helps in identifying the main control mechanisms by which these parameters affect simulation accuracy for the target variables like flame temperature and axial velocity, thereby revealing the parameter optimization direction for improving the accuracy of turbulent combustion simulations. Moreover, the proposed multimodel parameter optimization method for combustor simulations is used to optimize seven key turbulent combustion model parameters of the delayed detached eddy simulation turbulence model and dynamically thickened flame combustion model, including the turbulent dissipation coefficient and maximum flame thickening factor for a typical swirling premixed flame simulation case. Results: Results show that (1) the maximum flame thickening factor is the primary model parameter controlling the temperature and axial velocity errors of swirling premixed flame. (2) Calibrating the key parameters of the turbulent combustion model via the optimization process reduces the average temperature error at critical sections by 7.58% and the average axial velocity error by 42.60% when using the simple genetic algorithm alone. When using elitist NSGA-Ⅱ, the average temperature error at critical sections decreases further by 1.08%, and the average axial velocity error reduces by 2.96%. (3) The optimized model parameters significantly enhance simulation accuracy for typical swirling premixed flames, verifying the effectiveness of the proposed method. Conclusions: The proposed multimodel parameter optimization method effectively improves simulation accuracy for typical swirling premixed flames. It is applicable not only to resolve the parameter optimization problems of turbulent combustion models with the swirling premixed flame characteristics but also offers a new approach for circumventing multiparameter optimization issues in more complex two-phase simulations of combustors, including atomization, evaporation, turbulence, and combustion models.

Key words： turbulent combustion simulation; swirling lean premixed flame; active subspace method; parameter optimization; low-dimensional response surface

燃烧室作为航空发动机三大核心部件之一，内部物理化学过程多变且相互耦合，这对高保真模拟提出了极大挑战[1]。自20世纪70年代，国内外陆续开展了大量针对航空发动机燃烧室数值仿真的研究，在物理模型、数值方法等方面实现了快速发展[2]。然而，燃烧室仿真包含的湍流模型、燃烧模型、化学反应动力学模型等，涉及大量不确定性模型参数且相互之间存在强关联，导致仿真精度及置信度难以保证[3-5]，因此，燃烧室仿真中的不确定性研究成为了国内外关注的焦点。NASA在CFD2030展望报告中明确将不确定性列为必须深入发展的关键研究方向，并提出在2025年之前需要实现不确定性在CFD中的传递[6]。针对燃烧室仿真中的不确定性开展研究，对于提升仿真精度具有重要意义。
其中，湍流燃烧是燃烧室仿真的关键难点，国内外学者针对湍流燃烧模型中的参数不确定性开展了大量研究，研究大多集中在单一模型、少量参数的不确定性分析上[7-11]。例如Mishra等[10]使用特征空间摄动方法量化了RANS模型格式不确定性对高速射流平均轴向速度和湍动能的影响；Huan等[11]基于HIFiRE超燃冲压发动机采用全局敏感性分析(global sensitivity analysis，GSA)方法在Smagorinsky模型中识别出6个主控不确定性模型参数，并利用随机Bayes方法进行参数优化。
从全局敏感性角度准确量化多模型参数对仿真结果的影响，是当前重要的研究方向，但高维非线性问题给开展相关研究带来了极大挑战。由Constantine等[12]提出的活性子空间(active subspace，AS)降维方法能有效解决高维输入参数导致的“维度灾难”问题，常用敏感性降维方法，如主成分分析(PCA)法，是通过识别数据集中数据方差最大的方向，只保留影响较大的输入参数以实现降维，活性子空间方法则是通过识别梯度最大的高维映射方向，保留参数空间中影响较大的方向以达到降维的目的，这些方向是输入参数的线性组合，因此不会忽略任一参数对结果的影响，
能够在最大程度降维的同时保证精度，物理可解释性更强，同时通过建立输入输出的映射关系，可直接得到低维响应面预测模型，因此，活性子空间方法在近年来被大量学者应用到主控物理机制分析、敏感性传递及构型优化上。例如Ji等[13]基于活性子空间方法研究了Cabra射流火焰化学反应动力学模型不确定性对点火延迟时间和层流火焰速度的影响，并提出可降低分析成本的共享子空间方法；Wang等[14]基于活性子空间方法提出了可对海量参数空间进行大幅降维的连续降维方法，并利用该方法研究了B-K超声速壁面射流火焰21个不确定速率常数、4个物理不确定参数对火焰推举长度的影响，揭示了超声速湍流射流火焰的主控物理机制，得到了物理化学模型参数和边界条件不确定性的传递规律；Wei等[15]利用活性子空间方法对设计目标进行参数缩减和低维响应面设计，指导超声速燃烧室的几何构型优化。然而，目前活性子空间方法在湍流燃烧模型参数优化方面研究较少，具有较大研究空间和价值。
由中国航空发动机研究院牵头研发的燃烧仿真软件，基于JAUMIN框架[16]集成了离散求解算法和多类适用于发动机燃烧室仿真模拟的高精度优势物理模型，可对湍流、雾化、蒸发、化学反应等复杂的两相湍流燃烧过程进行建模仿真[17]。本文基于该软件开展研究，将活性子空间方法与遗传算法相结合，选取典型强旋流预混燃烧特征的基础火焰，进行了湍流燃烧过程中的参数主控物理机制研究，建立了一套基于活性子空间方法的多模型参数优化流程，并开展模型参数的校准优化。

1 物理模型及优化方法

本文选取了典型的强旋流预混燃烧火焰TECFLAM开展研究。TECFLAM火焰最早由Dreizler等[18]提出并开展实验，拥有丰富的实验数据，已有大量研究者基于该火焰开展了关于湍流燃烧模型、湍流燃烧相互作用和火焰结构等研究工作[19-22]。
TECFLAM燃烧器在进口位置将甲烷和空气进行充分的掺混，然后经过旋流叶片进入主要燃烧区域，该燃烧区域相比真实燃烧室是非受限空间。燃烧器周围通过冷态空气伴流，隔绝了实验室环境对火焰的影响。同时，燃烧器中心是直径为30 mm的中心钝体，经水冷可维持在约353 K的温度。
本文利用延迟分离涡混合模拟(delayed detached eddy simulation，DDES)方法和动态加厚火焰面模型(dynamic thickened flame，DTF)，结合甲烷单步化学反应机理，对TECFLAM火焰热态工况进行模拟。为简化网格忽略了旋流叶片结构，通过给定进口切向速度来替代旋流条件，并采用ANSYS ICEM软件生成了约84万个网格。其中，周向方向分布80个网格，旋流入口径向分布20个网格，伴流入口径向分布50个网格，出口径向分布100个网格，来流段流向分布40个网格，燃烧室内部流向分布80个网格，网格划分如图 1所示。
图 1 TECFLAM流体域网格示意图
本文选定热负荷在30 kW下的实验工况，旋流数设置为0.75，甲烷空气当量比设置为0.83。预混气的总体积流量为37.92 m3/s，旋流器的8个切向通道，承担了总体积流量的60%，剩余的40%体积流量由8个径向通道提供，基于体积流量换算出进口的轴向速度和切向速度。具体边界条件设置如表 1所示。
表 1 TECFLAM火焰边界条件
边界条件 旋流入口 伴流
入口内径/mm 30 100
入口外径/mm 60 360
轴向速度/(m·s-1) 5.0(平均值) 0.5
切向速度/(m·s-1) 5.23(平均值) 0
进口温度/K 300 293
YCH4 0.046 1 0
YO2 0.222 3 0.233 0
YN2 0.731 6 0.767 0

注：YCH4、YO2、YN2分别为甲烷质量分数、氧气质量分数和氮气质量分数。

1.1 湍流燃烧模型及参数

1.1.1 延迟分离涡混合方法

燃烧室内流动复杂，工程领域常选用Reynolds平均Navier-Stockes(Reynolds average Navier-Stockes，RANS)模型开展仿真计算，能够较为准确地预测无分离或小分离的内部流动。大涡模拟(large eddy simulation，LES)方法比RANS模型能够更加准确地预测出大分离等具有明显非定常特性的流动特征，但LES方法的计算量巨大，难以应用于大规模的工程计算。为此，DDES方法综合LES和RANS的优点，在RANS模型的基础上，引入大涡模拟尺度判据方法[23-26]，可在保证精度的同时节省计算网格数。本文选取基于双方程SST(shear stress transport)模型发展的DDES方法开展研究。
DDES方法的k方程及ω方程可表示为如下形式：
$\begin{gathered}\frac{\partial \rho k}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \vec{U} k)= \\\nabla \cdot\left[\left(\mu+\frac{\mu_{\mathrm{t}}}{\sigma_k}\right) \nabla k\right]+P_k-\rho \sqrt{k^3} / I_{\mathrm{DDES}}, \end{gathered}$
$\begin{gathered}\frac{\partial \rho \omega}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \vec{U} \omega)=\nabla \cdot\left[\left(\mu+\frac{\mu_{\mathrm{t}}}{\sigma_\omega}\right) \nabla \omega\right]+ \\2\left(1-F_1\right) \rho \frac{\nabla k \nabla \omega}{\sigma_{\omega 2} \omega}+\alpha \frac{\rho}{\mu_{\mathrm{t}}} P_k-\rho \beta \omega^2 .\end{gathered}$
其中：k、ω、μ、μt和F1分别为湍动能、湍频率、动力黏性系数、动力湍流涡黏性系数和SST模型混合函数；t为时间、ρ为密度、$ \vec{U}$为速度矢量、β为耗散项系数；σk，σω，σω2为SST模型常数，σk和σω可通过权重函数$ \phi=F_1 \phi_1+\left(1-F_1\right) \phi_2$计算得到，ϕ1和ϕ2分别指代k-ω模型和k-σ模型中的系数，σk，σω可表示为
$\sigma_k=\frac{1}{F_1 / \sigma_{k 1}+\left(1-F_1\right) / \sigma_{k 2}}, $
$\sigma_\omega=\frac{1}{F_1 / \sigma_{\omega 1}+\left(1-F_1\right) / \sigma_{\omega 2}}.$
Pk和IDDES分别为k方程生成项和DDES方法混合长度，表示如下：
$P_k=\min \left(\mu_{\mathrm{t}} \boldsymbol{S}^2, 10 \beta^* \rho k \omega\right), $
$I_{\mathrm{DDES}}=I_{\mathrm{RANS}}-f_{\mathrm{d}} \max \left(0, I_{\mathrm{RANS}}-I_{\mathrm{LES}}\right), $
$I_{\mathrm{LES}}=C_{\mathrm{DES}} \Delta, $
$I_{\mathrm{RANS}}=\frac{\sqrt{\kappa}}{\beta^* \omega} .$
其中：ILES、IRANS、CDES、Δ、S2、κ和β*分别为LES模型的长度尺寸、RANS模型的长度尺寸、交界面系数、3个方向网格间距的最大值、速度散度、Von Karman常数和湍流耗散项系数；fd为延迟函数，可降低模型对网格密度的过分依赖，延缓RANS区域向LES区域的过早转换，能够较好地模拟出近壁边界层内的速度脉动，一定程度上可以缓解或避免非物理的网格诱导分离。
从DDES方法的控制方程可知，为实现模型封闭引入了多个参数，可根据实际应用在一定范围内调节[27-28]。其中，β*主要影响湍流模型对湍流耗散率的预测，较大的β*取值会增强湍动能耗散导致湍动能降低，β*取值过小则可能导致对湍动能的过度预估，参考文[27]中剪切流的实验数据，本文设定其取值范围为0.05~0.14；κ主要影响湍流模型对湍流剪切应力的预测，增大κ取值会增强壁面边界层的湍流黏性，降低近壁面速度梯度，进而导致边界层分离延迟，减小κ取值则可能会加剧边界层的流动分离，参考文[28]设定其取值范围为0.33~0.45；σk1和σω1为k方程和ω方程扩散项系数，参考文[27]设定其取值范围为1.0~2.0；CDES可以决定混合方法RANS与LES的交界面位置，其数值增大会延迟RANS向LES转换，在最早分离涡模拟方法中，依据各向同性湍流实验将其标定为0.65，而传统的LES中其常被设置为0.18[29]，为此本文将其范围设定为0.18~0.65。表 2展示了DDES方法中待研究的可调模型参数及其范围，并在最后一列中列出了参数的基准值即名义值。
表 2 延迟分离涡混合方法待研究模型参数及其范围
参数 含义 取值范围 名义值
β* 湍流耗散项系数 0.05~0.14 0.09
κ Von Karman常数 0.33~0.45 0.42
σk1 k方程扩散项系数 1.000~2.000 1.176
σω1 ω方程扩散项系数 1.0~2.0 1.0
CDES 交界面系数 0.18~0.65 0.65

1.1.2 动态加厚火焰面模型

燃烧模型是燃烧室湍流燃烧仿真的核心，负责计算反应速率、组分输运、温度变化等。动态加厚火焰面模型[30-31]通过增大扩散系数、降低反应速率和人为增大火焰厚度实现在较粗网格下准确模拟火焰结构，可用于对燃烧室内预混、非预混和部分预混火焰的模拟。DTF模型质量分数与焓输运方程可表示为
$\begin{gathered}\bar{\rho} \frac{\partial \widetilde{Y}_i}{\partial t}+\nabla \cdot\left(\bar{\rho} \widetilde{u} \widetilde{Y}_i\right)-\nabla \cdot\left(\bar{\rho} \widetilde{D}_{\text {eff }} \nabla \widetilde{Y}_i\right)= \\\nabla \cdot(\bar{\rho} \widetilde{u}) \widetilde{Y}_i+\frac{E}{F} \bar{\rho} \dot{\omega}_i,\end{gathered}$
$\begin{gathered}\bar{\rho} \frac{\partial \widetilde{h}}{\partial t}+\nabla \cdot(\bar{\rho} \widetilde{\boldsymbol{u}} \widetilde{h})-\nabla \cdot\left(\bar{\rho} \widetilde{D}_{\text {eff }} \nabla \widetilde{h}\right)= \\\nabla \cdot(\bar{\rho} \widetilde{\boldsymbol{u}}) \widetilde{h} .\end{gathered}$
其中：$ \bar{\rho}$为滤波后的密度，$ \widetilde{\boldsymbol{u}}$为滤波后的速度矢量，$ \widetilde{Y}_i$、$ \widetilde{h}$、E、F和$ \dot{\omega}_i$分别为第i种组分浓度、焓、效率函数、加厚因子和生成速率。$ \widetilde{D}_{\mathrm{eff}}$为扩散系数，按照加厚火焰面模型理论，将扩散系数增大F倍，即扩大火焰面厚度，利于计算网格解析燃烧反应区，同时将反应指前因子减小至原先的1/F，保证整体燃烧反应速率不变。E的表达式如下：
$E=\frac{1+\alpha \varGamma_0 \frac{u_{\Delta_{\mathrm{e}}}^{\prime}}{s_1^0}}{1+\alpha \varGamma_1 \frac{u_{\Delta_{\mathrm{e}}}^{\prime}}{s_l^0}} .$
其中：$ \left(1+\alpha \varGamma \frac{u_{\Delta_{\mathrm{e}}}^{\prime}}{s_1^0}\right)$为皱褶因子，$ u_{\Delta_{\mathrm{e}}}^{\prime}$为亚格子湍流脉动，Γ为褶皱效率函数，对应下标0代表未加厚前的火焰、下标1代表已加厚的火焰。参数$ \alpha=\alpha_0 \cdot \frac{2 \ln (2)}{3 c_{\mathrm{ms}}\left[\xi \sqrt{R e_{\mathrm{t}}}-1\right]} \propto R e^{-1 / 2}$，其中α0为量级为1的模型参数; ξ为取值为0~1.0的修正系数，影响较小湍流涡团对火焰面褶皱能力的补偿程度；cms为模型系数，常设为0.28；Ret为积分尺度下的Reynolds数。
F 的表达式如下:
$F= \begin{cases}1+\left(F_{\max }-1\right) \theta(\varOmega), & \mathrm{FI} \geqslant 0 \text { 且 } F_{\max } \geqslant F_{\mathrm{m}} ; \\ F_{\mathrm{m}}, & \mathrm{FI} \geqslant 0 \text { 且 } F_{\max }＜F_{\mathrm{m}} ; \\ 1, & \mathrm{FI}＜0 .\end{cases}$
其中：Ω表示火焰探测函数，用于确定火焰面位置；θ(Ω)为火焰激活函数，作用是动态调整F值，实现在火焰区域内进行加厚处理，在火焰区域外则平滑过渡至1；FI为火焰因子，用于区分预混燃烧和非预混燃烧模式；Fmax为加厚因子最大值，用于定义加厚火焰厚度的上限，控制火焰在流场中的传播速度，较小的值会限制火焰厚度。因F值与所在网格尺度相关，根据所在网格尺度与火焰厚度的比，能够得到Fm，即加厚因子最小值；若Fmax＜Fm，则F动态调整至Fm。本文在TECFLAM火焰锋面附近的网格尺度约为0.5~1.2 mm，并根据进口工况可计算出火焰厚度约为0.5 mm，则在火焰面处Fm在1.0~3.0的范围内变化。在考虑网格分辨率与计算稳定性的前提下，为充分研究火焰增厚对湍流燃烧仿真的影响，将Fmax取值范围设定在1.0~14.0。表 3展示了DTF模型中待研究的模型可调参数及其范围。
表 3 动态加厚火焰面模型待研究模型参数及其范围
参数 含义 取值范围 名义值
Fmax 加厚因子最大值 1.0~14.0 10.0
ξ 皱褶因子参数修正系数 0~1.0 1.0

1.2 基于活性子空间方法的主控参数分析和优化

1.2.1 活性子空间方法

活性子空间方法通过对梯度的协方差矩阵进行特征分解，得到活跃特征方向，构建输入参数低维子空间，利用输入参数在该子空间的投影得到活跃变量，实现对参数空间的降维[32-33]。在高维参数空间识别出影响较大的梯度方向，该方向为输入参数的线性组合，保留了所有参数的影响，基于此可开展主控物理机制分析。同时，利用活性子空间方法得到的降维结果可直接用于代理模型构建，简化了优化问题的复杂度，即通过建立的低维响应面构造目标量代理模型开展参数优化。
活性子空间方法具体是通过在m维输入参数空间$ x \subseteq R^m$中识别出对应于目标量f(x)(quantity of interest，QoI)梯度$ \nabla_x f$的协方差矩阵 C做特征分解，识别出f(x)变化最显著的参数变化方向即$ \hat{\boldsymbol{W}}=\left[\boldsymbol{W}_1, \cdots, \boldsymbol{W}_r\right]$，这些方向所张成的空间即为活性子空间。
$\boldsymbol{C}=\int\left(\nabla_x f\right)\left(\nabla_x f\right)^{\mathrm{T}} \pi(x) \mathrm{d} x=\boldsymbol{W} \boldsymbol{\varLambda} \boldsymbol{W}^{\mathrm{T}} .$
其中：π(x)表示输入参数x的概率密度分布函数。
特征值反映了f(x)沿特征值对应的特征向量方向的变化情况，若$ \lambda_n \gg \lambda_{n+1}(n＜m)$，则可以将特征值与特征向量分成如下2部分：
$\boldsymbol{\varLambda}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{\varLambda}_1 & \\& \boldsymbol{\varLambda}_2\end{array}\right), \boldsymbol{W}=\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{W}_1 & \boldsymbol{W}_2\end{array}\right) .$
当λn+1, ···, λm相对较小时，f(x)可采用活性子空间的低维模型近似，将输入参数维度由m维降为n维，即：
$f(x) \approx g\left(\boldsymbol{W}_1^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}\right)=g(y) .$
对于复杂的映射系统，从输入参数到目标量映射的梯度$ \nabla_x f$无法直接解析得到，通常采用近似方法实现，常用的近似方法有全局线性拟合、全局二次拟合等。
全局线性拟合近似适用于x相对f(x)具有一维结构的情况，假设存在一维活性子空间$ f(x) \approx b_0+\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}_1, \nabla_x f \approx \boldsymbol{b}_1$，则f(x)梯度向量的协方差矩阵特征值为：
$B=\int \boldsymbol{b}_1 \boldsymbol{b}_1^{\mathrm{T}} \rho(x) \mathrm{d} x=\boldsymbol{b}_1 \boldsymbol{b}_1^{\mathrm{T}}=\hat{\boldsymbol{w}} \hat{\boldsymbol{\varLambda}} \hat{\boldsymbol{w}}^{\mathrm{T}}.$
其中，$ \hat{\boldsymbol{\varLambda}}=\left\|\boldsymbol{b}_1\right\|_2^2$, 将系数矩阵归一化$ \hat{\boldsymbol{w}}=\boldsymbol{b}_1 / \left\|\boldsymbol{b}_1\right\|_2$，$ \hat{\boldsymbol{w}}$为输入空间的活跃方向，其展成的空间$ \boldsymbol{S}=\operatorname{span}\{\hat{\boldsymbol{w}}\}$，即为x到f映射空间的一维活性子空间，各分量为输入参数的全局敏感性系数。b1为多元线性回归系数向量，可通过最小二乘法(OLS)求解得到。
对于x相对f(x)不存在一维活性子空间时，可采用全局二次拟合近似[12]，假设$ f(x) \approx \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+ \boldsymbol{c}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+d, \nabla_x f \approx \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{c}$，则f(x)梯度向量的协方差矩阵特征值为
$\hat{\boldsymbol{C}} \approx \int(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{c})(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{c})^{\mathrm{T}} \pi(x) \mathrm{d} x=\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{c} \boldsymbol{c}^{\mathrm{T}}.$
其中：A为m×m对称矩阵，c为m×1向量，d为常数。
基于上述得到活性子空间低维响应面$ g\left(\boldsymbol{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}\right) $，其中$\boldsymbol{w}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}$为各输入参数在活跃方向上的投影称为活跃变量。通过活跃方向向量w的分量可以给出参数的全局敏感性信息，同时，通过低维响应面表达式与活跃变量表达式，可以直接构建目标量与输入参数代理模型，同时基于该代理模型可直接寻找全局最优解，极大简化优化流程、降低计算成本，敏感性分析的结果还可以用于初步预测参数优化的调控方向。

1.2.2 基于活性子空间的参数优化流程

基于获得的活性子空间低维响应面，需要选取高效的全局寻优算法避免局部最优解的出现。遗传算法作为一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法[34]，主要包括选择、交叉、变异、进化4个基本操作[35]，如图 2所示，相比常规优化算法，能较快地优化出较好的结果。
图 2 遗传算法基本操作示意图

注：图中色块颜色分别表示不同个体, 带×标记的色块表示被淘汰的个体。

选择操作需要以个体适应度作为评价指标，个体适应度函数的优劣决定了遗传算法的性能与优化结果的准确性[36]。一般来说，如果目标函数在x的定义域内值域非负，则可以直接将目标函数作为适应度函数。由于本文中所有目标函数均在定义域内为正，可直接使用目标函数作为适应度函数。本文将基于活性子空间方法确定的目标量与输入参数代理模型作为目标函数，结合遗传算法与活性子空间方法，建立了一套基于活性子空间的参数优化方法，流程如图 3所示。根据处理优化问题的类型，选择相匹配的单目标遗传算法或多目标遗传算法。
图 3 基于活性子空间方法的模型参数优化方法流程

2 主控模型参数分析

本文选取了距旋流出口轴向距离分别为10 mm、20 mm、30 mm和60 mm的四个位置，对这四个轴向位置处的36个径向截面的仿真值进行了周向平均。由于60 mm处已位于火焰末端，因此所得数据可基本表征火焰完整的速度场及燃烧场。模型参数取名义值时，截面温度径向分布的仿真值与实验值的对比结果如图 4所示，由图可知，中心火焰最高温度仿真值较实验值偏高，从中心火焰区到低温伴流区，仿真值与实验值相比，温度开始下降的径向区域偏大且温度变化梯度更大，温度径向扩散强度更弱；各截面温度在径向位置30 mm内仿真值与实验值的偏差均较大，但整体趋势较为一致。
图 4 各特征截面温度径向分布与实验值对比(模型参数为名义值时)
模型参数取名义值时，轴向速度径向分布的仿真值与实验值的对比结果如图 5所示，由图可知，10 mm和20 mm处仿真值偏低，表明对中心回流区的预测不足；60 mm处模拟回流速度偏大；各截面轴向速度在径向位置30 mm内仿真值与实验值的偏差均较大，但整体趋势较为一致。
图 5 各特征截面轴向速度径向分布与实验值对比(模型参数为名义值时)
本文根据β*、κ、Fmax等7个模型参数的取值范围，采用拉丁超立方(Latin hypercube sampling, LHS)设计方法确定由各个模型参数构成的参数空间内的样本点集。LHS方法是假设存在n维参数空间，某一维度坐标点xi∈[ai, bi], i=1, 2, …, n。确定取值数量为s个，则将每一维度变量xi的定义域[ai, bi]分为s个小区间，于是整个参数空间被分为sn个超立方体；随机产生一个n×s阶矩阵 M，M的每一列都是一个{1, 2, …, n}的随机全排列，该矩阵称为拉丁超立方体；矩阵 M的每一行对应被选中的一个超立方体，在这个超立方体中随机选取一个样本点，即可得到s个样本点[37]。利用该方法取样61组样本点，并对所有样本点进行仿真计算获得样本数据。图 6、图 7分别绘制了所有样本在各特征截面的温度与轴向速度径向分布。由图可知，通过调整模型参数会对仿真值产生显著影响。中心火焰最高温度在不同样本中相差约200 K，温度的径向扩散以及下降梯度也有明显变化，回流区速度变化相差约2 m/s，轴向速度沿径向的梯度也有较大差异。
图 6 61组样本在各特征截面温度径向分布
图 7 61组样本在各特征截面轴向速度径向分布
本文为直观比较仿真值与实验值，分别选取不同截面的温度和轴向速度的误差作为目标量，并基于选取的目标量开展主控物理机制分析及模型参数优化的研究。
目标量1(温度误差)：
$\begin{gathered}G_1(X)=\Delta T=\left\|T_{\text {sim }}-T_{\exp }\right\|_1= \\\sum\limits_i^N\left|T_{\text {sim }}-T_{\exp }\right| .\end{gathered}$
其中：Tsim和Texp分别表示温度的仿真值和实验值，N为选取的截面总数。
目标量2(轴向速度误差)：
$\begin{gathered}G_2(X)=\Delta V=\left\|V_{\text {sim }}-V_{\text {exp }}\right\|_1= \\\sum\limits_i^N\left|V_{\text {sim }}-V_{\text {exp }}\right| .\end{gathered}$
其中：Vsim和Vexp分别表示轴向速度的仿真值和实验值。

2.1 温度误差主控参数

10 mm，20 mm，30 mm，60 mm截面温度误差的协方差矩阵关于模型参数的特征值结果如图 8所示，依据特征值数值大小从1~7进行排序。由图可知，4个截面的前2个特征值差距明显，据此可初步推断各截面均存在一维子空间。为此使用基于全局线性拟合的活性子空间方法对各特征截面温度误差进行分析。
图 8 各特征截面温度误差子空间分析的特征值
各特征截面温度误差的一维散点图如图 9所示，w1Tx表示最大特征值对应的特征向量。由图可知，各截面一维散点均较好地聚集在一条曲线附近，进一步说明对于各截面温度误差，模型参数空间存在一维结构，可以由七维参数空间降维至活跃方向 w1Tx展成的一维子空间。通过多项式拟合，可在该一维子空间内构建响应面。
图 9 各特征截面温度误差一维散点图
各特征截面温度误差活跃方向 w1Tx的分量值如图 10所示，横坐标为对应的输入参数，使用不同颜色区分各特征截面。获得的子空间分量可作为输入参数相对目标量的灵敏度度量，分量值越大代表目标量对该参数的变化越敏感。由图可知，4个截面温度误差均对Fmax最敏感，其灵敏度分量绝对值远大于其他参数，同时由于Fmax分量为负，Fmax取值的增加将使得温度误差减小。
图 10 各特征截面温度误差一维子空间分量
由上述分析可知，在所研究的参数范围内，Fmax始终为主控参数，为此采取单变量调节Fmax取值，固化其他模型参数为名义值的方式，验证主控参数影响一致性并进一步探究Fmax对旋流预混燃烧过程的影响。
Fmax取1、5、10、14时的瞬时二氧化碳质量分数生成率云图与瞬时温度云图分别如图 11与图 12所示。由图可知，Fmax增大将导致二氧化碳生成区域被拉宽，火焰高温区减小，火焰高度下降，中心火焰最高温度降低。结合1.1.2节中的式(9)和式(10)，当Fmax增大时，会导致反应源项$ \frac{E}{F} \bar{\rho} \dot{\omega}_i$减少，扩散项$ \nabla \cdot\left(\bar{\rho} \widetilde{D}_{\text {eff }} \nabla \widetilde{Y}_i\right)$和$ \nabla \cdot\left(\bar{\rho} \widetilde{D}_{\mathrm{eff}} \nabla \widetilde{h}\right)$增大，使得组分和焓扩散更快、分布更均匀。此结论与使用活性子空间方法得到的主控机制分析结果一致，说明了使用活性子空间方法进行主控机制分析能够得到符合实际物理机制的结果，验证了该方法的可行性。
图 11 不同Fmax取值下的瞬时二氧化碳质量分数生成率

注：图中白色矩形区域为旋流器结构。

图 12 不同Fmax取值下的瞬时温度

注：图中白色矩形区域为旋流器结构。

2.2 轴向速度误差主控参数

各特征截面轴向速度误差协方差矩阵关于模型参数的特征值结果如图 13所示。由图可知，对于10 mm和20 mm截面，前2个特征值间明显存在量级上的差别，30 mm截面的特征值差异略大于60 mm截面的，因此可初步推断出10和20 mm截面更有可能存在一维子空间。结合图 14中4个特征截面轴向速度误差的一维散点图来看，10、20、30 mm这3个截面的子空间散点集中且均能较好地拟合为一条曲线，验证了一维子空间的存在；而60 mm截面子空间散点间分散度较大，使用一维模型无法直观捕捉目标量的变化，难以揭示数据趋势特征。因此，本文使用基于全局线性拟合的活性子空间方法对前3个特征截面轴向速度误差进行主控机制分析，对60 mm截面则采用基于全局二次的活性子空间方法进行分析。
图 13 各特征截面轴向速度误差子空间分析的特征值
图 14 截面轴向速度误差子空间一维散点图
由图 15可知，对于前3个特征截面，轴向速度误差影响最大的参数为Fmax，但与温度误差分析结果相反，由于Fmax分量为正，则当Fmax取值越大，轴向速度误差会增加。
图 15 截面轴向速度误差一维子空间分量
基于全局二次的活性子空间方法，绘制60 mm截面处的轴向速度误差散点图；在此基础上，将七维参数空间投影到 w1Tx与w2Tx的二维子空间上，并采用三次多项式拟合得到轴向速度的二维子空间响应面，如图 16a所示。7个模型参数对子空间中2个特征向量 w1与 w2的影响权重如图 16b所示。综合各模型参数在不同子空间的影响可见，在更高维的子空间中，Fmax仍为主控参数。
图 16 基于全局二次的活性子空间方法的轴向速度误差散点图与子空间分量(60 mm特征截面)

2.3 主控参数流向演变规律

基于2.1与2.2节对模型参数在各特征截面主控机制的研究，进一步探究模型参数沿流向的主控机制变化。目标量一维子空间活跃方向向量随流向位置的变化如图 17所示，由图可知，活性子空间随流向方向变化规律明显；对于温度误差，Fmax为主控参数且分量始终为负，向下游发展影响略有增加；对于轴向速度误差，Fmax同样为主控参数，分量始终为正，但向下游发展影响逐渐减小，其他参数影响权重增大。
图 17 目标量子空间流向变化
沿流向各个特征截面目标量对应的概率密度分布如图 18所示。从分布形态可知，10 mm和20 mm处具有相似的概率密度分布，即模型参数对2个位置的目标量引入的不确定性是相当的；60 mm处相比其他截面，温度误差数据更为聚集，轴向速度误差更为分散，说明在60 mm处，模型参数对温度误差引入了更大的不确定性，对轴向速度误差的不确定性最小。
图 18 目标量概率密度分布流向变化
因此，对于本文研究的旋流预混TECFLAM火焰，Fmax始终为主控参数，其对温度与轴向速度有完全相反的影响。模型参数在火焰上游引入的轴向速度不确定性最大，在火焰下游引入的温度不确定性最大。

3 模型参数优化

3.1 代理模型构建与精度验证

为了使优化后的模型参数具有较好的泛化能力，优化目标量取为4个特征截面的温度平均误差与轴向速度平均误差，分别记为ΔT和ΔV。使用活性子空间方法得到的目标量一维散点图及子空间分量如图 19所示，图 19a中的曲线为构建的低维响应面，可使用三次多项式拟合得到响应面表达式。图 19b的各模型参数子空间分量为图 19a中横坐标 w1Tx的分量，可以用线性表达式进行数学描述。通过分量的正负可以初步预测参数的优化方向，为使目标量更小，应将参数分量为负的取值调大，参数分量为正的取值调小。
图 19 目标量一维散点图及子空间分量图
本文采用了平均绝对误差(eMAE)、误差占比(eMAE/平均值)、均方根误差(eRMSE)以及相关系数(R2)评价建立的模型精度[38]，其中平均值为所有样本仿真结果的算术平均值，各指标定义如下：
$e_{\mathrm{MAE}}=\frac{1}{n} \sum\limits_1^n\left|\left(\hat{y}_i-z_i\right)\right|, $
$e_{\mathrm{RMSE}}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_1^n\left(\hat{y}_i-z_i\right)^2}, $
$R^2=1-\frac{\sum\limits_1^n\left(\hat{y}_i-z_i\right)^2}{\sum\limits_1^n\left(\bar{y}_i-z_i\right)^2} .$
其中：$ \hat{y}=\left\{\hat{y}_1, \quad \hat{y}_2, \cdots, \quad \hat{y}_n\right\}$为仿真值，z={z1, z2, ···, zn}为基于代理模型的预测值。
代理模型精度评估结果见表 4，误差占比分别为1.61%和4.05%，并且R2均趋近于1，说明基于活性子空间方法建立的代理模型有很好的拟合效果，模型精度可满足优化要求。为定量体现优化效果，本文定义如下优化评价指标：
$\delta_{\mathrm{T}}=\frac{\Delta T_{\text {optimize }}-\Delta T_{\text {base }}}{\Delta T_{\text {base }}}, $
$\delta_{\mathrm{V}}=\frac{\Delta V_{\text {optimize }}-\Delta V_{\text {base }}}{\Delta V_{\text {base }}} .$
表 4 代理模型精度评估结果
评价指标 平均值 eMAE 误差占比/% R2 eRMSE
ΔT 278.092 K 4.488 1.61 0.982 5.791
ΔV 0.783 m/s 0.032 4.05 0.965 0.039
其中：δT与δV分别为优化后较优化前的温度和与轴向速度的相对误差，ΔTbase和ΔVbase为模型参数取名义值时的误差，ΔToptimize和ΔVoptimize为模型参数取优化参数时的误差。

3.2 单目标优化

本文在基于活性子空间方法构建的代理模型基础上，采用简单遗传算法(simple genetic algorit，SGA)[39-40]，分别以ΔT和ΔV为目标量对模型参数进行优化，算法参数设置如表 5所示。
表 5 单目标遗传算法相关参数设置
参数 取值
种群数量/个 200
最大迭代次数 350
交叉率Pc 0.9
变异概率Pm 0.5
最小模型参数 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
最大模型参数 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
单目标优化下各模型参数取值如表 6所示，从取值变化可以看出，当优化ΔT时，Fmax较名义值变大，这是由于更大的Fmax会增强组分和焓的扩散，火焰高温区收缩，从而降低中心温度误差；当优化ΔV时，Fmax较名义值减少，其他参数变化与在活性子空间中的分量保持一致。
表 6 单目标模型参数优化取值
目标量 取值类别 β* κ CDES σk1 σω1 Fmax ξ
ΔT 名义值 0.09 0.42 0.65 1.00 1.17 10 1.00
优化值 0.06 0.34 0.52 1.01 1.09 13 0.87
ΔV 名义值 0.09 0.42 0.65 1.00 1.17 10 1.00
优化值 0.05 0.33 0.64 1.6 1.99 5 0.01
温度和轴向速度优化仿真值如图 20所示，其中蓝色点为所有样本点得到的子空间散点，使用多项式拟合得到图中灰色曲线，橙色点为使用单目标优化得到的优化解即优化参数仿真结果，由图可知，橙色点与曲线吻合较好，说明代理模型误差较小。
图 20 温度和轴向速度优化仿真值
优化参数下的目标量预测结果与仿真结果对比如表 7所示，由表可知，优化后温度和轴向速度的仿真值与预测值相对误差分别为2.58%和3.83%，进一步说明构造的代理模型精度满足要求。
表 7 单目标优化模型参数仿真结果与预测结果对比
ΔT ΔV
预测值 仿真值 相对误差 预测值 仿真值 相对误差
231.37 K 237.34 K 2.58% 0.52 m/s 0.50 m/s 3.83%
单目标优化结果与名义值结果对比如表 8所示，由表可知，优化后较优化前温度相对误差减小7.58%，轴向速度相对误差减小42.60%，仿真精度显著提升。
表 8 单目标优化结果与名义值结果对比
评价指标 名义值 优化值 δT δV
ΔT 256.800 K 237.339 K -7.58% 25.20%
ΔV 0.874 m/s 0.502 m/s 17.50% -42.60%

3.3 温度-速度多目标优化

由表 8可知，本文选取的2个目标量参数优化方向相互冲突，改善任意一个目标量势必会造成另外的目标量恶化，两目标无法同时达到各自最优值。这也意味着，对于本文所选的旋流预混火焰，在当前DDES+DTF的建模框架下，无法使温度与速度同时达到最佳仿真效果。因此，本文采用带精英策略的非支配排序遗传算法NSGA-Ⅱ[41]来解决此多目标优化问题，该算法因具有较高的种群多样性，较强的全局搜索能力、稳定性和鲁棒性[41-42]，成为当前影响最大和应用范围最广的多目标遗传算法。NSGA-Ⅱ算法的相关参数设置如表 9所示。
表 9 NSGA-Ⅱ算法相关参数设置
算法相关参数 取值
种群数量/个 200
最大迭代次数 500
交叉率Pc 0.9
函数容差Δt 1×10-5
变异概率Pm 0.1
最小模型参数 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
最大模型参数 [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
将建立的代理模型作为多目标优化算法的适应度函数，以最小温度误差和最小轴向速度误差作为优化目标。
在给定的参数空间范围内可得到图 21中蓝点所示的全局Pareto解集，可以看到Pareto最优解集位于目标空间靠近坐标原点的前沿曲线，主要分布于ΔT在225~310 K和ΔV在0.52~1.20 m/s的前沿区间。为体现模型参数优化价值，增加优于模型参数取名义值的约束条件，可得到图 21中橙色点所示的二次择优解集。随机选择全局Pareto解集中的若干组优化参数组合验证模型精度，各模型优化参数取值如表 10所示。其中序号1和2为二次择优解中的点，用于评估优化效果。
图 21 多目标优化得到的最优 Pareto 解集
表 10 多目标优化下各模型参数取值
序列号 β* κ CDES σk1 σω1 Fmax ξ
1 0.050 001 0.330 006 0.649 80 1.990 93 1.654 10 0.000 127 7
2 0.050 002 0.330 067 0.649 80 2.000 00 1.832 10 0.000 767 8
3 0.050 027 0.330 023 0.637 51 1.652 10 1.996 8 0.000 024 3
4 0.050 025 0.330 015 0.646 79 1.707 72 1.997 7 0.000 316 9
5 0.050 065 0.330 002 0.650 00 1.537 10 2.000 6 0.000 696 4
6 0.050 002 0.330 006 0.649 92 1.598 80 1.999 5 0.000 086 1

注：β*为湍流耗散项系数，κ为Von Karman常数，CDES为交界面系数，σk1为k方程扩散项系数, σω1为ω方程扩散项系数，Fmax为加厚因子最大值，ξ为皱褶因子参数修正系数。

多目标优化模型参数仿真结果与预测结果对比如表 11所示，由表可知，对于ΔT和ΔV，选择优化参数值计算得到的仿真值与预测值相对误差均低于5%，表明优化模型具有较好的预测精度和稳定性。
表 11 多目标优化模型参数仿真结果与预测结果对比
序列号 ΔT ΔV
预测值/K 仿真值/K 相对误差/% 预测值/(m·s-1) 仿真值/(m·s-1) 相对误差/%
1 249.458 252.630 1.27 0.840 0.866 3.10
2 251.981 255.430 1.37 0.804 0.829 3.13
3 259.596 260.070 0.18 0.710 0.715 0.75
4 270.918 268.055 1.06 0.611 0.631 3.26
5 278.340 277.544 0.28 0.569 0.582 2.34
6 294.617 301.734 2.42 0.523 0.501 4.03
二次择优解中2组优化结果与名义值计算结果的对比如表 12所示，由表可知，ΔT相比优化前平均降低了1.08%，ΔV相比优化前平均降低了2.96%，ΔT和ΔV均得到了不同程度的降低。上述结果，证明了本文所提出的基于活性子空间的多模型参数优化方法对于湍流燃烧仿真多目标优化问题的有效性。考虑到湍流流场的脉动特性，后续工作中将考虑把目标量的低阶矩，比如：速度、温度的均方根等作为目标量，进一步开展湍流燃烧模型参数的优化工作。
表 12 多目标优化二次择优结果与名义值仿真结果对比
序列号 ΔT ΔV
ΔTbase/K ΔToptimize/K δT/% ΔVbase/(m·s-1) ΔVoptimize/(m·s-1) δV/%
1 256.800 252.630 -1.62 0.874 0.866 -0.87
2 256.800 255.430 -0.53 0.874 0.829 -5.06

4 结论

本文基于活性子空间方法对非受限强旋流贫油预混火焰中湍流燃烧的主控模型参数进行了研究，提出了一套基于活性子空间方法的多模型参数优化流程，该流程将活性子空间方法、SGA遗传算法与NSGA-Ⅱ多目标遗传算法相结合，在对目标火焰的模型参数校准优化获得了良好的效果，得到如下结论：
1) 在对目标火焰模拟的主控模型参数分析中，通过构造多维参数空间的低维映射响应面，实现了对湍流模型及燃烧模型的多参数降维。量化了包括湍流耗散项系数、Von Karman常数、火焰加厚因子最大值、皱褶因子参数修正系数等7个模型参数的不确定性。识别出火焰加厚因子最大值为该火焰温度和轴向速度误差的主控参数。
2) 在湍流燃烧的参数校准优化中，基于本文提出的多模型参数优化流程，高效地实现了对湍流耗散项系数、Von Karman常数、火焰加厚因子最大值、皱褶因子参数修正系数等7个模型参数的优化。在对目标火焰的模拟中，采用单目标优化时，参数优化后使得关键截面温度平均误差降低了7.58%，轴向速度平均误差降低了42.60%；采用多目标优化时，参数优化后使得关键截面温度平均误差和轴向速度平均误差同时降低了1.08%和2.96%。
3) 经优化的模型参数有效提升了典型旋流预混火焰的仿真精度，验证了本文所提出方法的有效性。本文所提出的基于活性子空间多模型参数优化流程不仅适用于具备旋流预混火焰特征的湍流燃烧模型参数优化问题，也为更为复杂的燃烧室两相仿真中雾化、蒸发、湍流、燃烧模型的多参数优化问题提供了新的解决思路。

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